Các dạng còn lại thì nên dùng phương pháp 2... Do đó nếu biểu thức B là bậc 2 thì ta không nên dùng công thức A B mà hướng theo phương pháp đặt ẩn phụ... c Tìm m để phương trình 1 có
Trang 1NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC KÌ 1
MÔN TOÁN 10
PHẦN 1: ĐẠI SỐ
Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình bậc nhất ax b 0 1 .
Ta biến đổi 1 axb 2
Trường hợp 1: a 0 Tìm điều kiện của tham số và kết luận pt (1) có nghiệm duy nhất
b
x
a
Trường hợp 2: a 0 Tìm giá trị của tham số và thay vào pt (1)
Nếu pt(2) trở thành 0x 0 thì kết luận phương trình có nghiệm x
Nếu pt(2) trở thành 0xb với b 0 thì kết luận pt vô nghiệm
Lưu ý:
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất a0
Phương trình (1) có tập nghiệm 0
0
a b
Phương trình (1) có vô nghiệm 0
0
a b
Bài 1: Giải và biện luận phương trình m mx 1 4 x 2 1
Giải:
1 m x m2 4 x 2 m2 4 x m 2 2
4 0
2
m m
m
Khi đó: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất 2 2 1
m x
4 0
2
m m
m
Thay m = 2 vào (2) ta có 0 x 4(pt vô nghiệm)
Thay m = -2 vào (2) ta có 0 x 0(pt có nghiệm x )
Kết luận:
Trang 2:
m
S
m 2 : S
m 2 : S
Bài 2 Tìm m để phương trình m x2 4 4x2m có tập nghiệm là
Giải
m x x m m x m
Phương trình có tập nghiệm
2 2
m m
m m
m
Vậy m = 2 thì phương trình có tập nghiệm .
Lưu ý: Có thể biện luận tất cả trường hợp như bài 1, sau đó kết luận trường hợp đề yêu cầu.
Bài toán 2: Viết phương trình hàm số bậc 2: y ax 2 bx c a 0 P
Phương pháp giải:
Nếu đề cho (P) đi qua điểm M x y M; M thì ta thay tọa độ điểm M vào phương trình (P),
ta có axM2 bxM c yM .
Nếu đề cho hoành độ đỉnh k hoặc trục đối xứng x k thì ta có công thức
2
b k a
Nếu đề cho tung độ đỉnh m thì ta có công thức
Nếu đề cho tọa độ đỉnh I x y I; I thì ta khai thác 2 ý:
(P) đi qua đỉnh I x y I; I
(P) có hoành độ đỉnh xI
Nếu đề cho (P) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 thì ta suy ra (P) đi qua điểm M(3;0)
Nếu đề cho (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 thì ta suy ra (P) đi qua điểm M(0;2)
Bài 3
a) Viết phương trình Parabol (P) : y ax 2 bx c biết (P) có tọa độ đỉnh I(3; -4) và đi qua
1;12
M .
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đồ thị hàm số y2x 5
Trang 3a) (P) có tọa độ đỉnh I(3;-4) (P) đi qua điểm I(3;-4) và (P) có hoành độ đỉnh là 3
2
1
3
2
a
(P) đi qua M(-1;12) a 1 2 b 1 c 12 a b c 12 2
Từ (1) và (2) suy ra a1;b6;c5.
Vậy P y x: 2 6x5
b) Ta giải phương trình hoành độ giao điểm x2 6x 5 2x 5
Trường hợp 1: Nếu 2x 5 0 thì
5 2 5
x x
x
Trường hợp 2: Nếu 2x 5 0 thì
5 2 5
0
4
x x
x
x nhan
x nhan
Tính tung độ giao điểm
x y
x y
x y
Vậy ta có các giao điểm A0;5 , B4;3 , C4 6;3 2 6
Bài toán 3: Vẽ đồ thị hàm số bậc 2: y ax 2 bx c a 0 P
Phương pháp giải: ta làm theo các bước
Tập xác định D
Tọa độ đỉnh ;
b I
Bảng biến thiên và kết luận sự biến thiên
Bảng giá trị
Vẽ đồ thị
Bài toán 4: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Trang 4 Phương pháp 1: Dùng công thức
Công thức 1:
A B
A B
với điều kiện B 0
Công thức 2:
A B
A B
Phương pháp 2: Xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối
Bài 4: Giải các phương trình
a)
2
2
0, 2
x x
x x
x
x x
b) 5 x 2 x2 3 x 5 5 2 x2 3 x 5 5 x 5 1
Điều kiện: 5 x 5 0 x 1
2 2
2
2
2
1
5
0
c) x2 6x 5 2x 5 ( Xem bài 3b)
d) 2 7 3 1 1
1
x
x x
Điều kiện : x 1
Trường hợp 1: Nếu x 1 0 thì
2
1
1
x
Trường hợp 2: Nếu x 1 0 thì
Trang 5
1
Vậy pt có nghiệm x 1 3
Nhận xét:
Ta dùng phương pháp 1 khi phương trình có đúng dạng công thức A B hoặc
A B
