BÀI tập GIẢI TÍCH III (phương trình vi phân và chuỗi)

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2018 BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân chuỗi) Nhóm học 3: Mã MI1133 Kiểm tra kỳ : Tự luận Thi cuối kỳ : Tự luận I CHUỖI 1) Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi sau 1 1  1   1 a)            n  n     3   2  b) 1    1      c)     225 (2n  1) (2n  1)  d) ( n 1 n  ) n( n  1)( n  2)( n  3) 2) Các chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ? sao?  1 n  a)    n 1  n   n  b)    1 n  n 1 3 5n  3) Sử dụng tiêu chuẩn: So sánh; D’Alembert; Cauchy; Tích phân, xét hội tụ chuỗi sau a) d)  n  n 1 10n    n 1 g) k) n 1  n 1 n 3/4  b)  n2 n ( n  1)( n  2)  n  1 n ln n n 1 1 n  e)    n 1 n  n  ln n  n n2 h) (3n  1)!  n n1 n l)    n2   5 (2n  1) 22 n (n  1)! n2    1 n  c)    n2  n    f)  n  ln n  i)  1   n  ln n 1 1 n   n  4) Xét hội tụ chuỗi số   1 a)  n 1   n n 1  n2 b) ( n 1) n  n 1  d)    n 1  n    g)  n 3 n ln n(ln ln n)   3n (n !)  n 1 (2n)! c)  e) 7n (n!)2  n2n n1 h) e  n! n n 1 n   f) n2   2n n 1    n  n   4n    n 1 2n n 5) Xét hội tụ chuỗi số  1n  a)  n  e  1 n 1    c) b)   arcsin(e n ) g) a  d)   cos  , a   n n 1   ,   0,   f)    n 3 n (ln n)   5 (2n  1) 3n  n ! n 1  nn  2n  (n 1) n1 n3    n2  a , a   n 1 n 1 e)   sin   h) n  na  (1  a n 1 n ) , a  ,0 | a | 6) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau a) d)    n n 1  x xn b)  2n n 1  x c) (1) n1  n 1  n x f)  cos(nx)  2nx n 1 e) n n  3x   g)   ,     x  n 1 ( n  1)   h)    x n 1 n  n 1  xn n 1     x 2n   (n  1) n 1 ( x  2)12 n   2n x n  7) Dùng tiêu chuẩn Weierstrass, chứng minh chuỗi sau hội tụ tập tương ứng  xn a)   n n 1 (1  x ) c)  2 n 1 n 1 [0,  )  nx n  2x   b)  n1   [-1,1]  x2  n 1  2 e n x d)   n 1 n  8) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau a) ( x  2)  n2 n 1  b)   n n 1 n ( x  1) (2 x  1) n d)  n2n n 1 n  2x 1  e)  n1    x 1  n 1 ( x  5) n1 g)  2n  n n 1 h)    c) ( x  3) n 5  n2  n 1 f) ( x  1) n  n 1 n  n (1) n 1 (2n  1) n ( x  1) n  (3n  2) n n 1  i)    n! n n 1 n ( x  3) n 9) Tính tổng chuỗi sau x n 5 a)  n , x   3,3 n  (2n  1) (1) n 1 b)  n 1 n 1 (2n  1)    x n , x   1,1 c)  n  (2n  1)(2n  2)  d)   2n  n  x , x   1,1 n n 1    n 10 Khai triển thành chuỗi Maclaurin x3  x  a) f ( x )  x  4x  c) f ( x)   x2 11 a) Khai triển f ( x )  x thành chuỗi lũy thừa x - b) Khai triển f ( x)  sin x thành chuỗi lũy thừa x -1 12) a) Khai triển Fourier hàm số sau (1) f  x  | x |, | x | , cách kéo dài f thành hàm tuần hoàn với chu kỳ (2) f  x   x,  x  , cách kéo dài f thành hàm chẵn (-1,1), tuần hoàn chu kỳ Nếu kéo dài f thành hàm lẻ (-1,1), tuần hồn chu kỳ 2, dạng khai triển Fourier nào? b) Cho f  x   x [ ,  ] Hãy khai triển Fourier hàm f  x  , sau tính tổng chuỗi số   (1) n n 1 , n2   n 1 n2 II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình phân li b) y 'cos x  y a) tan ydx  x ln xdy  c)  y2 x  x  13  d) y '  a cos y  b  b  a   3y  y' x 1 e) y ' y  y   f) y '  x  y   g) y '  sin  y  x  1 h) y '  i) x  y   dx   y   y dy, x  y 1 