EBOOK bài tập GIẢI sẵn GIẢI TÍCH i tóm tắt lý THUYẾT và CHỌN lọc NXB KHOA học và kỹ THUẬT hà nội

LỜI NÓI ĐẦU Sau khi bộ giáo trình GIẢI TÍCH 2 tập của tác giả do Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật ấn hành 1998 - 2000, nhiều độc giả đã dê nghị viết tiếp bộ Bài tập giải tích giải sẵn

‘TOM TAT LY THUYET VA CHON LOC

PHU CHUONG: CAC DE THI HOC KY LCAC NAM 2003 - 2007

1n lần thứ tư có sửa chữa và bở sung

L ley Tử

LÝ -07172 Bn

NHA XUAT BAN KHOA HOC VA KY THUAT

HÀ NỘI

LỜI NÓI ĐẦU

Sau khi bộ giáo trình GIẢI TÍCH (2 tập) của tác giả do Nhà xuất

bản Khoa học và Kỹ thuật ấn hành (1998 - 2000), nhiều độc giả đã dê nghị viết tiếp bộ Bài tập giải tích giải sẵn có phần tóm tắt lý thuyết như một Sổ tay toán học giải tích cho sinh viên kỹ thuật và kỹ sư, dựa

trên bộ giáo trình GIẢI TÍCH

Để đáp ứng yêu câu đó nhằm nâng cao chất lượng đào tạo trong

hiện tại và tương lai, tác giả dã soạn bộ bài tập này (Tập † (H): Giải

tích 1 (11, 1Ì), ứng với các nội dung học ở học kỳ 1 (H, 1H)

Phần bài tập tác giả đã chọn lọc các bài từ dé, trung bình đến khó, đại diện cho các loại tưởng ứng với các phần lý thuyết theo chương trình toán giải tích hiện tại Những bài khó có đánh dấu *

nhằm bồi dưỡng thêm cho sinh viên (nhất là các sinh viên khá, giỏi)

Cuối sách có phân phụ chương: Các đề thỉ Giải tích học ký ï các năm

2003 - 2007 của Đại học Bách khoa để sinh viên tham khảo

Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, nhất là PGS TS Duong Quốc Việt đã dọc rất kỹ bản thảo và cho nhiều ý kiến quý báu,

Vì sách mới xuất bản, không tránh khỏi những thiết sót, rất mong bạn đọc cho những ý kiến chỉ giáo

Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội tháng 5 nấm 2005

TÁC GIẢ

MUC LUC

LOI NOI DAU

Chương I SỐ THỰC - GIỚI HẠN CỦA DAY SỐ THỰC

§1 Khái niệm cơ bản

2.4 Các giới hạn và công thức tương đương thông dụng

2.5 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

Chuong 3 DAO HAM - VI PHAN - AP DUNG

§1 Dinh nghĩa - Tính chất - Quy tác tính

1.6 Dao ham va vi phân cấp cao

§3 Khao sat ham s6 y = f(x)

.1 Chiểu biến thiên

4.1 Hàm số cho theo tham số

4.2 Hàm số cho theo toa độ độc cực

§3 Tích phân các hàm vô tỷ và lượng giác

3.1 Dạng I= [R|x, axed |e cx+d (eth) lax cx+d

3.2 Dạng 1= [x(a+bx")'dx (vi phân nhị thức) 3.3 Dạng I= ÍRG,Va +bx +e)dx

2.2 Công thức Newton - Leibniz

4.2 Tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

4.3 Tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

BÀI TẬP

Chương 6 HẦM SỐ NHIÊU BIẾN

§1 Không gian vecteur n chiều R*

CHƯNG 1

SỐ THỤC - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Vx P(x) (với mọi x, P(x)) (mệnh đẻ khái quát)

3x P(x) (tồn tại hay có một x, P(x)) (mệnh đề tồn tại)

AoA (quy luật phủ đính của phủ định)

(A +B BC) > (A = C) (quy luật bác cầu)

A=B«B=A (quy luật phần đảo)

Vx P&}© 3x PẦ}

3x Pix Ux P(x}

} (quy luật đối ngẫu)

