CÁC DẠNG TOÁN cơ bản ôn THI học kỳ II lớp 12

Cac dang toan on thi hoc ki II lop 12

I. Khảo sát hàm số: Khảo xát và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = x 3 -3x 2 + 2 b) y = x 3 – 6x 2 +9x +1 c) y = -2x 3 +3x 2 +1 d) y = x 4 -4x 2 +1 e) y = -x 4 +4x 2 +1 II. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) I.TÍCH PHÂN: 1. Tích phân chứa căn: 1 3 2 0 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 3 1 1 1. 1 2 1 1 2 3 3 / : x = 0 t = 1 x =1 t = 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 I = 2 1 3 3 3 3 9 9 9 1 I x x dx tdt t x t x tdt x dx x dx d c tdt t t t dt = + = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ − = = = − = ∫ ∫ ∫ 2 0 2 2 2 3 3 2 3 1 1 2. sinx 1cos sinx 1 sinx 1 2 cos cos 2 / : x = 0 t = 1 x = t = 2 2 2 2 4 2 2 2 I = 2 2 2 2 1 3 3 3 3 1 I xdx t t tdt xdx xdx tdt d c t t tdt t dt π π = + = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ − = = = − = ∫ ∫ ∫ 1 0 2 1 1 3 2 3 3 1 1 3. 1 1 1 2 2 / : x = 0 t = 1 x =1 t = 1 2 2 1 I = 2 2 2 ( 1) 1 3 3 3 1 x x x x x x e e I e e dx t e t e tdt e dx e dx tdt d c e t e t tdt t dt e + + = + = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ + + = = = + − ∫ ∫ ∫ 1 2 2 2 3 2 3 3 1 1 3ln 1 4. 3 2 3ln 1 3ln 1 2 3 3 / : x = 1 t = 1 x =e t = 2 2 2 2 2 2 2 14 I = 2 1 1 3 3 3 3 9 9 9 e x I dx x dx dx tdt t x t x tdt x d c tdt t t t dt + = = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = = = − = ∫ ∫ ∫ 2. Tích phân đặt t bằng mẫu: 1 2 0 2 2 2 1 1 1. 1 1 2 2 / : x = 0 t = 1 x =1 t = 2 2 1 1 1 1 1 I = ln | | ln 2 ln1 ln 2 1 2 2 2 2 2 2 x I dx x dt t x dt xdx xdx d c dt dt t t t = + = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = = = − = ∫ ∫ ∫ 2 0 1 2 2 1 sin 2. cos 1 cos 1 sin sin / : x = 0 t = 2 x = t = 1 2 2 ( ) I = ln | | ln 2 ln1 ln 2 1 x I dx x t x dt xdx xdx dt d c dt dt t t t π π = + = + ⇒ = − ⇒ = − ⇒ ⇒ − = = = − = ∫ ∫ ∫ 1 0 e +1 1 3. 1 1 / : x = 0 t = 2 x =1 t = e +1 e +1 I = ln | | ln( 1) ln1 ln( 1) 1 x x x x x e I dx e t e dt e dx e dx dt d c dt t e e t = + = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = = + − = + ∫ ∫ 2 2 2 1 1 4. ln ln / : x = e t = 1 x =e t = 2 2 I = ln | | ln 2 ln1 ln 2 1 e e I dx x x dx t x dt x d c dt t t = = ⇒ = ⇒ ⇒ = = − = ∫ ∫ 3) Tích phân đặt bằng trong lũy thừa: 1 2 3 0 2 2 2 4 3 3 4 4 1 1 1. ( 1) 1 2 2 / : x = 0 t = 1 x =1 t = 2 2 1 1 1 1 I = 4 1 1 2 2 2 4 4 4 I x xdx dt t x dt xdx xdx d c dt t t t dt = + = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = = = − ∫ ∫ ∫ 2 4 0 5 3 2 2 5 4 4 1 1 2. (3sinx 1) cos 3sin 3cos cos 3 / : x = 0 t = 1 x = t = 4 2 4 1 1 1 4 1 1 I = 1 3 3 3 5 3 5 3 5 I xdx dt t x dt xdx xdx d c dt t t t dt π π = + = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ = = = − ∫ ∫ ∫ 4) Tích phân chứa e mu đặt t = mu 2 1 1 0 0 2 2 d/c: x = 0 t = 0 x = 1 t = 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 1 2 0 t t t dt dt xdx xdx dt e I e e dt e x I xe dx t x ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ − = = = = = ∫ = ∫ ∫ 2 0 sinx 2. cos sinx os d/c: x = 0 t = 0 x = t = 1 2 1 1 1 1 0 0 0 I xe dx t dt c xdx t t t I e dt e dt e e π π = ∫ = ⇒ = ⇒ ⇒ = = = = − ∫ ∫ 4) Tích phân từng phần: 1 0 1 0 1. (2 1) 2 1 2 1 1 (2 1) 2 3 1 2 0 0 3 1 (2 2) 1 x x x x x x I x e dx u x du dx dv e dx v e I x e e dx e e e e e = + = + =   ⇒   = =   = + − = − − = − − − = + ∫ ∫ 2 0 2 0 2. ( 1)sinx 1 sinx cos ( 1)cos ( cos ) 1 sinx 2 2 0 0 2 I x dx u x du dx dv dx v x I x x x dx π π π π = + = + =   ⇒   = = −   = − + − − = + = ∫ ∫ 1 2 2 2 2 2 2 1 3. lnx ln 2 1 ln 1 1 2 2 2 4 4 2 e e I x dx dx du u x x dv xdx x v e e x x dx e x e I x x =  =  =   ⇒   =   =   + = − = − = = ∫ ∫ II. Tính diện tích hình phẳng: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x 3 – 3x 2 + 2x + 2 và đường thẳng y = 2 Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 – 3x 2 + 2x + 2 = 2 ⇔ x 3 – 3x 2 + 2x = 0 0 1 2 x x x =   ⇔ =   =  S = 1 2 3 2 3 2 0 1 1 2 3 2 3 2 0 1 4 3 2 4 3 2 | 3 2 | | 3 2 | | ( 3 2 ) | | ( 3 2 ) | 1 2 | ( 3 2 ) | ( 3 2 ) 0 1 4 3 2 4 3 2 x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx x x x x x x − + + − + = − + + − + = − + + − + = ∫ ∫ ∫ ∫ 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = xe x và trục hoành và đường thẳng x = 1. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: xe x = 0 ⇔ xe x = 0 ⇔ x = 0 S = 1 1 0 0 | | | | | | x x xe dx xe dx I= = ∫ ∫ Ta có I = 1 suy ra S = 1 III. Số phức: 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp của: a) 2 3z i= + phần thực 2, phần ảo 3, 2 2 | | 2 3 13Z = + = , 2 3z i= − b) 2 3 (2 )(3 4 ) 1 2 i z i i i + = + − + − ta có: 2 2 2 2 3 (2 3 )(1 2 ) (2 )(3 4 ) 6 8 3 4 1 2 (1 2 )(1 2 ) 2 4 3 6 4 7 10 5 10 5 1 2 2 4 5 4 7 46 42 10 5 5 5 5 5 i i i z i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i + + + = + − + = + + − − − − + + + + − + = + + = + + + − − − = + + + = + Phần thực 46/5, phần ảo 42/5, 2 2 46 42 | | ( ) ( ) 5 5 Z = + , 46 42 5 5 z i= − 2. Tìm hình biểu diễn của số phức z thỏa mãn: a) |z - 2i| = 2 Giải: Gọi z = x + yi biểu diển thành điểm M(x;y) 2 2 2 2 z – 2i 2 | 2 | 2 | ( 2) | 2 ( 2) 2 ( 2) 4 x yi i x y i x y x y = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = Vậy hình biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;2) và R = 2 b) | 3| 3z + ≤ Gọi z = x + yi biểu diển thành điểm M(x;y) 2 2 2 2 z +2 3 | 2| 3 | 2 | 3 ( 2) 3 ( 2) 9 x yi x yi x y x y ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ Vậy hình biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-2;0) và