Ebook bài tập giải tích toán học i nguyễn xuân viên

Học viện kỹ thuật quân sự Nguyễn xuân viên Bài tập giải tích toán học I Dùng cho sinh viên các trường đại học kỹ thuật Hà nội ư 2005... Lời nói đầu Cuốn giáo trình Bài tập giải tích

Học viện kỹ thuật quân sự

Nguyễn xuân viên

Bài tập giải tích toán học

I

Dùng cho sinh viên các trường

đại học kỹ thuật

Hà nội ư 2005

Mục lục

Mục lục 3

K ý hiệu 9

Lời nói đầu 11

Phần 1 Bài tập giải tích toán học 13

Chương I Vi phân hàm số một biến số 13

Đ 1 Số thực 13

I Tóm tắt lý thuyết 13

a Tập đếm được, tập tương đương 13

b Nguyên lý quy nạp toán học 13

c Định lý chia Euclid 13

d Số hữu tỷ và số thực 14

e Sup, inf Định lý Bolzano 14

f Trị tuyệt đối của số thực 15

II Bài tập 15

Đ 2 Giới hạn dãy số 16

I Tóm tắt lý thuyết 16

a Dãy số 16

b Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ dãy số 17

c Hội tụ đơn điệu 17

d Dãy riêng, giới hạn riêng 17

II Bài tập 18

Đ 3 Giới hạn hàm số, hàm liên tục 22

I Tóm tắt lý thuyết 22

a Giới hạn hàm số theo ε ư δ và dãy 22

b Giới hạn một phía 22

c Các tính chất số học của giới hạn hàm số 23

d Một số giới hạn quan trọng 23

e Hàm liên tục 23

f VCB, VCL 24

II Bài tập 25

Đ 4 Đạo hàm và vi phân 31

I Tóm tắt lý thuyết 31

a Khái niệm đạo hàm, đạo hàm trái, đạo hàm phải 31

b Các quy tắc tính đạo hàm 32

c Bảng đạo hàm các hàm cơ bản 32

d Đạo hàm hàm hợp, hàm ngược và hàm ẩn 33

e Vi phân cấp một và vi phân cấp cao 34

f Các định lý trung bình 36

II Bài tập 36

Đ 5 Các ứng dụng của đạo hàm 43

I Tóm tắt lý thuyết 43

a Công thức Taylor 43

b Các quy tắc L’Hospital khử dạng bất định 44

c ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số 45

c.1 Cực trị 45

c.2 Lồi, lõm, điểm uốn 46

c.3 Tiệm cận 46

c.4 Tiếp tuyến, tiếp xúc 47

II Bài tập 47

Chương II Tích phân hàm số một biến số 55

Đ 6 Tích phân bất định 55

I Tóm tắt lý thuyết 55

a Nguyên hàm và tích phân bất định 55

b Bảng các tích phân cơ bản 56

c Các phương pháp cơ bản tính tích phân 57

c.1 Tích phân bằng phương pháp thế (đổi biến) 57

c.2 Phương pháp tích phân từng phần 57

d Tích phân các hàm hữu tỷ 59

e Tích phân các hàm vô tỷ 61

f Tích phân các hàm siêu việt 64

II Bài tập 66

a Nguyên hàm và tích phân bất định 66

b Các phương pháp cơ bản tính tích phân 67

c Tích phân các hàm hữu tỷ 72

d Tích phân các hàm vô tỷ 73

e Tích phân các hàm siêu việt 75

Đ 7 Tích phân xác định và ứng dụng 77

I Tóm tắt lý thuyết 77

a Tích phân xác định, điều kiện khả tích 77

b Tính chất tích phân 79

c Công thức Newton-Leibniz 80

d Các phương pháp tính tích phân xác định 82

d.1 Phương pháp đổi biến 82

d.2 Phương pháp tích phân từng phần 82

e Các ứng dụng của tích phân xác định 84

e.1 Diện tích bản phẳng 84

e.2 Độ dài đường cong 87

e.3 Thể tích của vật và diện tích mặt cong 88

II Bài tập 91

a Tích phân xác định, công thức Newton-Leibniz 91

b Các phương pháp tính tích phân xác định 96

c Các ứng dụng của tích phân xác định 103

