Ebook bài tập giải tích toán học i nguyễn xuân viên

Học viện kỹ thuật quân Bộ môn toán khoa công nghệ thông tin Nguyễn xuân viên Bài tập giải tích toán học I Dùng cho sinh viên trờng đại học kỹ thuật Hà nội 2005 Mục lôc Môc lôc Ký hiÖu Lời nói đầu 11 Phần Bài tập giải tích toán học 13 Ch−¬ng I Vi phân hàm số biến số 13 § Sè thùc .13 I Tãm t¾t lý thuyÕt 13 a Tập đếm đợc, tập tơng đơng 13 b Nguyên lý quy nạp toán học .13 c Định lý chia Euclid 13 d Sè hữu tỷ số thực 14 e Sup, inf Định lý Bolzano 14 f Trị tuyệt đối số thực 15 II Bµi tËp 15 Đ Giới hạn dÃy số 16 I Tãm t¾t lý thuyÕt 16 a D·y sè .16 b Tiªu chn Cauchy vỊ héi tơ d·y sè 17 c Hội tụ đơn ®iÖu 17 d DÃy riêng, giới hạn riêng 17 II Bµi tËp 18 Đ Giới hạn hàm số, hàm liªn tơc 22 I Tãm t¾t lý thuyÕt 22 a Giới hạn hàm sè theo ε − δ vµ d·y 22 b Giíi h¹n mét phÝa .22 c Các tính chất số học giới hạn hàm số .23 d Mét sè giíi h¹n quan träng .23 e Hàm liên tục 23 f VCB, VCL 24 II Bµi tËp 25 Đ Đạo hàm vi phân 31 I Tãm t¾t lý thuyÕt 31 a Khái niệm đạo hàm, đạo hàm trái, đạo hàm phải .31 b Các quy tắc tính đạo hàm 32 c Bảng đạo hàm hàm 32 d Đạo hàm hàm hợp, hàm ngợc hàm ẩn 33 e Vi phân cấp vi phân cÊp cao 34 f Các định lý trung bình 36 II Bµi tËp 36 Đ Các ứng dụng đạo hàm .43 I Tãm t¾t lý thuyÕt 43 a C«ng thøc Taylor 43 b Các quy tắc LHospital khử dạng bất định .44 c ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số 45 c.1 Cùc trÞ 45 c.2 Låi, lâm, ®iĨm n 46 c.3 TiÖm cËn .46 c.4 TiÕp tuyÕn, tiÕp xóc 47 II Bµi tËp 47 Ch−¬ng II TÝch phân hàm số biến số 55 Đ Tích phân bất định 55 I Tãm t¾t lý thuyÕt 55 a Nguyên hàm tích phân bất định 55 b Bảng tích phân 56 c Các phơng pháp tÝnh tÝch ph©n 57 c.1 Tích phân phơng pháp (đổi biến) 57 c.2 Phơng pháp tích phân phần 57 d Tích phân hàm h÷u tû .59 e Tích phân hàm vô tỷ 61 f Tích phân hàm siêu việt 64 II Bµi tËp 66 a Nguyên hàm tích phân bất định 66 b Các phơng pháp tính tích ph©n 67 c TÝch phân hàm hữu tỷ 72 d Tích phân hàm vô tû 73 e Tích phân hàm siêu việt 75 Đ Tích phân xác định ứng dụng .77 I Tãm t¾t lý thuyÕt 77 a TÝch ph©n xác định, điều kiện khả tích .77 b TÝnh chÊt tÝch ph©n 79 c C«ng thøc Newton-Leibniz .80 d Các phơng pháp tính tích phân xác định .82 d.1 Phơng pháp đổi biến 82 d.2 Phơng pháp tích phân phần 82 e Các ứng dụng tích phân xác định .84 e.1 Diện tích phẳng .84 e.2 Độ dài ®−êng cong .87 e.3 Thể tích vật diện tích mặt cong 88 II Bµi tËp 91 