Nếu có đúng dạng A B nhưng B là bậc 2 và A là bậc nhất theo x thì ta nên dùng phương pháp 2
Các dạng còn lại thì nên dùng phương pháp 2
Bài toán 5: Giải phương trình chứa căn bậc 2
Phương pháp giải 1: Dùng công thức
2
0
B
A B
A B
A 0 hoac B 0
A B
Phương pháp giải 2: Đặt ẩn phụ
Bài 5 Giải các phương trình
2
2
2
1 1
x x
b) 4 x27x 1 x27x4
Đặt t x27x , điều kiện 1 t 0
Ta có phương trình theo t:
3
t n
t n
7
x
x
8
x
x
Trang 6 Nhận xét: Nếu phương trình câu b ta dùng công thức A B thì khi bình phương B ta được bậc 4 theo x, rất khó giải Do đó nếu biểu thức B là bậc 2 thì ta không nên dùng công thức A B mà hướng theo phương pháp đặt ẩn phụ
c) 2x210x 3 4 3 x25x 2 2x25x 3 4 3 x25x 2
Đặt t x25x 2, điều kiện t 0
Ta có phương trình:
2 2
t
2
4 3 4
7
t t
t l
t t
2
t x x (Giải pt tìm nghiệm x)
Bài toán 5: Phương trình bậc 2 và các bài toán liên quan
Bài toán 5.1: Tìm điều kiện để phương trình
2 0
ax bx c có nghiệm
Bài toán 5.2: Tìm điều kiện để phương trình
2 0
ax bx c vô nghiệm
TH 1: Xét a 0 Tìm tham số m và giải tìm
nghiệm pt bx c 0
TH2: Xét a 0
Pt có nghiệm 0
0
a
TH 1: Xét a 0 Tìm tham số m và giải tìm nghiệm pt bx c 0
TH2: Xét a 0
Pt vô nghiệm 0
Bài toán 5.3: Điều kiện có nghiệm của PTB2
2 0 0 1
(1) có hai nghiệm phân biệt 0
0
a
(1) có hai nghiệm kép 0
0
a
(1) có hai nghiệm 0
0
a
Bài toán 5.4: Điều kiện về dấu của nghiệm của PTB2 ax2 bx c 0 a 0 1
(1) có 2 nghiệm trái dấu c 0
a
(1) có 2 nghiệm cùng dấu 0
0
c a
Bài toán 5.5: Bài toán về hệ thức Viet
Trang 7 (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
0 0 0
c a b a
(1) có 2 nghiệm âm phân biệt
0 0 0
c a b a
Cho phương trình ax2 bx c 0 1
Nếu pt(1) có 2 nghiệm x x1, 2 thì
1 2
S x x
a
1. 2
P x x
a.
Hệ thức đối xứng đối với x x1, 2
Hệ thức không đối xứng đối với x x1, 2
Bài 5.1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 3 m x 2 2m 4x m 2 0 1
Trường hợp 1: 3 m 0 m3 thay vào phương trình (1), ta có
0x 2x1 0 x 2(Nhận m = 3 vì x = ½ là nghiệm)
Trường hợp 2: 3 m 0 m3
m
m m
Từ 2 trường hợp ta có m 103 thì phương trình có nghiệm.
Bài 5.2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 3 m x 2 2m 4x m 2 0 1
Trường hợp 1: 3 m 0 m3 thay vào phương trình (1), ta có
0x 2x1 0 x 2(Loại m = 3 vì đề yêu cầu pt vô nghiệm)
Trường hợp 2: 3 m 0 m3
m
m m
m
Từ 2 trường hợp ta có m 103 thì phương trình vô nghiệm.
Bài 5.4 Cho phương trình x2 2m3x m 2 6 0 1 Tìm m để pt (1):
a) Phương trình có nghiệm x 1 Tìm nghiệm còn lại nếu có
b) Có 2 nghiệm phân biệt cùng dương
c) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho x12x22 50
Giải
Trang 8a) Phương trình (1) có nghiệm x 1 nên ta thay x 1 vào pt(1)
1 2 m3 1m 6 0 m 2m 1 0 m1
Ta thay m = 1 vào pt(1) thì 2 8 7 0 1
7
x
x x
x
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
2
1 2
3
m
m
m
c) Phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
1 0
2
luon dung a
m m
Theo hệ thức Viet: S x1 x2 b 2m 3 ; P x x1 2 c m2 6
x x x x x x m m
13
Vậy m = 1
Bài 5.5 Cho phương trình x2 2 m 2 x 4 m 2 0 1
a) Chứng minh (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x x 1, 2
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x x sao cho nghiệm này gấp đôi 1, 2 nghiệm kia
c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu sao cho giá trị tuyệt đối của nghiệm âm nhỏ hơn nghiệm dương
Giải
a) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 2
1 0 0
,
a
x x
m
(luôn đúng với mọi m)
b) Hệ thức Viet: x1 x2 b 2m 2 1
a
1 2 c 2 4 2
a
Theo giả thiết: x12 3x2
Từ (1) và (3) ta có 2
2 2 3
x m 1
4 2 3
Thay vào (2) ta có
Trang 9 2 2
8
9 m m m m (vô nghiệm).
