Các dạng toán lớp 11 phần hình học

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN I.Tóm tắt lý thuyết : 1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ . Phép tịnh tiến theo véc tơ là phép biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho Ký hiệu : . 2.Các tính chất của phép tịnh tiến : a Tính chất 1: Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’. b Tính chất 2: Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó . HỆ QUẢ : Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó . 3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Giả sử cho và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là : 4. Ứng dụng của phép tịnh tiến BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ). Cách giải : Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ). Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định . Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích . Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . Giải Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm . Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi . Giải : Theo tính chất hình bình hành : BA=DC . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng với AB , sau đó dựng véc tơ . Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D. Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho . Giải a. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’). b Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho . Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ? Giải Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : . Vậy phép tịnh tiến theo biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến . Tương tự đối với tam giác NPQ . Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B . BÀI TOÁN 2: TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC ) Cách giải • Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ). • Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất • Bước 3: Chứng minh nhận xét trê

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

PHÉP TỊNH TIẾN

I.Tóm tắt lý thuyết :

1 Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ v a br( );

Phép tịnh tiến theo véc tơ

* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

HỆ QUẢ :

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó

3 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

- Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích

Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đườngtròn đó Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định

Giải

- Kẻ đường kính BB’ Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định ⇒uuur uuuurAH =B C' Theo định nghĩa về phép tịnh

tiến điểm A đã biến thành điểm H Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v B Cr uuuur= '

- Cách xác định đường tròn (O’;R) Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C Sau đó dựng véc tơ : OO 'uuuur uuuur=B C' Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm

Ví dụ 2 Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R) Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi

, cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O

- Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau đó dựng véc tơ OO ' ABuuuur uuur=

Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D

Ví dụ 3 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho MMuuuuur uuur' = AB

b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn

đã cho

Ví dụ 3 Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Một đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ?

uuuur uuur uuur

Vậy phép tịnh tiến theo BAuuur

biến điểm M thành điểm H Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến

BA

uuur

- Tương tự đối với tam giác NPQ

- Giới hạn quỹ tích Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi haiđiểm ảnh của A,B

BÀI TOÁN 2:

TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH

MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC )

Cách giải

• Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ( Khi đó đườngthẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ )

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

• Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M M sẽ là điểm duy nhất

• Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi)

do A cố dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi

Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d

Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng // cáchnhau một đoạn cho trước không đổi

Ví dụ 1 Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN)

và làm hai đoạn thẳng AM và BN Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất

Giải

- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên MN Uuuuur ur=

- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo Uur

Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM

- Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+NB

Ví dụ 2 Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM nhỏ nhất

+/ Tìm Q’ sao cho : Cuuur ur uuuurD = =U QQ'

+/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N

+/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán

• Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C )

• Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ của phép tịnh tiến

• Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 Đó chính là phương trình của(C’ ) cần tìm

Ví dụ Trong mặt phẳng (Oxy) cho ur= −(1; 2)

a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau :

+/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ?

+/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0

b/ Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : x2 +y2 − 4x + − =y 1 0

c/ Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) : 2 2 1

9 4

x + y =

d/ Viết phương trình ảnh của (H) : 2 2 1

Thay x,y vào phương trình các đường ta có :

- Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 ⇔3x’-5y’-12=0

- Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0

(O;R) Xác định điểm M trên (O;R) và diểm N trên (O’;R’) sao cho MN OAuuuur uuur=

Bài 2 ( Làm bài tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9)

Bài 3 ( Làm bài tập : 2;3- HH11CB-trang 7 )

Gợi ý Bài 1 Vì : MN OAuuuur uuur = ⇒T OAuuur :M →N

Do đó N nằm trên đường tròn ảnh của (O;R) Mặt khác N lại nằm trên (O’;R’) do đó N là giao của đường tròn ảnh với với (O’;R’) Từ

đó suy ra cách tìm :

