Hướng dẫn giải bài tập giải tích Đại học giao thông

tổng hợp lời đề thi giải tích 1 đại học giao thông vận tải. Tài liệu sau đây giúp các em hiểu các hướng giải bài tập ,phương pháp làm. Chúc các em một mùa thi thành công. tài liệu tham khảo cho sinh viên.

TÍCH PHÂN SUY RỘNG : KIẾN THỨC CƠ BẢN , CƠNG THỨC , VÍ DỤ MẪU TÍCH PHÂN SUY RỘNG Tích phân suy rộng loại (tích phân với cận vô hạn) 1.1 Các định nghĩa: Định nghĩa 1.1 Cho hàm f (x) xác định [a, +∞) khả tích đoạn hữu hạn [a, b], với b > a Ta gọi giới hạn b I = lim b→+∞ f (x)dx a tích phân suy rộng loại f (x) [a, +∞) kí hiệu +∞ b f (x)dx := lim b→+∞ a f (x)dx = I a +∞ f (x)dx hội tụ, trường hợp ngược lại (hoặc khơng tồn Nếu I hữu hạn ta nói tích phân suy rộng b b→+∞ a +∞ f (x)dx = ∞) ta nói tích phân suy rộng f (x)dx lim lim b→+∞ a b a f (x)dx phân kỳ a Nhận xét 1.1 Giả sử hàm số f (x) xác định khoảng [a, +∞) khả tích đoạn [a, b] với b > a Khi với số thực a > a, ta có b a f (x)dx = a b f (x)dx + f (x)dx a a b Do lim b→+∞ b f (x)dx tồn (hữu hạn vô cùng) lim b→+∞ a +∞ f (x)dx tồn ta có a +∞ f (x)dx hội tụ f (x)dx hội tụ a a Nếu hai tích phân suy rộng nói tồn +∞ a f (x)dx = a +∞ f (x)dx + a f (x)dx a +∞ Ý nghĩa: Khi nghiên cứu hội tụ +∞ cần xét f (x)dx ta cắt bỏ đoạn [a, a ] tùy ý [a, +∞) mà a f (x)dx đủ a Ta dễ dàng chứng minh tính chất sau +∞ Định lý 1.1 a) Nếu tích phân suy rộng +∞ f (x)dx a +∞ g(x)dx hội tụ tích phân suy rộng a [f (x)+ a g(x)]dx +∞ +∞ [f (x) + g(x)]dx = a +∞ f (x)dx + g(x)dx a a +∞ +∞ b) Nếu tích phân +∞ k f (x)dx k số thực tích phân a f (x)dx a +∞ kf (x)dx hội tụ a kf (x)dx = a TIÊU ĐỒNG VĨNH HỌC c) Nếu đoạn [a, b] ta áp dụng công thức Newton-Leibnitz b f (x)dx = F (x) a b a = F (b) − F (a) +∞ f (x)dx = F (+∞) − F (a) tồn lim F (b) = F (+∞) b→+∞ a (d) (Cơng thức tích phân phần) Nếu u(x), v(x) hàm khả vi liên tục [a, +∞) giới hạn lim u(x)v(x) tồn hữu hạn x→+∞ +∞ udv = uv a +∞ +∞ a − vdu a +∞ a uv = lim [u(x)v(x) − u(a)v(a)] x→+∞ Tương tự, ta định nghĩa tích phân khoảng (−∞, b] (−∞, +∞) Định nghĩa 1.2 Cho hàm f : (−∞, b] → R hàm khả tích đoạn [a, b], với a < b Tích phân suy rộng f (−∞, b] giới hạn b b dn f (x)dx = lim f (x)dx a→−∞ −∞ a b Nếu giới hạn hữu hạn ta nói f (x)dx hội tụ Tích phân khơng hội tụ gọi phân kỳ −∞ Định nghĩa 1.3 Cho hàm f : (−∞, +∞) → R hàm khả tích đoạn hữu hạn Nếu với số thực a a đó, hai tích phân suy rộng +∞ f (x)dx −∞ f (x)dx tồn tổng a a +∞ f (x)dx + f (x)dx −∞ a có nghĩa (tức khơng có dạng ∞ − ∞) ta gọi tổng tích phân f (−∞, +∞) ký hiệu +∞ f (x)dx Như −∞ +∞ dn a f (x)dx = −∞ +∞ f (x)dx + f (x)dx −∞ a +∞ Tích phân f (x)dx gọi hội tụ tổng vế phải hữu hạn −∞ +∞ Nhận xét 1.2 (i) Dễ thấy phân kỳ hay hội tụ f (x)dx giá trị khơng phụ thuộc vào a −∞ (ii) Với cách xác định ta có +∞ b f (x)dx = lim −∞ +∞ e−x dx Ví dụ 1.1 Tính b→+∞ a→−∞ f (x)dx a TÍCH PHÂN SUY RỘNG : KIẾN THỨC CƠ BẢN , CƠNG THỨC , VÍ DỤ MẪU Với số thực b > 0, ta có b b e−x dx = (−e−x ) I(b) = = − e−b , I = lim I(b) = lim (1 − e−b ) = b→+∞ +∞ e−x dx hội tụ Do b→+∞ +∞ e−x dx = 0 Ví dụ 1.1 Tính +∞ I= −∞ x2 dx + 2x + Ta phân tích I= −∞ dx + x + 2x + +∞ x2 dx + 2x + I2 I1 d(x + 1) x+1 = lim arctan a→−∞ a (x + 1)2 + 22 a→−∞ 1 a+1 = lim arctan − arctan a→−∞ 2 π = ( + arctan ) 2 I1 = lim b x+1 d(x + 1) = lim arctan b→+∞ b→+∞ (x + 1)2 + 22 2 π = ( − arctan ), 2 π I = I1 + I2 = a b I2 = lim Vậy tích phân cho hội tụ +∞ −∞ x2 π dx = + 2x + +∞ Ví dụ 1.2 Xét hội tụ tích phân cos xdx a Ta có +∞ b cos xdx = lim a b→+∞ cos xdx a = lim sin x|ba = lim (sin b − sin a) b→+∞ b→+∞ Giới hạn khơng tồn tại, lấy hai dãy bn = 2nπ −→ +∞, bn = n→+∞ lim (sin 2nπ − sin a) = − sin a, lim [( n→∞ n→∞ π + 2nπ −→ +∞, n→+∞ π + 2nπ) − sin a] = − sin a = − sin a Vậy tích phân cho phân kỳ Ví dụ quan trọng sau sử dụng nhiều thực hành TIÊU +∞ Ví dụ 1.3 Xét hội tụ tích phân a ĐỒNG VĨNH HỌC dx , a > xα Nếu α = +∞ a dx = lim b→+∞ x b a dx x = lim ln x|ba = lim (ln b − ln a) = +∞ b→+∞ b→+∞ Vậy trường hợp tích phân phân kỳ Nếu α = +∞ a dx = lim b→+∞ xα = lim b→+∞ b x−α dx a 1−α b x 1−α = a  +∞ = a1−α  α−1 lim (b1−α − a1−α ) − α b→+∞ α < 1, α > Các kết phát biểu định lý sau: Định lý 1.2 Tích phân suy rộng +∞ a hội tụ α > 1, phân kỳ α 1.2 dx , a>0 xα Tích phân suy rộng hàm số khơng âm Khi nói đến tích phân suy rộng, trước hết ta quan tâm xem có hội tụ hay khơng? Vì nhiều hàm dấu tích phân khơng có ngun hàm biểu diễn qua hàm sơ cấp ta khơng cần tính giá trị tích phân suy rộng Vậy ta cần quan tâm tích phân suy rộng cho hội tụ hay phân kỳ Ta đưa số tiêu chuẩn sau đây: Định lý 1.3 Giả sử f (x) hàm số xác định [a, +∞), khả tích đoạn [a, b] với b > a Nếu f (x) ≥ +∞ với x ∈ [a, +∞) tích phân f (x)dx ln ln tồn (hữu hạn +∞) a Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn so sánh) Cho hai hàm f (x), g(x) xác định khoảng [a, +∞), khả tích đoạn hữu hạn [a, b] với b > a Nếu f (x) g(x), ∀x ∈ [a, +∞) Khi +∞ + Nếu +∞ g(x)dx hội tụ a f (x)dx hội tụ, a +∞ +∞ f (x)dx phân kỳ + Nếu a g(x)dx phân kỳ a Ta thường dùng tiêu chuẩn so sánh dạng sau: TÍCH PHÂN SUY RỘNG : KIẾN THỨC CƠ BẢN , CÔNG THỨC , VÍ DỤ MẪU Hệ 1.1 Cho f (x), g(x) hàm khả tích đoạn [a, b], với b > a hàm không âm [a, +∞) Giả sử tồn giới hạn f (x) lim = k x→+∞ g(x) Khi +∞ +∞ a a +∞ (b) k = 0: Nếu g(x)dx hội tụ phân kỳ, f (x)dx (a) Nếu < k < +∞ hai tích phân +∞ g(x)dx hội tụ a f (x)dx hội tụ, a +∞ (c) k = +∞: Nếu +∞ g(x)dx phân kỳ f (x)dx phân kỳ a a (i) Từ hệ ta thấy f (x) g(x) hai VCB tương đương x → +∞, tức Nhận xét 1.3 f (x) ∼ g(x) x → +∞ +∞ tích phân +∞ f (x)dx a g(x)dx hội tụ phân kỳ Có lẽ mà số tài a liệu gọi hệ tiêu chuẩn tương đương (ii) Hàm so sánh đơn giản thường chọn hàm dạng g(x) = lý 1.4 (iii) Nếu f (x) , α > kết hợp sử dụng kết Định xα việc khảo sát tích phân +∞ − +∞ −f (x)dx f (x)dx = a a Nếu f (x) đổi dấu số lần [a, a ] [a , +∞) giữ nguyên dấu để khảo sát hội tụ hay +∞ phân kỳ tích phân lại f (x)dx, ta việc cắt bỏ đoạn [a, a ] khảo sát tích phân khoảng a +∞ f (x)dx a Ví dụ 1.4 Xét hội tụ tích phân +∞ +∞ e−x dx 1) 2) 1) Ta có < e−x ln(1 + x) dx x +∞ e−x dx hội tụ Do theo tiêu chuẩn so sánh ta suy e−x với x ≥ Ta biết +∞ e−x dx hội tụ tích phân 2) Ta có ln(1 + x) > với x ≥ x x +∞ Ta biết dx phân kỳ (α = 1) Do theo tiêu chuẩn so sánh ta suy tích phân cho phân kỳ x Ví dụ 1.5 Xét hội tụ tích phân suy rộng loại sau: +∞ 1) +∞ 3) √ x3 + dx 2x + x − 2x √ dx x5 + x + +∞ − cos 2) +∞ 4) cos x x dx dx x TIÊU ĐỒNG VĨNH HỌC Giải: 1) Hàm số dấu tích phân dương liên tục [1, +∞) Ta có √ 1 x3/2 x3 + = 1/2 x → +∞ ∼ 2 2x + x − 2x x +∞ dx phân kỳ (α = 1/2 < 1) nên theo tiêu chuẩn so