Ta hay gặp bài toán chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định , hay một điểm nằm trên một đường tròn cố định , một hình vuông …tóm lại một hình H cố định nào đó . Khi đó ta chỉ cần chứng minh đường thẳng đó đi qua tâm vị tự của hai hình H và H’ hoặc chứng minh M nằm trên một đường tròn ảnh của một hình H qua một phép vị tự tâm I tỉ số k
Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) ngoài nhau , một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc ngoài với (O R1; 1) và tiếp xúc ngoài với (O R2; 2) . Chứng minh đường thẳng nối hai tiếp điểm đi qua một điểm cố định .
Giải
* Gọi M,N thứ tự là hai tiếp điểm của (O) với hai đường tròn (O R1; 1);(O R2; 2). Thì
1 2
O O O O O∩ = . Kẻ O M2 '/ /O M1 . Thì ta có O Muuuur uuuuur1 ⇑O M2 ' cho nên MM’ đi qua tâm vị tự ngoài của hai đường tròn . Do đó : 2 2
1 1
' '
O M O N R
k O M =O M = R = .
* Hai tam giác : ONM đồng dạng với O NM2 ' suy ra :
22 2 2 2 2 2 1 ' ' O N ON OM ON ON OM
O N =O M ⇒OM =O M = ⇒ = . Vậy MN đi qua tâm vị tự ngoài cố định của
hai đường tròn : (O R1; 1); (O R2; 2).
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn O và O’ tiếp xúc ngoài với nhau tại A .Một góc vuông xAy quay xung quanh A , tia Ax cắt O tại M , tia Ay cắt O tại M’. Chứng minh đường thẳng MM’ luôn đi qua một điểm cố định .
Giải
Nối MM’ cắt O’ tại N ta thấy : O Nuuuuur'
song song cùng chiều với uuuurAM . Tương tự A’ là giaocủa OO’ với với O’ ta cùng thấy : uuuuuur uuuurA M' ' / /AM ⇒OMuuuur uuuuuur/ / 'O M'. Suy ra MM’ đi qua tâm vị tự của hai đường tròn .
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC với trọng tâm G . Gọi A’,B’,C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB
a/ Phép vị tự nào biến A thành A’,B thành B’ và C thành C’ ?
b/ Chứng minh tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm tam giác A’B’C’
c/ Gọi H là trực tâm tam giác ABC , chứng minh rằng : 1
2
GOuuur= − GHuuur. Suy ra G,O,H
nằm trên một đường thẳng ( Đường thẳng Ơ-le ) .
Giải
a/ Theo tính chất của trọng tâm tam giác :
1 1 1 2 2 2 1 1 1 ' : '; ' : '; ' : ' 2 G 2 G 2 G GA = − GA⇒V− A→ A GA = − GA⇒V− A→A GB = − GB⇒V− B→B
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
12 2 1 ' : ' 2 G GC = − GC⇒V− C→C uuuur uuur
. Như vậy phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 biến ba điểm A,B,C thành ba điểm A’,B,C’ . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b/ Vì O là giao ba đường trung trực , cho nên OB’ ∟AC , nhưng AC//A’C’ cho nên OB’∟A’C’ . Chứng tỏ OB’ là một đường cao của tam giác A’B’C’ .
Tương tự đối với OA’ và OC’ vì vậy O là trực tâm của tam giác A’B’C’.
c/ Do tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 cho nên H biến thành O và : 1
2
GOuuur= − GHuuur.
BÀI TOÁN 5.