1.2 Tap hop: A, B,

x © A (xe A) (x thuộc Á (x không thuộc A))

x: phần tử của A

A CB (A bao ham trong B: x € A > x € B)

A=B (A bang B.A CB& BCA)

AUB (A hop Bi xe AUBSOxeAvxe B)

AOB({A giaoB:x EAN BOxe A&xX € B)

A\B (AtrtBi xe A& x € B)

At =X\A (phần bù của A), X: tập cố định

A=A,.A, A, (tap hop tích: (Xị, X;, , Xu) €E AS XK,

€ A,, xX, € Ax, ., X%, € A,) A: tich Decartes

f: song ánh (vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh)

1.5 Nhị thức Newton

nf} =1.2.3 0 (n giai thừa hay giai thừa n,n € N) A‘ = n(n - l)(n - 2) (a - k+ 1) (số chỉnh hợp không lập chập k của n phần tử, mỗi chinh hop khong lap chập k của n phần

từ là mỗi nhóm k phần tử lấy từ n phần tử đó sao cho các nhóm

đó khác nhau vì bản thân các phần tử hoặc vì thứ tự các phần tử

và mỗi phần tử có mặt không quá một lần trong mỗi nhóm đó)

2) Xi ek, XK, = 1 DS KL +X,t xen

X,>0,1=1,2, ,n 3) 5.2"? + 31"! chia hết cho 19

Giả sử điều khẳng định đúng với n =k

XẾI X,, X;, ., Kar Xap PO VAR, Xe XE Xe = be

Có thể xây ra hai trường hợp: hoac x, = x = 0 XS Ky = 1

khi dé: x, +x, + 4 x, 4+%,,, 2k +1 14 dung, hoac trong cdc sé

đó có một số khác 1, chẳng han x, > 1 khi d6 phai cé ft nhat mer

Vẽ trái là một tam thức bậc hai với biến t, tam thức > 0 khi:

a= (Ssw.] - ¬ Do) <0 or

do đó ta có 3)

Dau = chỉ xảy ra khi và chỉ khi xt +y,=0Œ= 1,2, ,n)

nghĩa là tôn tại 2 # 0 sao cho y, = 4x, = 1, 2, ., n) hoặc mọi

x, hoac moi y, déu bang 0 (i = 1, 2, ., n)

x] < M(M>0)0-M<x<=M

kười < hị + Bị

ie-v1 2 bl - bh

Tién dé Supremun: Moi A CR A # @ bi chan trên (đưới)

déu cé supremun (infimum) trong R

Tập hợp R cũng gọi là đường thẳng số thực R

Ký hiệu R = (- ø, + œ) Trong R:

Đoạn (a,b] =[x:a<x <bì

Khoảng (a,b) = {x:a<x<bJ

Néu M = sup A (m = infA) € A thi M(m) gọi là phần tử lớn

(ho) nhat cua A

và |a|~|b[ < -El < fal + jh| (đ.c.m)

2) Đật y =a, +a: + day

Eeasa,+ eal = š>C3] > A bol = Bl bt

Mat khée: |yj < f,[+b.[+ +fa,|

vay: fata, +a, + 4a,] > fal - (af +,]+-+1,)

1) Giả sử nguge tai: Vn € N: na <b

Khi đó A = {x = na, Vn © N) bi chặn trên bởi b.

Theo tiên dé sup c6 M = sup A: Ve > 0, Im e N,ma e A,M -e<ma.Via>Onén M>0lfye= Man:

2) Theo 1) thì: ineN:n.1> b

hay Ì <b-a, n lại theo 1): 3p €N

p.1>n.b Goi p' 1a sé bé nhất sao cho:

i) Néu A bi chan trén thi B bi chan du6i vi tir x < M =>

-%2-M Do 46 su tồn tại sup A suy ra sy t6n tai inf B

Gia sit sup A = M nghia 1a: Vx e A: x $M

21

va Ve > 0, 3x6 A: M-e¢<x<M,khidé;-x2-M

va-Ms-x<-M+#+evdi- x’ € Bnghia la

inf B=-M=-supA 2) Chứng mình tương 1ự như 1)