a Tích phân xác định, công thức Newton-Leibniz .91 b Các phơng pháp tính tích phân xác định .96 c Các ứng dụng tích phân xác định .103 Đ Tích phân suy rộng 114 II Tãm t¾t lý thuyÕt 114 a Tích phân suy rộng cận hữu hạn, vô hạn 114 b Các tiêu chuẩn hội tụ 118 b.1 Tiêu chuẩn so sánh bất đẳng thức .118 b.2 Tiêu chuẩn so sánh giới hạn 118 b.3 Các tiêu chuẩn Dirichle Abel 118 II Bµi tËp 120 Ch−¬ng III Chuỗi số chuỗi hàm 129 Đ Chuỗi số 129 I Tãm t¾t lý thuyÕt 129 a Tổng riêng tổng chuỗi số .129 b Điều kiện cần hội tụ chuỗi .130 c Tiªu chuÈn Cauchy 131 d Các dấu hiệu hội tụ chuỗi số dơng 131 d.1 DÊu hiƯu so s¸nh bất đẳng thức 131 d.2 Dấu hiệu so sánh giới hạn 132 d.3 DÊu hiƯu tÝch ph©n 133 d.4 Phơng pháp tách phần 134 d.5 Các dÊu hiƯu D’alembert vµ Cauchy 135 d.6 Hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 137 II Bµi tËp 141 a Tổng riêng tổng chuỗi số, điều kiện cần hội tụ, tiêu chuẩn Cauchy 141 b Các dấu hiệu hội tụ chuỗi số dơng 144 c Héi tơ tut ®èi bán hội tụ 149 Đ 10 Chuỗi hàm, dÃy hàm .150 I Tãm t¾t lý thuyÕt 150 a Hội tụ dÃy hàm 150 b Hội tụ chuỗi hàm .152 b.1 Hội tụ chuỗi hàm 152 b.2 Héi tụ chuỗi hàm 154 b.3 DÊu hiƯu Dirichle vµ Abel 155 c Vi tích phân chuỗi hµm 157 c.1 Liên tục chuỗi hàm 157 c.2 Tích phân chuỗi hàm 158 c.3 Vi phân chuỗi hµm .159 d Chuỗi luỹ thừa 160 d.1 B¸n kÝnh héi tơ 160 d.2 C¸c ®Þnh lý Abel 160 e Chuỗi Taylor 162 II Bµi tËp 164 a Hội tụ dÃy hàm 164 b Héi tụ chuỗi hàm .166 c Vi, tích phân chuỗi hàm 169 d Chuỗi luü thõa 170 e Chuỗi Taylor 171 § 11 Chuỗi Fourier .175 I Tãm t¾t lý thuyÕt 175 a Định lý Dirichle 175 b Định lý Dini 176 II Bµi tËp 178 Phần Bài giải đáp số 181 § Sè thùc 181 Đ Giới hạn d·y sè 181 Đ Giới hạn hàm số, hàm liªn tơc 185 Đ Đạo hàm vi phân 189 Đ Các ứng dụng đạo hàm 192 Đ Tích phân bất định 201 Đ Tích phân xác định ứng dụng 211 § TÝch ph©n suy réng 224 Đ Chuỗi số 226 § 10 Chuỗi hàm, dÃy hàm 230 Đ 11 Chuỗi Fourier 236 Tài liệu tham khảo 239 C¸c Ký hiƯu chung N : tËp sè tù nhiªn, N = {0,1,2,Κ } N ∗ = N \ {0} : tËp sè tù nhiên thiếu số Q : tập số hữu tỷ R : tập số thực R[x]: tập đa thức hƯ sè thùc deg P(x ) : bËc cđa ®a thøc P(x ) : kÕt thóc mét vÝ dơ, gi¶i tập 10 Lời nói đầu Cuốn giáo trình Bài tập giải tích đợc biên soạn theo đề cơng đầy đủ Bộ Giáo dục Đào tạo môn Toán cao cấp dành cho trờng Đại học Kỹ thuật học Toán theo chơng trình 1, có thời lợng từ 60 đến 75 tiết học kỳ đầu năm thứ Giáo