Đ 8 Tích phân suy rộng 114

II Tóm tắt lý thuyết 114

a Tích phân suy rộng cận hữu hạn, vô hạn 114

b Các tiêu chuẩn hội tụ 118

b.1 Tiêu chuẩn so sánh bất đẳng thức 118

b.2 Tiêu chuẩn so sánh giới hạn 118

b.3 Các tiêu chuẩn Dirichle và Abel 118

II Bài tập 120

Chương III Chuỗi số và chuỗi hàm 129

Đ 9 Chuỗi số 129

I Tóm tắt lý thuyết 129

a Tổng riêng và tổng của chuỗi số 129

b Điều kiện cần hội tụ của chuỗi 130

c Tiêu chuẩn Cauchy 131

d Các dấu hiệu hội tụ chuỗi số dương 131

d.1 Dấu hiệu so sánh bất đẳng thức 131

d.2 Dấu hiệu so sánh giới hạn 132

d.3 Dấu hiệu tích phân 133

d.4 Phương pháp tách phần chính 134

d.5 Các dấu hiệu D’alembert và Cauchy 135

d.6 Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 137

II Bài tập 141

a Tổng riêng và tổng của chuỗi số, điều kiện cần hội tụ, tiêu chuẩn Cauchy 141

b Các dấu hiệu hội tụ chuỗi số dương 144

c Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 149

Đ 10 Chuỗi hàm, dãy hàm 150

I Tóm tắt lý thuyết 150

a Hội tụ đều của dãy hàm 150

b Hội tụ đều của chuỗi hàm 152

b.1 Hội tụ của chuỗi hàm 152

b.2 Hội tụ đều của chuỗi hàm 154

b.3 Dấu hiệu Dirichle và Abel 155

c Vi tích phân chuỗi hàm 157

c.1 Liên tục của chuỗi hàm 157

c.2 Tích phân chuỗi hàm 158

c.3 Vi phân chuỗi hàm 159

d Chuỗi luỹ thừa 160

d.1 Bán kính hội tụ 160

d.2 Các định lý Abel 160

e Chuỗi Taylor 162

II Bài tập 164

a Hội tụ đều của dãy hàm 164

b Hội tụ đều của chuỗi hàm 166

c Vi, tích phân chuỗi hàm 169

d Chuỗi luỹ thừa 170

e Chuỗi Taylor 171

Đ 11 Chuỗi Fourier 175

I Tóm tắt lý thuyết 175

a Định lý Dirichle 175

b Định lý Dini 176

II Bài tập 178

Phần 2 Bài giải và đáp số 181

Đ 1 Số thực 181

Đ 2 Giới hạn dãy số 181

Đ 3 Giới hạn hàm số, hàm liên tục 185

Đ 4 Đạo hàm và vi phân 189

Đ 5 Các ứng dụng của đạo hàm 192

Đ 6 Tích phân bất định 201

Đ 7 Tích phân xác định và ứng dụng 211

Đ 8 Tích phân suy rộng 224

Đ 9 Chuỗi số 226

Đ 10 Chuỗi hàm, dãy hàm 230

Đ 11 Chuỗi Fourier 236

Tài liệu tham khảo 239

deg : bËc cña ®a thøc P( )x

: kÕt thóc mét vÝ dô, gi¶i bµi tËp

Lời nói đầu

Cuốn giáo trình Bài tập giải tích 1 này được biên soạn theo đề cương đầy

đủ của Bộ Giáo dục và Đào tạo về môn Toán cao cấp dành cho các trường Đại học Kỹ thuật học Toán theo chương trình 1, có thời lượng từ 60 đến 75 tiết ở học

kỳ đầu của năm thứ nhất

Giáo trình gồm 3 chương:

Chương I: Vi phân hàm số một biến số

Chương II: Tích phân hàm số một biến số

Chương III: Chuỗi số và chuỗi hàm

Với hơn 1100 bài tập được phân tỷ mỷ theo từng phần của kiến thức chung Trước mỗi phần bài tập đều có tóm tắt lý thuyết đầy đủ, có nhiều ví dụ minh hoạ đa dạng

Phần đáp số, hướng dẫn, trả lời có trình bày lời giải một số bài tập mang tính khái quát cao hơn

Hy vọng giáo trình bài tập này sẽ giúp ích được nhiều cho các bạn sinh viên tất cả mọi loại hình đào tạo, giúp cho các thầy cô giáo có thêm một số tư liệu tương đối đầy đủ để chuẩn bị bài giảng