x y2 k) xydx  1  y   x dy  0, y  0  y( )  Phương trình vi phân đẳng cấp cấp a) y '  y x  1 x y b) xy '  x sin d) ( x  y ) dx  xdy  c) x y ' y  xy  x   y e) xydy  y dx   x  y  e x dx g) xy '  y ln y  y x y , y 1 1 x f)  x  y  3 dy   x  y  1 dx  h)   xy  x dy  ydx  0, y 1  Phương tình vi phân tuyến tính cấp a) y ' xy   x b) y '  y  xe x  2e x   x c) x 1  x  y ' y  arctan( x) d) y '  x  y   y e)  xy  3 dy  y dx  f) 1  y  dx   arctan y  x  dy g) y’  y cos x  sin x cos x, y  0  h) y '  x  y  arcsin x, y (0)  Phương trình Bernoulli a) y’  xy x y  x2 c) y ' y tan x  y sin x  b) y ' y  x2 y x d) ydx   x  x y  dy    y  1 2 e) 3dy  1  y  y sin xdx  0, f)  y  y  x  y ' x  0, y (1)  Phương trình vi phân toàn phần a) ( x  y )dx  ( x  y)dy   2   b)  y   dx   x   dy  x  y    c) (e x  y  sin y )dx  (e y  x  x cos y )dy  d) e y dx  ( xe y  y ) dy  0, y (1)  6) Tìm thừa số tích phân  ( y ) để phương trình sau phương trình vi phân tồn phần giải phương trình với  tìm  xy  y  dx   y  xy  dy  7) Tìm thừa số tích phân  ( x ) để phương trình sau phương trình vi phân tồn phần giải phương trình với  tìm    x  y  ln( x  y )  dx  x  y dy    8) Giải phương trình sau a) y '  x 2 y 1 c) y ' y 1  x2 0 b) ( y  x ) dy 2 xydx  0, x d) y ' y  e y , y (0)  y (0)  9) Giải phương trình sau a) y "3 y ' 10 y  xe 2 x d) y '' y ' y  e2 x  sin 2x b) y " y  x sin x c) y " y  xe x  3e x e) y " y  2cos x cos x f) y '' y ' y  sin x  sinh x b) y " y '  tan x c) y " y ' y  10) Giải phương trình sau a) y " y  ex  ex ex x 11) Giải phương trình (2 x  22 ) y ' '2( x  1) y'2 y  2 biết có hai nghiệm riêng y1  x y2  12) Giải phương trình ( x  1) y '' xy ' 4y 2x  với phép biến đổi x  tan t x  ( x  1) 2 13) Giải phương trình sau a) y '' 2my ' m y  ( x  1)e mx  2sin x, m   b) y '' y ' y  ex  (2 x  1)e x  x 14) Một vật thể với trọng lượng N, treo vào lò xo làm lò xo dãn thêm 6cm vị trí cân Ta kéo vật thể xuống thêm cm thả để dao động tự không tắt dần: a) Xác định số tỷ lệ k lò xo định luật Hook b) Xác định vị trí u vật thể thời gian t c) Tìm tần số, chu kỳ, biên độ dao động 15) Một vật thể với trọng lượng N treo vào lò xo kéo dài lò xo thêm đoạn 10cm đến vị trí cân Vật thể truyền vận tốc ban đầu 3cm/sec bắt đầu di chuyển từ vị trí cân môi trường chịu ảnh hưởng lực cản nhớt 2N vận tốc vật thể 4cm/sec a) Hãy lập tốn giá trị ban đầu mơ tả chuyển động vật thể b) Giải toán giá trị ban đầu c) Giả sử có ngoại lực f tác động vào vật thể với f(t) = cos ωt Viết phương trình mơ tả dao động với ngoại lực giải phương trình Tìm giá trị tần số ω để biên độ giao động lớn 16) Một vật thể với trọng lượng N kéo dài lò xo 1,5 cm vị trí cân Vật thể được kéo thêm cm theo hướng dương kể từ vị trí cân thả mà khơng có vận tốc ban đầu Giả sử khơng có tắt dần có ngoại lực cos 3t (N) (a) Xây dựng toán giá trị ban đầu mô tả chuyển động vật thể (b) Giải toán giá trị ban đầu (c) Nếu ngoại lực thay lực sin ωt, tìm giá trị tần số ω để cộng hưởng xảy III Phép biến đổi Laplace: Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace hàm số sau a) f (t )  t b) f (t )  e3t 1 c) f (t )  sinh(kt ) d) f (t )  sin t Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace hàm số sau a) f (t )  t  3t b) f (t )  t  2e3t c) f (t )   cosh(5t ) d) f (t )  cos (2t ) e) f (t )  (1  t )3 f) f (t )  tet Sử dụng bảng phép biến  đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm số sau s4  3s d) F ( s )  s 9 a) F ( s )   5/2 s s 10 s  e) F ( s )  25  s b) F ( s )  c) F ( s )  s4 Tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo hàm số sau a) F (s)  s( s  3) b) F (s)  s( s  4) d) F ( s )  s ( s  1) e) F ( s)  s ( s  1)(s  2) 2 c) F ( s )  s ( s  1) Áp dụng Định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace hàm số sau a) f (t )  t 4e t b) f (t )  e2t sin 3 t Áp dụng định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm số sau a) F ( s )  2s  b) F ( s )  s  4s  c) F ( s )  3s  s  s  25 Sử dụng phân thức đơn giản để tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm số sau s 4 d) F ( s )  s  16 a) F ( s )   2s s  s  10 s  2s e) F ( s )  s  5s  b) F ( s )  c) F ( s )  s  5s Dùng định lí vi, tích phân phép biến đổi Laplace để tìm phép biến đổi Laplace hàm sau a) f (t )  t sin 3t c) f (t )  sin t t b) f (t )  te2t cos 3t d) f (t )  e 3t  t Áp dụng định lí tích chập để tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau a) F ( s )  s ( s  3) b) F ( s )  ( s  9) c) F ( s )  s2 ( s  4) d) F ( s)  s ( s  3)( s  1) 10 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải toán giá trị ban đầu a) x "4 x  0, x(0)  5, x '(0)  b) x " x ' x  0, x(0)  0, x '(0)  c) x " x  sin 2t , x(0)  0, x '(0)  d) x " x  cos3t , x(0)  1, x '(0)  e) x " x ' x  1, x(0)   x '(0) f) x " 3x '2 x  t , x(0)  0, x '(0)  g) x " x ' 13x  tet , x(0)  0, x '(0)  h) x '' x ' 18 x  cos 2t , x(0)  1, x '(0)  -1 11 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau  x " x ' y ' x  y  0, x(0)  y (0)   x "2 x 4 y  0, x(0)  y (0)  c)  d)   y " x ' y ' x  y  0, x '(0)  y '(0)   y " x  y  0, x '(0)  y '(0)  1 12 Giải phương trình vi phân cấp cao với điều kiện ban đầu a) x " x ' 25 x  0, x(0)  2, x '(0)  b) x " x  3t , x(0)  x '(0)  c) x (3)  x " x '  0, x(0)  0, x '(0)  x "(0)  d) x(4)  x  0, x(0)  0, x '(0)  x "(0)  0, x(3) (0)  e) x (4)  x " 16 x  0, x(0)  x '(0)  x "(0)  0, x (3) (0)  13 Giải toán với giá trị ban đầu mx '' cx ' kx  f (t ), x(0)  x '(0)  a) m  1, k  4, c  0, 1,  t   f (t )   0, t   b) m  1, k  9, c  0, sin t ,  t  2 f (t )   t  2 0, c) m  1, k  4, c  4, t ,  t  f (t )   0, t  ... số tích phân  ( y ) để phương trình sau phương trình vi phân tồn phần giải phương trình với  tìm  xy  y  dx   y  xy  dy  7) Tìm thừa số tích phân  ( x ) để phương trình sau phương trình. ..  ( x ) để phương trình sau phương trình vi phân tồn phần giải phương trình với  tìm    x  y  ln( x  y )  dx  x  y dy    8) Giải phương trình sau a) y '  x 2 y 1 c) y ' y 1... " y ' y  10) Giải phương trình sau a) y " y  ex  ex ex x 11) Giải phương trình (2 x  22 ) y ' '2( x  1) y'2 y  2 biết có hai nghiệm riêng y1  x y2  12) Giải phương trình ( x  1)