Giải tích Toán học - Hàm số liên tục

Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Hàm liên tục, Điểm trong, điểm biên, điểm tụ, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hà

Giải tích toán học Tập 1 NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Hàm liên tục, Điểm trong, điểm biên, điểm tụ, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả Mục lục Chương 7 Hàm số liên tục trong \n 4

7.1 Tập hợp trong \n 4

7.1.1 Khoảng cách trong \n 4

7.1.2 Lân cận của một điểm 5

7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp 6

7.1.4 Tập mở, tập đóng 8

7.1.5 Tập liên thông 8

7.2 Sự hội tụ trong \n, các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số 9

Lê Văn Trực

7.2.1 Sự hội tụ trong \ 9 n

7.2.2 Dãy cơ bản 10

7.2.3 Nguyên lí Canto 11

7.2.4 Chú ý 11

7.2.5 Tập hợp compact 12

7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số 12

7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số 12

7.2.8 Đường mức và mặt mức 13

7.3 Giới hạn của hàm số trong \ 14 n 7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 14

7.3.2 Giới hạn lặp 15

7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 16

7.3.1 Chú ý 17

7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục 19

7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm 19

7.4.2 Hàm số liên tục đều 20

7.4.3 Liên tục theo từng biến 21

7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số 22

7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một 22

7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao 28

7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn 31

7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số 31

7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số 33

7.7 Đạo hàm theo hướng 35

7.7.1 Đạo hàm theo hướng 35

7.7.2 Gradien 36

7.8 Công thức Taylor Cực trị của hàm số nhiều biến số 37

7.8.1 Công thức Taylor 37

7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số 39

7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac 42

7.9 Cực trị có điều kiện 43

7.9.1 Định nghĩa: 43

7.9.2 Phương pháp tìm cực trị 43

7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 48

7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong 48

7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong 49

7.10.3 Độ cong 51

7.10.4 Bao hình của một họ đườngcong 53

7.11 Bài tập chương 7 56

7.12 Hướng dẫn giải bài tập và đáp số 60

Chương 7

Hàm số liên tục trong \n

7.1 Tập hợp trong \n

7.1.1 Khoảng cách trong \n

a) Khoảng cách giữa hai điểm trong \ n

Cho không gian \ và điểm M∈n \ Nếu n x x1, , ,2 x là các toạ độ của điểm M trong hệ n

toạ độ Descartes vuông góc, ta thường viết M x x( , , , )1 2 x n

Cho \ và một hàm số n ρ:\n×\n →\ Ta nói rằng ρ là khoảng cách trong \ nếu n

thoả mãn các tính chất sau:

i) ρ(M,N) 0≥ ∀M,N∈ \n

ii) (ρ M,N)= (ρ N,M ) ∀M,N∈ \n

iii) (ρ M,P)≤ρ(M,N)+ (ρ N,P ) ∀M,N,P∈\ n

Giả sử M x x( , , , )1 2 x và n N y y( , , , )1 2 y là hai điểm trong n \ Khoảng cách giữa hai n

điểm M,N được cho bởi công thức:

1

2 i=1

b) Khoảng cách giữa hai tập hợp

Cho A,B⊂\n,A≠ ∅ ≠ ∅,B Ta gọi số:

Ví dụ như đường kính của khoảng (−1,1) là 2 Giả sử A⊂\n, A≠ ∅ Ta nói rằng A là

tập hợp bị chặn nếu ( )δ A ∈ \, nói cách khác tập A được gọi là bị chặn nếu như A được chứa

trong một hình cầu nào đó

7.1.2 Lân cận của một điểm

a) ε - lân cận

0∈ \

M Người ta gọi ε -lân cận của điểm M , kí hiệu là 0 O (ε M , là tập hợp tất 0)

cả những điểm M∈ \n sao cho khoảng cách từ M tới M bé hơn ε , tức là:

b) Lân cận của một điểm

Ta gọi lân cận của một điểm M là mọi tập hợp chứa một 0 ε - lân cận nào đó của M , tức 0

là tập con U⊂ \ là lân cận của điểm n M nếu: 0

0

ε

∃ > sao cho O (M )ε 0 ⊂ U Ta thấy theo định nghĩa:

α ) nếu U là lân cận của điểm M , thì mọi tập hợp 0 n

U ⊂\ ,U ⊃U cũng là lân cận của điểm M 0

β) Nếu U ,U là lân cận của 1 2 M thì 0 U1∩U ,U2 1∪U2 cũng là lân cận của điểm M 0

7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp

a) Điểm trong

Cho A là một tập hợp trong \ Điểm n M∈A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại

một ε-lân cận nào đó O ( )ε M nằm hoàn toàn trong A (Hình 7.1.1)

Hình.7.1.1

b) Điểm biên

Điểm N∈ \n được gọi là điểm biên của tập hợp A mọi ε-lân cận của N đều chứa những

điểm thuộc A vừa chứa những điểm không thuộc A Điểm biên của tập hợp A có thể thuộc A

cũng có thể không thuộc A

Tập hợp những điểm biên của A được gọi là biên của tập hợp A Tập hợp các điểm biên

của tập hợp A kí hiệu là ∂A

c) Điểm tụ

Cho A⊂ \n và M∈ \n Điểm M gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận của A đều

chứa ít nhất một điểm của A Tập hợp các điểm tụ của A kí hiệu là A’ và gọi là tập dẫn

xuất của A

Cho A⊂ \n, tập A được gọi là mở nếu mọi điểm M của A đều là điểm trong của A

Tập A⊂ \n được gọi là đóng nếu A chứa mọi điểm biên của A Hiển nhiên A⊂ \n là đóng trong \ , thì n \ \A là tập mở trong n \ n

Tập hợp đơn liên Tập hợp không liên thông Tập hợp đa liên (2 liên)

Giải: a) Do E là phần bên trong (kể cả biên) của hình vuông giới hạn bởi các đường 1

± y= ± x+1, nên E là liên thông 1

b) E là tâp hợp các điểm của 2 \ , trừ ra các điểm nằm trên đường tròn 2 x2+y2 =1 E không 2

phải là tập hợp liên thông

7.2 Sự hội tụ trong \n, các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số

k 0

( , )

ρ M M <ε, ( )∀ ≥k k ε (7.2.1)’,

tức là: ( )

1 2 2 k

i i0 1

Định lí 7.2.2 Để dãy { }Mk hội tụ, điều kiện cần và đủ là nó là dãy cơ bản

Chứng minh

a) Điều kiện cần

Giả sử dãy { }Mk hội tụ tới M , ta hãy chứng minh nó là dãy cơ bản 0

Thật vậy, theo giả thiết:

Giả sử dãy { }Mk là dãy cơ bản, ta phải chứng minh nó hội tụ

Thật vậy, do { }Mk là dãy cơ bản, nên:

Trong lí thuyết tô pô trên \ ta có các khẳng định sau (Xem [2]): n

Mệnh đề 1 Điểm M là điểm tụ của tập hợp A⊂ \n khi và chỉ khi trong A có một dãy

điểm phân biệt M hội tụ tới M khi k k→ +∞

Mệnh đề 2 Tập A⊂ \n là tập đóng khi và chỉ khi mọi dãy { }M k ⊂ A M, k →M khi

→ +∞

k thì M∈A

7.2.5 Tập hợp compact

Tập A⊂ \n được gọi là tập compact nếu mọi dãy { }Mk trong A đều chứa một dãy con

{ }Mk hội tụ tới một điểm thuộc A

Tương tự như trong \ 1, ta cũng có định lí sau:

Định lí 7.2.5 Tập A⊂ \n là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn

7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số

Cho không gian Euclide n chiều \ và tập hợp n D⊂ \ Gọi ánh xạ: n

Nếu xem , , ,x x 1 2 x là các toạ độ của một điểm nào đó n M∈ \n trong hệ toạ độ

Descarter vuông góc thì ta có thể viết u=f(M)

Trong trường hợp n=2 hay n=3 ta có hàm hai hay ba biến số và thường được kí hiệu là z = f(x,y) hay u = f(x,y,z)