Vì kiến thức thì quá bao la mà khả năng bản thân lại có hạn nên không thể tránh khỏi các thiếu sót Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ các độc giả

để cuốn sách ngày càng hoàn chỉnh hơn, đáp ứng được yêu cầu nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở các trường đại học

Hà nội, tháng 9 năm 2005 Nguyễn Xuân Viên

Phần 1 Bài tập giải tích toán học

Hai tập A, B gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh f :A→B Khi A

và B tương đương người ta nói A và B có cùng lực lượng và viết A = B hay

B

A ~

Tập A gọi là tập đếm được (hay tập có lực lượng ω) nếu A~N Tập không tương đương với tập số tự nhiên được gọi là tập không đếm được

b Nguyên lý quy nạp toán học

Trên tập số tự nhiên có nguyên lý quy nạp toán học sau đây:

Khẳng định f( )n phụ thuộc vào số tự nhiên n sẽ đúng cho mọi số tự nhiên

qm

n= + , 0 ≤ <

Ta nói n chia hết cho m hay m chia hết n (m là thừa số của n) và viết m/n nếu tồn tại số nguyên q sao cho n = mq Khi m là thừa số của n thì ta nói m là ước của n

d được gọi là ước số chung lớn nhất của m và n và viết d =USCLN(m,n)

hay đôi khi, nếu không có sự nhầm lẫn người ta còn viết đơn giản d =(m,n) nếu:

i d/m, d/n

Với mọi số nguyên m, n tồn tại duy nhất USCLN(m,n) Nếu (m,n)= 1 thì

nói m, n nguyên tố cùng nhau

d Số hữu tỷ và số thực

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn cũng như khoa học, người ta phải mở rộng tập số nguyên Z thành tập số hữu tỷ Q để Q có thể chứa tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất hệ số nguyên: ax + b= 0

Khác với tập số nguyên Z mà trong đó không có phép chia thì trong Q đã

có đủ 4 phép toán: cộng, trừ, nhân, chia (chia cho số nguyên khác 0)

Khi xét đến phương trình đơn giản hệ số hữu tỷ, thậm chí hệ số nguyên

Số thực gồm có hai loại: số hữu tỷ và số vô tỷ Tập số thực R lấp đầy trục

số Giống như Q, tập các số thực R tạo thành một trường

e Sup, inf Định lý Bolzano

Giả sử E⊆R Số α∈Rđược gọi là cận trên của tập E nếu ∀x∈E x≤α

Tập E mà có cận trên được gọi là tập bị chặn trên Tương tự như thế, β là số mà

x

E

x∈ ≤

∀ β được gọi là cận dưới của E Tập có cận dưới được gọi là tập bị chặn

dưới Tập bị chặn trên, chặn dưới được gọi là tập giới nội

Cận trên nhỏ nhất α của tập E được gọi là cận trên đúng của tập E và viết

f Trị tuyệt đối của số thực

Trị tuyệt đối của số thực α là α thoả mãn điều kiện:

1 8

1 2

1

+

= +

+ +

n

n arctg n

arctg arctg

1.6

1 2

1 2

1 2

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 0

1.9 CMR, nếu USCLN(m,n)=d thì tồn tại các số nguyên u, v∈Z sao cho

d vn

a − ≤ − ≤ +

1.12 CM các bất đẳng thức sau:

a ab = a b c a2 =a2

b = (b≠ 0)

b

a b

a

d a2 = a

1.13 Ký hiệu A+B={a+b a∈A,b∈B} Chứng minh các đẳng thức sau:

a inf(A+B)= inf A+ inf B

b sup(A+B)= supA+ supB

1.14 Ký hiệu AB={ab a∈A,b∈B} Giả sử A={a a≥ 0},B={b b≥ 0} Chứng

minh các đẳng thức sau:

a inf( )AB = inf AinfB

b sup( )AB = supAsupB

1.15 CM định lý về sự tồn tại duy nhất căn bậc n của số thực sau:

Giả sử α∈R,α> 0 Gọi ⊆ ={ ∈ > n <α}

t t t A

tổng quát của dãy số ( )x n

Ta nói dãy ( )x n có giới hạn a khi n tiến ra ∞ và viết x n a

∞

→

lim (hay có thể viết limx n =a nếu không có sự hiểu lầm trong ký hiệu chỉ số n) nếu với mọi