Vậy không có giá trị m thỏa đề
PHẦN 2: HÌNH HỌC
Bài toán 6: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ theo 2
vectơ không cùng phương Tích vô hướng của 2 vectơ
Quy tắc 3 điểm
Theo phép cộng: AB AM MB
Theo phép trừ: AB MB MA
Quy tắc hình bình hành
Cho hình bình hành ABCD, ta có ACAB AD
Quy tắc trung điểm
Gọi I là trung điểm AB, với điểm M tùy ý, ta có
MA MB 2MI
Hoặc MI 12 MA MB
Tính chất trọng tâm tam giác
G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0
Tích vô hướng của 2 vectơ
a b a b a b
Bài 6 Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a 3, có góc BAC 600 Gọi I là trung điểm CO, G là trọng tâm tam giác ABD
a) Chứng minh IA IB ID 3IG
và DA DB DC 4DO
b) Biễu diễn BI
theo BA BC,
c) Tính tích vô hướng BA BC BI AC ,
Giải
a) IA IB ID IG GA IG GB IG GD
3IG GA GB GD 3IG
(Do G là trọng tâm ABD )
DA DB DC DA DC DB DO DO DO
BI BO BC BO BC BA BC BC
1 3
4BA 4BC
C
D
I
M
O
C
A
G
I
Trang 10c) 2 0 3 2
2
a
BA BC BA BC BA BC a
BI AC BA BC AC BA AC BC AC
2
BA AC BA AC BA AC a a
2
BC ACBC AC BC AC a a
BI AC
=1 9 3 9 9
Lưu ý: Ta có thể tính góc BI AC, dựa vào công thức cos , .
BI AC
BI AC
BI AC
Tính độ dài BI, AC thay vào, ta suy ra góc BI AC, .
Bài 7 Trong mp tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A2; 3 , B4;1 , C5; 6 .
a) Tìm tọa độ M là giao điểm của AB và trục Ox.
b) Tìm điểm N trên Oy sao cho tứ giác ACBN là hình thang với 2 đáy AC // BN.
c) Tìm tọa độ điểm D để ACBD là hình bình hành Tìm tọa độ tâm K của hình bình hành ACBD d) Phân tích vectơ OC theo 2 vectơ AB AC,
Giải
a) M là giao điểm của AB và trục Ox M thuộc Ox và A, B, M thẳng hàng
M thuộc Ox M x M;0
2; 4 , M 2;3
AB AM x
A, B, M thẳng hàng AB AM,
cùng phương
M
b) Điểm N thuộc Oy N0;y N
3; 3 , 4;1 N
AC NB y
Theo giả thiết ta có AC NB,
cùng hướng AC k NB k , 0
3
0;5
N
N
c) AC3; 3 , DB4 x D;1 y D
Tâm K(3;-1)
Trang 11d) OC 5; 6 , AB2; 4 , AC3; 3
1
9
k
k l
OC k AB l AC
OC AB AC
Bài 8 Trong mp tọa độ Oxy, cho ba điểm A2;4 , B1;2 , C6;2
a) Chứng minh tam giác ABC vuông Tính diện tích tam giác ABC
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính GA GB .
c) Tìm điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình chữ nhật
d) Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho tam giác MAB cân tại M
e) Tìm điểm K sao cho ABCK là hình thang có 2 đáy AB, CK thỏa CK = 2AB
Giải
a) AB 1; 2 , AC 4; 2
Xét tỷ số: 1 2 ,
4 2 AB AC
không cùng phương A, B, C lập thành tam giác Tính độ dài AB 12 22 5, AC 42 2 20
52 02 5
BC
25
AB AC BC ABC vuông tại A
ABC
S AB AC (đvdt)
b) G là trọng tâm tam giác ABC 3;8
3
G
1; , 2;
GA GB
10
9
GA GB
c) AB 1; 2 , CD x D 6;y D 2
Hình bình hành ABDC có góc C vuông nên ABDC là hình chữ nhật
d) Điểm MOx M x M;0
Tam giác MAB cân tại M MA MB MA2 MB2
x A x M2 y A y M2 x B x M2 y B y M2
2 2 2 2
Trang 12 2 2 2 2 15
2
;0 2
M
e) AB 1; 2 , CK x k 6;y K 2
ABCK là hình thang có 2 đáy AB, CK thỏa CK = 2AB
2
2 2 2
K K
y y
