luan an

Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 Các hệ thức lợng trong tam giác và giải tam giác Chúng ta đã biết rằng một tam giác hoàn toàn đợc xác định nếu biết một số yếu tố, chẳng hạn biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó. Nh vậy giữa các cạnh và các góc của một tam giác có mối liên hệ xác định nào đó mà ta sẽ gọi là các hệ thức lợng trong tam giác. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu những hệ thức đó và ứng dụng của chúng. A. Lý thuyết Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, đờng cao AH = h a và các đờng trung tuyến AM = m a , BN = m b , CP = m c 1. Định lí cosin: A 2 2 2 2 cosa b c bc A = + 2 2 2 2 cosb a c ac B = + 2 2 2 2 cosc a b ab C = + c h a m a b * Hệ quả: P N 1) cos A = 2 2 2 2 b c a bc + B H a M C cos B = 2 2 2 2 a c b ac + ( Hình 1) cos C = 2 2 2 2 a b c ab + 2) Trong V ABC A nhọn 2 2 2 a b c < + A tù 2 2 2 a b c > + 3) Định lý Pitago là trờng hợp đặc biệt của định lý côsin, khi A= 90 0 2. Định lí sin: 2 sin sin sin a b c R A B C = = = ( R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 3. Định lý côtang 1 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cot 4 cot 4 cot 4 b c a A S a c b B S a b c C S + = + = + = 4. Tổng bình ph ơng hai cạnh và công thức đ ờng trung tuyến của tam giác: 1. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I Với M bất kì ta có: M 2 2 2 2 2 2 AB MA MB MI + = + A / I / B (Hình 2) 2. Gọi m a , m b , m c lần lợt là các độ dài các trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC (Hình 1). Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ; 2 4 4 a b c a b c a m + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ; 2 4 4 b a c b a c b m + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ; 2 4 4 c a b c a b c m + + = = 5. Các công thức tính diện tích tam giác: Diện tích S của tam giác ABC đợc tính theo công thức: S = 1 2 ab sin C = 1 2 bc sin A = 1 2 ca sin B ; S = 4 abc R với R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; S = pr với p = 1 2 (a +b +c) và r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC; = (p - a)r a = (p - b)r b = (p - c)r c S = ( )( )( )p p a p b p c với p = 1 2 (a +b +c) ( công thức Hê-rông). 6. Bán kính đờng tròn nội tiếp, bàng tiếp ( ) tan ( ) tan ( ) tan 2 2 2 A B C r p a p b p c = = = tan 2 a A r p = 2 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 tan 2 b B r p = tan 2 c C r p = 7. Công thức tính độ dài phân giác 2 2 4 ( ) ( ) a bc l p p a b c = + 2 2 4 ( ) ( ) b ac l p p b a c = + 2 2 4 ( ) ( ) c ab l p p c a b = + * Các ví dụ: VD 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến m a xuất phát từ đỉnh A. Chứng minh rằng góc A nhọn khi cà chỉ khi 2 a a m Giải: Ta có: 2 2 2 2 2 4 a b c a m + = , từ đó A nhọn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 a a b c a b c a a a a m m + + > > > > VD2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 9 4 a b c m m m a b c + + Giải: Theo công thức trung tuyến, ta có: 2 2 2 2 2 4 a b c a m + = 2 2 2 2 2 1 2 4 a m b c a a + = Tơng tự: 2 2 2 2 2 1 2 4 b m c a b b + = 3 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 2 2 2 2 2 1 2 4 c m a b c c + = Từ đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 9 .6 ( ) 2 4 2 4 4 a b c m m m b a c a c b cauchy a b c a b a c b c + + = + + + + + = ữ VD3: Cho tam giác ABC có diện tích S. CMR: 2 2 2 cot