*6, Cho A=(x],B=(y],C=l{lx+yl,D=({x.v}

xz0.y>0 Chứng mình:

1} inf C = inf A+ inf B

2) sup C = sup A+ sup B

3) sup D = sup A sup B

4) inf D =in€ A inf B

nghia 1a inf C = m, + m3

2) Chứng minh tuong tu 1)

3) Tix $C, y < Cz, do x,y > 0

nén xy < CC: nghia 14 su (én tai cla sup A, sup B kéo theo

sự tồn Lại của sup D

Gid st M, = sup A, M, = sup B

nghia la: Vx e Atx <M,

Vay sup D = M, My

4) Chứng minh tương tự như 3)

*J7 Cho DA =Ix= ®“,mnecN,0<m<n}

1) Theo giả thiết thì 0 < ™ <1

0, Vp € N (theo bai 4.1) 3m eN

m> P=) pay —T— >1 -£ nghĩa là với n = m + p ta có

2 >1 -s, vậy sụp A =1

a

24

{theo bai 4.1) Vay B không có phần tử lớn nhất

Có thể chứng minh sup A =M, M? =2,M © Q (Gidi tich 1

†:N +R (ta cũng ký hiệu: Xạ, X;, , Xạ, haY (X„) hay Xụ

Dãy (xu) gọi là bị chạn trên (đưới, bị chặn), nếu tập hợp {x,}

là bị chặn trên (dưới, bị chặn)

Day (x,) gọi là đơn điệu không giảm (tang) nếu:

25

VneN Ka Xauc C Xjk)

Nếu không có đấu = thì gọi là đơn diệu tăng (giảm)

lim x, hay a= lim x, hay x, > a

@ Ve>O0, dno, Vn > ny > kk, -al <8

3.3 Tiêu chuẩn tồn lợi giới hạn

1°) x,—>a,7Z, >a, Vai xX, S ¥, SZ

> y, a (tiêu chuẩn kẹp)

2°) Moi day (x,) đơn điệu không giảm (tăng) và bị chận trên

(đưới) đều có giới hạn và x, < (>) lim x„ (nguyên lý Weier-

strass)

3”) Dãy (x,) có giới hạn khi và chỉ khi

Vẹ >0, 3nạ, Vn > nạ, Vm > nọ => Ix, -x | <£

26

DĐấy (x„) thộ mãn điều kiện này gọi là mội đãy cơ bản

2n+1 2) Ve >0, xét x, 2| = xa

Bai gidi

1) Giả sử ngược lại a > b, theo tính trò mật của R : 3c e R:

a>c>b

Theo giả thiết và 5° ở §3: 3nạ, Vn > m9 2 Xp > 6, Yn SO DY,

<x,: mâu thuẫn với giả thiết

2) Theo gia thiét: Ve > 0, ang, Va > no > |x, ~al <E

mặt khác: |*,|~R|| < „4| GD

do dé: | <eva |x,| > ||

3) Xam = (1 = Ld

Kaur = CLM S-1 ed

Theo 1° (3.2) x„ không có giới hạn, nghĩa là x„ phân kỳ

4) Giả sử ngược lại x„ = sin n hội tụ, khi đó sin(n+2) - sinn

~~

= 2sinlcos(a + 1) > 0 > cosn > 0 => cos2n > 0

Mặt khác sin2n = 2sinncosn -> 0, vay:

cos?2n + sin?2n ~ 0: v6 ly, do dé x, = sinn phan kỳ

Bai gidi

1) Ta cé:

0< Vn+I-Vn =————Ì-——<-—-— (Nhân và chía với lượng liên hợp của Yati-Vn )

nhung 0 > 0, — 0, đo đó theo tiêu chuẩn kẹp (3.3):