- Vè đường tròn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) tại N

- Kẻ đường thẳng d qua N và song song với OA , suy ra d cắt (O;R) tại M

Bài 2

a/ Bài 4-trang 9-HH11NC

- Vì A,B cố định suy ra : uuur urAB U=

- Từ giả thiết : MMuuuuur uuur uuur' +MA MB= ⇒MMuuuuur uuur uuur uuur' =MB MA AB− = Chứng tỏ : T ABuuur :M →M'

- Nhưng M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) b/ Bài 5

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

- Nếu F M x y1 : ( ; ) →M y x N x y' ;( − ) (; '; ') →N y'( '; −x') thì khoảng cách giữa hai điểm MN

và M’N’ là : ( ) (2 )2 ( ) (2 )2

MN = x x− + y −y M N = y −y + − +x x Chứng tỏ MN=M’N’cho nên đó chính là phép dời hình

- Nếu : F M x y2 : ( ; ) →M' 2x;( y N x y) (; '; ')→N' 2x '; '( y ) Khi đó khoảng cách hai điểm là :

* Cho đường thẳng d Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó Biến mỗi điểm

M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ , được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ) Đường thẳng d gọi là trục đối xứng

2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox Với mỗi điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) là ảnhcủa M qua phép đối xứng trục thì :  = −x y''=x y ( Đó chính là biểu thức tọa độ )

3 TÍNH CHẤT

a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính

4 TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

Định nghĩa :

* Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình Hthành chính nó

Giải

- Vẽ hình Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC Kéo dài AH cắt (O;R) tại H’ Nối CH’

- Chứng minh IH=IH’ Thật vậy

Ta có : ∠ = ∠A BCH' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1)

BC là đường trung trực của HH’ Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC Cho nên khi Achạy trên đường tròn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục BC

- Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành đường thẳng Vì thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C

* Chú ý : Ta còn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC

- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành , cho nên BC đi qua trung điểm I của A’H

- A’H’ song song với BC ( vì cùng vuông góc với AH )

- Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi qua trung điểm của HH’ Mặt khác AH vuông góc với BC suy ra BC là trục đối xứng của HH’ , hay H và H’ đối xứng nhau qua BC

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có trực tâm H

a/ Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính bằng nhau

b/ Gọi O O O1 , 2 , 3 là tâm các đường tròn nói trên Chứng minh rằng đường tròn đi qua

ba điểm O O O1 , 2 , 3 bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải

a/ Giả sử O1 là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC , thì theo bài taons của ví

dụ 1 O1 chính là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC Cho nên bán kính của chúng

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

bằng nhau Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác còn lại có bán kính bằng bán kính của (O)

b/ Ta hoàn toàn chứng minh được O O O1 , 2 , 3 là các ảnh của O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB Vì vậy bán kính các đường tròn này bằng nhau Mặt khác ta chứng minhtam giác ABC bằng tam giác O O O1 2 3

BÀI TOÁN 2 TÌM ĐIỂM CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB NHỎ NHẤT ( Khi A,B là hai điểm nằm về một phía của d ),

MA MB− ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm về hai phía của d )

Cách giải :

• Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d

• Bước 2: Nối A’B , đường thẳng này cắt d tại M Là điểm cần tìm

• Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất

Ví dụ 1 (Bài 9-tr13- HH11NC)

Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó Hãy tìm điểm B trên Ox , điểm

C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Giải

- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox

- Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C Đó chính là hai điểm cần tìm

- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm

Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) Gọi P là chu vi tam giác ABC thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ ( do từ (1) và (2) )

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d Tìm điểm M trên

d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ?