7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số

Nếu hàm u được cho bởi biểu thức u=f(M) (mà không có chú ý gì thêm về tập xác định của nó) thì tập xác định của hàm u được hiểu là tập hợp những điểm M sao cho biểu thức f(M)

có nghĩa

Ví dụ 8: Hàm số u= 1-x 2- 4y xác định khi 2 x + y 2 4 2 ≤ 1 hay 1

14

Ví dụ 11: Hàm số u=ln(x+y) xác định khi x+y > 0 Vậy miền xác định của hàm số là miền

nằm phía trên đường thẳng y=−x (xem hình 7.2.3)

x ≤ ≠ Vậy miền xác định của hàm số là

một phần mặt phẳng nằm giữa các đường thẳng y= ± x trừ ra gốc toạ độ (xem hình 7.2.4)

7.2.8 Đường mức và mặt mức

Cho hàm u = f(x,y) Ta gọi tập hợp những điểm của miền xác định của hàm số sao cho tại

đó hàm số có giá trị không đổi c là đường mức của hàm số Phương trình của đường mức ứng

với giá trị u = c là:

f(x,y) = c (7.2.5) Tương tự như vậy, đối với hàm ba biến số độc lập ta có khái niệm mặt mức

Mặt mức của hàm số u = f(x,y,z) là một mặt trong không gian Oxyz, mà trên đó hàm số

có giá trị không đổi c Phương trình của mặt mức ứng với giá trị u = c là:

Phương trình đường mức u=c ⇔ y 2

x =c hay y=c x Đường mức là một parabol với mọi 2

giá trị c

c) u = y−2 x 2

Phương trình đường mức u = c ⇔ y = c+2 x Vậy với mọi c đường mức là các parabol 2

có đường trục đối xứng là trục Oy và có đỉnh tại điểm (O,c)

7.3 Giới hạn của hàm số trong \n

Để dễ hình dung ta hãy xét giới hạn của hàm hai biến số Mọi kết quả được mở rộng cho hàm có số biến nhiều hơn

7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1: Giả sử D⊂ \ và f:D2 → \, , )M (x y là điểm tụ của tập D Ta nói rằng hàm 0 0 0 f(x,y) có giới hạn l tại M và viết: 0

Định nghĩa 2: Hàm z = f(M) có giới hạn l khi M→M0 nếu với mọi dãy điểm (M x ,y n n n)(khác M ) thuộc lân cận V của điểm 0 M dần đến 0 M ta đều có: 0

lim ( n n

n f x ,y )=l

→∞ (7.3.2) Khi đó ta viết

Ta còn gọi giới hạn trên là giới hạn kép hay là giới hạn theo tập hợp các biến

Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm một

lim ( 0

→

→

x y

f x,y)=

Ví dụ 2: Tìm

0 0

lim ( ) = 0

→

→

x y

f x,y với (f x,y =) 2 xy 2

x +y Nếu cho (x,y)→(0,0) theo phương của đường thẳng y = kx, ta có:

k

f x,kx =

+k

Khi k khác nhau, (x,y)→(0,0) theo phương khác nhau, f(x,y) dần tới những giới hạn khác

nhau Do đó giới hạn trên không tồn tại

Gọi D ={y R2 ∈ |giới hạn lim ( )

x +x

Ta thấy trong trường hợp này hai giới hạn lặp tồn tại và bằng nhau

Ví dụ 4: Tìm giới hạn lặp của hàm số:

cos( )

Trong trường hợp này, các giới hạn lặp tồn tại nhưng không bằng nhau

7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp

Định lí 7.3.1 Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập hợp D và (x ,y 0 0) là điểm tụ của D Giả sử tồn tại giới hạn

(x x− ) +(y y− )<δ thì

( , )− <ε

f x y l (7.3.9) Trong (7.3.9) cho y→ y0 ta được:

n

x y = → khi n→ ∞ thì + f( ,0)1 1 khi n

Mặt khác dãy ( n n)

1' , ' (0, )

n

x y = →(0,0) khi n→ ∞ , nhưng + f (0, )1 1

n → − Vậy giới hạn theo tập hợp các biến

( )

lim ( )