sánh ta suy tích phân cho phân kỳ x1/2 2) Hàm số dấu tích phân dương liên tục [1, +∞) Ta có Vì tích phân − cos 2 ∼ x → +∞ x x +∞ dx hội tụ (α = > 1), nên theo tiêu chuẩn so sánh ta suy tích phân cho hội tụ x2 2) Hàm số dấu tích phân dương liên tục [1, +∞) Ta có Vì tích phân √ x5 2x 2x ∼ 5/2 = 3/2 x → +∞ x x +x+1 +∞ dx hội tụ (α = 3/2 > 1), nên theo tiêu chuẩn so sánh ta suy tích phân cho hội tụ 3/2 x 3) Với x > , ta có cos > Vì xét tính hội tụ phân kỳ tích phân, ta xem hàm số π x dấu tích phân tích phân cho hàm số dương Vì tích phân x ∼ x → +∞ x x cos +∞ Vì tích phân dx phân kỳ (α = 1), nên theo tiêu chuẩn so sánh ta suy tích phân cho phân kỳ x +∞ Ví dụ 1.6 Chứng minh tích phân suy rộng +∞ Giải Ta có x4 + dx = x6 + 1 x4 + dx + x6 + +∞ x4 + dx hội tụ, sau tính giá trị chúng x6 + x4 + dx = I1 + I2 x6 + Tích phân I1 tích phân xác định thông thường nên hội tụ Dễ dàng thấy I2 hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Vậy tích phân cho hội tụ +∞ I= +∞ = x4 + dx = x6 + +∞ (x4 − x2 + 1) + x2 dx (x2 + 1)(x4 − x2 + 1) x2 + dx x +1 x +1 = arctan x + arctan x3 +∞ = 2π Nhận xét 1.4 Định lý 1.4 Hệ 1.1 áp dụng cho trường hợp hàm dấu tích phân không âm (với giá trị đủ lớn a) Định lý sau áp dụng cho hàm số dấu tích phân có dấu Định lý 1.5 (Tiêu chuẩn Côsi) Giả sử f hàm số xác định [a, +∞) khả tích đoạn [a, b] với b > a Khi tích phân +∞ f (x)dx hội tụ với > bé tuỳ ý, tồn B = B( ) ≥ a cho với b, b ≥ B( ) ta có a b f (x)dx < b TÍCH 1.3 PHÂN SUY RỘNG : KIẾN THỨC CƠ BẢN , CÔNG THỨC , VÍ DỤ MẪU Tích phân suy rộng hàm có dấu +∞ +∞ Định nghĩa 1.4 Ta nói tích phân |f (x)|dx hội tụ f (x)dx hội tụ tuyệt đối tích phân a a Định lý 1.6 Tích phân hội tụ tuyệt đối hội tụ +∞ |f (x)|dx hội tụ nên theo tiêu chuẩn Côsi, với > tuỳ ý, tồn B = B( ) ≥ a cho với Proof Vì a b, b ≥ B( ) ta có b |f (x)|dx < b Nhưng ta lại có bất đẳng thức b b |f (x)|dx < f (x)dx b b +∞ |f (x)|dx hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy Vậy tích phân a +∞ Ví dụ 1.7 Xét hội tụ tích phân cos kx dx, a, k ∈ R, a = a2 + x2 Giải: Với a = 0, hàm số dấu tích phân xác định liên tục [0, +∞) Với x ≥ 1, ta có x2 cos kx a + x2 +∞ dx dx hội tụ (α = > 1) nên tích phân x2 tức tích phân xét hội tụ tuyệt đối (do hội tụ) +∞ Vì tích phân cos kx dx hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh), a2 + x2 +∞ e−x cos αxdx, α ∈ R Ví dụ 1.8 Xét hội tụ tích phân +∞ Giải: Vì |e−x cos αx| e−x dx hội tụ nên tích phân cho hội tụ tuyệt đối e−x với x ∈ R Nhận xét 1.5 Chiều ngược lại Định lý 1.6 khơng Ví dụ sau chứng tỏ điều +∞ Ví dụ 1.9 Chứng minh tích phân I = sin x dx hội tụ không hội tụ tuyệt đối x Chứng minh: Trước hết ta tích phân cho hội tụ Thật vậy, tích phân phần ta có I=− cos x x +∞ +∞ − 1 +∞ = cos − cos x dx x2 cos x dx (vì | cos b| x2 cos x với x ≥ x2 x2 tích phân cho hội tụ +∞ sin x Hơn nữa, dx hội tụ x +∞ Mặt khác sin2 x x cos b = 0) b→+∞ b nên lim dx hội tụ nên tích phân x2 sin x x với x ≥ +∞ cos x dx hội tụ tuyệt đối Do x2 TIÊU nên +∞ +∞ hội tụ Bằng cách tương tự I = +∞ ĐỒNG sin2 x dx = x VĨNH +∞ HỌC − cos 2x dx 2x sin x dx ta tích phân x − cos 2x cos 2x dx + dx = 2x 2x +∞ +∞ cos 2x dx hội tụ Do 2x dx 2x hội tụ Đây điều mâu thuẫn Vậy tích phân cho khơng hội tụ tuyệt đối Định nghĩa 1.5 Một tích phân suy rộng hội