trình gồm chơng: Chơng I: Vi phân hàm số biến số Chơng II: Tích phân hàm số biến số Chơng III: Chuỗi số chuỗi hàm Với 1100 tập đợc phân tỷ mỷ theo phần kiến thức chung Trớc phần tập có tóm tắt lý thuyết đầy đủ, có nhiều ví dụ minh hoạ đa dạng Phần đáp số, hớng dẫn, trả lời có trình bày lời giải số tập mang tính khái quát cao Hy vọng giáo trình tập giúp ích đợc nhiều cho bạn sinh viên tất loại hình đào tạo, giúp cho thầy cô giáo có thêm số t liệu tơng đối đầy đủ để chuẩn bị giảng Vì kiến thức bao la mà khả thân lại có hạn nên tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đợc đóng góp ý kiến từ độc giả để sách ngày hoàn chỉnh hơn, đáp ứng đợc yêu cầu nâng cao chất lợng dạy học môn Toán trờng đại học Hà nội, tháng năm 2005 Nguyễn Xuân Viên 11 8.18 8.19 Phân kỳ 8.20 8.21 Ph©n kú 8.23 Ph©n kú 8.22 Ph©n kú 2π 8.24 8.25 Ph©n kú 8.26 8.17 8.27 8.33 8.35 8.37 8.38 8.40 8.42 3e 31 ln 2 8.28 Ph©n kú 8.30 π 8.29 Ph©n kú 8.31 ( 265 178 8.32 ln − π ( 2 −1 ) ⎛ 3⎞ − arcsin⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ 8.36 nÕu b ≤ a ; (n − 1)!! nÕu n lỴ; (n − 1)!!π nÕu n ch½n (n!!) (n!!2) π − (π ln ) (− 1)n−1π 4n ) π 8.34 π 8.39 8.41 − π ln 2 8.43 ( 2a nÕu b ≥ a b ) π 120 8.45 −π 8.46 2(1 − ln 2) 8.47 ln ⎛ π ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ − arctg 3⎝ 3⎠ 8.49 8.51 b a + b2 8.44 8.48 8.50 π 2 π 225 8.52 n! 8.54 8.56 8.58 8.60 2π 3 π 18 π 3π 8.55 ln π + − 4 10 ( 8.57 8.59 8.61 2 π (a + b ) 8.62 8.63 8.64 π 8.66 + 8.65 π 8.67 − 8.68 24 8.69 π 8.70 e +1 eπ − ⎛π ⎞ + ⎟ ⎝ 2⎠ 226 8.53 π 8.71 3πa 8.72 9a ⎜ π⎞ ⎛ 8.73 a ⎜ + ⎟ 8.74 4π 8.75 8.76 8.77 + 8.85 Héi tơ 8.86 Héi tơ 8.87 Ph©n kú 8.88 Ph©n kú 8.89 Héi tơ 8.90 Héi tơ 8.91 Ph©n kú 8.92 Héi tơ 8.93 Héi tơ 8.94 Ph©n kú 8.95 Héi tơ 8.96 Ph©n kú 8.97 Héi tơ 8.98 Héi tơ 8.99 Ph©n kú 8.100 Ph©n kú 8.101 Hội tụ tơng đối 8.102 Phân kỳ ) 8.103 Hội tụ tơng đối 8.104 Hội tụ tuyệt , tơng ®èi víi − < α ≤ −1 8.105 Héi tụ tuyệt > , tơng đối víi − < α ≤ 8.106 Héi tơ tơng đối 8.107 Hội tụ tơng đối 8.108 Hội tụ tơng đối 8.109 Phân kỳ 8.110 Hội tụ tuyệt < , tơng α ≤ 8.111 Héi tơ tut ®èi víi α > , tơng 8.112 Héi tơ tut ®èi víi − < α < , tơng < Đ Chuỗi số 18 9.2 9.3 1⎛ 1⎞ 9.4 ⎜1 + + + ⎟ m⎝ m⎠ 1 ⎛1⎞ 9.5 S n = − ⎜ ⎟ ; S = 2 ⎝ 5⎠ 9.6 S n = n (− 1)n −1 + ; S= n −1 4 1⎛1 ⎞ 9.7 S n = − 1 ;S = n+3 ⎟; S = 9.8 S n = ⎜⎜ − ⎝ (n + 1)(n + ) ⎟⎠ 1⎛ 4⎝ 9.9 S n = ⎜1 − ⎞ ⎟;S = 4n + ⎠ 1⎛1 7⎝4 9.10 S n = ⎜ − 9.11 