Người ta nói dãy ( )x n là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy nếu

∀ 0 N m n m N n N x m x n )

Ta có bổ đề Bolzano-Weierstrass: Từ dãy giới nội bất kỳ luôn trích ra dãy

con hội tụ

b Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ dãy số

Để dãy số ( )x n có giới hạn, điều kiện cần và đủ: ( )x n là dãy Cauchy

Vì lý do trong R mọi dãy Cosi đều hội tụ nên người ta nói tập số thực R

có tính đầy đủ Tập số hữu tỷ không đầy đủ, chẳng hạn như dãy Cosi

1 2

1 1

=

ư

m

m m m

m x

c Hội tụ đơn điệu

Điều kiện hội tụ dãy đơn điệu

Dãy ( )x n đơn điệu tăng có giới hạn khi và chỉ khi nó bị chặn trên, khi đó

Giới hạn riêng lớn nhất của ( )x n được gọi là giới hạn trên và ký hiệu limx n

hay lim supx n

Giới hạn riêng nhỏ nhất của ( )x n được gọi là giới hạn dưới của ( )x n và ký hiệu limx n hay lim infx n Dễ dàng thấy nếu { }x n không bị chặn trên thì

+∞

=

n

x

lim Nếu { }x n bị chặn trên thì limx n = sup{ }x n Để tồn tại giới hạn limx n

điều kiện cần và đủ là limx n = limx n(= limx n)

1 lim =

1 lim

3

2

= +

x = 2 2 2

lần

n n

x = 0 , 2 2 Từ đó hãy tìm công thức đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn a ,0 a( )b thành phân số Tổng quát hoá kết quả cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a0,a1Κ a m(b1Κ b n)

2.3 Chứng minh dãy ( )x n với

n

x n

ln

1 3

ln

1 2 ln

2

1 1 3

1 1 2

1 1

1 1

1 1

2 ,

n n n

n n n

v u v

v u u

b v a u

CMR

a Dãy ( )u n đơn điệu giảm, còn ( )v n đơn điệu tăng

1 1

n

n n

u

u u

b a u

Tìm các giới hạn các dãy sau (2.9 – 2.19)

2.9 lim ⎜⎜⎝⎛ 12 + 22 + + −21⎟⎟⎠⎞

n

n n

+

+ +

n

n n n

2.11

( )3

2 2

2

1

2 1

lim

+

+ + +

lim

2 +

n

n n

2.14 n n

n n

3 2

3 2

lim

1 1

1 2

lim

−

− +

+

− +

n n

n n

2.16

1

2 3

2 1

lim

2 +

−

− +

Κ

2.18

1 2

1 2 lim

k n

1 1 lim

Chøng minh c¸c giíi h¹n quan träng sau (2.20 – 2.25)

2.26 Chøng minh r»ng limx n+ limy n ≤ lim(x n+ y n)≤ limx n+ limy n

2.27 CMR, nÕu d·y ( )x n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 0 ≤ x m+n ≤x m+x n víi mäi

Κ , 2 , 1 ,n=

n k n

k

k b

0

0

3 2

1 3

u u

n n

n n

u n ≤ m n ≤ +

+

0 , Chøng minh r»ng limu n = 0

n n

n u u u

b n = ln n cã giíi h¹n

Đ 3 Giới hạn hàm số, hàm liên tục

I Tóm tắt lý thuyết

a Giới hạn hàm số theo ε ư δ và dãy

Người ta sử dụng ký hiệu y= f( )x để chỉ một hàm số có đối số x∈X , giá trị y= f( )x ∈Y Các ký hiệu thường dùng khác nhau để chỉ hàm số này là:

Đây chính là định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ ε ưδ

Tiêu chuẩn giới hạn theo dãy: Hàm số f( )x có giới hạn A khi x→x0khi

và chỉ khi với mọi dãy x n →x0, dãy giá trị hàm số tương ứng f( )x n →A

Tiêu chuẩn giới hạn theo dãy này đôi khi người ta lấy làm định nghĩa giới hạn hàm số

0 0

( )x f( )x f

x x x x

0 0

lim

0

>

→ + =

VÝ dô: XÐt hµm sè ( )

x arctg x

2

1 lim

lim

0 0 0

, cßn

( )

