Đang tải... (xem toàn văn)
PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNHPHÉP TỊNH TIẾNI.Tóm tắt lý thuyết :1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ . Phép tịnh tiến theo véc tơ là phép biến hình , biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho Ký hiệu : . 2.Các tính chất của phép tịnh tiến :a Tính chất 1: Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì MN=M’N’.b Tính chất 2: Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó .HỆ QUẢ :Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó , biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó . 3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Giả sử cho và một điểm M(x;y) . Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là : 4. Ứng dụng của phép tịnh tiến BÀI TOÁN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂMBài toán : Cho một hình H , trên hình H có một điểm M . Tìm quỹ tích của điểm M khi trên hình H có một điểm A thay đổi . ( Thường điểm A chạy trên một đường (C ) cho sẵn ).Cách giải : Dựa vào các tính chất đã biết , ta tìm ra một véc tơ cố dịnh nằm trên hình H ( Với điều kiện : véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ). Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định . Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích .Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định .Giải Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định . Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : . Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm .Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi .Giải : Theo tính chất hình bình hành : BA=DC . Nhưng theo giả thiết A,B cố định , cho nên cố định . Ví C chạy trên (O;R) , D là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo , cho nên D chạy trên đường tròn O’ là ảnh của đường tròn O Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng với AB , sau đó dựng véc tơ . Từ O’ quay đường tròn bán kính R , đó chính là đường tròn quỹ tích của D.Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho .Giảia. Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’).b Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường tròn (O’;R’) thì ta tìm được N trên (O;R) là giao của (O;R) với đường tròn ảnh của (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c Số nghiệm hình bằng số các giao điểm của hai đường tròn ảnh với hai đường tròn đã cho . Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ?Giải Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : . Vậy phép tịnh tiến theo biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến . Tương tự đối với tam giác NPQ . Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B .BÀI TOÁN 2:TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC )Cách giải •Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d . ( Khi đó đường thẳng d là đường trung trực của AB , suy ra M thuộc d thì MA=MA’ ).•Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , thì đường thằng này cắt d tại M . M sẽ là điểm duy nhất •Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( không đổi) do A cố dịnh , thì A’ cố định , suy ra A’B không đổi Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A,B nằm trái phía với d . Ngoài ra : Có trường hợp biến thể là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng cách nhau một đoạn cho trước không đổi .Ví dụ 1. Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua sông (MN) và làm hai đoạn thẳng AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM+BN là ngắn nhất .Giải Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên . Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo . Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM . Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA+NB=A’N+
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN I.Tóm tắt lý thuyết : r Định nghĩa : Trong mặt phẳng , cho véc tơ v ( a; b ) Phép tịnh tiến theo véc tơ r uuu r u ur v ( a; b ) phép biến hình , biến điểm M thành điểm M’ cho MM ' = v r Ký hiệu : Tv 2.Các tính chất phép tịnh tiến : a/ Tính chất 1: *Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ MN=M’N’ b/ Tính chất 2: * Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm HỆ QUẢ : Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng , biến tia thành tia , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng , biến tam giác thành tam giác , biến đường trịn thành đường trịn có bán kính , biến góc thành góc Biểu thức r độ phép tịnh tiến tọa - Giả sử cho v ( a; b ) điểm M(x;y) Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M x ' = a + x y' = y +b thành điểm M’ M’ có tọa độ : Ứng dụng phép tịnh tiến BÀI TỐN 1: TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài tốn : Cho hình H , hình H có điểm M Tìm quỹ tích điểm M hình H có điểm A thay đổi ( Thường điểm A chạy đường (C ) cho sẵn ) Cách giải : - Dựa vào tính chất biết , ta tìm véc tơ cố dịnh nằm hình H ( Với điều kiện : véc tơ có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ) - Sau dựa vào định nghĩa phép tịnh tiến ta suy M ảnh A qua phép tịnh tiến theo véc tơ cố định - Dựa vào tính chất thay đổi A ta suy giới hạn quỹ tích Ví dụ 1: Cho hai điểm B,C cố định nằm (O,R) điểm A thay đổi đường tròn Chứng minh trực tâm tam giác ABC nằm đường tròn cố định Giải - Kẻ đường kính BB’ Nếu H trực tâm củautam giác ABC AH=B’C Do C,B’ cố u r u ur u uu định , B’C véc tơ cố định ⇒ AH = B ' C Theo định nghĩa phép tịnh Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH tiến điểm A biến thành điểm H Nhưng A lại chạy (O;R)rcho ur H chạy nên u u u đường tròn (O’;R) ảnh (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo v = B ' C - Cách xác địnhur u urtròn (O’;R) Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C Sau đường u u uu u dựng véc tơ : OO ' = B ' C Cuối từ O’ quay đường trịn bán kính R từ tâm O’ ta đường trịn cần tìm Ví dụ Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , đỉnh C chạy đường tròn (O;R) Tìm quỹ tích đỉnh D C thay đổi Giải u u u u :ur ur - Theo tính chấtur bình hành : BA=DC ⇒ AB = CD Nhưng theo giả thiết A,B cố hình uu định ,ucho nên AB cố định Ví C chạy (O;R) , D ảnh C qua phép tịnh tiến ur u theo AB , D chạy đường tròn O’ ảnh đường tròn O u ur u u u u ur - Cách xác định (O’) : Từ O kẻ đường thẳng // với AB , sau dựng véc tơ OO ' = AB Từ O’ quay đường trịn bán kính R , đường trịn quỹ tích D Ví dụ Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) ur u với hai điẻm A,B Tìm điểm M u u u u ur u (O;R) điểm M’ (O’R’) cho MM ' = AB Giải a Giả sử ta lấy điểm M (O;R) Theo giả thiết , M’ ảnh M qua phép tịnh uu ur tiến theo véc tơ AB Nhưng M chạy (O;R) M’ chạy đường tròn ảnh (O;R) qua phép tịnh tiến Mặt khác M’ chạy (O’;R’) M’ giao đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’) b/ Tương tự : Nếu lấy M’ thuộc đường trịn (O’;R’) ta