Giải

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M M chính là điểm cần tìm

- Thật vậy : Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1) Do đó :

- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M M chính là điểm cần tìm

- Thật vậy : MA MB− = MA MB' − = A B' Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên

d , khi đó : M A M B' − ' = M A M B' ' − ' ≤A B' Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’A’B thẳng

hàng , nghĩa là M trùng với M’

Ví dụ 4 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) và một đường thẳng d

a/ Hãy tìm hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’

b/ Hãy xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT với (O;R) và tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành một góc TIT’ nhận đường thẳng d là đường phân giác trong hoặc ngoài

Giải

Vẽ hình :

a/ Giả sử M nằm trên (O;R) và M’ nằm trên (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu bài toán

- Vì d là trung trực của MM’ cho nên M’ nằm trên đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d Mặt khác M’ lại nằm trên (O’;R’) do vậy M’ là giao của (C’) với (O’;R’)

• Tìm (C ) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng trục d

• Kẻ d’ là tiếp tuyến chung của (C ) và (O’;R’) Khi đó d’ cắt d tại M Chính là điểm cần tìm

• Tương tự áp dụng cho (O’;R’)

- Số nghiệm hình bằng số giao điểm của các tiếp tuyến chung cắt d

BÀI TOÁN :3 TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán : Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0 Tìm tọa độ điểm B

đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ?

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

CÁCH GIẢI

• Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B

• Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d

• Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’,B’

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d

Giải

- Tìm giao của d và d’ bằng A(x;y) là nghiệm của hệ : x x y−− =2y− =02 0⇒x y= −= −22

- Trên d’ lấy điểm M (3;3) Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d Gọi H là

trungđiểm của MN thì điều kiện để M,N đối xứng nhau qua d là : ( )

Ví dụ 2 Cho hai đường thẳng d: 2x-y+2=0 ; d’ : x+3y-3=0 Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’

- Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2)

- Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d’ Khi đó nếu M,N đối xứng nhau qua d’ thì điều kiện : ( )

Vậy từ giả thiết ta có tâm I của (C ) có tọa độ : I(2;-1) và R=2

- Gọi I’(x;y ) là tâm của (C’)H là trung điểm của II’ , Uur=( )1; 2 là véc tơ chỉ phương

của đường thẳng d Để I’ đối xứng với I qua d thì điều kiện : ( )

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

- Áp dụng cách vữ (E) ta suy ra cách vẽ của (E’)

* Chú ý : Đây là bài toán tương đối khó , chưa gặp trong các đề thi đại học , nhưng lấy ví dụ này là để mở rộng cho trường hợp đối xứng trục Dù đường (C ) cho là đường gì đi chăng nữa , ta chỉ cần sử dụng tốt kiến thức đã học là có thể giải được

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Gọi m là đường phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC Chứng minh rằng với mọi điểm M trên m , chu vi tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi tam giác ABC

Bài 2 Cho (E) với hai tiêu điểm F F1 , 2 Gọi M là một điểm nằm trên (E) nhưng khôngnằm trên đường thẳngF F1 2 và m là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác MF F1 2 Chứng minh rằng m chỉ cắt (E) tại M duy nhất ( đường thẳng m như thế gọi là tiếp tuyến của E tại M )

Bài 3 Cho đường tròn (C ) : x2 +y2 − 6x 2 + y+ = 1 0 Tìm phương trình đường tròn (C’)qua phép đối xứng trục d : x-y-0

Bài 4 Cho hai đường thẳng d : x-y+2=0 và d’: 3x+4y-1=0 Tìm đường thẳng m là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xừng trục là d’

Bài 5 Cho đường thẳng d: x+y-2=0 và hai điểm A(-4;-3) ,B(2;-1) Tìm điểm M trên

d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 6 Cho hai điểm A(4;3) và B(-2;0) Tìm trên đường thẳng d : x+y-2=0 điểm M sao cho MA MB− đạt gía trị lớn nhất