(x,y) 0,0 f x,y

→ không tồn tại

b) Sự tồn tại giói hạn theo tập hợp các biến không suy ra được sự tồn tại các giới hạn lặp

Ví dụ 6: Cho hàm f x,y = x+y( ) ( )sin 1

Mặt khác với dãy (x' ,y' =( k k) 2 1, ) (0,0) khi k +

k k → → ∞ , nhưng dãy tương ứng:

2

k z' f

Ví dụ 9: Tìm giới hạn khi (x,y)→(0,0) của hàm số z= x +y 3 2 3 2

2 z

y

(x,y) (0,0)

1 1lim 2

7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục

7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm

Ta có các định nghĩa tương đương sau

Định nghĩa 2: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại M0∈D nếu:

Định nghĩa 3: Hàm số f(M) liên tục tại M x y0( , )0 0 ∈D nếu với mọi dãy

{M x yk( , )k k }⊂D,Mk →M khi 0 k → ∞ ta đều có:

( )→ ( )

f M f M hay f x y( , )k k → f x y (7.4.3) ( , )0 0Hàm f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D

Ví dụ 1: Xét hàm số f(x,y) xác định trong \ được cho bởi biểu thức; 2

3 2

( ) (0,0)( )

0 ( ) (0,0)

2 2

xy x,y

2 2

Vậy hàm số liên tục tại (0,0)

Ví dụ 2: Trong \ xét hàm số f(x,y) được xác định bởi: 2

f x,y = x +y

x,y

nÕu (0,0)( )

Vậy hàm số liên tục đều trên \ 2

Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm một biến số liên tục Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong tập compac (đóng và bị chặn) thì nó bị chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền ấy, nó liên tục đều trong miền ấy

7.4.3 Liên tục theo từng biến

Định nghĩa 5: Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập D⊂ \2

a) Ta nói rằng hàm z = f(x,y) liên tục theo biến x tại điểm M x y0( , )∈0 0 D nếu hàm một

biến f( , )x y liên tục tại điểm 0 x , tức là: 0

lim ( ) ( )

x x f x,y f x ,y

→ = (7.4.5) b) Ta nói rằng hàm z = f(x,y) liên tục theo biến y tại điểm M x y0( , )∈0 0 D nếu hàm

Định lí 7.4.1: Nếu hàm z = f(x,y) liên tục tại M0∈D (liên tục theo tập hợp các biến) thì nó liên

tục theo từng biến tại M 0

Chứng minh: Giả sử f(x,y) liên tục tại điểm M x y0( , )∈0 0 D Khi đó >0, >0∀ε ∃δ sao cho∀ ∈M D mà ρ( ,M M0)<δ thì f M( )− f M( 0) <ε, hay là:

Tương tự, hàm z = f(x,y) liên tục theo biến y tại y 0

Chú ý rằng điều ngược lại chưa chắc đã đúng, tức là nếu hàm f(x,y) liên tục theo từng

biến thì chưa thể kết luận nó liên tục theo tập hợp các biến

Ví dụ 4: Xét hàm

0( )

x y

n n khi +n→ ∞, nhưng dãy ( , )1 1 1

2

→

f

n n ≠0= (0,0)f Vậy liên tục theo tập hợp các biến mạnh hơn liên tục theo từng biến

Ví dụ 5: Xét hàm:

1 4 khi 4 1( )

7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số

7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một

7.5.1.1 Đạo hàm riêng

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền D⊂ \ và điểm 2 M ( , )0 x y là một điểm của 0 0

D Cho x một số gia tuỳ ý 0 Δx và y một số gia tuỳ ý y0 Δ với Δx , yΔ đủ bé sao cho

Δf = f(x 0 + Δx, y 0+ Δ −y f x y gọi là số gia toàn phần của f(x,y)tại 0 0 M x y 0( , )0 0