tìm N (O;R) giao (O;R) với đường tròn ảnh (O’;R’) qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB c/ Số nghiệm hình số giao điểm hai đường trịn ảnh với hai đường trịn cho Ví dụ Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định Một đường kính MN thay đổi Các đường thẳng AM AN cắt tiếp tuyến B P,Q Tìm quỹ tích trực tâm tam giác MPQ NPQ ? Giải - Tam giác MPQ có QA đường cao , ta kẻ MM’ vng góc với PQ thìu u u uu trực tâm H OA đường trung bình tam giác MNH suy : MM’ r QA cắt ur u ur u u uu u r MH = 2OA = BA Vậy phép tịnh tiến theo BA biến điểm M thành điểm H Nhưng M chạy (O;AB) H chạy đường tròn ảnh (O;AB) qua phép tịnh tiến uu u r BA - Tương tự tam giác NPQ - Giới hạn quỹ tích Do M không trùng với A,B đường tròn ảnh bỏ hai điểm ảnh A,B BÀI TỐN 2: TÌM ĐIỂM M TRÊN ĐƯỜNG THẲNG D SAO CHO KHOẢNG CÁCH MA+MB NGẮN NHẤT ( A,B- CỐ ĐỊNH CHO TRƯỚC ) Cách giải • Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ( Khi đường thẳng d đường trung trực AB , suy M thuộc d MA=MA’ ) Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH • Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B , đường thằng cắt d M M điểm • Bước 3: Chứng minh nhận xét : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B ( khơng đổi) A cố dịnh , A’ cố định , suy A’B không đổi Chú ý : Trường hợp xảy A,B nằm trái phía với d Ngồi : Có trường hợp biến thể thay đường thẳng d hai đường thẳng // cách đoạn cho trước khơng đổi Ví dụ Hai thơn nằm hai vị trí A,B cách sông ( Xem hai bờ sống hai đường thẳng song song ) Người ta dự kién xây cầu bắc qua sông (MN) làm hai đoạn thẳng AM BN Tìm vị trí M,N cho AM+BN ngắn Giải uu u uu r r - Vì khoảng cách hai bờ sống không đổir, MN = U u - Tìm A’ ảnh A qua phép tịnh tiến theo U Khi AMNA’ hình bình hành : A’N=AM - Do : MA+NB ngắn Vì : MA+NB=A’N+NB Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia AB lấy điểm P , tia đối tia CD lấy điểm Q Hãy xác định điểm M BC điểm N AD cho MN//CD PN+QM nhỏ Giải - Giống tốn khoảng cách hai cạnh hình chữ nhật không đổi ta thực theo cách toán nhưusauu u ur : uu r uu r - Tìm ảnh điểm Q qua phép tịnh tiến theo CD = U = QQ ' Khi MN=QQ’ , suy MQ=NQ’ Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn P,N,Q’ thẳng hàng - Các bước thực : u u u u ur ur r u u +/ Tìm Q’ cho : CD = U = QQ ' +/ Nối PQ’ cắt AD điểm N +/ Kẻ NM //CD cắt BC M Vậy tìm M,N thỏa mãn yêu cầu tốn BÀI TỐN 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG ( C ‘) QUA PHÉP TỊNH TIẾN THEO r u = ( a; b ) KHI BIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C ) Cách giải : • Bước 1: lấy điểm M(x;y=f(x) ) (C ) • Bước 2: Thay x,y vào công thức tọ độ phép tịnh tiến • Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0 Đó phương trình (C’ ) cần tìm r Ví dụ Trong mặt phẳng (Oxy) cho u = ( 1; −2 ) a/ Viết phương trình ảnh đường trường hợp sau : +/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0 ? +/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0 b/ Viết phương trình đường trịn ảnh đường trịn (C ) : x + y − 4x + y − = c/ Viết phương trình đường (E) ảnh (E) : Biên soạn : Nguyễn Viet Hung x2 y + =1 Trang CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH x2 y2 d/ Viết phương trình ảnh (H) : − = 16 Giải a/ Gọi M(x;y) thuộc đường cho M’(x’;y’) thuộc đường ảnh chúng x ' = 1+ x x = x '− ⇒ y ' = −2 + y y = y '+ Theo công thức tọa độ phép tịnh tiến ta có : Thay x,y vào phương trình đường ta có : - Đường thẳng a’ : 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 ⇔ 3x’-5y’-12=0 - Đường thẳng b’ : 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0 2 b/ Đường tròn (C’) : ( x '− 1) + ( y '+ ) − ( x '− 1) + y '+ − = hay : x + y − 6x + y + 10 = x '− 1) ( y '+ ) = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = c/ Đường (E’) : ( + 2 2 9 2 2 x '− 1) ( y '+ ) = ⇔ ( x − 1) − ( y + ) = d/ Đường (H’): ( − 16 16 Bài tập nhà : Bài Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O;R) (O’;R’) điểm Au uu u r uu u r (O;R) Xác định điểm M (O;R) diểm N (O’;R’) cho MN = OA Bài ( Làm tập 4;5;6 – HH11NC-trang 9) Bài ( Làm tập : 2;3- HH11CB-trang ) Gợi ý u ur u u u u ur uu ur Bài Vì : MN = OA ⇒ TOA : M → N Do N nằm đường trịn ảnh (O;R) Mặt khác N lại nằm (O’;R’) N giao đường trịn ảnh với với (O’;R’) Từ suy cách tìm : - Vè đường trịn tâm A bán kính R , đường tròn náy cắt (O’;R’) N - Kẻ đường thẳng d qua N song song với OA , suy d cắt (O;R) M Bài a/ Bài 4-trang 9-HH11NC.ur u uu r - Vì A,B cố định suy : AB = U uuu uu uu u ur ur ur u u u u u u u u u u ur ur ur ur r - Từ giả thiết : MM ' + MA = MB ⇒ MM ' = MB − MA = AB Chứng tỏ : Tuuu : M → M ' AB - Nhưng M chạy (O;R) M’ chạy đường tròn (O’;R) ảnh (O;R) b/ Bài x ' = x cosα − y1 sin α + a x ' = x2 cosα − y2 sin α + a M ' 1' ; N ' 2' - Tọa độ M’ N’ : y1 = x1 sin α + y1cosα + b y2 = x2 sin α + y2 cosα + b - Khoảng cách d M,N khoảng cách d’ M’N’ Ta có : MN = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) M 'N ' = ( x2 − x1 ) 2 ( cos α + sin α ) + ( y 2 − y1 ) ( cos α + sin α ) = ( x − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 2 - Phép F phép dời hình x ' = x + a Đây công thức phép tịnh tiến y ' = y +b - Khi : α = → sin α = 0; cosα = ⇒ c/ Bài Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH - Nếu F1 : M ( x; y ) → M ' ( y; − x ) ; N ( x '; y ') → N ' ( y '; − x ' ) khoảng cách hai điểm MN M’N’ : MN = ( x '− x ) + ( y '− y ) ; M ' N ' = ( y '− y ) + ( − x '+ x ) Chứng tỏ MN=M’N’cho nên phép dời hình - Nếu : F2 : M ( x; y ) → M ' ( 2x; y ) ; N ( x '; y ' ) → N ' ( 2x '; y ' ) Khi khoảng cách hai điểm : MN = ( x '− x ) 2 2 + ( y '− y ) ; M ' N ' = ( x '− x ) + ( y '− y ) 2 - Rõ ràng : MN< M’N’ : Do khơng phải phép dời hình theo định nghĩa : Phép dời hình phép biến hình biến hai điểm thành hai điểm mà khơng làm thay đổi khoảng cách chúng Bài a/ Bài 2- trang - Từ B C kẻ đường thẳng // với AG Sau đặt BB’=CC’=AG ( Tứ giác BCC’B’ hình bình hành ) - A’ trùng với G Tam giác GB’C’ ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG uu uu ur ur - Nếu D ảnh phép tịnh tiến theo véc tơ AG : AG = AD ⇒ D phải trùng với G b/ Bài 3-trang xA' = − = ↔ A ' ( 2;7 ) tọa độ yA' = + = - Theo công thức tọa độ phép tịnh tiến : A ' = x B ' = −1 − = − ↔ B ' = ( −2;3) yB ' = + = điểm B ' = - Nếu gọi M(x;y) thuộc đường thẳng d M’(x’;y’) thuộc đường thẳng d’ : ảnh đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ v theo cơng thức tọa độ củ phép tịnh x ' = x −1 x = x '+ ⇒ Thay vào phương trình d : (x’+1)-2(y’ y ' = y + y = y '− tiến ta có : M ' 2)+3=0 Hay d’: x’-2y’+8=0 Bài PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỊNH NGHĨA : * Cho đường thẳng d Phép biến điểm M thuộc d thành Biến điểm M khơng thuộc d thành điểm M’ cho d đường trung trực MM’ , gọi phép đối xứng qua đường thẳng d ( phép đối xứng trục ) Đường thẳng d gọi trục đối xứng BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox Với điểm M(x;y) , gọi M’(x’;y’) ảnh x ' = x ( Đó biểu thức tọa độ ) y' = −y M qua phép đối xứng trục : TÍNH CHẤT a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng , biến tam giác thành tam giác , biến đường trịn thành đường trịn có bán kính TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH Định nghĩa : Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH * Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H phép dối xứng qua d biến hình H thành ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM QUỸ TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM Bài tốn : Cho hình H điểm A thuộc hình H thay đổi Tìm quỹ tích điểm M A thay đổi Cách giải • Bước 1: Xét vị trí A M Sau dó tìm H có đường thẳng cố định trung trực đoạn thẳng AM ( Chính trục đối xứng ) • Nếu A chạy đường (C ) , theo tính chất phép dối xứng trục , M chạy đường (C’) ảnh (C ) qua phép đối xứng trục Ví dụ ( Bài 10-tr13-HH11NC ) Cho hai điểm B,C cố định nằm đường tròn (O;R) điểm A thay đổi đường tròn Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh trực tâm H nằm đường tròn cố định Giải - Vẽ hình Gọi H giao ba đường cao tam giác ABC Kéo dài AH cắt (O;R) H’ Nối CH’ - Chứng minh IH=IH’ Thật Ta có : ∠A = ∠BCH ' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1) CH ⊥ AB ⇒ ∠A = ∠BCH ( ) Từ (1) (2) suy : ∠BCH = ∠BCH ' CI ⊥ AH ' Mặt khác : Chứng tỏ tam giác HCH’ tam giác cân Do BC vng góc với HH’ , chứng tỏ BC đường trung trực HH’ Hay H H’ đối xứng qua BC Cho nên A chạy đường trịn (O;R) H’ chạy (O;R) H chạy đường tròn (O’;R) ảnh đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục BC - Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B C tam giác ABC suy biến thành đường thẳng Vì đường tròn (O’;R) bỏ điểm ảnh B,C * Chú ý : Ta cịn có cách khác chứng minh H H’ đối xứng qua BC - Kẻ AA’ ( đường kính (O) ) suy BHCA’ hình bình hành , BC qua trung điểm I A’H - A’H’ song song với BC ( vng góc với AH ) - Từ suy BC đường trung bình tam giác AHH’ – Có nghĩa BC qua trung điểm HH’ Mặt khác AH vng góc với BC suy BC trục đối xứng HH’ , hay H H’ đối xứng qua BC Ví dụ Cho tam giác ABC có trực tâm H a/ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB,HBC,HCA có bán kính b/ Gọi O1 , O2 , O3 tâm đường trịn nói Chứng minh đường tròn qua ba điểm O1 , O2 , O3 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải O1 tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác HBC , theo taons ví a/ Giả sử dụ O1 ảnh (O) qua phép đối xứng trục BC Cho nên bán kính chúng Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Tương tự hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác cịn lại có bán kính bán kính (O) b/ Ta hồn tồn chứng minh O1 , O2 , O3 ảnh O qua phép đối xứng trục BC,CA,AB Vì bán kính đường trịn Mặt khác ta chứng minh tam giác ABC tam giác O1O2O3 BÀI TỐN TÌM ĐIỂM CHO ĐƯỜNG THẲNG d VÀ HAI ĐIỂM A,B TÌM ĐIỂM M THUỘC d SAO CHO MA+MB NHỎ NHẤT ( Khi A,B hai điểm nằm phía d ), MA − MB ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT( A,B nằm hai phía d ) Cách giải : • Bước 1: Tìm điẻm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d • Bước 2: Nối A’B , đường thẳng cắt d M Là điểm cần tìm • Bước 3: Chứng minh M điểm Ví dụ (Bài 9-tr13- HH11NC) Cho góc nhọn xOy điểm A nằm góc Hãy tìm điểm B Ox , điểm C Oy cho tam giác ABC có chu vi nhỏ Giải - Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox - Nối A’B’ cắt Ox B , cắt Oy C Đó hai điểm cần tìm - Chứng minh B,C hai điểm cần tìm Thật : Do A’ đối xứng với A qua Oy , CA=CA’ (1) Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox ta có BA=BB’ (2) Gọi P chu vi tam giác ABC P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ ( từ (1) (2) ) Ví dụ 2: Cho đường thẳng d hai điểm A,B nằm phía với d Tìm điểm M d cho MA+MB đạt giá trị nhỏ ? Giải - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d M M điểm cần tìm - Thật : Vì A’ đối xứng với A qua d MA=MA’ (1) Do : MA+MB=MA’+MB=A’B - Giả sử tồn M’ khác M thuộc d : M’A+M’B=M’A’+M’B ≥ A ' B Dấu xảy A’M’B thẳng hàng Nghĩa M trùng với M’ Ví dụ Cho đường thẳng d hai điểm A,B ( nằm hai phía d ) Tìm điểm M d cho MA − MB đạt GTLN Giải - Gọi A’ điểm đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d M M điểm cần tìm - Thật : MA − MB = MA '− MB = A ' B Giả sử tồn điểm M’ khác với M d , : M ' A − M ' B = M ' A '− M ' B ≤ A ' B Dấu xảy M’A’B thẳng hàng , nghĩa M trùng với M’ Ví dụ Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) đường thẳng d a/ Hãy tìm hai điểm M M’ nằm hai đường trịn cho d đường trung trực đoạn thẳng MM’ Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH b/ Hãy xác định điểm I d cho tiếp tuyến IT với (O;R) tiếp tuyến IT’ với (O’;R’) tạo thành góc TIT’ nhận đường thẳng d đường phân giác Giải Vẽ hình : a/ Giả sử M nằm (O;R) M’ nằm (O’;R’) tỏa mãn yêu cầu tốn - Vì d trung trực MM’ M’ nằm đường tròn (C’) ảnh đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục d Mặt khác M’ lại nằm (O’;R’) M’ giao (C’) với (O’;R’) - Từ suy cách tìm : • Tìm hai đường trịn ảnh hai đường tròn cho qua phép đối xứng trục d ( Lần lượt (C’) (C’’) • Hai đường tròn cắt hai đường tròn cho M , M Sau kẻ hai đường thẳng d’’ d’’’ qua M , M cắt (O;R) (O’;R’) M '1 ; M '2 • Các điểm cần tìm ( M 1M '1 ) ( M M '2 ) b/ Nếu MT MT’ nhận d phân giác ngồi góc TIT’ MT MT’ đối xứng qua d Từ suy cách tìm : - Gọi d’ ảnh MT qua phép đối xứng d nghĩa d’ tiếp tuyến đường tròn (C ) ảnh (O;R) qua phép đối xứng trục d Mặt khác d’ tiếp tuyến (O’;R’) Cho d’ tiếp tuyến chung (C ) với (O’;R’) Từ ta suy cách tìm M : • Tìm (C ) ảnh (O;R) qua phép đối xứng trục d • Kẻ d’ tiếp tuyến chung (C ) (O’;R’) Khi d’ cắt d M Chính điểm cần tìm • Tương tự áp dụng cho (O’;R’) - Số nghiệm hình số giao điểm tiếp tuyến chung cắt d BÀI TỐN :3 TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài toán : Cho điểm A(x;y) đường thẳng d : ax+by+c=0 Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ? Cách giải : • Bước 1: Gọi B(x’;y’) điểm đối xứng với A qua d H trung điểm AB uu u ur r AB.U = điều kiện : H ∈ d ( 1) ( 2) • Bước 2: Giải hai điều kiện (1) (2) suy tọa độ B Ví dụ Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y=x Giải - Gọi N(x;y) điểm đối xứng với Muqua d H trung điểm MN M,N đối uu u u r r MN U = ( 1) ( 2) H ∈ d xứng qua d điều kiện : u ur uu u r x+2 y +3 ; - Ta có : MN = ( x − 2; y − 3) U = ( 1;1) H = ÷ Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH ( x − ) + ( y − 3) = x + y = y = ⇔ ⇒ ⇔ N = ( 3; ) - Điều kiện (*) ⇔ x + y + = x = y +1 x = 2 Ví dụ Cho điểm M(2;-3) Tìm ảnh điểm M qua phép đối xứng trục d : y-2x=0 Giải - Gọi N(x;y) điểm đối xứng với Muqua d H trung điểm MN M,N đối uu u u r r MN U = ( 1) ( 2) H ∈ d xứng qua d điều kiện : uu uu r u r x + y −3 ; - Ta có : MN = ( x − 2; y + 3) U = ( 1; ) H = ÷ ( x − ) + ( y + 3) = y = x + y + = 14 ⇔ ⇒ ⇔ N = − ; ÷ - Điều kiện (*) ⇔ x + y − = 3 y = x +5 x = − 14 2 BÀI TOÁN :4 CHO ĐƯỜNG (C ) VÀ ĐƯỜNG THẲNG d HÃY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG (C’) LÀ ẢNH CỦA (C ) QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC d CÁCH GIẢI • Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A,B • Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A,B qua phép đối xứng trục d • Bước 3: Viết phương trình đường (C’) qua A’,B’ Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 đường thẳng d’: y=x Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d Giải x − y − = x = −2 ⇒ A(-2;-2) x − y = y = −2 - Tìm giao d d’ A(x;y) nghiệm hệ : - Trên d’ lấy điểm M (3;3) Gọi N(x;y ) điểm đối xứng với M quaud Gọi H uu u u r r MN U = ( 1) (*) ( 2) H ∈ d trungđiểm MN điều kiện để M,N đối xứng qua d : uu uu r u r x+3 y +3 ; - Ta có : MN = ( x − 3; y − 3) U = ( 2;1) H = ÷ ( x − 3) + ( y − 3) = 2x + y = x = ⇔ ⇒ ↔ N = ( 5; −1) - Điều kiện (*) ⇔ x + y + − −2=0 x − y = y = −1 ÷ uu ur - Đường thẳng (m) đường thẳng qua AN có véc tơ phương AN = ( 7;1) , nên x+2 y+2 = ⇔ x − y − 12 = (m) có phương trình : Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Ví dụ Cho hai đường thẳng d: 2x-y+2=0 ; d’ : x+3y-3=0 Lập phương trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng d’ Giải - Tìm tọa độ điểm A giao d với d’ Khi tọa độ A nghiệm hệ hai x = − 2x − y + = 8 ⇔ ⇒ A = − ; ÷ phương trình : 7 x + 3y − = y = - Trên đường thẳng d chọn điểm M(0;2) - Tìm tọa độ điểm N đối xứngur u M qua đường thẳng d’ Khi M,N đối xứng với u u r u MN U = ( 1) u r (*) Với H trung điểm MN , U véc ( 2) H ∈ d u ur uu u r x y+2 MN = ( x; y − ) U = ( 3; −1) H = ; tơ phương d’ Ta có : ÷ 2 3x − ( y − ) = x = − 3x-y = −2 1 ⇔ ⇒ ↔ N = − ; ÷ - Điều kiện (*) ⇔ x y+2 5 x + 3y = y = + ÷− = 1 - Đường thẳng (m) =(AN) qua N = − ; ÷ có véc tơ phương 5 uu ur r 33 u AN = − ; − ÷/ /U = ( 2;11) 35 35 x+ y− Do (m) : 5= = ⇔ 11x − y + = 11 Ví dụ Cho đường trịn (C ) : x + y − 4x + y + = đường thẳng d : 2x-y+2=0 qua d’ điều kiện : Hãy viết phương trình đường trịn (C’) ảnh (C ) qua phép đối xứng trục d Giải Do tính chất phép đối xứng trục biến (C ) thành (C’) có bán kính Cho nên ta cần tìm tọa độ tâm I’ (C’) đối xứng với tâm I (C ) Vậy từ giả thiết ta có tâm I (C ) có tọa độ : I(2;-1) u R=2 r - Gọi I’(x;y ) tâm (C’)H trung điểm II’ , U = ( 1; ) véc tơ phương ur u u r II '.U = ( 1) đường thẳng d Để I’ đối xứng với I qua d điều kiện : (*) ( 2) H ∈ d ur u u r x + y −1 ; -Ta có : II ' = ( x − 2; y + 1) U = ( 1; ) H = ÷ ( x-2 ) + ( y + 1) = x+y = x = ⇔ ⇒ ↔ I ' = ( −3;3) - Điều kiện (*) ⇔ x + y − x − y + = y = −1 2 ÷− ÷+ = - Vậy (C’): ( x + 3) + ( y − 3) = 2 Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 10 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Bài tốn : Cho hình H điểm M thay đổi đường (C ) ( thuộc H ) Tìm quỹ tích điểm N M thay đổi Cách giải : • Bước 1: Tìm điểm I cố định cho I trung điểm MN • Bước 2: Dựa vào tính chất phép đối xứng tâm I ta suy quỹ tích N Ví dụ ( tốn 2-tr17-HH11NC) Cho đường trònr(O;R) u điểm A,B cố định Với điểm M , ta xác định điểm hai uuu uu u r uu ur u M’ cho MM ' = MA + MB Tìm quỹ tích điểm M’ điểm M chạy (O;R) Giải -u uGọiu trung điểm u u Theo tính chất véc tơ trung tuyến : I uu AB u u ur u r u ur u ur u ur MA + MB = 2MI , suy : MM ' = MI Có nghĩa I trung điểm MM’ - Ví A,B cố định , I cố định Do DI : M → M ' Nhưng M chạy (O;R) M’ ảnh M qua phép đối xứng tâm I chạy đường tròn ảnh (O;R) - Cách xác định (O’;R) sau : Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO Sau lấy O’ làm tâm , quay đường trịn có bán kính R Ví dụ ( Bài 17-tr19-HH11NC) Cho hai điểm B,C cố định đường tròn (O;R)và điểm A thay đổi tren đường trịn Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh trực tâm H tam giác ABC nằm đường trịn cố định ( Hay : tìm quỹ tích H A thay đổi ) Giải - Vẽ hình theo giả thiết cho Nối đường kính AM , tìm vị trí H Ta thấy CH ∟AB MB∟AB suy CH//BM Tương tự BH//MC tứ giác BHCM hình bình hành , đoa hai đường chéo BC MH cắt trung điểm I BC - Do B,C cố định I cố định Vậy H ảnh M qua phép đối xứng tâm I Mặt khác M chạy (O;R) H chạy đường tròn (O’;R) ảnh (O;R) qua phép đối xứng tâm I Ví dụ ( Bài 34-tr10-BTHH11NC) Cho đường thẳng a điểm G không nằm a Với điểm A nằm a ta dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích hai điểm B C A chạy a? Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ tính chất tam giác ta thấy góc ∠AGC = ∠AGB = 1200 Như phép quay tâm G với góc quay ϕ = 1200 bién A thành C biến A thành B Nhưng A chạy d B C chạy đường thẳng d’ ảnh d qua phép quay ϕ = 1200 Ví dụ ( Bài 35-tr10-BTHH11NC) Cho đường tròn (O) tam giác ABC Một điểm M thay đổi (O) Gọi M điểm đối xứng với M qua A, M điểm đối xứng với M qua B M điểm đối xứng với M qua C Tìm quỹ tích điểm M ? Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ ta có : Do M , M đối xứng qua B BM = BM ( 1) Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 14 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH - Vì M M đối xứng qua C : CM = CM (2) Từ (1) (2) chứng tỏ BC đường trung bình tam giác M 1M M , có nghĩa BC// M 1M (3) - Gọi D trung điểm M M AD đường trung bình tam giác MM 1M ⇒ AD / / M 1M (4) Từ (3) (4) suy AD//BC tứ giác ABCD hình bình hành Có nghĩa D cố định Như : DD : M → M Mà M chạy (O) M Chạy đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép đối xứng tâm D BÀI TỐN 2: DỰNG HÌNH Hãy tham khảo vài ví dụ sau Ví dụ ( Bài tốn 3-tr17-HH11NC) Cho hai đường trịn (O;R) (O’;R’) cắt hai điểm B,C Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt (O;R) (O’;R’) M N cho A trung điểm MN Giải - Giả sử đường thẳng d dựng xong , A trung điểm MN N ảnh M qua phép đối xứng tâm A N phải nằm đường tròn (O’’) ảnh đường trịn (O;R) ( M chạy (O) ) Mặt khác N lại thuộc (O’;R’) N giao (O’’) với (O’;R’) Từ suy cách dựng +/ Dựng đường trịn (O’’) ảnh đường tròn (O) : Nối OA , đặt OA=O’’A +/ Đường tròn (O’’) cắt đường tròn (O’) N Nối NA cắt (O) M - Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình số giao điểm (O’’) cắt (O’) Ví dụ ( Bài 18-tr19-HH11NC) Cho đường trịn (O;R) , đường thẳng d điểm I Tìm điểm A (O;R) điểm B d cho I trung điểm đoạn thẳng AB Giải - Vẽ hình Do I trung điểm AB B ảnh A qua phép đối xứng tâm I Mặt khác A chạy (O;R) B chạy đường trịn (O’’) ảnh (O) qua phép đối xứng tâm I Nhưng B lại nằm d B giao d với (O’’) -Từ suy cách tìm Nối IO đặt IO=IO’’ , sau dựng đường trịn (O’’) bán kính R , cắt d B Nối BI cắt (O;R) A - Giới hạn quỹ tích : Số nghiệm hình số giao điểm (O’’) với d BÀI TOÁN 3: BÀI TỐN CHỨNG MINH Để làm dạng tốn chứng minh ta cần phải kiến thức phép đối xứng tâm phép quay Đồng thời phải nhớ lại kiến thức tam giác , tứ giác : Hình bình hành , hình vng , hình chữ nhật Ví dụ ( Bài tốn 1-tr17-HH11NC) Cho hai tam giác OAB OA’B’ Gọi C D trung điểm đoạn thẳng AA’ BB’ Chứng minh OCD tam giác ? Giải Xét