R = 3 c)z + 2i là số thực. Gọi z = x + yi biểu diển thành điểm M(x;y) z + 2i là số thực x + yi + 2i = x + (y + 2)i là số thực suy ra y + 2 = 0 ⇔ y = -2 Vậy hình biểu diễn của z là đường thẳng y = -2 3. Giải phương trình trên tập: a) (2 + 3i)z – (3 – 4i) = 5 – 2i 2 2 (2 3 ) 5 2 3 4 (2 3 ) 8 6 8 6 (8 6 )(2 3 ) 16 12 24 18 2 6 2 3 (2 3 )(2 3 ) 4 6 6 9 13 13 i z i i i z i i i i i i i z i i i i i i i ⇔ + = − + − ⇔ + = − − − − − − + − ⇔ = = = = + + + − + − − 2 ) 2 5 3 2 3 2 8 2 3 (2 8 )(2 3 ) 4 6 16 24 28 10 z b i i i z i i z i i i i i i + − = − ⇔ = + − ⇔ = + − = − + − = + 2 2 1 2 ) 3 7 0 ( 3) 4.1.7 19 3 19 2 2 3 19 2 2 c z z b i z a b i z a − + = ∆ = − − = −  − − ∆ − = =   ⇒  − + ∆ + = =   3 2 2 2 1 2 0 ) 5 7 0 5 7 0 ( 5) 4.1.7 4 3 2 2 2 3 2 2 2 z d z z z z z b i z a b i z a =  − + = ⇔  − + =  ∆ = − − = −  − − ∆ − = =   ⇒  − + ∆ + = =   4 2 2 2 2 2 ) 5 6 0 2 2 2 , 5 6 0 3 3 3 e z z t z z i t z t t t z z i + + =   = − = − = ±  = + + = ⇔ ⇒ ⇔    = − = − = ±     HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN I. Các bài toán cơ bản: 1) Cho A(2 ;1 ;2), B(1 ;-2 ;1) ; C(0 ; 2 ; 3) Tính S ABC , Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành. Giải: Ta có: ( ) ( 1; 3; 1) ( 2;3; 7) ( 2;1;1) P AB n AC  = − − −  ⇒ = − −  = −   uuur uuur uuur 2 2 2 1 1 61 [ , ] ( 2) 3 ( 7) 2 2 2 ABC S AB AC ∆ = = − + + − = uuur uuur ABCD là hình bình hành AD BC⇔ = uuur uuur 1 0 2 3 2 2 1 3 1 3 2 0 D A B C D B C A D D A B C D B C A D D D A B C D B C A x x x x x x x x x y y y y y y y y y z z z z z z z z z − = − = − + = − + =       ⇔ − = − ⇔ = − + ⇔ = − − + = −       = − + = − = − = − +    Vậy D(3;-3;0) 2) Cho A(2 ;1 ;2), B(1 ;-2 ;1) ; C(0 ; 2 ; 3), D(-1;0;-2). Chứng minh rằng ABCD là tứ diện, Tính V ABCD . Giải: Ta có: ( 1; 3; 1) [ , ] ( 2;3; 7) ( 2;1;1) AB AB AC AC  = − − −  ⇒ = − −  = −   uuur uuur uuur uuur ( 3; 1; 4) [ , ] ( 2)( 3) 3( 1) ( 7)( 4) 31AD AB AC AD= − − − ⇒ = − − + − + − − = uuur uuur uuur uuur 1 1 31 |[ , ]. | | 31| 6 6 6 ABC S AB AC AD ∆ = = = uuur uuur uuur 3) Cho A(2 ;1 ;2), (P): 2x + 2y – z + 3 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Giải: Ta có: 2 2 2 | 2.2 2.1 2 8 | 4 ( ,( )) 3 2 2 ( 1) d A P + − − = = + + − II. Phương trình đường thẳng: 1) Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1;-2) và vuông góc (P) : 2x – 3y + z -3 = 0. Giải: d qua A(2;1;-2) d vuông góc (P) suy ra (2; 3;1) d p u n= = − uur uur phương trình đường thẳng d 2 2 1 3 2 x t y t z t = +   = −   = − +  2) Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1;-2) và song song 2 : 1 3 2 2 x t y t z t = +   ∆ = −   = − +  Giải: d qua A(2;1;-2) d song song ∆ suy ra (1; 3;2) d u u ∆ = = − uur uur ( Lấy hệ số trước t) phương trình đường thẳng d 2 1 3 