Chuỗi số Giải tích Đại học Giao Thông Vận Tải

Giáo trình chuỗi số giải tích đại học Giao thông vận tải.....................................

CHAPTER CHƯƠNG 6: CHUỖI SỐ CHAPTER Nội dung: 6.1 Các định nghĩa chuỗi số 6.2 Tính chất điều kiện hội tụ chuỗi số 6.3 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa 6.4 Một số ứng dụng chuỗi số CHAPTER 6.1 Các định nghĩa chuỗi số Những ký hiệu 1 Cho dãy số sau: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,…có số hạng tổng quát: an    2 n 1 Khi đó, dãy số viết sau: a1, a2, a3, a4, a5, …an • an thể dạng chung số hạng chuỗi số nên gọi số hạng tổng quát hay số hạng thứ n chuỗi số • Tổng n số hạng chuỗi gọi tổng riêng thứ n chuỗi s0  a0   ak k 0 s1  a0  a1   ak k 0 n sn  a0  a1  a2  a3  an   ak k 0 CHAPTER 6.1 Các định nghĩa chuỗi số Định nghĩa chuỗi • Chuỗi số: Chuỗi số tổng hình thức số hạng dãy số vô hạn (n tiến đến vô cùng) Chuỗi số chuỗi số dương, chuỗi đan dấu chuỗi có dấu Ký hiệu:    ak Ví dụ: k 0 • 1)  k  ( k  1)( k  2) 2)   (1)k k 1 k Chuỗi số dương: Chuỗi số chuỗi mà tất số hạng số dương  a , a k 0 k k  0, k = 0, 1, 2, , n, Chuỗi đan dấu: Chuỗi: Ví dụ: 1)  e  k 1 k 2)  k k 0  •   (1) k 0 k ak với ak  với k  N, gọi chuỗi đan dấu Ví dụ:  1)  (1) k 1 k 1 k  2)  ( 1) k e k 1 k 0 CHAPTER 6.1 Các định nghĩa chuỗi số Định nghĩa chuỗi hội tụ, chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ: Nếu tổng sn tiến đến giá trị hữu hạn L n  , ta nói chuỗi • số hội tụ có tổng L n lim sn  lim  ak  L n  • n  k 0 Chuỗi phân kỳ: Nếu tổng sn không tiến đến giá trị hữu hạn không tồn n   ta nói chuỗi số  1  k k 1 phân kỳ Hình Hình minh họa chuỗi số hội tụ CHAPTER 6.1 Các định nghĩa chuỗi số Định nghĩa chuỗi hội tụ, chuỗi phân kỳ: Ví dụ 1: Chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ Nếu chuỗi hội tụ, tính tổng? a)   k  ( k  1)( k  2) b)  2 k 0 a) Số hạng chuỗi biểu diễn dạng sau: 1   Khi đó, tổng n số hạng dãy: (k  1)(k  2) k  k  n 1 1      1 2  n  (n  1) ( n  1)  ( n  2) k  ( k  1)( k  2) sn     1   1 1 1 1  1                 2  3  n n 1   n 1 n    1 n2 Khi n   sn  Chuỗi hội tụ giá trị b)   (k  1)(k  2)  k 0 n sn =  2k      2n k 0 Khi n   2n   mà sn > 2n nên sn   Chuỗi phân kỳ Hình Minh họa ví dụ k CHAPTER 6.1 Các định nghĩa chuỗi số Một số chuỗi số thường gặp Chuỗi số nhân (the infinite geometric series):  r k   r  r  r  k 0 • hội tụ | r | < • phân kỳ | r |  r gọi công bội Chuỗi Dirichlet (the p series):  1 1       p p p p k 1 k • Hội tụ p > • Phân kỳ p  Khi p = gọi chuỗi điều hòa CHAPTER 6.1 Các định nghĩa chuỗi số Một số chuỗi số thường gặp Chứng minh hội tụ chuỗi số nhân: Tổng n số hạng chuỗi số: n sn   r k   r  r  r   r n k 0 Nhân vế biểu thức với r Ta được: n  rsn  r  r k  r (1  r  