(bỏ các số hạng dương ở vế phải, chỉ để lại số hạng thứ ba)

a Chú ý: Rõ rằng: a" => + s (á > 1), nh cờ £ (>0) nên

luôn tồn tại m e „ đo đó | - L cmt) -> 0 và lim — = a nl

a s

đc Bộ rà a’ Chit ¥: RG rang: a" + + @ (a> 1), nm > +0 (k > 0) nén =

Giả sử m + 1> h|, điều giả thiết này hợp lý vì theo 4.1) luôn

luôn tồn tại m œ N như vậy, do đó [sa] -+ 0 và lim — =0 {m+ a t

sẻ s

vay lim +2 +4 nen? 8 44 n 3.3 3

12.* 1) Cho (x„) hội tụ, (y„) phân kỳ

(x„, y„ cùng phân kỳ) thì tổng x, + y,, tich x,-y, hoi

tu hay phan ky?

2) Cho x, - y, > O thi cé thé két Iuan x, > Ö hoặc

Yao oO?

3) Cho x, > O, y, tuy ¥ thi x, y, -> 07

Bai gidi

1) Xét tổng x„ + yạ, giả sử tổng này hội tụ, khi đó:

(x, + Ya) - Xu = yạ hội tụ, trái với giả thiết, vậy x, + Y„ phân kỳ

33

Xét tích x„ y„, không thể kết luận đứt khoát tích này hội tự

- Cử

hay phan ky, chang han x„ = ^—— hội tụ, y, = n phân kỳ khi đó

n Xa¥n = (-1)” phan ky

1

XE

0

hoi tu, y, = n phan ky x,y, = — hoi tu

{x, y, cùng phân kỳ thì x„ + y„, x,y„ không thể kết luận dứt khoát là hội tụ hay phân kỳ, chẳng hạn x„ = n, y„ = n° déu phan

kỳ, tổng x„ + y„=n + nÌ phân kỳ, x„= Vn+l,y, =-Vn

1 X;+Ya= Vn+l-vn = ————

2) Không thể kết luận x„ —> 0 hoặc y„ + 0 vì x„= 1 - 1)",

Yạ = l +(-])”, X;.y, =0 —> 0, nhưng xạ, y„ không đần tới 0

3) Không thể kết luận x„y„ -> 0, chẳng hạn:

x= EN vo y, =m

n XaY„ = C1)" phan kỳ, không đần tới Ó

13 Dùng nguyên lý Weierstrass (W), xét sự hội tụ của các

do dG SS < i hay x,,, <x,

x

Vay day x, là đơn điệu gidm, rd rang x, > 0 nghia 12 day x,

bị chạn dưới, theo tiêu chuẩn (W), x, là đấy hội tụ

Vay x, bi chan tren

Bo dé theo Hiéu chudn(W): lmx, tổn tại

345

Xa¿: < X„ : Vậy x„ là đơn điệu giảm, mặt khấc Vn : x„ > Ô (tích của các số đương) nghĩa là x„ bị chạn dưới, theo tiêu chuẩn

1) Cho x„ đơn điệu tăng, y, đơn điệu giảm và lim{(x„ - y„) =

0 Chứng minh x,, y, là các dãy hội tụ và limx, = limy, 2) Ap dụng 1) chứng mỉnh:

Xt Za, - Za = (Kast - Yort) ~ (Xa > Ya) = Ker + Xa) + Ôn -

Yoo) > O, theo gid thiét

Vay Z, là day don điệu tăng, cũng theo giả thiết Z„ -> 0,

theo tiêu chuẩn (W): 2„ < 0 Do đó: Vn : x„ < y„, hay:

Xi <X; < < Xã < SS Ya SS

Điều này chứng tỏ x„ (y,) là đấy đơn điệu (tăng) giảm và bị

chặn trên (dưới) (bởi y, (x,) chẳng hạn), theo tiêu chuẩn (W):

1imx, (limy,) tồn tại và theo giả thiết: limx, = limy,

36

Vay theo 1) limx, = limy,

Ta sé chttng minh limx, = c Thực vậy, ta biết tim (1-2) =e n

ry" tụng Patt, = ( s3) „ khai triển theo nhị thức Newton:

n

37

>l+l+ zI'*z}*~*gÍ'~a ae Ke! , VK <a

Do dé: t, <x, Se, nhung limt, = e

Vay theo tiêu chuẩn kẹp (3.3) limx, = e

1§ Chứng minh các đãy sau đây hội tụ và tìm giới hạn của chúng

Do dé x, IA bi chan dưới, theo tiêu chuẩn (W): limx, tồn tại,

sux, > a, khi dé tir:

điểu kiện trên

3) Vn ee NUrx,,, = yOtx, sey ra:

XỆ:= Õ + Nguy, Ky SH OFX, (1

39

Ta sẽ chitng minh x, 1a day đơn điệu tang bằng quy nạp Thực vậy x, =0, x; = V6 >x,

Gia sit x,,, > x,, Vũ € N, khi đó từ (2) suy ra:

Xổ; > 2, > 0, vi Xa > 0, Vn € N né xy - Xu, > 0

nghĩa là x;,; > Xạ,; Vậy X„„, > X„, V2 € N: x, don điệu tăng

RG rang x, bi chan trên, thực vậy:

Ti x, 20 va x? < x2, <64x,, Vn EN

hay x2 - x, -6<0,khi x, <3

Vậy theo tiêu chuẩn (W), limx, tồn tại

Gia six, > a, tt (1): a? = 6 + a hay a = 3

4) Bằng quy nạp, ta chứng minh x, 1a day tang, thực vậy:

hay Xas2 > Xaei-

Gia st x, —> á, khi đồ tÙ x,,, = f24+x, lacéa=

a= 2 thod min diéu kiên Vũ:

De đó x„ bị chặn trên, y„ bị chặn dưới

Theo tiêu chuẩn (W), limx„„ limy, tồn tại

2) Chitng minh x, > a = 2, = yfxyx > a(x, > 9)

3) Chimg minh x, > 0, “4 sas yf, aa

2) Tạ có z„ = AÍXjX;.x„ lấy logarithine cơ sế e (nx = jog,x) hai vỡ ta cố:

dãy

4d) Đại xu = Vn vì x„= Vn > J Chai 10.39)

r+ v24V34 nén theo 1): lim —

17 ên lý Cauchy, xét sự hội tụ, phân kỳ của các

sink sind sina

vi lim = Onén Ve > 0, Ang: Vn > to => => <e, do dé

Ve > 0, Ano, Va > my, Vp EN: |k,.,~x,| <e, vay day x, thod mãn điều kiện của tiêu chuẩn Cauchy nén limx„ tồn tại

< s Vậy day x„ thoả mãn điểu kiện của tiêu chuẩn

định bay miễn tồn tại của hàm số

Y gọi là miễn giá trị của hầm số nếu f là một toàn ánh Tập hợp (x, f(x)), Vx € ÄX gọi là đồ thị của hàm số

- Cho ham y =

neuge f'

Y, mien

f(x), với f là một song ánh từ X > Y Anh xa

tủa Êï x= Ê'(y) gọi là hàÌn ngược của f (miền xác định trì X),

- Ham y = f(x): c6 miễn xác định X, miền giá trị Y gọi là bị

chan trên (dưới, bị chạn), nếu tập hợp các giá trị Y của nó là bị

Nếu trong lân cận của xạ, : M(m) = Í(x„) thì M(m) gọi là giá trị cực đại (tiểu) của hàm số tại x„ e X, gọi chung là cực trị: Ymax (Ymin) = fOXa)

- Hàm y = f(x) là đơn diệu không giảm (không tăng) trong X nếu: Vx,, x; e X, x; < x2: £(x;) <S fŒ%;) (Í(x,) > f(x;))

Nếu không có dấu bằng thì f(x) gọi là đơn điệu tăng (giảm)

trong X

- Hàm y = f(x) đơn điệu tăng (giảm) trong miền X thì tồn tại

hàm ngược x = f'(y) cũng đơn điệu tăng (giảm) trong miễn Y là

miễn giá trị của f(x)

- Ham y = f(x) 14 chan (1é) trong X = (-¢, +4) (€ > 0) néu

1°) Hàm luỹ thừa y=x",œeR

2°) Ham mit y=a,a>0,z 1

3°) Ham logarithme y = log,x, a > 0, # 1