Định nghĩa 1: Đạo hàm riêng của hàm f(x,y) theo biến x tại điểm M và kí hiệu 0 f ( , )x y 0 0

f f x ,y + y f x y f

Hàm số z = f(x,y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền D

Đặt ρ= ( ) (Δx + y 2 Δ )2 , ta có thể viết (7.5.3) dưới dạng:

f =A +B +o( )Δ Δx Δy ρ (7.5.3)’ trong đó

Đối với hàm nhiều biến số z = f(x,y) sự tồn tại của các đạo hàm riêng tại M ( , )0 x y chưa 0 0

đủ để hàm khả vi tại M 0

Thật vậy, ta hãy xét hàm số sau:

( )( )

Các đạo hàm riêng ′f x , ′ f y tại (0,0) đều tồn tại, nhưng hàm số f(x,y) không liên tục tại (0,0),

nên không khả vi tại (0,0)

Sau đây ta hãy chứng minh định lí về điều kiện đủ để hàm z=f(x,y) khả vi tại M ( , )0 x y 0 0

Định lí 7.5.1 Nếu hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của điểm M ( , )0 x y 0 0

và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm M , thì 0 f(x,y) khả vi tại M và ta có công thức: 0

dz= Δ + Δ f x f y x′ y′ (7.5.5) Chứng minh: Ta có thể viết vi phân toàn phần Δ dưới dạng f

f f x y′ x f x y′ y α x β y

Δ = Δ + Δ + Δ + Δ (7.5.11) vậy theo định nghĩa hàm số z = f(x,y) khả vi tại M và ta có công thức (7.5.5) 0

Chú ý 3: Ta thấy rằng đối với f(x,y) = x, ta có:

Tương tự đối với f(x,y)=y ta có dy= yΔ

Do đó nếu x,y là các biến số độc lập thì Δx =dx, y Δ =dy và ta có thể viết:

7.5.1.3 Đạo hàm riêng của hàm số hợp

Cho D,G⊂\2,Δ ∈\ và ánh xạ : D1 ϕ → được xác định như sau: G

Với (x,y)∈D, (ϕ x,y = u x,y ,v x,y) ( ( ) ( )∈ G

Hơn nữa cho ánh xạ f: G→ Δ được xác định, với (u,v)∈G, f(u,v) =z∈ Δ

gọi là ma trận Jacôbi của biến u, v đối với x, y, còn định thức của ma

trận được gọi là định thức Jacôbi của u,v đối với x,y và được kí hiệu là ( )

b) Nếu z = f(x,y), x = x(t), y = y(t) thì z là hàm số hợp của t thông qua hai biến trung gian x,y Khi đó ta có:

sin( cos( ) cos2

∂ ∂ liên tục Do đó nếu xem z

là hàm của x,y thì z là khả vi Ta có

biến số cũng có dạng bất biến như vi phân của hàm một biến số Do đó các công thức

d(u v)=du dv,± ± d uv( )=udv + vdu, d u vdu udv 2

7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao

7.5.2.1 Đạo hàm riêng cấp cao

Cho hàm số hai biến số z = f(x,y) xác định trong miền D⊂ \ Các đạo hàm riêng 2

( , ), ( , )

f x y f x y′ ′ là những hàm của x và y Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một,

nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau:

∂ ∂ ∂ ∂ Vấn đề đặt ra là trong trường hợp khác liệu

điều đó có còn đúng không? Ta thừa nhận định lí quan trọng sau đay

Định lí 7.5.3 (Định lí Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của điểm ( , )M x y hàm số 0 0 0

z =f(x,y) có các đạo hàm riêng f , f xy′′ ′′ và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại yx M thì tại đây: 0

( ) ( )

2

d z=d dz =d f dx + f dy′ ′ (7.5.22) Tiếp tục như vậy ta có các vi phân toàn phần cấp cao hơn:

n n

0 khi ( ) (0,0).