S n = 9.12 ⎞ ⎟; S = 7n + ⎠ 28 1⎛ 1 ⎞ − ⎜ + ⎟;S = ⎝ n +1 n + ⎠ 4n + − ; S= 32 4(n + 1)(n + )(n + 3)(n + ) 32 9.13 S n = − (n + 1)2 ; S =1 227 9.14 S n = − + n +1 + n + ; S = 1− ⎛ (n + 1) ⎞ ⎟ ; S = − ln ⎝ 2n ⎠ 9.15 S n = ln⎜ ⎛ n + 2⎞ ⎟; S = − ln ⎝ 3n ⎠ 9.16 S n = ln⎜ 9.17 S n = − ; S =1 (n + 2)! π ⎛ n ⎞ ⎟; S = ⎝ n + 1⎠ 9.18 S n = arctg ⎜ 9.20 36 9.21 − 9.22 90 9.23 36 31 28 9.33 Héi tô 9.34 Héi tô 9.35 Héi tô 9.36 Ph©n kú 9.37 Ph©n kú 9.38 Ph©n kú 9.40 Héi tơ 9.41 Héi tơ 9.42 Ph©n kú 9.43 Héi tơ 9.44 Ph©n kú 9.45 Héi tơ 9.46 Héi tơ 9.47 Héi tơ 9.48 Ph©n kú 9.49 Ph©n kú 9.50 Héi tơ 9.51 Héi tơ 9.52 Ph©n kú 9.53 Héi tơ 9.54 Héi tơ 9.55 Ph©n kú 9.56 Héi tơ 9.57 Ph©n kú 9.58 Héi tơ 9.59 Ph©n kú 9.60 Héi tô 9.61 α > α > 228 α > α > 3 α > − 9.62 Héi tơ 9.63 Héi tơ 9.64 Héi tơ 9.65 Ph©n kú 9.66 Ph©n kú 9.67 Héi tơ 9.68 Héi tơ 9.69 Héi tô nÕu < a < , ph©n kú nÕu a ≥ 9.70 Ph©n kú 9.71 Héi tô 9.72 Héi tô 9.73 Héi tô 9.74 Héi tơ víi mäi a 9.75 Héi tơ 9.76 Ph©n kú 9.77 Héi tô 9.78 Héi tô 9.79 Héi tô 9.80 Héi tơ 9.81 Héi tơ 9.82 Ph©n kú 9.83 Ph©n kú 9.84 Héi tơ 9.85 Héi tơ víi α > , ph©n kú víi α ≤ 9.95 Héi tụ tơng đối 9.96 Hội tụ tuyệt đối 9.97 Hội tụ tơng đối 9.98 Hội tụ tơng đối 9.99 Phân kỳ 9.100 Hội tụ tơng đối 9.101 Hội tụ tơng ®èi 9.102 a α > b < α ≤ a Kh«ng b α ≠ k, k ∈ Ν a α > b < α ≤ a α > b < α ≤ a α > b < α ≤ 9.103 9.104 9.105 9.106 Gi¶i ⎛ 1.3.5Κ (2n − 1) ⎞ ∑ an , an = ⎜⎜ 2.4.6Κ (2n ) ⎟⎟ ⎝ ⎠ n =1 ∞ a XÐt héi tơ tut ®èi α Theo dÊu hiƯu Raabe (nÕu a n > (n N ) tồn 229 ⎛ a ⎞ lim n⎜⎜ n − 1⎟⎟ = q với q > chuỗi n a n +1 ⎠ ∞ ∑ an héi tơ, cßn q < chuỗi n =1 phân kỳ) ta có ⎛ ⎛ n + ⎞α ⎞ ⎛ a ⎞ lim n⎜⎜ n − 1⎟⎟ = lim n⎜ ⎜ ⎟ − 1⎟ ⎟ n→∞ ⎝ a n +1 ⎠ n→∞ ⎜⎝ ⎝ 2n + ⎠ ⎠ α ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ −1 α 2n + ⎠ ⎝ = lim = > 1, tøc α > 2n + n →∞ ⋅ 2n + n Chuỗi hội tụ tuyệt đối, < chuỗi không hội tụ tuyệt = ⎛ 1.3.5Κ (2n − 1) ⎞ ⎟⎟ ph©n kú theo dÊu hiÖu Gauss (nÕu a n > (n N ) Chuỗi n =1 ⎝ 2.4.6 Κ (2n ) ⎠ ∞ an γ β = α + + 1+nδ , a n+1 n n ®ã γ n < c, δ > , a) Chuỗi an hội tụ α > , ph©n kú nÕu α < n =1 b) Khi α = vµ β > chuỗi hội tụ, = , chuỗi phân kỳ) b Khi rõ ràng chuỗi ( 1)n1 an phân kỳ không thoả mÃn điều n =1 kiện cần (a n 1) Khi a n+1 ; 2.4.6 Κ (2n ) ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ a n = ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ Κ ⎜1 − ⎟ Κ ⎜1 − ⎟ cã ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 