cot cot 4 a b c A B C S + + + + = Chứng minh: Ta có: 2 2 2 cos 2 b c a A bc + = Mặt khác, từ 1 2 sin sin 2 S S bc A A bc = = Do đó: 2 2 2 2 2 2 cos cot (1) sin 2 sin 4 A b c a b c a A A bc A S + + = = = Tơng tự: 2 2 2 2 2 2 cot (2) 4 cot (3) 4 c a b B S a b c C S + = + = Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta đợc: 2 2 2 cot cot cot 4 a b c A B C S + + + + = ( W ) VD4: Tính góc lớn nhất của tam giác có độ dài là 3, 5, 7. Đáp số: A = 120 0 VD5 : Chứng minh rằng tam giác ABC đều nếu: 3 3 3 2 2 cosa b C b c a a b c a = + = + Giải: Theo giả thiết: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 . 2 a b c a b c a b C b ab a a a b c b c b c + + = = = = + = = (1) 4 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 Mặt khác: 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) b c a a a b c a b c a b c a a b c b c b c bc + = + = + + + = + + => a 2 = b 2 + c 2 - bc. Kết hợp a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA Suy ra 0 1 cos 60 (2) 2 A A = = Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều. Ví dụ 6: Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì ta luôn có: cot cot cot 0A B C + + > Giải: - Nếu ABCV nhọn hoặc vuông thì bất đẳng thức là hiển nhiên. - Bây giờ giả sử, chẳng hạn à A tù. Kẻ đờng cao CH thì H nằm ngoài đoạn A, về phía A ( hình bên) C Ta có: sin ;(2) 2 2 sin ;(3) 2 2 B b ca C b ab B A H Suy ra cot cot 0 BH AH A B CH + = > Ta còn có cotC > 0 ( góc nhọn). Vậy: cotA + cotB + cotC > 0. Nhận xét: Trờng hợp góc A tù, ta con có cách chứng minh khác nh sau: A > 90 0 => B + C < 90 0 => 0 0 < B < B + C < 90 0 => cotB > cot(B + C)= - cotA => cot A + cot B > 0. Vì góc c nhọn nên cotC > 0, do đó cotA + cotB + cotC > 0. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1 sin sin sin 2 2 2 8 A B C Giải: Vẽ phân giác AD, hạ BH, CK vuông góc với AD Ta có: sin 2 sin 2 A BH BD BD BA BA c A CK CD CD CA CA b = = = = 5 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 ( ) sin 2 sin . 2 2 A b c BD CD a A a a b c bc + + = + (1) Tơng tự sin ;(2) 2 2 sin ;(3) 2 2 B b ca C b ab Vế trái của các bất đẳng thức (1), (2), (3) đều dơng, nhân từng vế các bất đẳng thức này ta đợc: 1 sin sin sin 2 2 2 8 A B C Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức tam giác ABC đều. * áp dụng tích vô hớng để chứng minh bất đẳng thức: Cơ sở lý thuyết: 1. 2 2 0, , 0 0a a a a = = r r r r r 2. . .a b a b r r r r . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ cùng hớng. Ví dụ 8: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O; R). Chứng minh rằng: )( , ) 2 ; 3 ) cos 2 cos 2 cos 2 2 a OB OC A b A B C = + + uuur uuur Giải: a) Hiển nhiên ã ( , ) 2OB OC BOC A = = uuur uuur ( tính chất của góc nội tiếp) b) Ta có: 2 2 2 2 ( ) 0 2( . . . ) 0 OA OB OC OA OB OC OA OB OB OC OC OA + + + + + + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 2 3 2 (cos 2 cos 2 cos 2 ) 0 3 cos 2 cos 2 cos 2 2 R R C A B A B C + + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 0OA OB OC + + = uuur uuur uuur r <=> O là trọng tâm của V ABC <=> V ABC đều. Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có: 2 2 2 MA.GA MB.GB MC.GC GA GB GC + + + + 6 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 Giải: Ta luôn có: 2 2 2 MA.GA MB.GB MC.GC GA GB GC + + + + 8 4 (2 3)P = + V Vậy 2 2 2 MA.GA MB.GB MC.GC GA GB GC + + + + Đẳng thức xảy ra: MA GA MB GB M G MC GC uuur uuur uuur uuur uuuur uuur Ví dụ 10: Cho tam giác ABC, diện tích S. Chứng minh rằng: 2 2 2 4 3.a b c S + + CM: Cách 1: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2( ) 2 cos a b c bc A a b c b c bc A = + + + = + 4 2 cos 4 2 (cos 3 sin ) 2 3 sin 4 2 (cos 3 sin ) 4 3. bc bc A bc bc A A bc A bc bc A A S = + + = + + Vì: 2 2 2 (cos 3 sin ) (1 3)(cos sin ) 4A A A A + + + = (BĐT Bu-nhia-cốp-xki) Nên : cos 3 sin 2A A + do đó: 4 2 (cos 3 sin ) 4 4 0bc bc A A bc bc + = Vậy: 2 2 2 4 3.a b c S+ + = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: à 0 sin 3 tan 3 cos 60 b c b c A A A b c ABCdeu A = = = = = = V Cách 2: Theo công thức Hê-rông và bất đẳng thức Cô-si, ta có: 7 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 3 3 4 2 2 2 2 2 4 3 4 3 ( )( )( ) 4 3 3 3 ( ) 4 3 3 4 ( ) 4 3 27 3 3 S p p a p b p c p a p b p c p p a b c p p a b c p a b c = + + = ữ + + = ữ + + = = = + + Vậy 2 2 2 4 3a b c S + + Đẳng thức xảy ra p a p b p c a b c ABC a b c = = = = = = V (đều) Nhận xét: 2 2 2 4 3a b c S + + 2 2 2 3 cot cot cot 3 4 a b c A B C S + + + + Ví dụ 11. Cho tam giác ABC, diện tích S. Chứng minh rằng: cot cot cot 3A B C + + HD. Từ ví dụ 10 ta có thể suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 12: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 3 2 a a b c l + + Giải: Theo công thức tính độ dài đờng phân giácn và bất đẳng thức cô-si ta có: 3( ) ( ). 2 3( ) 2 3 2 2 2 a p a p b c bc p a p a a a l b c b c + + + = + + + + 4 3 2( ) 2 2 2 2 a p a a b c a b c + = + = + = + Vậy 3 2 a a l b c + + Đẳng thức xảy ra 3( ) b c a b c ABC p a p = = = = V (đều) Nhận xét: Nhờ ví dụ 12, ta có ngay BĐT sau: 3 ( ) 2 a b c l l l a b c + + + + . 8 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 Ví dụ 13: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 1 2 r R . Giải: 2 4 4 ( )( )( ) . . 4 1 ( )( )( ) 2 S r S p p a p b p c p abc R p abc p abc S b c a c a b a b c abc = = = + + + = (1) Theo bất đẳng thức côsi ta có: ( )( ) 2 c a b a b c c a b a b c a + + + + + = Tơng tự, ( )( ) ( )( ) a b c b c a b b c a c a b c + + + + Suy ra ( ) ( ) ( ) b c a a c b a b c abc + + + (2) Từ (1), (2) => 1 2 r R Đẳng thức xảy ra ( ) ( ) ( ) b c a a c b a b c b c ABC + = + = + = = V (đều) Ví dụ 14. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: . a b c a b c r r r h h h+ + + + Giải: . a b c a b c r r r h h h+ + + + 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 S S S S S S p a p b p c a b c p a p b p c a b c b c a a c b a b c a b c + + + + + + + + ữ + + + + + + + Theo bất đẳng thức cô-si ta có: 9 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 1 1 2 ( )( ) 2 2 ( )( ) 2 a c b a b c a c b a b c a c b a b c a + + + + + = + + Tơng tự, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3a b c a MA b MB c MC a b c + + + + 1 1 1 1 1 1 a b c b c a a c b a b c + + + + + + + (đpcm) Ví dụ 15. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O; R). Chứng minh rằng: 3 3a b c R + + Chứng minh: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 2 . . . 0 9 2 . 2 . 2 . 