Lý thuyết xác suất thống kê - Chương 1

Lý thuyết Xác xuất thông kê lè một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng không thể nói

Chu’ ong ’ ˜’ ’ VE ´ NIE ˆ M CO’ BAN ˆ` XAC ´ SUAT ˆ´ NHUNG KHAI 1.1 ’ TUC ’ HO’ P ’ T´ICH TO ˆ ´ VE ˆ` GIAI ˆ BO ˘´c nhˆ Qui ta an Gia’ su’’ mˆo.t cˆong viˆe.c n`ao d¯o´ d¯u’o.’c chia th`anh k giai d¯oa.n C´o n1 c´ach thu.’c hiˆe.n giai d¯oa.n thu´’ nhˆa´t, n2 c´ach thu.’c hiˆe.n giai d¯oa.n thu´’ hai, ,nk c´ach thu.’c hiˆe.n giai d¯oa.n thu´’ k Khi d¯o´ ta c´o n = n1 n2 nk c´ach thu.’c hiˆe.n cˆong viˆe.c `’ kh´ac ’ d¯i qua d¯iˆe’m B C´o d¯u’ong • V´ı du Gia’ su’’ d¯ˆe’ d¯i tu`’ A d¯ˆe´n C ta ba˘´t buˆo.c phai ’ ’ `’ kh´ac d¯ˆe d¯i tu`’ B d¯ˆe´n C Vˆa.y c´o n = 3.2 c´ d¯ˆe d¯i tu`’ A d¯ˆe´n B v`a c´o d¯u’ong ach ’ ´ ` kh´ ac d¯ˆe d¯i tu’ A d¯ˆen C A 1.2 B C ’ Chinh ho.’p ’ ho.’p chˆa.p k cua ’ n phˆ ¯Di.nh nghi˜a Chinh a`n tu’’ (k ≤ n) l` a mˆo.t nh´om (bˆo.) c´o thu´’ tu.’ gˆ o`m k phˆa`n tu’’ kh´ac cho.n tu`’ n phˆ a`n tu’’ d¯a˜ cho ’ ho.’p chˆ ’ n phˆ Sˆ o´ chinh a.p k cua a`n tu’’ k´ı hiˆe.u l` a Akn ´’ t´ınh: Cˆ ong thuc Akn = n! = n(n − 1) (n − k + 1) (n − k)! `’ tham du.’ Hoi ’ c´o mˆ • V´ı du Mˆo.t buoˆ’i ho.p gˆo`m 12 ngu’oi a´y c´ach cho.n mˆo.t chu’ to.a v` a mˆo.t thu’ k´y? ’ Giai `’ 12 ngu’oi `’ tham du.’ buˆo’i ho.p l`a mˆo.t Mˆo˜i c´ach cho.n mˆo.t chu’ to.a v`a mˆo.t thu’ k´ y tu ’’ ’ ho.’p chˆa.p k cua ’ 12 phˆa`n tu chinh ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t Do d¯´o sˆo´ c´ach cho.n l`a A212 = 12.11 = 132 ´’ c´ac chu˜’ sˆo´ 0,1,2,3,4,5 c´o thˆe’ lˆa.p d¯u’o.’c bao nhiˆeu sˆ • V´ı du Voi o´ kh´ac gˆ o`m chu˜’ sˆ o´ ’ Giai ’ l`a sˆo´ gˆo`m chu˜’ sˆo´ C´ac sˆo´ ba˘´t d¯ˆa`u ba˘`ng chu˜’ sˆo´ (0123, 0234, ) khˆong phai ’ cho.n c´ac chu˜’ sˆo´ 1,2,3,4,5 Do d¯o´ c´o c´ach cho.n chu˜’ sˆo´ Chu˜’ sˆo´ d¯ˆa`u tiˆen phai d¯ˆa`u tiˆen Ba chu˜’ sˆo´ kˆe´ tiˆe´p c´o thˆe’ cho.n t` uy y ´ chu˜’ sˆo´ c`on la.i C´o A35 c´ach cho.n Vˆa.y sˆo´ c´ach cho.n l`a 5.A35 = 5.(5.4.3) = 300 1.3 ’ Chinh ho.’p l˘ a.p ’ ho.’p l˘ ’ n phˆ ¯Di.nh nghi˜a Chinh a.p chˆa.p k cua a`n tu’’ l`a mˆo.t nh´om c´o thu´’ tu.’ gˆ o`m k ’ o mˆ o˜i phˆ a`n tu’’ c´o thˆe c´o m˘ a.t 1,2, ,k lˆ a`n phˆ a`n tu’’ cho.n tu`’ n phˆa`n tu’’ d¯a˜ cho, d¯´ nh´ om ’ ho.’p l˘ ’ n phˆ Sˆ o´ chinh a.p ch˘ a.p k cua a`n tu’’ d¯u’o.’c k´ı hiˆe.u Bnk ´’ t´ınh Cˆ ong thuc Bnk = nk ’ c´ • V´ı du Xˆe´p cuˆo´n s´ach v`ao ng˘ an Hoi o bao nhiˆeu c´ach xˆe´p ? ’ Giai ’ ho.’p l˘ ’ (Mˆo˜i lˆa`n Mˆo˜i c´ach xˆe´p cuˆo´n s´ach v`ao ng˘ an l`a mˆo.t chinh a.p chˆa.p cua xˆe´p cuˆo´n s´ach v`ao ng˘ an xem nhu’ cho.n ng˘ an ng˘ an Do c´o cuˆo´n s´ach nˆen ´ ` viˆe.c cho.n ng˘ an d¯u’o.’c tiˆen h`anh lˆan) Vˆa.y sˆo´ c´ach xˆe´p l`a B35 = 35 = 243 1.4 Ho´ an vi ’ m phˆ ¯Di.nh nghi˜a Ho´an vi cua a`n tu’’ l`a mˆo.t nh´om c´o thu´’ tu.’ gˆ o`m d¯u’ m˘ a.t m phˆ a`n ’ tu’ d¯a˜ cho ’ m phˆa`n tu’’ d¯u’o.’c k´ı hiˆe.u l` Sˆ o´ ho´an vi cua a Pm ´’ t´ınh Cˆ ong thuc Pm = m! ’ c´ • V´ı du Mˆo.t b`an c´o ho.c sinh Hoi o mˆ a´y c´ach xˆe´p chˆ o˜ ngˆ o`i ? ’ Giai ’’ Do d¯´o sˆo´ ’ ho.c sinh o’’ mˆo.t b`an l`a mˆo.t ho´an vi cua ’ phˆa`n tu Mˆo˜i c´ach xˆe´p chˆo˜ cua c´ach xˆe´p l`a P4 = 4! = 24 ’ t´ıch tˆ Bˆ o’ t´ uc vˆ e` giai o’ hop ’ 1.5 Tˆ o’ ho.’p ’ n phˆ ¯Di.nh nghi˜a Tˆo’ ho.’p chˆa.p k cua a`n tu’’ (k ≤ n) l` a mˆo.t nh´om khˆong phˆan biˆe.t ´ ’ ’ ` ` ` ` thu’ tu.’, gˆom k phˆan tu’ kh´ac cho.n tu’ n phˆ an tu’ d¯a˜ cho ’ ´ ’ ` ’ n phˆan tu’ k´ı hiˆe.u l`a Cnk Sˆ o tˆo ho.’p chˆa.p k cua ´’ t´ınh Cˆ ong thuc Cnk = n! n(n − 1) (n − k + 1) = k!(n − k)! k! Ch´ uy ´ ´’ 0! = i) Qui u’oc k ii) Cn = Cnn−k k−1 k iii) Cnk = Cn−1 + Cn−1 ´’ Hoi ’ lˆ ’ cho tru’oc ’ c´o thˆe’ lˆa.p • V´ı du Mˆo˜i d¯ˆe` thi gˆo`m cˆau hoi a´y 25 cˆau hoi nˆen bao nhiˆeu d¯ˆe` thi kh´ac ? Sˆo´ d¯ˆe`thi c´o thˆe’ lˆa.p nˆen l`a C25 ’ Giai 25! 25.24.23 = = = 2.300 3!.(22)! 1.2.3 `’ d¯iˆe’m bˆ • V´ı du Mˆo.t m´ay t´ınh c´o 16 cˆ o’ng Gia’ su’’ ta.i mˆ o˜i thoi a´t k`y mˆ o˜i cˆ o’ng ho˘ a.c su’’ du.ng ho˘ a.c khˆong su’’ du.ng nhung o.ng ho˘ a.c khˆong thˆe’ hoa.t ’ c´o thˆe’ hoa.t d¯ˆ ’ ´ ’ c´o bao nhiˆeu cˆau h`ınh (c´ach cho.n) d¯´ d¯ˆ o.ng Hoi o 10 cˆ ong su’’ du.ng, khˆong su’’ du.ng nhung o.ng v` a khˆ ong hoa.t d¯ˆ o.ng? ’ c´o thˆe’ hoa.t d¯ˆ ’ Giai ’ ´’ ¯Dˆe x´ac d¯.inh sˆo´ c´ach cho.n ta qua bu’oc: 10 ´’ 1: Cho.n 10 cˆo’ng su’’ du.ng: c´o C16 Bu’ oc = 8008 c´ach ´’ 2: Cho.n cˆo’ng khˆong su’’ du.ng nhung Bu’ oc ’ c´o thˆe’ hoa.t d¯oˆ ng cˆo’ng c`on la.i: c´o C64 = 15 c´ach ´’ 3: Cho.n cˆo’ng khˆong thˆe’ hoa.t d¯ˆo.ng: c´o C22 = c´ach Bu’ oc 10 C64 C22 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ach Theo qui ta˘´c nhˆan, ta c´o C16 1.6 ´’ Newton Nhi thuc ´’ d¯´ang nho´’ O’’ phˆo’ thˆong ta d¯a˜ biˆe´t c´ac ha˘`ng d¯a˘’ ng thuc a + b = a + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1 b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + b3 ´’ trˆen c´o thˆe’ x´ac d¯.inh tu `’ tam gi´ac Pascal C´ac hˆe sˆo´ c´ac ha˘`ng d¯a˘’ ng thuc ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 Cnn−1 Cnn ´’ minh d¯u’o.’c cˆong thuc ´’ tˆo’ng qu´at sau (Nhi thuc ´’ Newton): Newton d¯a˜ chung (a + b)n = n X Cnk an−k bk k=o = Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + + Cnk an−k bk + + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn (a,b l`a c´ac sˆo´ thu.’c; n l`a sˆo´ tu.’ nhiˆen) ˆ´ CO ˆ´ VA ` QUAN HE ˆ GIUA ´ BIEN ˆ´ CO ˆ´ ˜’ CAC BIEN 2.1 ’’ v` Ph´ ep thu a biˆ e´n cˆ o´ ’ d¯ˆe’ quan s´at mˆo.t hiˆe.n tu’o.’ng n`ao d¯o´ Viˆe.c thu.’c hiˆe.n mˆo.t nh´om c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n co’ ban ’’ C´ac kˆe´t qua’ c´o thˆe’ xay ’ cua ’ ph´ep thu’’ d¯u’o.’c go.i l`a biˆe´n cˆo´ (su.’ d¯u’o.’c go.i mˆo.t ph´ep thu kiˆe.n) • V´ı du ’’ ¯Dˆ ’’ l`a mˆo.t i) Tung d¯ˆo`ng tiˆe`n lˆen l`a mˆo.t ph´ep thu o`ng tiˆe`n lˆa.t m˘ a.t n`ao d¯´ o (xˆ a´p, ngua) biˆe´n cˆ o´ ’’ Viˆe.c viˆen d¯a.n tr´ ii) Ba˘´n mˆo.t ph´at s´ ung v`ao mˆo.t c´ai bia l`a mˆo.t ph´ep thu ung (trˆa.t) ´ ´ bia l` a mˆ o.t biˆen cˆo 2.2 ˜’ c´ C´ ac biˆ e´n cˆ o´ v` a quan hˆ e giua ac biˆ e´n cˆ o´ i) Quan hˆ e k´ eo theo ’ th`ı B xay ’ Biˆe´n cˆo´ A d¯u’o.’c go.i l`a k´eo theo biˆe´n cˆo´ B, k´ı hiˆe.u A ⊂ B, nˆe´u A xay ii) Quan hˆ e tu’ ong d ¯u’ ong ’ ’ ´’ nˆe´u A ⊂ B v`a B ⊂ A, k´ı hiˆe.u Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a tu’ong ’ d¯u’ong ’ voi A = B iii) Biˆ e´n cˆ o´ so’ cˆ a´p ˜’ d¯u’o.’c nua Biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p l`a biˆe´n cˆo´ khˆong thˆe’ phˆan t´ıch d¯u’o.’c nua ’ ˘´c cha ˘´n iv) Biˆ e´n cˆ o´ cha ’’ K´ı hiˆe.u Ω ’ thu.’c hiˆe.n ph´ep thu L`a biˆe´n cˆo´ nhˆa´t d¯.inh s˜ e xay ˜’ c´ Biˆ e´n cˆ o´ v` a quan hˆ e giua ac biˆ e´n cˆ o´ • V´ı du Tung mˆo.t x´ uc xa˘´c Biˆe´n cˆ o´ m˘ a.t x´ uc xa˘´c c´o sˆ o´ chˆ a´m b´e hon ’ l`a ´ ´ ´ ´ biˆen coˆ cha˘c cha˘n v) Biˆ e´n cˆ o´ khˆ ong thˆ e’ ’’ K´ı hiˆe.u ∅ ’ thu.’c hiˆe.n ph´ep thu L`a biˆe´n cˆo´ nhˆa´t d¯.inh khˆong xay ⊕ Nhˆ a.n x´ et Biˆe´n cˆo´ khˆong thˆe’ ∅ khˆong bao h`am mˆo.t biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p n`ao, nghi˜a l`a khˆong c´o biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p n`ao thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆo´ khˆong thˆe’ vi) Biˆ e´n cˆ o´ ngˆ a˜u nhiˆ en ’’ Ph´ep thu’’ m`a ’ ho˘ ’ thu.’c hiˆe.n ph´ep thu L`a biˆe´n cˆo´ c´o thˆe’ xay a.c khˆong xay ’ n´o l`a c´ac biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯u’o.’c go.i l`a ph´ep thu’’ ngˆa˜u nhiˆen c´ac kˆe´t qua’ cua vii) Biˆ e´n cˆ o´ tˆ o’ng ’ hai biˆe´n cˆo´ A v`a B, k´ı hiˆe.u C = A + B, nˆe´u C xay ’ Biˆe´n cˆo´ C d¯u’o.’c go.i l`a tˆo’ng cua ’ ra v`a chi’ ´ıt nhˆa´t mˆo.t hai biˆe´n cˆo´ A v`a B xay `’ tho.’ s˘ `’ • V´ı du 10 Hai ngu’oi an c` ung ba˘´n v`ao mˆo.t th´ u Nˆe´u go.i A l`a biˆe´n cˆ o´ ngu’oi ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ `’ thu’ hai ba˘n tr´ ung th´ u th`ı C = A+B ung th´ u v`a B l`a biˆen cˆ o ngu’oi thu’ nhaˆt ba˘n tr´ ´ ´ ´ ˘ l` a biˆen cˆo th´ u bi ban tr´ ung ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t `’ c` • V´ı du 12 Hai ngu’oi ung ba˘´n v`ao mˆ o.t th´ u `’ thu´’ hai ba˘´n tru’o.’t th`ı `’ thu´’ nhˆa´t ba˘´n tru’o.’t, B l`a biˆe´n cˆ o´ ngu’oi Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ngu’oi C = AB l` a biˆe´n cˆo´ th´ u khˆong bi ba˘´n tr´ ung ix) Biˆ e´n cˆ o´ hiˆ e.u ’ biˆe´n cˆo´ A v`a biˆe´n cˆo´ B, k´ı hiˆe.u A \ B l`a biˆe´n cˆo´ xay ’ v`a chi’ A Hiˆe.u cua ’ nhung ’ xay ’ B khˆong xay ˘´c x) Biˆ e´n cˆ o´ xung kha `’ Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a hai biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c nˆe´u ch´ ung khˆong d¯ˆo`ng thoi ’ ’ mˆo.t ph´ep thu xay ’ • V´ı du 13 Tung mˆo.t d¯ˆo`ng tiˆe`n ’’ th`ı AB = ∅ Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘ a.t xˆa´p, B l` a biˆe´n cˆ o´ xuˆ a´t hiˆe.n m˘ a.t ngua xi) Biˆ e´n cˆ o´ d ¯ˆ o´i lˆ a.p ´’ biˆe´n cˆo´ A K´ı hiˆe.u A ’ biˆe´n cˆo´ A d¯u’o.’c go.i l`a biˆe´n cˆo´ d¯ˆo´i lˆa.p voi Biˆe´n cˆo´ khˆong xay Ta c´o A + A = Ω, AA = ∅ ⊕ Nhˆ a.n x´ et ´’ ´’ voi Qua c´ac kh´ai niˆe.m trˆen ta thˆa´y c´ac biˆe´n cˆo´ tˆo’ng, t´ıch, hiˆe.u, d¯ˆo´i lˆa.p tu’ong ’ ung ’ l´ tˆa.p ho.’p, giao, hiˆe.u, phˆa`n b` u cua y thuyˆe´t tˆa.p ho.’p Do d¯´o ta c´o thˆe’ su’’ du.ng c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac tˆa.p ho.’p cho c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac biˆe´n cˆo´ Ta c´o thˆe’ d` ung biˆe’u d¯ˆo` Venn d¯ˆe’ miˆeu ta’ c´ac biˆe´n cˆo´ Ω Ω Bc cha˘´c cha˘´n Ω Ω Ω Ω A B A=⇒B AB A+B A B A,B xung kha˘´c A A ¯Dˆo´i lˆa.p A X´ ac suˆ a´t ´ SUAT ˆ´ XAC 3.1 ac suˆ a´t theo lˆ o´i cˆ o’ d ¯iˆ e’n ¯Di.nh nghi˜a x´ ’ ra, d¯´ ¯Di.nh nghi˜a Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆ o´ d¯ˆ o`ng kha’ n˘ ang c´o thˆe’ xay o ’ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ` ’ m biˆen cˆ c´ o m biˆen cˆo d¯ˆong kha’ n˘ ang thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆ o A (A l`a tˆ ong cua o so’ cˆ ap ´’ sau: ’ biˆe´n cˆ n` ay) Khi d¯´o x´ac suˆa´t cua o´ A, k´ı hiˆe.u P (A) d¯u’o.’c d¯.inh nghi˜a ba˘`ng cˆong thuc P (A) = `’ ho.’p thuˆ m Sˆ o´ tru’ong a.n lo.’i cho A = n `’ ho.’p c´ ’ Sˆ o´ tru’ong o thˆe’ xay • V´ı du 14 Gieo mˆo.t x´ uc xa˘´c cˆan d¯ˆ o´i, d¯ˆ o`ng chˆ a´t T´ınh x´ac suˆ a´t xuˆ a´t hiˆe.n m˘ a.t cha˘˜n ’ Giai Go.i Ai l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘ a.t i chˆa´m v`a