r  r   r n )  r  r  r   r n 1 k 0 Ta có: • sn  rsn   r n 1  r n 1 với r  1, ta có: sn  1 r Với | r | < 1: n   nên rn+1 0, tổng n số hạng đầu tiên: sn  •  chuỗi số hội tụ 1 r Hình Chuỗi số nhân Với r = 1: n sn   r k    12  13   1n 1  n  n   sn   Chuỗi số phân kỳ k 0 • Với r = - 1: Chuỗi số có giá trị (n lẻ) (n chẵn) Chuỗi số phân kỳ CHAPTER 6.2 Tính chất điều kiện hội tụ chuỗi số Các tính chất chuỗi số hội tụ Tính chất 1: Tổng chuỗi số   Nếu chuỗi số  a k 0 k a k 0 k hội tụ có tổng L b k 0 k hội tụ có tổng M  bk hội tụ có tổng L + M Tính chất 2: Tích số với chuỗi số   Nếu chuỗi số  Ngược lại, a k 0 a k 0 k hội tụ có tổng L Khi đó,  a k 0 k hội tụ có tổng L  k phân kỳ Khi đó,  a k 0 k phân kỳ ( số) Tính chất 3: Sự lược bỏ số hạng Sự hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không thay đổi bỏ số hữu hạn số đầu chuỗi Lưu ý: Trong định lý bỏ số hạng đầu bỏ số số hạng hữu hạn quãng (vì tổng hữu hạn hội tụ), bỏ số hạng đầu đến hết quãng CHAPTER 6.2 Tính chất điều kiện hội tụ chuỗi số Các tính chất chuỗi số hội tụ (tiếp):  Tính chất 4: a Nếu chuỗi số k 0 k hội tụ số hạng tổng quát ak  k    Lưu ý (1): Điều ngược lại TC không Nghĩa là, ak  k   chuỗi a k 0 k phân kỳ  Ví dụ 2: Xét hội tụ chuỗi số n Nhưng chuỗi phân kỳ: sn   k 1   n chuỗi phân kỳ  k 1   k 1  k 1 1 Mặc dù: k  , 0 k k 1 1 1 1            n k n n n n n chuỗi phân kỳ k Lưu ý (2): Nếu lim ak  chuỗi phân kỳ k   Ví dụ 3: Xét hội tụ chuỗi số k  k 1 k 0 k Ta có: k  ,   Khi chuỗi k 1  k  k 1 phân kỳ k 0 10 CHAPTER 6.2 Tính chất tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số Chuỗi số đan dấu, tiêu chuẩn hội tụ  Xét chuỗi số đan đấu    1 k k 1  k 1 ak   ak k 1  (1) Với k ak , ta có:  a n 1 k chuỗi số dương Định nghĩa hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ (đặc tính hội tụ):   ak hội tụ chuỗi Nếu chuỗi k 1  • Chuỗi a k 1    1 k 1 Chuỗi a k 1 ak hội tụ hội tụ chuỗi số dương gọi hội tụ tuyệt đối k  • k k  phân kỳ chuỗi   1 k 1  k ak hội tụ chuỗi a k 1 k gọi bán hội tụ (hội tụ bán tuyệt đối) 16 CHAPTER 6.2 Tính chất tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số Chuỗi số đan dấu, tiêu chuẩn hội tụ (1) k 1 Ví dụ 9: Xét tính hội tụ chuỗi số sau:  k2 k 1  (1) k 1 1 1        2 k k 1   1 1       2 k k 1 Xét chuỗi số dương:   Chuỗi số hội tụ p = > (chuỗi Dirichlet) k 1 (1) k 1  k2 k 1 k hội tụ tuyệt đối  hội tụ 17 CHAPTER 6.2 Tính chất tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số Chuỗi số đan dấu, tiêu chuẩn hội tụ Dấu hiệu Leibnitz: Cho ak dãy số đơn điệu giảm (khi k đủ lớn) lim an  n     (1) k k 1 ak hội tụ  Lưu ý: Nếu dùng Quy tắc D’Alembert (the ratio test) quy tắc Cauchy xét chuỗi số dương  mà chuỗi phân kỳ chuỗi đan dấu  (1) k 1 k a k 1 ak phân