2 2 x t y t z t = +   = −   = − +  3) Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1;-2) và B(1;2;3) Giải: d qua A(2;1;-2) d qua A, B suy ra ( 1;1;5) d u AB= = − uur uuur (lấy tọa độ B trừ tọa độ của B) phương trình đường thẳng d 2 1 2 5 x t y t z t = −   = +   = − +  II. Viết phương trình mặt phẳng: 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(2;1;-3) và song song với (Q): 2x – 3y + z -5 = 0 Giải: (P) qua A(2;1;-3) (P)//(Q) ( ) ( ) (2; 3;1) P Q n n⇒ = = − uuur uuur (P): 2(x – 2) – 3(y – 1) +1(z + 3) = 0 ⇔ 2x – 4 – 3y + 3 + z + 3 = 0 ⇔ 2x – 3y + z + 2 = 0 2) Viết pương trình mặt phẳng (P) qua A(2;1;-3) và vuông góc với 2 : 1 2 2 2 x t d y t z t = −   = −   = − +  Giải: (P) qua A(2;1;-3) (P) vuông góc d ( ) ( 1; 2;2) P d n u⇒ = = − − uuur uur (P): -1(x – 2) – 2(y – 1) +2(z + 3) = 0 ⇔ -x + 2 – 2y + 2 + z + 3 = 0 ⇔ -x – 2y + z + 7 = 0 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa tam giác ABC với A(2 ;1 ;2), B(1 ;-2 ;1) ; C(0 ; 2 ; 3) Giải: (P) qua A(2;1;2) (P) qua A, B , C ( ) [ , ] P n AB AC⇒ = uuur uuur uuur ( ) ( 1; 3; 1) ( 2;3; 7) ( 2;1;1) P AB n AC  = − − −  ⇒ = − −  = −   uuur uuur uuur (P): -2(x – 2) + 3(y – 1) – 7(z – 2) = 0 ⇔ -2x + 4 + 3y – 3 – 7z + 14 = 0 ⇔ -2x + 3y – 7z + 15 = 0 III. Phương trình mặt cầu : 1) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB với A(2 ;1 ;3) và B(2 ;- 1 ;1) Giải : (S) có tâm là I(2 ;0 ;2) là trung điểm AB (S) có bán kính là R = IA = 2 2 2 (2 2) (1 0) (3 2) 2− + − + − = Vậy phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB là : 2 2 2 ( 2) ( 0) ( 2) 2x y z− + − + − = 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A(2 ;1 ;3) và qua B(2 ;-1 ;1) Giải : (S) có tâm là A(2 ;1 ;3) (S) có bán kính là R = AB = 2 2 2 (2 2) ( 1 1)) (3 1) 8− + − − + − = Vậy phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2;1;3) và qua B(2;-1;1) là: 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 3) 8x y z− + − + − = 3) Viết phương trình mặt cầu tâm A(2 ;1 ;3) và tiếp xúc (P) 2x – y + 2z + 3 = 0. Giải : (S) có tâm là A(2 ;1 ;3) (S) có bán kính là R = d(A,(P)) = 2 2 2 | 2.2 1 2.3 3| 4 2 ( 1) 2 − + + = + − + Vậy phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2;1;3) và tiếp xúc (P) 2x – y + 2z + 3 = 0 là: 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 3) 16x y z− + − + − = 4) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1;1;0), B(1;0;1), C(0;1;1) và D(1;1;1). Giải : phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng: 2 2 2 ax 0x y z by cz d+ + + + + + = (S) qua A(1;1;0) suy ra 2 2 2 1 1 0 .1 .1 .0 0 2(1)a b c d a b d+ + + + + + = ⇔ + + = − (S) qua B(1;0;1) suy ra 2 2 2 1 0 1 .1 .0 .1 0 2(2)a b c d a c d+ + + + + + = ⇔ + + = − (S) qua C(0;1;1) suy ra 2 2 2 0 1 1 .0 .1 .1 0 2(3)a b c d b c d+ + + + + + = ⇔ + + = − (S) qua D(1;1;1) suy ra 2 2 2 1 1 1 .1 .1 .1 0 3(4)a b c d a b c d+ + + + + + = ⇔ + + + = − Suy ra 0 (1) - (2) 1 0 (2) - (3) 1 1 (3) - (4) 1 b c a a b b a c − = = −     − = ⇔ = −     − = = −   thay vào (1): -1 – 1 + d = -2 suy ra d = 0 Vậy phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là: IV. Hình chiếu vuông góc: 1) Tìm hình chiếu vuông góc của A(2;-1;-2) lên (P): 2x – y – 2z + 3 = 0 Giải: d qua A và vuông góc (P) d vuông góc (P) suy ra (2; 1; 2) d p u n= = − − uur uur phương trình đường thẳng d 2 2 1 2 2 x t y t z t = +   = − −   = − −  H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) suy ra H là giao điểm của (P) và d. Xét phương trình 2(2 2 ) ( 1 ) 2( 2 2 ) 3 0 4 4 1 4 4 3 0 4 9 12 0 3 t t t t t t t t + − − − − − − + = ⇔ + + + + + + = ⇔ + = ⇔ = − Thay t vào d ta có: 2 1 2 ( ; ; ) 3 3 3 H − H(0 ;0 ;4) [...]... x = 2 + 2t  2) Tìm hình chiếu vuông góc của A(2;-1;3) lên d  y = −1 − t  z = −2 − 2t  Giải: (P) qua A và vuông góc d ur uu u ur (P) vuông góc d ⇒ n( P ) = ud = (2; −1; −2) (P): 2(x – 2) – (y + 1) - 2(z - 3) = 0 ⇔ 2x – 4 – y - 1 - 2z + 6 = 0 ⇔ 2x – y - 2z + 1 = 0 H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) suy ra H là giao điểm của (P) và d Xét phương trình 2(2... giao điểm của (P) và d Xét phương trình 2(2 + 2t ) − (−1 − t ) − 2(−2 − 2t ) + 1 = 0 ⇔ 4 + 4t + 1 + t + 4 + 4t + 1 = 0 −10 ⇔ 9t + 10 = 0 ⇔ t = 9 2 1 2 Thay t vào d ta có: H (− ; ; ) 9 9 9 BÀI TẬP 1.Tính các tích phân : 1 1) ∫ x 4 + 1x 3dx 0 1 5) ∫ x + 4 x dx 6 5 0 1 2) ∫ x5 + 1x 4 dx 0 1 6) ∫ 2 x + 1x dx 5 4 0 1 1 3) ∫ x 4 + 5 x 3dx 4) ∫ x 3 + 1x 2 dx 0 0 1 7) ∫ − x + 5 x dx 4 3 0 1 8) ∫ 2 x 3 + 1x 2... = 1; x = 1 Số phức Bài 1 : Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau : 4 + 2i a/ z = 3 − i − ; i c/ z = b/ z = 7 − 2i − ( 3 − 2i ) ; 2 7−i + 5 − 4i ; 2−i d/ 7 + 3i −1 + 5i − 1+ i 3 − 2i 2: Giải các phương trình sau : a/ 3iz + 3 − 2i = 6 + 7i ; c/ 4 − 2i − ( 1 − i ) z = 0 ; 2 b/ ( 5 + 2i ) z − 2 + i = 7 − 3i ; d/ ( 3 − i ) z + 2 − i = 5 + ( 2 − 3i ) z ; e/ ( 2 + i ) z − 6 − 6i = 4 − i ; f/ 2 − . t t z z i + + =   = − = − = ±  = + + = ⇔ ⇒ ⇔    = − = − = ±     HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN I. Các bài toán cơ bản: 1) Cho A(2 ;1 ;2), B(1 ;-2 ;1) ; C(0 ; 2 ; 3) Tính S ABC , Tìm D sao cho. tiếp tứ diện ABCD là: IV. Hình chiếu vuông góc: 1) Tìm hình chiếu vuông góc của A(2;-1;-2) lên (P): 2x – y – 2z + 3 = 0 Giải: d qua A và vuông góc (P) d vuông góc (P) suy ra (2; 1; 2) d p u n=. khoảng cách từ A đến (P). Giải: Ta có: 2 2 2 | 2.2 2.1 2 8 | 4 ( ,( )) 3 2 2 ( 1) d A P + − − = = + + − II. Phương trình đường thẳng: 1) Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1;-2) và vuông