tụ không hội tụ tuyệt đối ta gọi bán hội tụ (hay gọi hội tụ tương đối) Khi xét hội tụ tích phân khơng hội tụ tuyệt đối ta thường cần tới hai tiêu chuẩn hội tụ: Tiêu chuẩn Dirichlet tiêu chuẩn Abel Định lý 1.7 (Tiêu chuẩn Dirichlet) Cho f, g : [a, +∞) → R hàm khả tích đoạn hữu hạn [a, b], b ≥ a Nếu điều kiện sau thỏa mãn: a) Hàm g(x) đơn điệu dần đến x → +∞ có đạo hàm g (x) liên tục [a, +∞); b) Hàm f (x) có nguyên hàm F (x) bị chặn [a, +∞), tức ∃ C > cho |F (x)| C, ∀x ≥ a; +∞ tích phân g(x)f (x)dx hội tụ a Định lý 1.8 (Tiêu chuẩn Abel) Cho f, g : [a, +∞) → R hàm khả tích đoạn hữu hạn [a, b], b ≥ a Nếu điều kiện sau thỏa mãn: +∞ a) Tích phân f (x)dx hội tụ; a b) Hàm g(x) đơn điệu bị chặn khoảng [a, +∞); +∞ tích phân g(x)f (x)dx hội tụ a Ví dụ 1.10 Xét hội tụ tích phân (với a > 0) +∞ sin αx dx, xp +∞ cos βx dx, xp a a α, β, p số, α, β = +∞ Ta xét tích phân a sin αx dx, tích phân lại làm tương tự xp • Dễ dàng thấy p > tích phân cho hội tụ tuyệt đối TÍCH PHÂN SUY RỘNG : • Ta chứng minh với < p tụ tuyệt đối KIẾN THỨC CƠ BẢN , CƠNG THỨC , VÍ DỤ MẪU tích phân xét bán hội tụ, tức hội tụ không hội Thật vậy, đặt f (x) = sin αx, ta có F (x) = − cos αx Do |F (x)| α g(x) giảm [0, +∞) lim g(x) = 0, g (x) = − x→+∞ p xp+1 1 ; đặt tiếp g(x) = p , ta có |α| x liên tục [a, +∞) Do đó, theo tiêu chuẩn Dirichlet, tích phân xét hội tụ +∞ sin αx dx không hội tụ tuyệt đối hội tụ tuyệt đối, tức tích phân Tích phân xp a hội tụ từ bất đẳng thức sin2 αx | sin αx| với x, ta suy tích phân +∞ sin2 αx dx = xp a +∞ hội tụ Nhưng tích phân a cos 2αx dx với < p xp +∞ +∞ a | sin αx| dx xp − cos 2αx dx xp a hội tụ theo tiêu chuẩn Dirichlet (chứng minh tương tự trên) Do tích phân +∞ +∞ dx = xp a a sin2 αx cos 2αx + dx xp xp +∞ hội tụ Điều khơng thể xảy với p 1, tích phân a +∞ dx phân kỳ xp sin αx • Nếu p tích phân dx phân kỳ Thật vậy, với p = ta xp a phân kỳ (xem Ví dụ 1.2) Giả sử tích phân hội tụ với p < Đặt f (x) = +∞ sin αxdx, tích phân a sin αx , g(x) = xp , x ≥ xp +∞ Khi f (x)dx hội tụ hàm g(x) giảm bị chặn [a, +∞) Theo tiêu chuẩn Abel, tích phân a +∞ +∞ f (x)g(x)dx = a sin αxdx a hội tụ Đây điều vơ lý Ví dụ 1.11 Xét hội tụ tích phân Fresnel +∞ +∞ cos(x2 )dx sin(x2 )dx 0 +∞ Hàm số x → cos(x2 ) liên tục [0, +∞) Ta chứng minh √ t = x2 , x = t Với b ≥ 1, ta có b cos(x2 )dx = +∞ Theo tiêu chuẩn Dirichlet, tích phân cos(x2 )dx hội tụ Thực phép đổi biến số b2 cos t √ dt t cos t √ dt hội tụ Do t b2 lim b→+∞ cos t √ dt = t +∞ cos t √ dt t Do +∞ b cos(x2 )dx = lim b→+∞ +∞ cos(x2 )dx = 1 lim b→+∞ b2 cos t √ dt = t +∞ cos(x2 )dx hội tụ Tích phân bán hội tụ tích phân Vậy tích phân +∞ 1.10) Tương tự, tích phân sin(x )dx bán hội tụ +∞ cos t √ dt t cos t √ dt bán hội tụ (xem Ví dụ t 10 TIÊU ĐỒNG VĨNH HỌC Nhận xét 1.6 Trong hai tích phân Fresnel nói trên, hàm số dấu tích phân khơng dần x → +∞ Tích phân suy rộng loại (tích phân suy rộng hàm khơng bị chặn) b f (x)dx hàm f khơng bị chặn [a, b] Tích phân suy rộng Bây ta xét việc suy rộng tích phân a loại gọi tích phân suy rộng loại 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2.1 Cho hàm số y = f (x) xác định [a, b), lim f (x) = ∞ (điểm b gọi điểm bất thường f (x)) x→b−0 Giả sử f (x) khả tích đoạn [a, b − ], với > bé tuỳ ý Ta gọi giới hạn b− f (x)dx lim →0+ a b