phép quay tâm O với góc quay góc lượng giác ( OA,OB)= 600 Rõ ràng A biến thành B A’ biến thành B’ , phép quay biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ Từ suy phép quay biến C thành D , OC=OD Vì góc quay 600 tam giác cân OCD tam giác Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 15 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Ví dụ ( Bài 43-tr11-BTHH11NC)Về phía ngồi tam giác ABC vẽ hình vng BCMN ACPQ có tâm O O’ a/ Chứng minh cố định hai điểm A,B cho C thay đổi đường thẳng NQ ln qua điểm cố định b/ Gọi I trung điểm AB Chứng minh IOO’ tam giác vuông cân Giải a/ Vẽ hình theo giả thiết cho Từ hình vẽ , giải cho học sinh toán phụ : Cho hai điểm A,B cố dịnh , với điểm M với hai phép quay tâm A , tâm B có góc quay phép hợp hai phép quay phép đối xứng mà tâm đối xứng đỉnh gốc vng tam giác vng cân OAB ( O tâm đối xứng ) - Như : QA : C → N QB : C → Q ⇒ NQ qua tâm đối xứng H xác định cách dựng tam giác vuông cân HAB b/ Tương tự : QO : C → B ; QO ' : C → A ⇒ AB qua tâm đối xứng I xác định tam giác vuông cân OO’I ( với I đỉnh góc vng ) Như tam giác O’OI tam giác vng cân BÀI TỐN 4: TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH BẰNG PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM CÁCH GIẢI Sử dụng định nghĩa , tính chất phép quay phép đối xứng tâm với biểu thức tọa độ chúng Ví dụ ( Bài 1-tr15-HH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1;3) đường thẳng d có phương trình : x-2y+3=0 Tìm ảnh A d qua phép đối xứng tâm O Giải - Gọi A’(x;y) ảnh A qua phép đối xứng tâm O(0;0) Theo cơng thức tọa độ phép đối xứng ta có : x ' = − x x = −x ' x ' = ⇔ ⇔ ⇒ A ' = ( 1; −3) y' = 0− y y = − y ' y ' = −3 - Tương tự Gọi M(x;y) điểm thuộc d M’(x’;y’) điểm thuộc d’ ảnh d qua phép đối xứng tâm O Theo công thức tọa độ phép đối x ' = − x x = −x ' ⇔ ⇒ ( − x ') − ( − y ') + = ⇔ x '− y '− = Do d’ có y' = 0− y y = −y' xứng ta có : phương trình : x-2y-3=0 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R) : x + y + 2x − y + = (E) : x2 y + = điểm I(1;2) Tìm ảnh (O;R) (E’) qua phép đối xứng tâm I Giải Gọi M(x;y) điểm thuộc (O;R) (E) Từ cơng thức chuyển trục ta có : ( − x ' ) + ( − y ' ) + ( − x ' ) − ( − y ' ) + = x ' = 2.1 − x x = − x ' ⇒ ⇒ 2− x' ) + ( − y ') = y ' = 2.2 − y y = − y ' ( Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 16 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH x + y − 6x − y + = ⇔ ( − x) ( − y) + =1 *Chú ý : (O;R) : ( x + 1) + ( y − 3) = ⇔ J (−1;6), R = Ta tìm J’(x;y) ảnh J qua phép đối xứng tâm I(1;2) công thức chuyển 2 x ' = − (−1) x ' = ⇔ ⇒ J ' = ( 3;1) y ' = − (3) y' =1 trục tọa độ : Do (O’) : ( x − 3) + ( y − 1) = ảnh (O;R) qua phép đối xứng tâm I Ví dụ 3.( Bài 1.13-BTHH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x-2y+2=0 d’: x-2y-8=0 Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ biến trục Ox thành Giải Để thỏa mãn u cầu tốn ta làm sau : - Gọi M(x’y) thuộc d , M’(x’;y’) thuộc d’ Giả sử tâm đối xứng I(a;b) , theo 2 x ' = 2a − x ⇒ ( 2a − x ) − ( 2b − y ) − = ⇔ x − y + 4b − 2a + = y ' = 2b − y công thức chuyển trục : - Để trục Ox thành tâm đối xứng phải có dạng : I(a;0) tức b=0 4b − 2a + = a = ⇔ ⇒ I = ( 3;0 ) b = b = - Từ hai kết ta có : Ví dụ ( Bài 1.14 –tr-21-BTHH11CB) Cho ba điểm không thẳng hàng I,J,K Hãy dựng tam giác ABC nhận I,J,K trung điểm cạnh BC,CA,AB Giải - Phân tích : Giả sử tam giác ABC dựng xong thỏa mãn điều kiện đầu Vì I,J,K trung diểm Ị đường trung bình suy Ị=KB , tương tự KJ=IC Từ suy cách dựng : +/ Tìm điểm P ảnh J qua phép đối xứng tâm I +/ Kẻ Px //KJ đặt PQ=KJ Từ Q kẻ Qy //Ị đặt QC=IP +/ Tìm B đối xứng với C qua I A đối xứng với B qua K Như vậ tam giác ABC dựng xong * Chú ý : Ngoài cách ta cịn có cách khác sau +/ Lấy điểm N Tìm điểm M đối xứng với N qua I , P đối xứng với N qua J Q đối xứngu u u uK ( u u hình ) với P r ur Vẽ qua u u ur u u ur +/ Từ suy : CM = − BN = AP = −CQ Do C trung điểm MQ Từ suy cách dựng Ví dụ ( Bài 1-tr19-HH11NC) Cho hình vng ABCD a/ Tìm ảnh điểm C qua phép quay tâm A góc quay 900 b/ Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay 900 Giải a/ Từ hình vẽ ta thấy ảnh C qua phép quay tâm A góc 900 C’ C’’ cho tam giác ACC’ ACC’’ tam giác vuông cân Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 17 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH b/ Ta nhận thấy ảnh C qua phép quay tâm O góc quay 900 B D Còn ảnh B qua phép quay tâm O góc quay 900 A C , ảnh BC AB DC Ví dụ ( Bài 2-tr19-HH11-NC) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (2;0) đường thẳng d : x+y-2=0 Tìm ảnh điểm A d qua phép quay tâm O góc quay 900 Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ ta thấy A thuộc d Ảnh A qua phép quay tâm O góc quay 900 Là B(0;-2) B’(0;2) Điểm B’ có ảnh qua phép quay A(2;0) A’(-2;0) - Vì B’ A nằm d ảnh d qua phép quay (AB) (A’B’) có phưng trình : x y − = ⇔ x − y − = 0; 2 −x y + =1⇔ x − y + = 2 PHÉP VỊ TỰ I ĐỊNH NGHĨA Cho u uu Ou ur số k ≠ Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ điểm uu r uu cho OM ' = kOM gọi phép vị tự tâm , tỉ số vị tự k V M ⇔ M = V ( M ') Ký hiệu : V(O ,k ) : M → M ' , hay : M’= ( O ,k ) ( ) O, ÷ k II TÍNH CHẤT -uTính chấtr1 Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ : uuu u ur uu uu M ' N ' = k MN - Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k : a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm b/ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng âý , biến tia thành tia , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c/ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với , biến góc thành góc d/ Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính III TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN Định lý : Với hai đường trịn ln có phép vị tự biến đường trịn thành đường tròn ngược lại Tâm phép vị tự gọi tâm vị tự hai đường trịn Cách tìm tâm vị tự hai đường trịn • Trường hợp : I trùng với I’ Khi phép vị tự tâm I tỉ số R’/Rvà phép vị tự tâm I tỉ số -R’/R biến đường trịn (I;R) thành đường trịn (I;R’) • Trường hợp I ≠ I '; R ≠ R ' Trên (O;R) lấy diểm M , (O’;R’) lấy điểm M’ cho IM//I’M’ I’M’’//IM Hai đường thẳng MM’ MM’’ cắt đường thẳng nối hai tâm II’ hai điểm O O’ Khi O nằm ngồi II’ gọi tâm vị tự ngồi , cịn O’ nằm đoạn II’ gọi tâm vị tự • Trường hợp I khác I’ R=R’ Khi MM’//II’ nên có phép vị tự tâm O’ với k=-1 Đó phép đối xứng IV CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP BÀI TỐN : TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP VỊ TỰ Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 18 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Sử dụng định nghĩa tính chất phép vị tự Từ định nghía tâm vị tự I(a;b) , điểm M(x;y) điểm M’(x’;y’) ta có : uu u u u u x '− a = k ( x − a ) r ur x ' = k ( x − a ) + a ⇔ IM ' = k IM ⇔ ⇒ (*) y '− b = k ( y − b ) y ' = k ( y − b) + b Chính biểu thức tọa độ phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y-6=0 Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số vị tự k=-2 ? Giải Gọi M(x;y) thuộc d ,M’(x’;y’) điểm bát kỳ thuộc d’ theo biểu thức tọa độ phép vị tự ta có : x '− x '− x = −2 + = −2 x '− = −2 ( x − 1) ⇒ y '− = −2 ( y − ) y = y '− + = y '− −2 −2 x '− y '− Thay vào phương trình đường thẳng d: ÷+ ÷− = ⇔ 3x '+ y '− = −2 −2 Do d’: 3x+2y-9=0 Ví dụ ( Bài 1.23-tr33-BTHH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y-4=0 a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k=3 b/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’’ ảnh d qua phép vị tự tâm I (-1;2) tỉ số vị tự k=-2 Giải x' x = x '− = ( x − ) x' y' ⇔ ⇒ ÷+ ÷− = ⇔ x '+ y '− 12 = a/ Từ công thức tọa độ : 3 3 y '− = ( y − ) y = y' Do đường thẳng d’: 2x+y-12=0 b/ Tương tự : x '+ x '+ x = −2 − = −2 x '+ = −2 ( x + 1) x '+ y '− ⇔ ⇒ 2 ÷+ ÷− = ⇔ 2x '+ y '+ = −2 −2 y '− = −2 ( y − ) y = y '− + = y '− −2 −2 Do đường thẳng d’’: 2x+y+8=0 Ví dụ ( Bài 1.24-tr33-BTHH11-CB) 2 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ): ( x − 3) + ( y + 1) = Hãy viết phương trình đường trịn (C’) ảnh đường trịn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2 Giải Đường trịn (C ) có tâm O(3;-1) bán kính R=3 Gọi O’ (x’;y’) tâm (C’) ,R’ bán kính (C’) Ta có tọa độ O’ thỏa mãn biểu thực tọa độ phép vị tự : Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 19 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH x '− x '− x = −2 + = −2 x '− = −2 ( x − 1) 2 y '− y '− x '− y '− ⇔ y '− = −2 ( y − ) ⇔ y = +2= ⇒ − 3÷ + + 1÷ = −2 −2 −2 −2 R' =2 R ' = 2.3 = R ⇔ ( x '+ 3) + ( y '− ) = 36 Vậy (C’) : ⇔ ( x + 3) + ( y − ) = 36 2 2 BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐẺ GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC Để xác định điểm M ta xem ảnh điểm A biết qua phép vị tự , xem M giao của đường cố định với ảnh đường biết qua phép vị tự Ví dụ Cho tam giác ABC có hai góc B,C nhọn Dựng hình chữ nhật DEEG có EF=2DE với hai đỉnh D,E nằm BC hai đỉnh F,G nẵm hai cạnh AC AB Giải - Vẽ hình ( thỏa mãn yêu cầu tốn ) * Phân tích : + Giả sử hình chữ nhật dựng xong , AB lấy điểm G’ , dựng hình chữ nhật G’F’E’F’ có E’F’=2D’E’ hai đỉnh D’,E’ thuộc BC , nối BF’ cắt AC F , ta có : BG GD 2GF GF = = = Chứng tỏ B,F’F thẳng hàng Ta có BG ' GD ' 2G ' F ' G ' F ' thể xem hình chữ nhật DEFG ảnh hình chữ nhật D’E’F’G’ qua phép vị tự tâm B tỉ số vị tự : BG = k Từ suy cách dựng BG ' * Cách dựng : - Lấy điểm G’ tùy ý AB , sau dựng hình chữ nhật G’F’E’D’ có E’F’=2 D’E’, hai đỉnh D’E’ nẵm BC - Nối BF’ cắt AC F , đường thẳng qua F song song với BC cắt AB G Gọi D E hình chiếu G F BC Thì hình chữ nhật DEFG hình chữ nhật cần dựng * Chứng minh : Thật : Vì GF //G’F’ , GD//G’D’ nên : GF BG GD = = Từ suy : G ' F ' BG ' G ' D ' GD G ' D ' = = Như hình chữ nhật dựng thỏa mãn yêu cầu toán GF G ' F ' Ví dụ ( Bài 1.25-tr33-BTHH11CB) Cho nửa đường trịn đường kính AB Hãy dựng hình vng có hai đỉnh nằm nửa đường trịn , hai đỉnh cịn lại nằm đường kính AB nửa đường trịn Giải Vẽ hình , từ hình vẽ ta có bước sau * Phân tích Giả sử hình vng MNPQ dựng xong thỏa mãn yêu cầu toán ( với M,N nẵm AB , P,Q nằm nửa đường tròn ).Gọi O trung điểm AB Nối OQ OP, dựng hình vng M’N’P’Q’ cho M’,N’ nằm AB O trung điểm M’N’ Khi ta có : Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 20 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH OQ OP PQ ⇔ = = = k Ta xem MNPQ ảnh M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm OQ ' OP ' P ' Q ' PQ O tỉ số k= P ' Q ' Từ suy : * Cách dựng - Dựng hình vng M’N’P’Q’ ( có M’N’ thuộc AB O trung điểm M’N’ ) - Nối OP’ OQ’ chúng cắt (O,AB) P Q - Hình chiếu P Q AB N M Khi MNPQ hình vng cần dựng * Chứng minh : Do M’N’P’Q’ hình vng , M’N’//AB Tam giác OM’N’ PQ OP OQ PN QM đồng dạng với tam giác OPQ suy : P ' Q ' = OP ' = OQ ' = k = P ' N ' = Q ' M ' Ví dụ ( Bài 1.26-tr33-BTHH11CB) Cho góc nhọn Oxy điểm C nằm góc Tìm Oy điểm A cho khoảng cách từ A đến trục Ox = AC Giải - Vẽ hình Căn vào hình vẽ ta có phân tích sau * Phân tích : Gọi B hình chiếu A Ox theo đầu tam giác ABC tam giác cân đỉnh A ( AB=AC ) Giả sử tam giác A’B’C tam giác cân đỉnh A’ có A’B’ vng góc với Ox Dễ dàng nhận thấy hai tam giác đồng dạng ta có : AC OC AB = =k= Ta coi tam giác ABC ảnh tam giác A’B’C’ qua phép vị A ' C ' OC ' A' B ' tự tâm OP tỉ số vị tự k Từ suy cách dựng : * Cách dựng : - Nối OC , sau Oy lấy điểm A’ , tìm B’ hình chiếu A’ Ox ( kẻ A’B’ vng góc với Ox) - Dùng com pa lấy A’ làm tâm , quay cung trịn có bán kính A’B’ cắt OC C’ - Từ C kẻ hai đường thẳng song song với hai cạnh A’C’ C’B’ chúng cắt hai cạnh Oy Ox A B Tam giác ABC tam giác cần tìm * Chứng minh : Giống cách phân tích Ví dụ ( Bài tập O.11-tr76-BTHH10 –T6-2000) Cho tam giác nhọn ABC Hãy dựng hình vng MNPQ cho M,N nằm cạnh BC , P,Q nằm hai cạnh lại tam giác Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ ta có cách phân tích : Gọi hình vng M’N’P’Q’ có cạnh M’N’ thuộc BC M’N’=N’P’=P’Q’=Q’M’ a cố định Nếu ta coi hình vng MNPQ ảnh phép vị tự tâm B với PQ PM PQ P 'Q ' tỉ số vị tự : P ' Q ' = P ' N ' ⇔ PM = P ' N ' = ⇒ PQ = PM Suy cách dựng - Trên AB lấy điểm Q’ , kẻ đường thẳng qua Q’ vng góc với BC cắt BC M’ Sau đặt M’N’=A’M’ , dựng hình vng M’N’P’Q’ - Nối BP’ cắt AC P , kẻ hai đường thẳng qua P // với N’P’ M’N’ chúng cắt BC AB N Q Cuối kẻ qua Q đường thẳng vng góc với BC cắt BC M ta hình vng MNPQ cần dựng * Chú ý : Ta cịn có cách khác Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 21 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH - Dựng hình vng BCM’N’ nằm ngồi tam giác ABC Gọi B’C’ giao AB AC với M’N’ Như phép vị tự tâm A tỉ số vị tự : k= AB biến tam giác AB ' AB’C’ thành tam giác ABC , Cho nên biến hình vng BCPQ thành hình vng MNPQ cần tìm Vì ta cần kẻ qua B’ C’ hai đường thẳng vng góc với BC chúng cắt cạnh Ac AB điểm P Q , cắt BC N M Hình vng MNPQ tìm Ví dụ Gọi A giao hai đường đường tròn cắt O O’ Hãy dựng qua A đường thẳng cắt hai đường tròn B C cho AC=2AB Giải Vẽ hình minh họa Từ ur vẽur có phân tích sau hình u u ta uu - Từ giả thiết , ta có : AC = −2 AB ⇒ VA−2 : B → C Như phép vị tự tâm A biến B thành C Từ ta có cách dựng : - Dựng đường trịn ảnh đường tròn (O) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2 Giao đường tròn ảnh với đường trịn (O’) C Đường thẳng AC đường thẳng d cần dựng - Chứng minh : Do C ảnh B qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2 AC=2AB Ví dụ Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi với A( có bán kính khác ) Một điểm M nằm đường tròn (O) Dựng đường tròn qua M tiếp xúc với O O’ Giải - Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ có phân tích - Gọi S tâm vị tự (O) (O’) ,N ảnh M qua phép vị tự tâm S M’ giao điểm thứ hai AN với (O’) , Gọi O’’ giao OM với O’M’ ( Chú ý : OM//O’N ) ta có : O '' M O '' M ' = ( O ' N = O ' M ') nên O’’M=O’’M’ Chứng tỏ (O’’) tiếp O'N M 'O ' xúc với (O) (O’) M M’ - Cách dựng : Tìm tâm S ( kẻ tiếp tuyến chung O O’ cắt OO’ S Nối SA cắt (O’) N M’ O’ giao OM với O’M’ BÀI TOÁN 3: QUỸ TÍCH ĐIỂM Để giải tốn quỹ tích điểm M điểm A thay đổi đường (C ) cho sẵn Trước hết ta cần phải làm số việc sau Trong hình H cho , ta tìm điểm A thay đổi đường (C ) cho sẵn ( đường trịn , đường thẳng ) cho AM nằm đường thẳng qua điểm cố định I Gán cho A M với I hai tam giác dồng dạng , từ tìm tỉ số không đối k uu ur ur u Viết đẳng thức véc tơ : IM = k IA để kết luận M ảnh A qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự k Nếu A chạy (C ) M chạy (C’) ảnh (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k Nêu cách dựng (C’) Ví dụ ( Bài 29-tr29-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) điểm I cố định khác O Một điểm M thay đổi đường trịn Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹ tích điểm N Giải Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 22 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH - Vẽ hình Từ hình vẽ tính chất đường phân giác chia cạnh đối diẹn làm hai doạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai cạnh Ta có kết sau : * Do O,I cố định OI=a không đổi Gọi N chân đường phân giác góc NI OI a NI a a = = ⇔ = ⇔ IN = IM NM OM R NM + NI a + R a+R ur u ur a a uu IM ⇒ IN = IM Hay : ⇔ IN = a+R a+R Vì I cố định V( I ,k ) : M → N Nhưng M chạy đường tròn (O;R) N MOI ( N thuộc IM) , từ ta có : chạy đường tròn (C’) ảnh (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k * Cách xác định (O’;R’) u ur sau u ur u - Nối OI , tìm O’ cho : IO ' = kOI , từ suy O’ - Bán kính R’ xác định công thức : k= R’/R suy : R’=kR ( Hoặc : lấy O’ làm tâm quay đường trịn có bán kính O’N ) Ví dụ ( Bài ƠN chương I-tr35-HH11-NC) Cho đường trịn (O) có đường kính AB Gọi C điểm đối xứng với A qua B PQ đường kính thay đổi (O)khác với đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA ,PB M N a/ Chứng minh Q trung điểm CM , N trung điểm CQ b/ Tìm quỹ tích điểm M,N đường kính PQ thay đổi Giải a Vẽ hình Từ hình xẽ ta thấy : Nối AQ, BQ , C đối xứng với A qua B ta có B trung điểm AC : BA=BC (1) Mặt khác BQ vng góc với AQ ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) PA vng góc với AQ ( góc nội tiếp chắn ½ đường trịn ) suy PA // BQ BQ đường trung bình tam giác ACM , nghĩa Q trung điểm CM - Tương tự BN đường trung bình tam giác ACQ N trung điểm CQ : NC=NQ (2) b/ Từ u ur (2) ta có đẳng thức véc tơ : (1) u u uu ur ( 1) ⇔ CM = 2CQ ⇒ V( C ;2) : Q → M Cho nên M chạy đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép vị tự tâm C , tỉ số vị tự uu ur ( ) ⇔ CN = ur uu CQ ⇒ V : Q → N Vậy N chạy đường tròn (O’’) ảnh (O) qua C ÷ 2 phép vị tự tâm C tỉ số k=1/2 - Hướng dẫn học sinh cách xác định hai tâm O’ O’’ Ví dụ ( Bài 9-tr35-HH11NC) Cho đường trịn (O;R) điểm A cố định Một dây cung thay đổir (O;R) có độ dài uu uu uu r ur ur u m khơng đổi Tìm quỹ tích điểm G cho GA + GB + GC = Giảỉ * Vẽ hình cho học sinh Từ hình vẽ lấy I trung điểm BC , nối OI ( OI vng góc với BC ) A điẻm cố định ( nằm (O) hay khơng cần nằm (O) Do B,O cố định , góc OIB vuông BC thay đổi I chạy đường trịn tâm O bán kính R’= Biên soạn : Nguyễn Viet Hung R2 − m2 ( Xét tam giác vuông BOI ) Trang 23 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH * Từ giả thiết G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất trọng tâm tam u u ur ur u AG = ⇔ AG = AI ⇒ V : I → G Do : G chạy đường trịn (O’) giác ta có : AI 3 A; ÷ 3 ảnh đường trịn (O;R’) qua phép vị tự tâm A ,tỉ số vị tự 2/3 Ví dụ ( Bài tốn 6-tr39-HH11CB) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)bán kính R , dỉnh B,C cố định cịn A thay đổi (O) Chứng minh trọng tâm G tam giác ABC chạy đường tròn Giải - Vẽ hình , Gọi I trung điểm BC , I cố định B,C cố định Theo tính chất ur u u ur trọng tâm : IG = IA ⇔ IG = IA ⇒ VI3 : A → G Nhưng A chạy (O) G chạy (O’) ảnh (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số 1/3 ur u u u ur IO ' = IO ⇒ O '; R ÷ - Xác định (o’;R’) hệ : R ' = R Ví dụ Cho hai đường tròn (O;R) (O’;3R) tiếp xúc với A Nếu O biến thành O’ phép vị tự tâm A tỉ số vị tự ? Giải - Vẽ hìnhu Từugiả thiết : AO’=R’, AO=R suy AO’=3AO u ur u ur u Hay : AO ' = 3OA ⇒ VA3 : O → O ' Do tỉ số vị tự k=3 Ví dụ Cho đường tròn O điểm P cố định (O) Từ P kẻ tiếp tuyến thay đổi PBC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC ? Giải Vẽ hình Gọi I trung điểm BC theo tính chất đường kính qua điểm dây cung : OI vng góc với BC Như I nằm đường trịn đường kính OP Mặt khác theo tính chất trọng tâm , G nằm AI cách A khoảng u u ur ur u 2/3 AI , hay : AG = AI ⇒ VA3 : I → G Nhưng I chạy đường trịn đường kính OP G chạy đường tròn (O’) ảnh đường tròn đường kính OP qua phép vị tự tâm A tỉ số 2/3 uu ur u ur u u AO ' = AH - Cách xác định O’ hệ : ( Với H trung điểm OP ) R ' = OP = OP 3 Ví dụ Cho đường tròn (O;R) điểm I cố định với OI=2R M điểm di động O , phân giác góc IOM cắt IM M’ Tìm quỹ tích điểm M’ M chạy đường trịn O Giải - Vẽ hình Theo tính chất đường phân giác : uu uu uu r ur M 'I OI 2R IM ' 2 IM ' 2 = = =2⇒ = = ⇔ = → IM ' = IM ⇔ IM ' = IM MM ' OM R IM '+ M ' M + IM 3 Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 24 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Vậy : Qua phép vị tự tâm I tỉ số 2/3 biến điểm M thành điểm M’ , M chạy đường tròn (O;R) M’ chạy (O’;R’) ảnh (O;R) qua phép vị tự tâm I ur u u u ur IO ' = IO - Để xác định (O’;R’) : R ' = R Ví dụ Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc với A , đường kính kẻ từ A cắt (O) ,(O’) theo thứ tự B,C Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O);(O’) M,N Tìm quỹ tích giao điểm T BN CM , d thay đổi ? Giải Vẽ hình minh họa Căn hình vẽ , ta có phân tích : BM CN vng góc với đường thẳng d , suy BM//CN (1) Hai tam giác OCN đồng dạng với tam giác OBM : TN CN CA 2R ' R ' TN + TB R '+ R BN R '+ R R = = = = ⇒ = ⇔ = = k ↔ BT = BN TB BM CB 2R R BT R BT R R '+ R R uu ur ur R uu BT = BN ⇒ VBR + R ' : N → T Nhưng N chạy (O’;R’) T chạy Hay : R+ R' R đường tròn ảnh (O’) qua phép vị tự tâm B tỉ số k = R + R' ( HD học sinh cách tìm giới hạn quỹ tích ) Ví dụ ( Bài 73-tr17- Ôn CI-BTHH11-NC) Cho điểm P nằm đường tròn (O) Một đườnguthẳngu u uđổi qua P , cắt (O) thay u ur u r ur u u hai điểm A,B Tìm quỹ tích điểm M cho PM = PA + PB Giải Vẽ hình minh họa choi học sinh Căn hình vẽ ta có phân tích : - Gọi I trung điểm AB Theo tính chất trung điểm dây cung OI vng góc với AB , có nghĩa I chạy đườngur uđường kính OP (1) tròn u ur u u u uu u u u r ur - Theo quy tắc véc tơ trung tuyến ta có : PM = PA + PB = 2MI ⇒ Mur ur d phải nằm u u u u I,P nằm d Ví : PM=2MI=2(PM-PI) suy PM=2PI hay : PM = PI ⇒ VP2 : I → M Vậy phép vị tự tâm P biến điểm I thành thành M Nhưng I lại chạy (O;OP) M phải chạy đường tròn ảnh (O) qua phép vị tự tâm P tỉ số k=2 