kỳ k (1) k 1 Ví dụ 10: Xét tính hội tụ chuỗi số đặc tính hội tụ chuỗi số sau:  k k 1  Dãy số dãy số đơn điệu giảm dần k   k Theo dấu hiệu Leibnitz chuỗi  Xét chuỗi số dương:  Chuỗi số (1) k 1 hội tụ  k k 1   k 1  k 1 k chuỗi số phân kỳ chuỗi Dirichlet (p = ½ < 1) hội tụ bán tuyệt đối k 18 CHAPTER 6.3 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa Chuỗi hàm Định nghĩa : Cho dãy hàm fn xác định D Ta gọi tổng hình thức: f1 ( x)  f ( x)   chuỗi hàm ký hiệu f n 1 n ( x) Điểm x0  D gọi điểm hội tụ chuỗi hàm chuỗi  f n 1 n ( x0 ) hội tụ Tập hợp điểm hội tụ chuỗi hàm gọi miền hội tụ chuỗi hàm 19 CHAPTER 6.3 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa biến thực x chuỗi có dạng: 1)  a x n0 2) n  n  a0  a1 x  a2 x   an x n   a ( x  a) n 0 n n  a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a)   an x n  Trong đó: a0, a1, a2…là số Phương trình (1) thường dùng biểu diễn chuỗi lũy thừa, phương trình (2) dạng tổng quát Miền hội tụ chuỗi lũy thừa: Tập hợp điểm hội tụ chuỗi lũy thừa gọi miền hội tụ chuỗi lũy thừa Đối với phương trình (2) ln tồn số dương R cho:  R  x  a  R Khi đó, R gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa 0R Hội tụ Phân kỳ  k Ví dụ 11: Miền hội tụ chuỗi  x   x  x  x  -1 < x < (Chuỗi số nhân)  R = k 0 20 CHAPTER 6.3 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa (tiếp) Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa xác định cơng thức sau: 1) R  lim k  ak ak 1 2) R  lim k  k ak (Theo tiêu chuẩn D’Alembert) (Theo tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi Taylor • Chuỗi lũy thừa dạng:  f ' ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( n ) ( x  x0 ) n f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 )   ( x  x0 )   1! n! n! n0 gọi chuỗi Taylor • Các hệ số chuỗi: f '( x0 ) f ''( x0 ) f ( n ) ( x0 ) a0  f ( x0 ); a1  ; a2  ; ; an  1! 2! n! gọi hệ số chuỗi Taylor hàm f(x) • Khi x0 = gọi chuỗi Maclaurin 21 CHAPTER 6.3 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa Chuỗi Maclaurin miền hội tụ: Bảng Các chuỗi Maclaurin bán kính hội tụ (Source: Caculus 7th Edition, James Stewart, P 786) 22 CHAPTER 6.4 Một số ứng dụng chuỗi số Ứng dụng tốn học • Giải phương trình vi phân • Biến đổi dạng gần hàm số Ứng dụng vật lý kỹ thuật • Sự truyền nhiệt, sóng điện từ, dao động, tốn động lực • Các tốn xạ Ứng dụng khoa học máy tính • Tạo hàm (to create functions) Ứng dụng tài • Tính số nhân (fiscal multipliers) 23 CHAPTER 6.4 Một số ứng dụng chuỗi số Ứng dụng toán học: s1 s5 Biến đổi Taylor, Maclaurin Các hàm số ex, sin x, ln(1+x), (bảng 1), ta biến đổi thành chuỗi lũy thừa tương ứng Khi đó, hàm số phức tạp biến đổi thành chuỗi lũy thừa, từ thuận tiện s3 cho việc khảo sát, tính tốn gần ứng dụng chuyên ngành khác (a) f ( x)  , |x| < 1 x (c) (b) Hình Hàm f(x) vài tổng x 24 CHAPTER 6.4 Một số ứng dụng chuỗi số Ứng dụng toán học: Sử dụng chuỗi số để tính gần kết quả: Ví dụ 10: Sử dụng chuỗi số hàm sine tính gần sin 0.5 sai số cho phép 0.001 Tại x = 0.5, chuỗi hàm sin 0.5 biểu diễn sau: 0.53 0.55 0.57 sin 0.5  0.5     3! 