2

1 lim

lim

0 0 0

2 0 , 2

0 − =−π + =π

f

c C¸c tÝnh chÊt sè häc cña giíi h¹n hµm sè

NÕu tån t¹i c¸c giíi h¹n h÷u h¹n f ( )x A f ( )x B

x x x

lim lim

2

1

2 1

0

0 0

x f x

f

x f

x x

x x x

1 lim

§iÓm gi¸n ®o¹n x0 cña hµm f( )x ®−îc gäi lµ gi¸n ®o¹n lo¹i 1 nÕu

x 0 ®−îc gäi lµ ®iÓm gi¸n ®o¹n kh¾c phôc ®−îc nÕu ∃ f( ) ( )x0+ ,f x0− nh−ng

chóng kh«ng b»ng nhau (tån t¹i mét trong hai nÕu lµ ®iÓm biªn cña X)

f x f x

f

b a x b

Ta nãi β( )x cã bËc cao h¬n so víi VCB α( )x trong qu¸ tr×nh x→x0 vµ viÕt β( )x = 0(α( )x ) nÕu ( )

NÕu c¸c VCB α( )x , β( )x trong qu¸ tr×nh x→x0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

x f

x x

1

1 arccos

x

x y

2

2

+

+ +

=

x

x x

y

3.7

x

x x y

2 sin

cos sin +

−

=

x x

y

2

1 sin

1 +

=

3.12 2

2

1

1 arcsin

x

x y

1

1

x

x arctg

2 2

1 lim

x x

1 lim

2 2

, 1

1 lim

1

10 10

10 10

10

10

100 2

1 lim

+

+ + + + + +

+∞

x x

lim

+

+

− +

∞

x x

x

3.23

x

x x

1 1

lim

3 3

0

−

− +

lim

x x

x x

−

− +

→

3.25

1

3 7

x x

x

T×m gi¸ trÞ cña c¸c giíi h¹n quan träng sau:

lim

0

− +

sin sin

2 2 sin

lim

h

a h

a h

a

h

+ +

− +

→

3.30

x

x tg

x sin 3

2 lim

,

; sin

sin lim

3.36

1

arccos lim

2 cos cos 1

lim

x

x x

6 5

2 2

x

a x a

x

ln ln

lim

0

− +

e x

x

3.50 arctg( x) arctg( x)

x x

0

3.51 Chøng minh hµm sè y=x2 liªn tôc víi mäi x

3.52 Chøng minh hµm sè y= x liªn tôc víi mäi x≥ 0

4

2

x A

x x

x x f

víi víi

Phải chọn giá trị của A bằng bao nhiêu để hàm số này liên tục tại mọi

R

∈

x Xây dựng đồ thị của hàm số trong trường hợp này

3.54 Hãy bổ sung giá trị của hàm ( )

x x x

f = 1 ư sin1 tại x= 0 để hàm số liên tục trên toàn bộ R

3.55 Xác định giá trị f( )0 của hàm số để f( )x liên tục tại x= 0

a ( ) (= + ) ư (n∈Z+)

x

x x

f

n 1 1

x

x x

x arctg x y

ư +

tỷvô

χ là hàm gián đoạn tại mọi x∈R

3.63 Khảo sát tính liên tục và vẽ đồ thị hàm số:

( 0)1

3.64 Nghiên cứu tính liên tục và vẽ đồ thị hàm số:

(xarctgnx)

y

n→ ∞

= lim

3.65 Chứng minh rằng phương trình x3ư x3 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng

( )1 ; 2 Hãy tính gần đúng nghiệm của phương trình

3.66 Chứng minh rằng mọi đa thức P( )x có bậc lẻ đều có ít nhất một nghiệm

thực

3.67 Cho a ,,b c∈R thoả mãn điều kiện:

0 1

b m

a

Chứng minh rằng phương trình ax2+bx+c= 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( )0 ; 1