A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘ a.t cha˘˜n th`ı A = A2 + A4 + A6 ’ d¯´o c´o Ta thˆa´y ph´ep thu’’ c´o biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p d¯ˆo`ng kha’ n˘ ang c´o thˆe’ xay biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A P (A) = = `’ go.i d¯iˆe.n thoa.i nhung ’ sˆ • V´ı du 15 Mˆo.t ngu’oi o´ cuˆ o´i cua o´ d¯iˆe.n thoa.i cˆ a`n ’ la.i quˆen sˆ ’ `’ d¯´ go.i m`a chi’ nho´’ l`a sˆo´ d¯´o kh´ac T`ım x´ac suˆ a´t d¯ˆe ngu’oi o quay ngˆ a˜u nhiˆen mˆo.t ´ ` ` lˆ an tr´ ung sˆo cˆan go.i ’ Giai `’ d¯´o quay ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t lˆa`n tr´ Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ngu’oi ung sˆo´ cˆa`n go.i ’ (sˆo´ c´ach go.i sˆo´ cuˆo´i) l`a n = A210 = 90 Sˆo´ biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p d¯ˆo`ng kha’ n˘ ang c´o thˆe’ xay Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A l`a m = Vˆa.y P (A) = 90 • V´ı du 16 Trong hˆo.p c´o bi tra˘´ng, bi d¯en T`ım x´ac suˆ a´t d¯ˆe’ lˆ a´y tu`’ hˆ o.p d¯u’o.’c i) viˆen bi d¯en ii) viˆen bi tra˘´ng ’ Giai `’ hˆo.p d¯u’o.’c viˆen bi d¯en v`a B l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y tu `’ hˆo.p Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y tu ´ viˆen bi tra˘ng Ta c´o ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t i) P (A) = C41 = C10 C62 ii) P (B) = = C10 • V´ı du 17 R´ ut ngˆa˜u nhiˆen tu`’ mˆo.t cˆ o˜ b`ai t´ u lo’ kho’ 52 l´a l´a T`ım x´ac suˆ a´t cho l´a r´ ut c´o a) l´a d¯o’ v`a l´a d¯en b) co, ’ rˆo, chuˆo`n ’ Giai Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ r´ ut d¯u’o.’c l´a d¯o’ v`a l´a d¯en ´ ´ B l`a biˆen cˆo r´ ut d¯u’o.’c co,’ rˆo, chuˆo`n ’ r´ Sˆo´ biˆe´n cˆo´ c´o thˆe’ xay ut l´a b`ai l`a C52 a) Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A l`a C26 C26 P (A) = 845000 C26 C26 = = 0, 3251 C52 2598960 2 b) Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho B l`a C13 C13 C13 P (B) = 2 79092 C13 C13 C13 = = 0, 30432 C52 2598960 `’ T`ım x´ac suˆ • V´ı du 18 (B` to´ an ng` ay sinh) Mˆ o.t nh´om gˆ o`n n ngu’oi a´t d¯ˆe’ c´o ´ıt `’ c´o c` nhˆ a´t hai ngu’oi ung ng` ay sinh (c` ung ng` ay v` a c` ung th´ ang) ’ Giai `’ v`a E l`a biˆe´n cˆo´ c´o ´ıt ’ n ngu’oi Go.i S l`a tˆa.p ho.’p c´ac danh s´ach ng`ay sinh c´o thˆe’ cua `’ nh´om c´o c` nhˆa´t hai ngu’oi ung ng`ay sinh n˘ am `’ bˆa´t k` Ta c´o E l`a biˆe´n cˆo´ khˆong c´o hai ngu’oi y nh´om c´o c` ung ng`ay sinh `’ ho.’p cua ’ S l`a Sˆo´ c´ac tru’ong n n(S) = |365.365 {z 365} = 365 n `’ ho.’p thuˆa.n lo.’i cho E l`a Sˆo´ tru’ong n(E) = = = 365.364.363 [365 − (n − 1)] [365.364.363 (366 − n)](365 − n)! (365 − n)! 