tích phân suy rộng loại f (x) [a, b] ký hiệu f (x)dx Như a b b− f (x)dx = lim f (x)dx →0+ a a b Nếu giới hạn vế phải tồn hữu hạn ta nói ta nói tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ, trường a b hợp ngược lại (khơng tồn giới hạn giới hạn ∞) ta nói tích phân suy rộng f (x)dx phân kỳ a Chẳng hạn tích phân dx , x−1 dx , α>0 xα tích phân suy rộng loại 1 = −∞, lim α = +∞ x→0+ x x−1 lim x→1−0 Tương tự, điểm bất thường f x = a điểm c đoạn [a, b] hai đầu mút a, b, ta định nghĩa sau Định nghĩa 2.2 Cho hàm số y = f (x) xác định (a, b], lim f (x) = ∞ Giả sử f (x) khả tích x→a+0 đoạn [a + , b], với > bé tuỳ ý, ta định nghĩa b b dn f (x)dx = lim f (x)dx →0+ a a+ b Nếu giới hạn hữu hạn ta nói f (x)dx hội tụ Tích phân khơng hội tụ gọi phân kỳ a Định nghĩa 2.3 Cho hàm số y = f (x) xác định (a, b), c ∈ (a, b), lim f (x) = ∞, lim f (x) = ∞ x→a+0 c Nếu hai tích phân suy rộng b f (x)dx a f (x)dx tồn tổng c c b f (x)dx + a f (x)dx c x→b−0 TÍCH PHÂN SUY RỘNG : KIẾN 11 THỨC CƠ BẢN , CƠNG THỨC , VÍ DỤ MẪU b có nghĩa tổng gọi tích phân suy rộng hàm số f đoạn (a, b) ký hiệu f (x)dx a Như b c dn f (x)dx = a b f (x)dx + a f (x)dx c b f (x)dx gọi hội tụ tổng vế phải hữu hạn Tích phân suy rộng a b • Dễ dàng thấy hội tụ giá trị tích phân suy rộng Nhận xét 2.1 f (x)dx không phụ thuộc vào a việc chọn điểm c • Hiển nhiên b b+ f (x)dx = lim →0 →0 a → 0, f (x)dx a+ → cách độc lập với Định nghĩa 2.4 Cho hàm số y = f (x) xác định [a, b] \ {c}, c ∈ (a, b), lim f (x) = ∞ Nếu hai tích x→c c b f (x)dx phân suy rộng a f (x)dx tồn tổng c c b f (x)dx + a f (x)dx c b có nghĩa tổng gọi tích phân suy rộng hàm số f đoạn [a, b] ký hiệu f (x)dx a Như b c dn f (x)dx = a b f (x)dx + a f (x)dx c b Tích phân suy rộng f (x)dx gọi hội tụ tổng vế phải hữu hạn a b • Dễ dàng thấy hội tụ giá trị tích phân suy rộng Nhận xét 2.2 f (x)dx không phụ thuộc vào a việc chọn điểm c • Với cách xác định ta có b c− f (x)dx = lim →0 →0 a → 0, b f (x)dx + a f (x)dx c+ → cách độc lập với √ Ví dụ 2.1 Xét hội tụ tích phân dx − x2 dx dx = +∞ nên tích phân suy rộng loại hai (của hàm f (x) = √ với điểm bất thường 1−x − x2 x = 1) Ta có Vì lim− √ x→1 √ dx = lim+ →0 − x2 1− √ dx = lim+ arcsin x →0 − x2 1− = lim+ arcsin(1 − ) = →0 π 12 TIÊU VĨNH ĐỒNG HỌC Ví dụ 2.2 Xét hội tụ tích phân suy rộng b I= a dx dx, a < b, α ∈ R (b − x)α = ∞ nên tích x→b−0 (b − x)α phân tích phân suy rộng loại với điểm bất thường x = b Theo định nghĩa ta có (với α = 1) Nếu α tích phân cho tích phân xác định thơng thường Với α > 0, lim b a dx = − lim →0+ (b − x)α b− (b − x)−α d(b − x) a b− (b − x)1−α = − lim →0+ 1−α a = − lim [ 1−α − (b − a)1−α ] →0+ − α  ∞ α > =  (b − a)1−α α < 1−α Riêng với α = 1: b a dx = − lim →0+ b−x b− a d(b − x) b−x = − lim ln |b − x| →0+ b− a = − lim (ln − ln(b − a)) = +∞ →0+ Tóm lại α < 1, tích phân hội tụ, α ≥ 1, tích phân phân kỳ Các kết phát biểu định lí sau b dx , a < b, α ∈ R hội tụ α < phân kỳ α ≥ (b − x)α b dx , a < b, α ∈ R hội tụ α < phân kỳ α ≥ (x − a)α Định lý 2.1 Tích phân I = a Tương tự ta có Định lý 2.2 Tích phân I = a 2.2 Các tính chất b Sau ta phát biểu cho trường hợp tích phân suy rộng I = f (x)dx với điểm bất thường x = b a b 1) Hai tích phân suy rộng b a b 2) Nếu A b g(x)dx hội tụ f (x)dx, a f (x)dx hội tụ phân kỳ với