3.68 Chứng minh rằng nếu a ,,b c∈R thoả mãn điều kiện a+ 3b+ 11c= 0 thì

phương trình ax2+bx+c= 0 có nghiệm trong khoảng ( )0 ; 1

3.69 Chứng minh hàm số ( )

x x

f =1 là hàm liên tục trên ( )0 ; 1 nhưng không liên tục đều trên khoảng đó

3.70 Chứng minh rằng hàm số f( )x =sin x2 liên tục và bị chặn trên R nhưng

không liên tục đều

3.71 CMR hàm số f( )x xác định và liên tục trên [a; +∞) = X và tồn tại

( )x f

x→lim+∞ thì f( )x liên tục đều trên X

Khảo sát tính liên tục đều trong các miền X tương ứng (3.72-3.75):

f

3.73 ( )= sin , X =( )0 ;π

x

x x

f

3.74 ( )= cos1, X =( )0 ; 1

x e x

3.75 f( )x = cosx2, X =R

3.76 Chứng minh rằng hàm liên tục duy nhất f( )x xác định trên R, thoả mãn

điều kiện f(x+y)= f( ) ( )x + f y là hàm tuyến tính thuần nhất f( )x =ax, trong đó a= 1f( )ưhằngsốtuỳý

Điều kiện liên tục được thay bằng điều kiện đơn điệu thì khẳng định còn

đúng không?

3.77 Chứng minh rằng hàm số f( )x liên tục, không đồng nhất bằng không và

thoả mãn điều kiện f(x+y)= f( ) ( )x f y tồn tại duy nhất đó là hàm mũ

( )x a x

f = , trong đó a= f( )1 là hằng số dương tuỳ ý

3.78 Tìm tất cả các hàm số f :R→R sao cho xf( ) (x + f 1 ưx)=x3+ 1

3.79 Tìm tất cả các hàm số f :R→R sao cho f(x+ y2) ( )= f x2 + f( )y

3.80 Tìm tất cả các hàm số f :R→R liên tục sao cho f(xưy)= f( ) ( )x ư f y

3.81 Cho f( ) ( )x,g x liên tục trên [ ]a;b ∀x∈[ ]a;b , 0 <g( )x < f( )x Chứng minh

a Khái niệm đạo hàm, đạo hàm trái, đạo hàm phải

Giả sử hàm số y= f( )x xác định tại x0 và lân cận của x0 Đạo hàm f ′( )x

của f( )x tại x0, f ′( )x0 là giới hạn của tỷ số số gia hàm số

y x

0 0

Đạo hàm của hàm số y= f( )x tại x có các ký hiệu là ( ) ( )

dx

x df x f dx

dy

y′ , , ′ ,

Hàm số f( )x có đạo hàm tại x0 được gọi là hàm khả vi tại x0 Giống như giới

hạn một phía, ta cũng có các đạo hàm một phía f′( ) ( )x0+ ,f′x0− Để hàm số

v v u v u

ii (sinx)′ = cosx

iii (cosx)′ = − sinx

1

1 arccos

cot arc

+

−

=

′

a x x

x

2

1 coth ′ = −

d Đạo hàm hàm hợp, hàm ng−ợc và hàm ẩn

d.1 Đạo hàm hàm hợp: Nếu y= f( )x,x=ϕ( )t là các hàm số có đạo hàm thì hàm y= f[ ]ϕ( )t (là hàm hợp của hai hàm f( )x và ϕ( )t ) cũng có đạo hàm và:

t x

t y x

y′ = ′ ′ hay viết cách khác:

dt

dx dx

x f x

f ′ = ′

( )

x x

x x

x x x

2 2

2

ln 1

ln ln

1 2

ln ln 2 ln

1

+

= +

x y

y x

( ) ( 1)

1

1 1

1 1

1 1

ch shy chy

y

t x

t R x

sin cos

với t≠kπ,x t′ = −Rsint, y t′ =Rcost cho ta:

t cotg x

y y

( )x,y = 0

F dx d

Ví dụ 4: Tìm y′ x nếu x3+y3− 2xy= 0

Giải: Đạo hàm hai vế:

0 2 2 3

3x2+ y2y′ − y− y′ = cho ta

2 2

3 2

2 3

y x

y x

e Vi phân cấp một và vi phân cấp cao

e.1 Giả sử hàm số y= f( )x khả vi tại x Biểu thức df( )x = f′( )x dx trong đó

x

dx= ∆ đ−ợc gọi là vi phân (cấp một) của hàm f( )x (tại x)