365! (365−n)! X´ ac suˆ a´t V`ı c´ac biˆen cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘ ang nˆen 365! n(E) 365! (365−n)! P (E) = = = n n n(S) 365 365 (365 − n)! `’ c´o c` Do d¯´o x´ac suˆa´t d¯ˆe’ ´ıt nhˆa´t c´o hai ngu’oi ung ng`ay sinh l`a P (E) = − P (E) = − `’ nh´ Sˆ o´ ngu’oi om n 10 15 20 23 30 40 50 60 70 365! (365−n)! 365n = 365! 365n (365 − n)! `’ c´ X´ ac suˆ a´t c´ o ´ıt nhˆ a´t ngu’oi o c` ung ng` ay sinh P (E) 0,027 0,117 0,253 0,411 0,507 0,706 0,891 0,970 0,994 0,999 ’ b` Bang to´ an ng` ay sinh Ch´ uy ´ ¯Di.nh nghi˜a x´ac suˆa´t theo lˆo´i cˆo’ d¯iˆe’n c´o mˆo.t sˆo´ ha.n chˆe´: ˜’ ha.n c´ac biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p i) N´o chi’ x´et cho hˆe huu ’ l´ ’ ii) Khˆong phai uc n`ao viˆe.c ”¯ dˆo`ng kha’ n˘ ang” c˜ ung xay 3.2 ac suˆ a´t theo lˆ o´i thˆ o´ng kˆ e ¯Di.nh nghi˜a x´ ¯Di.nh nghi˜a Thu.’c hiˆe.n ph´ep thu’’ n lˆ a`n Gia’ su’’ biˆe´n cˆ o´ A xuˆ a´t hiˆe.n m lˆ a`n Khi m ’ biˆe´n cˆ d¯´ o m d¯u’o.’c go.i l`a tˆa`n sˆo´ cua o´ A v`a ty’ sˆ o´ n d¯u’o.’c go.i l`a tˆ a`n suˆ a´t xuˆ a´t hiˆe.n biˆe´n ’’ cˆ o´ A loa.t ph´ep thu Cho sˆo´ ph´ep thu’’ t˘ ang lˆen vˆo ha.n, tˆ a`n suˆ a´t xuˆ a´t hiˆe.n biˆe´n cˆ o´ A dˆ a`n vˆe` mˆo.t sˆ o´ x´ac ’ biˆe´n cˆ d¯.inh go.i l`a x´ac suˆa´t cua o´ A P (A) = n→∞ lim m n • V´ı du 19 Mˆo.t xa thu’ ba˘´n 1000 viˆen d¯a.n v`ao bia C´o xˆ a´p xi’ 50 viˆen tr´ ung bia Khi 50 ’ ´ ´ ’ d¯´ o x´ac suˆat d¯ˆe xa thu ba˘n tr´ ung bia l`a 1000 = 5% ´’ kha’ n˘ `’ • V´ı du 20 ¯Dˆe’ nghiˆen cuu ang xuˆ a´t hiˆe.n m˘ a.t sˆ a´p tung mˆo.t d¯ˆ o`ng tiˆe`n, ngu’oi ´’ d¯ˆ ’ du’oi ta tiˆe´n h`anh tung d¯ˆo`ng tiˆe`n nhiˆe`u lˆ a`n v`a thu d¯u’o.’c kˆe´t qua’ cho o’’ bang ay: ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t 10 `’ l`am Sˆo´ lˆa`n Sˆo´ lˆa`n d¯u’o.’c Tˆa`n suˆa´t Ngu’oi th´ı nghiˆe.m tung m˘ a.t sˆa´p f (A) Buyffon 4040 2.048 0,5069 Pearson 12.000 6.019 0,5016 Pearson 24.000 12.012 0,5005 3.3 ac suˆ a´t theo quan d ¯iˆ e’m h`ınh ho.c ¯Di.nh nghi˜a x´ ¯Di.nh nghi˜a X´et mˆo.t ph´ep thu’’ c´o khˆong gian c´ac biˆe´n cˆ o´ so’ cˆ a´p Ω d¯u’o.’c biˆe’u diˆe˜n ’’ miˆe`n h`ınh ho.c Ω c´o d¯ˆo d¯o (¯ ˜’ ha.n kh´ac 0, biˆe´n cˆ boi dˆo d`ai, diˆe.n t´ıch, thˆe’ t´ıch) huu o´ A ’’ miˆe`n h`ınh ho.c A Khi d¯o´ x´ ’’ ’ biˆe´n cˆ d¯u’o.’c biˆe’u diˆe˜n boi ac suˆa´t cua o´ A d¯u’o.’c x´ ac d¯.inh boi: ’ miˆe`n A Dˆo d¯o cua P (A) = ¯ ’ miˆe`n Ω ¯Dˆo d¯o cua • V´ı du 21 Trˆen d¯oa.n tha˘’ ng OA ta gieo ngˆ a˜u nhiˆen hai d¯iˆe’m B v` a C c´ o to.a d¯ˆ o tu’ong ’ ´ ´ ’ ung at cho d¯ˆ o d` cua d¯oa.n BC b´e hon o ’ d¯ˆ ’ OB = x, OC = y (y ≥ x) T`ım x´ac suˆ ’ d¯oa.n OB d` cua ’ Giai ’ Gia’ su’’ OA = l C´ac to.a d¯ˆo x v`a y phai ’ m˜ thoa an c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n: ≤ x ≤ l, ≤ y ≤ l, y≥x y I Q (*) Biˆe’u diˆe˜n x v`a y lˆen hˆe tru.c to.a d¯oˆ vuˆong ’ m˜ g´oc C´ac d¯iˆe’m c´o to.a d¯oˆ thoa an (*) thuˆo.c ’ tam gi´ac OM Q (c´o thˆe xem nhu’ biˆe´n cˆo´ cha˘´c cha˘´n) M y=2x O x ˜’ d¯iˆe’m ’ c´o y − x < x hay y < 2x (**) Nhung M˘ a.t kh´ac, theo yˆeu cˆa`u b`ai to´an ta phai ´ ´ ’ m˜ c´o to.a d¯oˆ thoa an (*) v`a (**) thuˆo.c miˆe`n c´o ga.ch Miˆe`n thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆo cˆa`n t`ım l`a tam gi´ac OM I Vˆa.y x´ac suˆa´t cˆa`n t´ınh p= diˆe.n t´ıch OM I = diˆe.n t´ıch OM Q `’ g˘ • V´ı du 22 (B` to´ an hai ngu’oi a p nhau) `’ he.n g˘ `’ ’ tu`’ 19 gio`’ d¯ˆe´n 20 gio Hai ngu’oi a.p o’’ mˆo.t d¯.ia d¯ıˆe’m x´ac d¯.inh v`ao khoang `’ d¯ˆe´n (cha˘´c cha˘´n s˜ `’ gian trˆen mˆo.t c´ach d¯ˆ ’ thoi Mˆ o˜i ngu’oi e d¯ˆe´n) d¯iˆe’m he.n khoang o.c ´ ´ ´ ´ `’ d¯ˆen s˜ lˆ a.p voi ut, nˆeu khˆong thˆ ay ngu’oi e bo’ d¯i T`ım x´ac suˆ a´t ’ nhau, cho`’ 20 ph´ `’ g˘ d¯ˆe’ hai ngu’oi a.p X´ ac suˆ a´t 11 ’ Giai `’ gian d¯ˆe´n d¯iˆe’m he.n cua `’ ’ mˆo˜i ngu’oi Go.i x, y l`a thoi ´ ´ `’ g˘ v`a A l`a biˆen cˆo hai ngu’oi a.p R˜ o r`ang x, y ’ ˜ ’ l`a mˆo.t d¯iˆem ngˆau nhiˆen khoang [19, 20], ta c´o 19 ≤ x ≤ 20; 19 ≤ y ≤ 20 ’ `’ g˘ a.p th`ı ¯Dˆe hai ngu’oi `’ |x − y| ≤ 20 ph´ ut = 31 gio y 20 D A 19 Do d¯´o Ω = {(x, y) : 19 ≤ x20, 19 ≤ y ≤ 20} A = {(x, y) : |x − y| ≤ } ’ miˆe`n Ω ba˘`ng Diˆe.n t´ıch cua ’ miˆe`n A ba˘`ng − 21 23 23 = Diˆe.n t´ıch cua o 19 20 x diˆen t´ıch A 5/9 Vˆa.y P (A) = = = 0, 555 diˆe.n t´ıch Ω 3.4 sau: ac suˆ a´t theo tiˆ en d ¯ˆ e` ¯Di.nh nghi˜a x´ ’ c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n ’ Ω thoa Gia’ su’’ Ω l`a biˆe´n cˆo´ cha˘´c cha˘´n Go.i A l`a ho c´ac tˆa.p cua ´’ Ω i) A chua ii) Nˆe´u A, B ∈ A th`ı A, A + B, AB thuˆo.c A ’ c´ac tiˆen d¯ˆe` i) v`a ii) th`ı A d¯u’o.’c go.i l` Ho A thoa a d¯a.i sˆ o´ ’ A th`ı tˆo’ng v`a t´ıch vˆo ha.n A1 + A2 + iii) Nˆe´u A1 , A2 , , An , l`a c´ac phˆa`n tu’’ cua + An v`a A1 A2 An c˜ ung thuˆo.c A ’ c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n i), ii), iii) th`ı A d¯u’o.’c go.i l`a σ d¯a.i sˆo´ Nˆe´u A thoa ¯Di.nh nghi˜a Ta go.i x´ac suˆ a´t trˆen (Ω, A) l` a mˆo.t h`am P sˆ o´ x´ac d¯.inh trˆen A c´ o gi´a ` ’ m˜ tri [0,1] v`a thoa an tiˆen d¯ˆe sau: i) P (Ω) = ´’ A, B xung kha˘´c) ii) P (A + B) = P (A) + P (B) (voi iii) Nˆe´u d˜ ay {An } c´o t´ınh chˆ a´t A1 ⊃ A2 ⊃ ⊃ An ⊃ v` a A1 A2 An = ∅ th`ı lim P (An ) = n→∞ ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t 12 3.5 ’ a x´ C´ ac t´ınh chˆ a´t cu ac suˆ a´t ´’ mo.i biˆe´n cˆo´ A i) ≤ P (A) ≤ voi ii) P (Ω) = iii) P (∅) = iv) Nˆe´u A ⊂ B th`ı P (A) ≤ P (B) v) P (A) + P (A) = vi) P (A) = P (AB) + P (AB) ˆ T SO ˆ´ CONG ˆ ´ SUAT ˆ´ ´’ T´INH XAC MO THUC 4.1 ´’ cˆ Cˆ ong thuc o.ng x´ ac suˆ a´t ´’ Cˆ ong thuc Gia’ su’’ A v`a B l`a hai biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c (AB = ∅) Ta c´o P (A + B) = P (A) + P (B) ´’ minh Chung ’ ra, d¯o´ c´o mA biˆe´n cˆo´ Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘ ang c´o thˆe’ xay thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A v`a mB biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ B Khi d¯o´ sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A + B l`a m = mA + mB Do d¯´o P (A + B) = mA + mB mA mB = + = P (A) + P (B) n n n ¯Di.nh nghi˜a `’ i) C´ac biˆe´n cˆo´ A1 , A2 , , An d¯u’o.’c go.i l`a nh´om c´ac biˆe´n cˆ o´ d¯ˆ a`y d¯u’ xung kha˘´c tung ’ `’ d¯ˆoi v`a tˆ ’ ch´ d¯o ˆi nˆe´u ch´ ung xung kha˘´c tung ong cua ung l` a biˆe´n cˆ o´ cha˘´c cha˘´n Ta c´o A1 + A2 + + An = Ω, Ai Aj = ∅ ii) Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a hai biˆe´n cˆ o´ d¯ˆ o.c lˆa.p nˆe´u su.’ tˆ o`n ta.i hay khˆong tˆ o`n ´ ´ ´ ´ ´ ’ ` ` ’ biˆen cˆo n`ay khˆong anh ’ hu’ong ’ biˆen cˆ ta.i cua on ta.i hay khˆong tˆ on ta.i cua o ’ d¯ˆen su.’ tˆ iii) C´ac biˆe´n cˆo´ A1 , A2 , , An d¯u’o.’c go.i d¯ˆ o.c lˆa.p to`an phˆ a`n nˆe´u mˆ o˜i biˆe´n cˆ o´ d¯ˆ o.c lˆa.p ’ ´’ t´ıch cua ’ mˆo.t tˆo ho.’p bˆa´t k`y c´ voi ac biˆe´n cˆ o´ c`on la.i Hˆ e qua’ `’ d¯ˆ i) Nˆe´u A1 , A2 , , An l`a biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c tung oi th`ı P (A1 + A2 + + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) ´’ t´ınh x´ Mˆ o t sˆ o´ cˆ ong thuc ac suˆ a´t 13 `’ d¯ˆ ii) Nˆe´u A1 , A2 , , An l`a nh´om c´ac biˆe´n cˆ o´ d¯ˆ a`y d¯u’ xung kha˘´c tung oi th`ı n X P (Ai ) = i=1 iii) P (A) = − P (A) ´’ Cˆ ong thuc P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) ´’ minh Chung ’ ra, d¯o´ c´o mA biˆe´n cˆo´ Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘ ang c´o thˆe’ xay thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A, mB biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ B v`a k biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ AB Khi d¯´o sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A + B l`a mA + mB − k Do d¯´o P (A + B) = mA mB k mA + mB − k = + − = P (A) + P (B) − P (AB) n n n n Hˆ e qua’ i) P (A1 + A2 + , +An ) = n X i=1 (−1)n−1 P (A1 A2 An ) P (Ai ) − X P (Ai Aj ) + i