2k ⎠ ⎝ 2n ⎠ n ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ (khi n → ∞ ) ln a n = ∑ ln⎜1 − ⎟ cã ln⎜1 − ⎟ ~ − n n k ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k =1 nªn ln a n → −∞ tøc lµ a n ↓ (khi n → ∞ ) 230 Cïng víi phÇn a) ta cã miỊn héi tơ tut ®èi α > , hội tụ tơng < Đ 10 Chuỗi hàm, dy hàm x2 10.1 f ( x) = 10.2 f ( x) = 10.3 f ( x) = x 10.4 f ( x) = 10.5 f ( x) = x2 10.12 Héi tơ ®Ịu ®Õn 10.13 Héi tơ ®Ịu ®Õn 10.14 Héi tơ ®Ịu ®Õn f ( x) = x 10.15 Héi tơ ®Ịu ®Õn tgx 10.16 Héi tơ R 10.17 Không hội tụ dều đến f ( x) = 10.18 Không hội tụ dều đến f ( x) = 10.19 Kh«ng héi tơ dỊu ®Õn f ( x) = ln x 10.20 Héi tô tut ®èi víi x > 10.21 Héi tơ tut ®èi ∀x ∈ R 10.22 Héi tơ t−¬ng ®èi víi < x < 10.23 Hội tụ tơng x > 10.24 Hội tụ tơng đối x − kπ ≤ 10.25 Héi tơ tut ®èi − π ,k ∈ Ζ 232 10.86 x − > 10.87 π + kπ < x < 10.88 x − kπ < π ;k ∈ Ζ x2 10.93 x ln + 2π + kπ ; k ∈ Ζ + (− 1)n −1 (2n − 3)!! x 2n , R = ∑ (2n − )!! 2n − n=2 n− ∞ 2 (2n − 1)!! x 2n +1 (x 4n + − x 4n + ), R = n =1 (2n )!! 2n + ∞ 10.94 − x + x + ∑ (− 1)n −1 x 2n , R = n =1 n(2n − 1) ∞ 10.95 ∑ 10.96 + x + ∞ (2n − 3)!! x 2n +1 , R = x3 + ∑ (− 1)n −1 n n=2 (2n + 1)n!! ∞ 10.97 ∑ (− 1) (n + 1)x n n+2 , R =1 n=0 ∞ 10.98 ∑ (− 1)n (2n + 1) − 1x n , R = n=0 ⎛ (− 1)n ⎞ x n ⎟ ⎜1 + , R =1 n +1 ⎟ ⎜ n=0 ⎝ ⎠ ∞ 10.99 ∑ 10.100 ln + ⎛⎛ − ⎞n ⎛ ⎞n ⎞ xn ⎜⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎟ , R = ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ n n =1 ⎝ ⎠ ∞ ∑ ∞ 10.101 ∑ (− 1)n n=0 n +1 − n + x ,R=∞ 2(2n + 1)! (− 1)n+1 3(32n − 1)x 2n+1 , R = ∞ ∑ 4(2n + 1)! n =1 ∞ 10.102 ∞ 10.103 ∑ (1 − ( ) )(x − 1) , R = − n +1 n n=0 ∞ 10.104 ∑ (− 1) (n + 1) ( n − n+2 ) ( x − 3) n , R = n=0 233 10.105 + ∞ ∑ (− 1)n (2n − 1) !! (x − 5)2n , R = n ! 3n+1 n =1 10.106 n n −1 n 2n 2n+2 ∞ ∞ + cos (x + 1) + cos (− 1) (x + 1)2n+1 + sin (− 1) (x + 1) , (2n ) ! (2n + 1) ! n =1 n =0 ∑ ∑ R=∞ ∞ 10.107 ∑ n =1 (− 1)n−1 (x + 1)2n , R = n ( ∞ ) (− 1)n−1 3−n − −n (x − 2)n , R = n =1 n 10.108 ln + ∑ 10.109 π + ∞ ∑ (− 1)n+1 n =0 x n +1 , R =1 2n + ∞ 10.110 arctg + ∑ (− 1)n +1 n=0 2(− 1)n n +1 x , n = 2n + ∞ 10.111 ∑ 10.112 (− 1)n x 2n+1 , ∑ n = n!(2n + 1) x n+1 , R =1 2n + R =1 ∞ ∞ 10.113 x n +1 , ∑ n = (2n + 1) R=∞ R =1 (2n − 1)!! x 4n+1 , n =1 (2n )!! (4n + 1) ∞ 10.114 x + ∑ 10.115 x, x > ⎛ 10.116 ⎞ ⎟⎟, − ≤ x ≤ 10.117 ln⎜⎜ ⎝ (1 − x ) ⎠ 10.119 10.121 234 x(3 − x ) (1 − x ) R =1 10.118 ,x>0 x x2 (1 − 2)2 x , x