Vi phân cấp một có tính bất biến, tức là biểu thức df( )x = f′( )x dx không

phụ thuộc vào x là biến độc lập hay biến hàm

Giả sử u=ϕ( )x,v=ψ( )x là các hàm khả vi tại x Ta có các quy tắc tính vi

phân cấp một sau:

i d(u±v)=du±dv

ii d( )uv =vdu+udv

udv vdu v

u d

e.2 Đạo hàm cấp hai y ′′ của hàm y= f( )x là đạo hàm của đạo hàm cấp một,

d dx

y d

1

n dx

y n d dx

d n dx

y n d

n

n y y

Đạo hàm từ cấp hai trở lên được gọi là đạo hàm cấp cao

Tương tự đạo hàm cấp cao, người ta định nghĩa vi phân cấp cao Vi phân

cấp n được xác định theo công thức:

( )d y d

y

d n = nư1

Khác với vi phân cấp một, vi phân cấp cao của hàm số y= f( )x bị biến đổi

dạng tuỳ theo x là biến độc lập hoặc biến hàm x=ϕ( )t

Ví dụ 5: Với y= sinx, ta có dy= cosxdx

Với x là biến độc lập thì d2y= ưsin xdx2

Còn khi x là biến hàm, ví dụ x=t2, ta sẽ có:

x

y dx

d y

( )

t R dt

dx t dx

dt t cotg dt

d t cotg dx

d

3 2

sin

1 1

Giải:

180 sin 1 sin o = π

Cho

180 ,

so sánh với tính đúng sin 1o = 0 , 0174524

f Các định lý trung bình

Định lý Rolle: Nếu f( )x là hàm liên tục trên [ ]a; b , khả vi trong ( )a; b ,

có f( )a = f( )b thì tồn tại ξ∈( )a; b sao cho f′( )ξ = 0

Định lý Lagrange: Nếu f( )x là hàm liên tục trên [ ]a; b , khả vi trong ( )a; b , khi đó tồn tại ξ∈( )a; b để f( ) ( ) (b − f a = b−a) ( )f′ξ

Định lý Cauchy: Nếu f( )x và g( )x là các hàm liên tục trên [ ]a; b , khả vi trong ( )a; b , (f′( )x )2 +(g′( )x)2 ≠ 0 với mọi x∈( )a;b , g( ) ( )b ≠g a , thì tồn tại

a f b f

điểm giao nhau của chúng, từ đó hãy tính góc giữa hai đường cong tại

điểm này (góc giữa hai tiếp tuyến)

4.12 Chứng tỏ rằng các hàm số sau đây không có đạo hàm hữu hạn tại các

x g a f a g x f

a

y= ư

4.18

x x

x x y

cos sin

cos sin

coth 3

cos sin

βα

βββ

3 2 2 ln 3

1

+ +

− +

=

x tg

x tg y

3

1 2 3

1 1 6

1 1

ln 3

y

4.38 y= lnsh2x

4.39 y= Archlnx

2

1 1

x e

x x

x f

x nÕu

nÕu

4.43 T×m f′( ) ( )0 + , f′ 0 − nÕu

a f( )x = sin x( )2

b ( ) arcsin 22 22

x a

x a x

=

0 0

0

1 1

x

x e

x x

nÕu

nÕu

y

t x

y

t t t a

x

cos sin

sin cos

1

1 arccos

t y

t x

y

t t t tg a

x

cos sin

sin cos 2 ln

t e x

t t

sin cos

t t x

ln ln

4.60

x

y arctg c y

x2 + 2 =

4.61 x y = y x

4.62 Tìm y′ tại điểm M( )1 ; 1 nếu 2y= 1 +xy3

Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau (4.63-4.65):

n C u v uv

f

f n

−

= 1

1 ln

2

1

ln t y

arctgt x

dx

y d

nếu

t a x dx

y d

3

3 2

2

= +

b

y a

x

4.78 y=x+arctgy

4.79 Từ phương trình y= x+lny hãy tìm 2

2 2

2

,

dy

x d dx

y d

Tìm vi phân của các hàm số sau tại x bất kỳ đối với số gia ∆x=dx tuỳ ý (4.80-4.82):

4.80

x

x y

4.83 Tìm dy nếu x2+ 2xyư y2 =a2

4.84 Tìm dy tại điểm ( )1 ; 2 nếu y3ưy=6x2

4.85 Thay số gia hàm số bằng vi phân, hãy tính gần đúng (3 chữ số thập

3

3 x

x x x

x+∆ ≈ + ∆