a < A < b f (x)dx, a b b b [C1 f (x) + C2 g(x)]dx = C1 a với C1 , C2 hai số tùy ý f (x)dx + C2 a g(x)dx a TÍCH PHÂN SUY RỘNG : KIẾN 13 THỨC CƠ BẢN , CƠNG THỨC , VÍ DỤ MẪU 3) Nếu F (x) nguyên hàm f (x) F (x) liên tục đoạn [a, b] ta dùng công thức NewtonLeibnitz b b f (x)dx = F (x) a = F (b) − F (a) a Thật vậy, với > 0, b− f (x)dx = F (b − ) − F (a) a b a 4) Đặt t = f (x)dx = lim+ [F (b − ) − F (a)] = F (b) − F (a) →0 1 =⇒ x = b − , b−x t f (x) = f b − dt , dx = t t Khi x → b − t → +∞ b− b a f (x)dx = lim+ →0 f (x)dx a f b− = lim →0+ b−a dt t t2 Như b →0+ a +∞ ϕ(t)dt = f (x)dx = lim b−a ϕ(t)dt b−a b Do tích phân suy rộng loại dạng +∞ loại dạng f (x)dx với điểm bất thường b chuyển tích phân suy rộng a ϕ(t)dt Do việc chứng minh tính chất tích phân suy rộng loại trở nên đơn b−a giản cách chuyển tích phân suy rộng loại áp dụng kết biết 2.3 Tích phân hàm số khơng âm b Sau ta phát biểu kết cho trường hợp tích phân suy rộng f (x)dx với điểm bất thường x = b a Định lý 2.3 Cho hàm số y = f (x) xác định [a, b), khả tích đoạn [a, b − ], với ∈ (0, b − a) Nếu b f (x) ≥ với x ∈ [a, b) điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ tồn K > a cho b− f (x)dx K, ∀ ∈ (0, b − a) a Định lý 2.4 (Tiêu chuẩn so sánh) Cho hai hàm số f (x), g(x) xác định [a, b), khả tích đoạn [a, b − ], với > đủ nhỏ Giả sử Khi f (x) g(x) với x ∈ [a, b) 14 TIÊU VĨNH HỌC b b f (x)dx hội tụ g(x)dx hội tụ 1) Nếu ĐỒNG a a b b f (x)dx g(x)dx a b 2) Nếu a b f (x)dx phân kỳ a g(x)dx phân kỳ a Hệ 2.1 Cho hai hàm số f (x), g(x) xác định [a, b), khả tích đoạn [a, b − ], với > đủ nhỏ Giả sử f (x) lim = K (0 K +∞) x→b−0 g(x) Khi b 1) Nếu < K < +∞ b f (x)dx a g(x)dx đồng thời hội tụ phân kỳ a b 2) Nếu K = b g(x)dx hội tụ f (x)dx hội tụ a a b 3) Nếu K = +∞ b g(x)dx phân kỳ a Nhận xét 2.3 f (x)dx phân kỳ a (i) Từ hệ ta thấy f (x) g(x) hai VCL tương đương x → b − 0, tức f (x) ∼ g(x) x → b − b tích phân b f (x)dx a g(x)dx hội tụ phân kỳ Có lẽ mà số tài liệu gọi a hệ tiêu chuẩn tương đương (ii) Hàm so sánh đơn giản thường chọn hàm dạng g(x) = 1 (hoặc g(x) = , α > kết α (x − a) (b − x)α hợp sử dụng kết Định lý 2.4 Hệ 2.1 (iii) Nếu f (x) việc khảo sát tích phân b − b −f (x)dx f (x)dx = a a Nếu f (x) đổi dấu số lần [a, a ] [a , b) giữ nguyên dấu để khảo sát hội tụ hay b phân kỳ tích phân b lại f (x)dx, ta việc cắt bỏ đoạn [a, a ] khảo sát tích phân khoảng a f (x)dx a Ví dụ 2.3 Xét hội tụ tích phân suy rộng loại sau π/2 1) √ 3) dx cos x 2) dx 4x − x2 − 4) |1 − x2 | dx dx − x3 TÍCH Giải: 1) Vì PHÂN SUY RỘNG : KIẾN 15 THỨC CƠ BẢN , CƠNG THỨC , VÍ DỤ MẪU = +∞ nên tích phân dã cho tích phân suy rộng loại với bất thường x = π/2 Vậy x→ −0 cos x lim π π/2 b dx = lim cos x b→ π2 −0 dx cos x b π x − b→ −0 π b = − lim ln tan − b→ π 2 −0 = − lim ln tan π = ∞ Vậy tích phân cho phân kỳ 2) Ta phân tích dx |1 − x2 | √ = dx + − x2 a √ = lim a→1−0 √ dx x2 − dx + lim − x2 b→1+0 √ b dx x2 − a + lim ln |x b→1+0 + x2 − 1| b √ = lim arcsin a + lim [ln(2 + 3) − ln |b + a→1−0 b→1+0 √ π = + ln(2 + 3) = lim arcsin x a→1−0 b2 − 1|] Vậy tích phân cho hội tụ Nếu ý đến tính chất 3) Mục 2.2 ta tính đơn giản sau: dx |1 − x2 | √ = dx + − x2 √ 1 + ln |x = arcsin x + √ π = + ln(2 + 3) dx x2 − x2 − 1| 3) Ta có 3 dx − (x2 − 4x + 4) = d(x − 2) − (x − 2)2 = arcsin(x − 2) = arcsin + arcsin = π Vậy tích phân cho hội tụ 4) Nhận xét 1 x+2 = + − x3 − x x2 + x + 1 Do đó, x+2 dx tích phân xác định thơng thường nên số hữu hạn Còn x2 + x + c lim c→1−0 Vậy 0 dx = − lim c→1−0 1−x c ln x √ dx x d(1 − x) = − lim ln(1 − c) = +∞ c→1−0 1−x dx = +∞, tức tích phân cho phân kỳ − x3 Ví dụ 2.4 Xét sư hội tụ tích phân dx = ∞, 1−x 16 TIÊU ĐỒNG VĨNH HỌC Giải Vì ln x với x ∈ (0, 1] nên để áp dụng Hệ 2.1, ta xét tích phân − ln x √ dx Ta có x ln x −√ x lim = lim (−x1/4 ln x) = x→+0 x→+0 x3/4 1 ln x √ dx hội tụ (thực ra, giải đơn giản cách dùng định nghĩa x 0 cơng thức tích phân phần để tính trực tiếp) Vì x3/4 hội tụ nên Nhận xét 2.1 Để áp dụng cho nhiều ví dụ khác, lời giải thường trình bày dạng tinh sau: Với α > 0, ta có lim (xα ln x) = (sử dụng quy tắc L’Hospital) Vì x→+0 | ln x| < x−α với x > đủ nhỏ α > Từ đó: | ln x| √ < với x > đủ nhỏ α > α+ x x Chọn α = ta có | ln x| √ < 3/4 với x > đủ nhỏ x x Từ suy tích phân hội tụ tuyệt đối Nhận xét 2.4 Nếu f (x) hàm xác định (a, +∞) x = a điểm bất thường (có thể có số hữu hạn điểm bất thường khoảng này), điều kiện khả tích thỏa mãn Khi ta định nghĩa tích phân (a, +∞) sau: +∞ b dn f (x)dx = a +∞ f (x)dx + f (x)dx a b a < b < +∞ số tùy ý (dễ kiểm chứng vế phải không phụ thuộc vào cách chọn b) Một số tài liệu gọi tích phân suy rộng loại (tích phân suy rộng hỗn hợp) Ví dụ 2.5 Xét hội tụ tích phân suy rộng loại sau 1) 3) Giải: 1) Vì lim √ x→1−0 2) sin 2xdx √ − x2 4) f (x) = √ mà 2) Vì √ xdx −1 esin x +∞ √ dx x3 + x xn = +∞ nên tích phân cho tích phân suy rộng loại với điểm bất thường x = Ta − x4 có 1 xn dx √ dx, n ∈ N − x4 xn = − x4 xn (1 − x)(1 + x)(1 + x2 ) ∼ x → − 2(1 − x)1/2 dx hội tụ (α = 1/2 < 1) Vậy tích phân cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh (1 − x)1/2 √ √ x x = lim = +∞ lim x→0+ esin x − x→0+ x nên tích phân suy rộng loại với điểm bất thường x = Khi x → + ta có √ √ √ x x x ∼ ∼ =√ sin x e −1 sin x x x TÍCH dx √ = x PHÂN SUY RỘNG : KIẾN THỨC CƠ BẢN , CƠNG THỨC , VÍ DỤ MẪU 17 dx hội tụ (α = 1/2 < 1) nên tích phân cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh (x − 0)1/2 3) Vì sin 2x = +∞ lim √ − x2 x→1−0 nên tích phân suy rộng loại với điểm bất thường x = Khi x → − ta có sin √ sin 2x sin 2x √ = ∼ 1/2 1/2 (1 − x) (1 + x) (1 − x)1/2 1−x mà sin √2 sin dx = √ (1 − x)1/2 dx (1 − x)1/2 hội tụ (α = 1/2 < 1) Vậy tích phân cho hội tụ tiêu chuẩn so sánh 4) Ta phân tích +∞ +∞ dx dx dx √ √ √ = + 3+x 3+x 3+x x x x I1 I2 Dễ thấy I1 tích phân suy rộng loại với điểm bất thường x = Khi x → + ta có √ =√ √ ∼ 1/2 x x + x2 x(x2 + 1) mà √1 dx x1/2 =√ dx (x − 0)1/2 hội tụ α = 1/2 < nên I1 hội tụ Còn I2 tích phân suy rộng loại Ta có √ +∞ mà 1 ∼ 3/2 x → +∞ x x3 + x dx hội tụ α = 3/2 < 1, I2 hội tụ Vậy I = I1 + I2 hội tụ x3/2 Cũng tích phân suy rộng loại 1, Định lý 2.4 Hệ 2.1 áp dụng cho trường hợp hàm số dấu tích phân khơng âm 2.4 Tích phân suy rộng loại hàm có dấu Định lý 2.5 (Tiêu chuẩn Cauchy hội tụ tích phân) Cho hàm số y = f (x) xác định [a, b) với x = b điểm bất thường, khả tích đoạn [a, c], với a c < b b Điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ với > bất kỳ, tồn δ > cho với a δ, δ ∈ (b − δ, b) δ f (x)dx < δ δ f (x)dx δ → b − Đây tiêu chuẩn Cauchy cho hàm F (δ) = a b Định nghĩa 2.5 