2 2 x

Cho hệ thức giữa hai biến số x, y có dạng

F(x,y)=0 (7.6.1)

trong đó F(x,y) là hàm hai biến số được xác định trong tập D⊂ \ 2

Hàm số y=f(x) gọi là được xác định một cách ẩn bởi hệ thức (7.6.1) nếu khi thế y=f(x) vào

a b = (7.6.2)

ta được b 2 2

a

± − Vậy hệ thức (7.6.2) xác định hai hàm ẩn trong [−a,a]

Ví dụ 2: Từ mỗi phương trình: 2y − 3x = 0, x 2 −y 2 = , có thể xác định y như là hàm ẩn của x 0được xác định trong \ 1

Tuy nhiên không phải từ (7.6.1) lúc nào cũng giải hiển được y theo x, ví dụ như từ hệ

Ta thừa nhận định lí sau về sự tồn tại, liên tục, khả vi của các hàm số ẩn

Định lí 7.6.1 Giả sử F x ,y = Nếu hàm số F(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân ( 0 0) 0cận của điểm (M x ,y và nếu 0 0 0) F' M y( 0) 0≠ , thì từ hệ thức (7.6.1) có thể xác định duy nhất

một hàm số ẩn y = f(x) xác định trong lân cận nào đó của x sao cho (0 F x,f x( )) = 0,y =f x 0 ( )0Hơn nữa hàm số ẩn đó liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận nói trên

Ví dụ 3: Xét hàm số F x,y =e( ) xy−ln(x+y) với x+y >1 và điểm M (0,e) 0

Ta thấy F(0,e)=0, xy

x

1 F' ye

Vậy từ hệ thức F(x,y)=0 không tồn tại hàm ẩn trong lân cận điểm M (0,0) 0

b) Đạo hàm của hàm số ẩn

Giả sử các giả thiết của định lí 1 vừa trình bày được thoả mãn , khi ấy hệ thức (7.6.1) xác

định một hàm số ẩn y=f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó Ta có thể

viết:

F(x,y) =0 trong đó y=f(x) (7.6.3)

Lấy đạo hàm hai vế (7.6.3) theo x ta được:

0

dy F' F'

dx

Từ đây suy ra:

x y

F' dy

b x y'=

a y

− ⋅

c)Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ẩn

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm M ( , )0 x y , trong đó ( )0 0 y 0 = f x 0 có phương trình:

( )

( )( )

7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số

Tương tự như trên, ta tìm điều kiện để từ hệ thức giữa ba biến số x, y, z dạng:

F(x,y,z)=0 (7.6.6)

có thể xác định hàm số ẩn

a) Sự tồn tại của hàm số ẩn

Định lí 7.6.2: Cho hệ thức F(x,y,z)=0 và điểm M x ,y ,z với 0( 0 0 0) F x ,y ,z = Nếu hàm số ( 0 0 0) 0

F(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận điểm M x y z và nếu 0( , , )0 0 0 F' M z( 0) 0≠ ,

thì từ hệ thức (7.6.6) ta xác định được một hàm số ẩn z = f(x,y) trong lân cận nào đó của điểm

0 0

(x ,y thoả mãn ) z 0 = f x ,y( 0 0) Hơn nữa hàm số đó liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên

b) Đạo hàm của hàm số ẩn hai biến số

Với các giả thiết của định lí 7.6.2, từ (7.6.6) ta có thể xác định được hàm z =f(x,y) Do đó

ta có thể viết:

F(x,y,z) =0 với z=f(x,y) (7.6.7)

Lấy đạo hàm hai vế (7.6.7) lần lượt đối với x, y ta được:

F' +F' z' = ,F' y+F' z' z y = 0Theo giả thiêt F' z ≠ , từ đây suy ra: 0

Do 0F' z ≠ , z ∀ , nên hệ thức trên xác định một hàm số ẩn z = f(x,y) liên tục và có các đạo

hàm riêng liên tục, ngoài ra:

Gọi S là đồ thị hàm số ẩn z = f(x,y) mà ta vừa trình bày Phương trình của mặt phẳng tiếp

xúc với S tại điểm M x y z là: 0( , , )0 0 0

7.7 Đạo hàm theo hướng

7.7.1 Đạo hàm theo hướng

Định nghĩa 1: Cho hàm số u =u(x,y,z) xác định trong miền G⊂ \ Qua điểm 3

0( , , ) G0 0 0

M x y z ∈ cho đường thẳng định hướng l có véc tơ đơn vị là Gl (Hình 7.7.1)