Ví dụ 10 Cho đường trịn (O) điểm P ngồi O M điểm thay đổi O H hình chiếu vng góc của O PM a/ Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác POM ? b/ Tìm quỹ tích điểm H trung điểm I PH ? c/ Tìm quỹ tích trọng tâm K tam giác OPH ? Giải Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ hình vẽ phân tích cho HS biết : -Vì H hình chiếu O PM OH vng góc với PM , H nằm đường trịn O’ có đường kính OP Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 25 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH - Gọi J trung điểm PO ( J tâm đường trịn O’) G phải nằm MJ theo uu u u u r ur tính chất trọng tâm : JG = JM ⇒ VJ3 : M → G Nhưng M lại chạy đường tròn O G chạy đường tròn O’’ ảnh O qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 ur u u u ur - Vì I trung điểm PH PI=1/2PH hay : PI = PH ⇒ VP2 : H → I Nhưng H OP lại chạy tâm J bán kính , I chạy đường tròn ảnh đường tròn tâm J qua phép vị tự tâm P tỉ số k= ½ - Trọng tâm K tam giác OPH phải nằm JH theo tính chất trọng tâm , ta có : uu u u ur ur JK = JH ⇒ VJ3 : H → K Do K chạy đường tròn ảnh đường trịn tâm J bán OP kính qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 Ví dụ 11 Cho đường trịn O điểm A nằm O , M điểm di động đường trịn O a/ Tìm quỹ tích trung điểm I AM ? b/ Đường trung trực AM cắt đường tròn O P P’ Tìm quỹ tích chân đường vng góc H kẻ từ O đến PP’ ? c/ Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APP’ ? Giải - Vẽ hình minh họa cho học sịnh Từ hình vẽ cho học sinh số kết : ur u uu u ur * Vì I trng điểm AM : AI = AM ⇒ VA2 : M → I Như qua phép vị tự tâm A tỉ số ½ biến M thành I , M chạy đường tròn O , I chạy đường tròn ảnh O qua phép vị tự tâm A tỉ số k=1/2 * Đường trung trực AM phải qua I vng góc với AM BÀI TỐN CHỨNG MINH Ta hay gặp tốn chứng minh đường thẳng qua điểm cố định , hay điểm nằm đường tròn cố định , hình vng …tóm lại hình H cố định Khi ta cần chứng minh đường thẳng qua tâm vị tự hai hình H H’ chứng minh M nằm đường trịn ảnh hình H qua phép vị tự tâm I tỉ số k Ví dụ Cho hai đường trịn (O ) ( O2 ) ngồi , đường trịn (O) thay đổi tiếp xúc với ( O1 ; R1 ) tiếp xúc với ( O2 ; R2 ) Chứng minh đường thẳng nối hai tiếp điểm qua điểm cố định Giải Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ hình vẽ , phân tích cho học sinh thấy : Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 26 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH * Gọi M,N thứ tự hai tiếp điểm (O) với hai đường tròn ( O1 ; R1 ) ; ( O2 ; R2 ) Thì uur u uu uu uur O1O ∩ O2O = O Kẻ O2 M '/ / O1M Thì ta có O1M ⇑ O2 M ' MM’ qua tâm vị tự O2 M ' O2 N R ' hai đường trịn Do : O M = O M = R = k 1 O2 NM ' suy : * Hai tam giác : ONM đồng dạng với ON OM ON ON = ⇒ = = ⇒ ON = OM Vậy MN qua tâm vị tự cố định O2 N O2 M ' OM O2 M ' hai đường tròn : ( O1 ; R1 ) ; ( O2 ; R2 ) Ví dụ Cho hai đường trịn O O’ tiếp xúc ngồi với A Một góc vng xAy quay xung quanh A , tia Ax cắt O M , tia Ay cắt O M’ Chứng minh đường thẳng MM’ qua điểm cố định Giải u uu uu r u ur uu Nối MM’ cắt O’ N ta thấy : O ' N songu u ucùng u ur u u urAM Tương tự A’ song u u chiều với u uuu u r ur uu uu giaocủa OO’ với với O’ ta thấy : A ' M ' / / AM ⇒ OM / /O ' M ' Suy MM’ qua tâm vị tự hai đường trịn Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC với trọng tâm G Gọi A’,B’,C’ trung điểm cạnh BC,CA,AB a/ Phép vị tự biến A thành A’,B thành B’ C thành C’ ? b/ Chứng minh tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trực tâm tam giác A’B’C’ uu ur ur uu c/ Gọi H trực tâm tam giác ABC , chứng minh : GO = − GH Suy G,O,H nằm đường thẳng ( Đường thẳng Ơ-le ) Giải a/ Theo tính chất trọng tâm tam giác : 1 uu ur ur uu ur ur uu uu r ur − − − uu uu uu 2 GA ' = − GA ⇒ VG : A → A '; GA ' = − GA ⇒ VG : A → A '; GB ' = − GB ⇒ VG : B → B ' 2 u ur uu uu ur − GC ' = − GC ⇒ VG : C → C ' Như phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 biến ba điểm A,B,C thành ba điểm A’,B,C’ b/ Vì O giao ba đường trung trực , OB’ ∟AC , AC//A’C’ OB’∟A’C’ Chứng tỏ OB’ đường cao tam giác A’B’C’ Tương tự OA’ OC’ O trực tâm tam giác A’B’C’ c/ Do tam giác A’B’C’ ảnh tam giác ABC qua phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 cho uu ur ur uu nên H biến thành O : GO = − GH BÀI TỐN TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM – MỘT ĐƯỜNG QUA PHÉP VỊ TỰ * Sử dụng đẳng thức véc tơ phép vị tự tính chất hai véc tơ , ta tìm kết 2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (O) : ( x − 1) + ( y − 1) = Tìm phương trình đường trịn (O’) ảnh (O) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2 Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 27 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Giải Tâm I (O) có tọa độ I(1;1) bán kính R=2 Nếu (O’) có tâm J bán kính R’ ảnh (O) qua phép vị tự tâm O ta có đẳng thức véc tơ : ur u ur u x '− = 2.1 x ' = OJ = 2OI ⇔ ⇒ ↔ J ( 2; ) R’=2R=2.2=4 y '− = 2.1 y ' = 2 Vậy (O’) : ( x − ) + ( y − ) = 16 Ví dụ ( Bài 1.23-BTHH11-CB-tr33) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x+y-4=0 a/ Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3 b/ Viết phương trình đường thẳng d’’ ảnh d qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k=-2 Giải a/Gọi M(x;y) điểm thuộc d M’(x’;y’) ảnh M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3 Nếu M chạy d M’ chạy đường thảng d’ x' u uu u ur uu r u u x ' = 3x x = ⇒ Theo tính chất phép vị tự : OM ' = 3OM ⇔ y ' = 3y y = y ' x' y' Thay (x;y) vào d: ÷+ ÷− = ⇔ 2x '+ y '− 12 = Vậy d’: 2x+y-12=0 3 3 x '+ x '+ x = −2 ÷− = −2 uu uu r uu ur x '+ = −2 ( x + 1) ⇔ b/ Tương tự ta có : IM ' = −2 IM ⇔ y '− = −2 ( y − ) y = y '− + = y '− ÷ −2 −2 x '+ y '− Thay vào d : ÷+ ÷− = ⇔ 2x '+ y '+ = Do d’’: 2x+y+2=0 −2 −2 Ví dụ ( Bài 1.24-tr33-BTHH11) 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ): ( x − 3) + ( y + 1) = Hãy viết phương trình đường trịn (C’) ảnh đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2 Giải Gọi O(3;-1) tâm (C ) có bán kính R=3 Đường trịn (C’) có tâm J(x;y) bán kính R’ ảnh (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 Theo tính chất phép vị tự ta có : u r ur u x − = −2 ( − 1) x = −3 IJ = −2 IO ⇔ ⇔ ⇒ J = ( −3;8 ) R’=2R=2.3=6 y = y − = −2 ( −1 − ) Vậy (C’) : ( x + 3) + ( y − 8) = 36 2 Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 28 ... Biên soạn : Nguyễn Viet Hung Trang 15 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH Ví dụ ( Bài 43-tr 11- BTHH11NC)Về phía ngồi tam giác ABC vẽ hình vng BCMN ACPQ có tâm O O’ a/... GẶP TRONG PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH b/ Ta nhận thấy ảnh C qua phép quay tâm O góc quay 900 B D Còn ảnh B qua phép quay tâm O góc quay 900 A C , ảnh BC AB DC Ví dụ ( Bài 2-tr19-HH 11- NC) ... khơng đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM=OM? ?và góc (OM;OM’)= ϕ Được gọi phép quay tâm O góc quay ϕ Định lý : Phép quay phép dời hình Phép đối