Tích phân suy rộng b |f (x)|dx hội tụ phân suy rộng a f (x)dx với điểm bất thường x = b gọi hội tụ tuyệt đối tích a 18 TIÊU ĐỒNG VĨNH HỌC Định lý 2.6 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối hội tụ Tương tự trường hợp tích phân suy rộng loại 1, ta có tiêu chuẩn Dirichlet Abel tích phân hàm số không bị chặn Bạn đọc tự phát biểu chứng minh tiêu chuẩn Ví dụ 2.6 Xét hội tụ tích phân sau I = Giải Ta có ln x dx với α ∈ (0, 1) + xα | ln x| − ln x = , ∀x ∈ (0, 1) xα xα ln x + xα Chọn β ∈ (0, 1): < α < β < 1, − ln x xα = lim (−xβ−α ) ln x = lim + x→0+ x→0 β x Nhưng I = dx hội tụ < β < I = xβ ln x dx hội tụ tuyệt đối + xα Ta nhắc lại tính chất tích phân xác định sau Định lý 2.7 Nếu hàm số f (x) ϕ(x) khác số hữu hạn điểm khoảng [a, b] với giả thiết hàm số khả tích, ta khẳng định hàm số khả tích b b f (x)dx = a ϕ(x)dx a Nhận xét 2.5 Giả sử hàm số f (x) xác định khắp nơi [a, b] trừ số hữu hạn điểm x1 , x2 , , xn Định lý cho phép đưa khái niệm tích phân hàm số cách sau: Xác định thêm cho f (x) giá trị điểm x1 , x2 , , xn gọi ϕ(x) hàm số xác định tồn khoảng Nếu ϕ(x) khả tích khoảng [a, b] ta nói f (x) khả tích khoảng Theo định nghĩa ta đặt b b f (x)dx = a ϕ(x)dx a Ta thấy tính khả tích f (x) giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào cách bổ sung giá trị cho hàm số Ví dụ 2.7 • Hàm số f (x) = sin x (0 < x x 1) liên tục (0, 1] Vì sin x =1 x→0 x lim nên ta xét hàm  f (x) < x ϕ(x) = 1 x = liên tục toàn đoạn [0, 1] Vậy theo Định lý 2.7, f (x) khả tích khoảng [0, 1] sin x dx = x ϕ(x)dx • Hàm số f (x) = sin , < x 1, f (0) = 5, khả tích khoảng [0, 1] bị chặn có x khoảng điểm gián đoạn x = TÍCH PHÂN SUY RỘNG : KIẾN THỨC CƠ BẢN , CƠNG THỨC , VÍ DỤ MẪU 19 Ví dụ 2.8 Xét hội tụ tích phân suy rộng +∞ 1) I = Giải 1) I = sin x dx + x +∞ +∞ sin x dx x 2) J = x √ arctan dx x+2 x sin x dx = I1 + I2 x sin x = nên I1 tích phân xác định thông thường (xem ý sau Định lý 2.7 Ví dụ 2.7) Do x số hữu hạn • Vì lim+ x→0 • I2 hội tụ theo tiêu chuẩn Dirichlet Do tích phân cho hội tụ 1 x √ arctan 2) J = dx + x + x +∞ 1 x √ arctan dx = J1 + J2 x+2 x x • Vì lim+ √ arctan = nên J1 tích phân xác định thơng thường (xem ý sau Định lý 2.7 Ví dụ x+2 x x→0 2.7) Do số hữu hạn x π 1 ∼ √ (khi x → +∞) • Vì √ arctan x+2 x x +∞ dx √ phân kỳ nên J2 phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh x Do tích phân cho phân kỳ Ví dụ 2.9 Xét hội tụ tích phân suy rộng +∞ 1) I = Giải 1) I = • I1 = +∞ ln(1 + x ) √ dx + 2x6 + x5 ln(1 + x2 ) √ dx 2x6 + x5 +∞ 2) J = arctan x dx x3/2 ln(1 + x ) √ dx = I1 + I2 2x6 + x5 ln(1 + x2 ) √ dx Ta có 2x6 + x5 ln(1 + x2 ) x2 √ ∼ √ = √ (khi x → 0+ ) 5 x 2x + x x Tích phân +∞ • I2 = dx √ hội tụ nên I1 hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh x ln(1 + x2 ) √ dx Nhận xét 2x6 + x5 ln(1 + x2 ) = 0, ∀α > x→+∞ xα lim Do tồn A > cho ln(1 + x2 ) < xα , với x > A, α > Từ ln(1 + x2 ) xα √ < √ với x > A, α > 2x6 + x5 x6 ln(1 + x2 ) √ < 3−α với x > A, α > 2x 2x + x Chọn α = ta ln(1 + x2 ) √ < với x > A 2x 2x + x +∞ Tích phân dx hội tụ nên I2 hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Tóm lại tích phân cho hội tụ x2 20 TIÊU ĐỒNG VĨNH HỌC Lưu ý việc xét hội tụ I2 sử dụng đánh giá đơn giản sau: √ ln(1 + 2x + x2 ) ln(1 + x2 ) ln(1 + x) 2x √ √ < ∀x ≥ : √ =