Lấy một điểm M bất kì trên đường thẳng đó Gọi ρ là độ dài của véc tơ M MJJJJJG0 Khi đó:

u M

∂G đạt giá trị lớn nhất bằng gradJJJJG u M( )0 khi Gl

cùng phương với gradJJJJGu

Ví dụ 1: Chou=x +y +z + xyz 3 3 3 3

Trong phần này ta hãy mở rộng công thức số gia giới nội, công thức Taylor đối với hàm

số một biến số cho hàm số nhiều biến số

Định lí 7.8.1: Giả sử hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n+1) liên tục trong một lân

cận nào đó của điểmM x y Ngoài ra cho 0( , )0 0 x một số gia0 Δx,y một số gia y0 Δ sao cho điểm M x0( 0+ Δx y, 0+ Δ cũng nằm trong lân cận nói trên Khi đó ta có công thức: y)

Công thức (7.8.1) gọi là công thức Taylor đối với hàm z=f(x,y)

Chứng minh: ĐặtF t =f x( ) ( 0 + Δt x y, 0+ Δ , t [0,1]t y) ∈

Ta thấyΔf=F(1)−F(0) Vì f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n+1) liên tục, nên hàm

số F(t) có các đạo hàm liên tục đến cấp (n+1) trong đoạn [0,1] Theo công thức Taylor đối với

Chú ý 1: Sử dụng các công thức luỹ thừa tượng trưng để biểu diễn vi phân cấp cao ta có

thể viết công thức Taylor như sau:

trong đó M nằm trên đoạn thẳng nối điểm 1 M với M 0

Chú ý 2: Nếu trong công thức (7.8.1) cho n=0, ta được:

2!

f x y f A df A d f A , hay

(1, 2) (1, 2)( , ) (1, 2) ( 1) ( 2)

1 (1, 2) (1, 2) (1, 2)

( 1) ( 1)( 2) ( 2) 2!

7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số

a) Điều kiện cần của cực trị

Giả sử: f:D→ \ và D là tập mở trong\2 Điểm M x y là điểm cực trị địa phương 0( , )0 0

của hàm f(x,y) nếu tồn tại δ >0 sao cho: ∀ ∈M B M( 0, )δ ∩ D

0 0

( ) ( , )

f x,y ≤ f x y (7.8.5) trong đó M=M(x,y) và B M( 0, )δ là hình tròn tâm M0 bán kính δ

Điểm M x y là điểm cực tiểu địa phương của hàm f nếu tồn tại 0( , )0 0 δ >0 sao cho: ( 0, )

∂ tồn tại thì các đạo hàm riêng này bằng không

Chứng minh: Cố định y và xét hàm một biến số z=f(x, 0 y ) Theo giả thiết hàm số z=f(x, 0

0

y ) đạt cực trị tại x= x , nên theo định lí Fecma: 0 f x y x′( , ) 00 0 =

Tương tự: f x y y′( , ) 00 0 =

Trong thực tế có những hàm số liên tục đạt cực trị tại ( , )x y nhưng không có đạo hàm 0 0

riêng tại ( , )x y Ví dụ như hàm số 0 0 z= x +y đạt cực tiểu tại gốc toạ độ O(0,0), nhưng tại 2 2

điểm này hàm số không có đạo hàm riêng Thật vậy:

0

( 0) (0,0)(0,0) lim

x x

∂

∂ không tồn tại

b) Điểm tới hạn: Cho hàm số z =f(x,y) xác định trong tập mởD⊂ \ Những điểm mà tại đó 2

∂

∂ , hoặc

f y

∂

∂ không tồn tại gọi là những điểm tới hạn của hàm số

c) Điều kiện đủ của cực trị

Giả sử hàm z=f(x,y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một, cấp hai liên tục

trong khoảng nào đó của điểm dừngM x y , tức là các điểm thoả mãn điều kiện: 0( , )0 0

0 0

( , )

f

x y x

1( ) ( , ) ( , ) ( , )