GỢI Ý CÁCH GIẢI

Bài 1 Kẻ đường phân giác ngoài của góc A Tìm điểm C’ đối xứng với C qua m T a

có : MB+MC=MB+MC’≥BC' Mà BC’=AB+AC Suy ra MB+MC+BC

AB AC BC

≥ + + Đó chính là điều phải chứng minh

Bài 2 Giả sử trục lớn của (E) là 2a , tức là M nằm trên E khi : MF1 +MF2 = 2a Theo

cách chứng minh bài 1 , nếu M’ nằm trên phân giác m thì :

M F +M F ≥MF +MF = Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’ trùng với M Vậy nếu M’ khác M thì M’ không nằm trên E Suy ra m cắt E tại một điểm duy nhất tại M

Bài 3 Đường tròn (C ) có tâm I(3;-1) và bán kính R=3 Gọi I’ là tâm của đường tròn (C’) Nếu I và I’ đối xứng nhau qua d thì ta có hệ :

  Trên d lấy điểm M(0;2) Tìm M’(x;y) là ảnh của

M qua phép đối xứng trục d’ ( có Uur=(4; 3 − ) Khi đó tọa độ M’ là nghiệm của hệ :

Bài 5 Tìm tọa độ A’(x;y) đối xứng với A(-4;-3) qua phép đối xứng trục d: x+y-2=0 Suy ra hệ : ( )

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH

Đường thẳng (A’B) đi qua B(-2;0) có véc tơ chỉ phương : ' 7; 3 / / ( )7;3

Từ đó đường thẳng (BC) chính là đường thẳng (MN) : y+1=0

Bài 4 PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

* Tâm đối xứng của một hình : Là điểm sao cho biến hình H thành chính nó

*Biểu thức tọa độ của phép quay có tâm I(a;b) điểm M(x;y) , điểm M’(x’;y’) và gócquay là α :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q (I,α ) , với I(a; b) Khi đó Q (I,α ) biến điểm M (x; y)

−+

=

−

−

−+

=

αα

α

α

cos)(sin)('

sin)(cos)('

b y a

x b y

b y a

x a

x

(IVb) ( Chứng minh cho HS )

4 Các ứng dụng của phép quay và đối xứng tâm

BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM

Bài toán : Cho hình H và một điểm M thay đổi trên đường (C ) ( thuộc H ) Tìm quỹ

tích của điểm N khi M thay đổi

Cách giải :

• Bước 1: Tìm một điểm I cố định sao cho I là trung điểm của MN

• Bước 2: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm I ta suy ra quỹ tích của N

uuur uuur uuur

, suy ra : MMuuuuur' 2 = MIuuur Có nghĩa là I là trung điểm của MM’

- Ví A,B cố định , cho nên I cố định Do đó D M I : →M' Nhưng M chạy trên

(O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R)

- Cách xác định (O’;R) như sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO Sau đó lấy O’ làmtâm , quay đường tròn có bán kính R

Ví dụ 2 ( Bài 17-tr19-HH11NC)

Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R)và một điểm A thay đổi tren đường tròn đó Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định ( Hay : tìm quỹ tích của H khi A thay đổi )

Giải

- Vẽ hình theo giả thiết cho Nối đường kính AM , tìm vị trí của H Ta thấy CH

∟AB và MB∟AB suy ra CH//BM Tương tự BH//MC và tứ giác BHCM là hình bình hành , do đoa hai đường chéo BC và MH cắt nhau tại trung điểm I của

BC

- Do B,C cố định cho nên I cố định Vậy H là ảnh của M qua phép đối xứng tâm

I Mặt khác M chạy trên (O;R) do đó H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I

Ví dụ 4 ( Bài 35-tr10-BTHH11NC)

Cho đường tròn (O) và tam giác ABC Một điểm M thay đổi trên (O) Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua A, M2 là điểm đối xứng với M1 qua B và M3 là điểm đối xứng với M2 qua C Tìm quỹ tích điểm M3 ?

Giải

- Vẽ hình Từ hình vẽ ta có : DoM1, M2 đối xứng nhau qua B cho nên BM1 =BM2 ( )1