5! 7! Khi số hạng tổng quát: an  0.5n 1  n 1 ( n  1)! ( n  1)! Sai số 0.001, nên:  0.001  2n 1 (n  1)!  1000  n  n 1 (n  1)! Vậy giá trị gần sin 0.5 với sai số cho phép 0.001 là: 0.53 0.55 sin 0.5  0.5    0.47942 3! 5! Hình Hàm ex khai triển Taylor gần 25 CHAPTER 6.4 Một số ứng dụng chuỗi số Ứng dụng toán học: Biểu diễn nghiệm phương trình vi phân biến Một số phương trình vi phân có dạng nghiệm chuỗi lũy thừa Khảo sát phương trình vi phân cấp biến sau: dy dy x  x  ( x2   ) y  dx dx Nghiệm pt vi phân hàm Bessel có dạng sau: x (1) k ( ) k  x J ( x)       k  (k !)(k   )! m  Khi  = Hàm Bessel có dạng: Hình Hàm Bessel Hàm Bessel diễn tả chuỗi hàm với biến x (x  R) 26 CHAPTER 6.4 Một số ứng dụng chuỗi số Ứng dụng vật lý kỹ thuật: Hàm Bessel dùng để mơ tả/tính tốn: • Sự truyền nhiệt vật thể hình trụ • Sóng điện từ ống dẫn hình trụ trịn • Dao động mỏng hình trịn • Bài toán động lực học vật thể mặt nước • Các tốn xạ Hình Truyền nhiệt vật thể hình trụ Hình Sóng điện từ ống dẫn trụ trịn Hình Dao động mỏng hình trịn 27 CHAPTER 6.4 Một số ứng dụng chuỗi số Ứng dụng vật lý kỹ thuật Chuỗi Fourier Với hàm tuần hồn khả tích ƒ(x) đoạn [−π, π] Phân tích chuỗi Fourier f(x) có dạng: a0  f ( x)    (ak cos kx  bk sin kx ) k 1 Với hệ số: an   bn    f ( x) cos(nx) dx, n      f ( x) sin(nx)dx, n   Hình 10 Khai triển Fourier cho số hàm tuần hoàn 28 CHAPTER 6.4 Một số ứng dụng chuỗi số Ứng dụng vật lý kỹ thuật Ví dụ xử lý tín hiệu âm Hình 11 Bộ chuyển đổi Analogue to digital signal 29 CHAPTER 6.4 Một số ứng dụng chuỗi số Ứng dụng vật lý kỹ thuật Trong q trình xử lý tín hiệu tương tự (Analog signal) sang tín hiệu số (Digital signal), biến đổi Fouries sử dụng để phân tích tín hiệu Hình 12 Sử lý tín hiệu tương tự  tín hiệu số (Nguyễn et al 2012) 30 ... định nghĩa chuỗi số 6.2 Tính chất điều kiện hội tụ chuỗi số 6.3 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa 6.4 Một số ứng dụng chuỗi số CHAPTER 6.1 Các định nghĩa chuỗi số Những ký hiệu 1 Cho dãy số sau: 1,... p > • Phân kỳ p  Khi p = gọi chuỗi điều hòa CHAPTER 6.1 Các định nghĩa chuỗi số Một số chuỗi số thường gặp Chứng minh hội tụ chuỗi số nhân: Tổng n số hạng chuỗi số: n sn   r k   r  r  r... dụ 10: Xét tính hội tụ chuỗi số đặc tính hội tụ chuỗi số sau:  k k 1  Dãy số dãy số đơn điệu giảm dần k   k Theo dấu hiệu Leibnitz chuỗi  Xét chuỗi số dương:  Chuỗi số (1) k 1 hội tụ 