9 9 OA OB OC R OA OB OB OC OA OC R OB OC OB OC OC OA OB OC OA OB OA OB R OB OC OC OA OA OB R + + + + + + + + + + + + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 2 2 2 ( ) 3 3 3 a b c a b c R a b c + + + + + + Đẳng thức xảy ra 0OA OB OC + + = uuur uuur uuur r <=> O là trọng tâm tm giác ABC <=> ABC là tam giác đều. Hệ quả: Trong các tam giác cùng nội tiếp đờng tròn, tam giác đều có chu vi nhỏ nhất. Nhận xét: Có thể chứng minh bất đẳng thức nhờ kết quả: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) 4 a b c MA MB MC GA GB GC choM O m m m a b c + + + + + + = + + Ví dụ 16: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 3 3 sin sin sin 2 A B C + + Chứng minh: 10 [...]... quay xung quanh A sao cho các cạnh của nó cắt đờng tròn tại M và N Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất Giải: Theo định lý sin ta có; { M A MN = 2 R sin A = R 3 Theo định lý côsin ta có: MN 2 = AM 2 + AN 2 2 AM AN cos A 3R 2 = AM 2 + AN 2 AM AN 2 AM AN AM AN = AM AN 1 3 (2) S AMN = AM AN sin A = AM AN 2 4 2 Từ (1) và (2) suy ra: S AMN AM AN 3 3.R 4 (1)... AB HB HA tan = ;cot = HA HB sin = H B 2 Các hệ thức lợng giác: a) Giá trị của 2 góc lợng giác bù nhau sin = sin(1800 ) cos = cos(1800 ) tan = tan(180 0 ) cot = cot(1800 ) b) Giá trị của 2 góc lợng giác phụ nhau (; 900 , 0 0 < < 90 0 ) sin(900 ) = cos cos(90 0 ) = sin tan(900 ) = cot cot(90 0 ) = tan c) Các hệ thức lợng giác cơ bản + sin 2 + cos 2 = 1 sin cos + = tan ( 900... cot = ; tan = tan cot 1 1 +1 + tan 2 = ;1 + cot 2 = 2 cos sin 2 3 Giá trị lợng giác của các góc đặc biệt Giá trị lợng giác 00 300 450 600 900 1800 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 0 22 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 cos 1 3 2 tan 0 1 3 1 cot P 3 1 2 2 2 1 0 -1 3 P 0 1 3 0 P 4 Bất đẳng thức có chứa các giá trị lợng giác Với 00 1800 ta có 0 sin 1; 1 cos 1; nhọn cos > 0 tan > 0 tù... 2 - Nếu đẳng thức xảy ra thì GX BC ; GY CA; GZ AB G là điểm Lơ- moan của tam giác ABC => X, Y, Z là hình chiếu của điểm Lơ- moan của tam giác ABC trên Bc, CA, AB - Ngợc lại, nếu X, Y, Z là hình chiếu của điểm Lơ- moan L của tam giác ABC thì L là trọng tâm của tam giác XYZ => YZ2+ZX2+XY2 = 3( LZ2+LX2+LY2 ) Cũng vì L là điểm Lơ- moan của tam giácABC nên 2 4S ABC a 2 + b2 + c 2 2 12 S ABC YZ2 + ZX... Chứng minh các hệ thức về mối quan hệ giữa các yếu tố của tam giác 1 Phơng pháp: Dùng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia hoặc chứng minh cả hai vế cùng bằng một biểu thức nào đó, hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh tơng đơng với một hệ thức đã biết là đúng Khi chứng minh cần khai thác các giả thiết và kết luận để tìm đợc các hệ thức thích hợp làm trung gian cho quá trình biến đổi 2 Các... X, Y, Z lần lợt là hình chiếu của điểm Lơ- moan của tam giác ABC trên các đờng thẳng BC, CA, AB B Dạng toán cơ bản I Vấn đề 1: Tính một yếu tố trong tam giác theo một yếu tố cho trớc( trong đó có ít nhất là một cạnh) 1, Phơng pháp: Sử dụng trực tiếp định lí sin và định lý cosin Chọn các hệ thức lợng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố trung gian cần thiết để việc giải toán thuận lợi hơn... AN cos A 3R 2 = AM 2 + AN 2 AM AN 2 AM AN AM AN = AM AN 1 3 (2) S AMN = AM AN sin A = AM AN 2 4 2 Từ (1) và (2) suy ra: S AMN AM AN 3 3.R 4 (1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ã ã AM = AN OAM = OAN = 300 2 Vậy tam giác AMN có diện tích lớn nhất bằng 3 3.R , đạt đợc khi OA là phân 4 giác của góc A( Tam giác ABC là tam giác đều) Nhận xét: Có thể giải bài toán trong trờng hợp à = (không đổi)... nhất HD: Đặt MP = x, MQ = y ta có cx + by = 2 SABC, áp dụng công thức S MPQ = xy sin A và bất đẳng thức Cô-si Bài 9: Cho tam giác ABC có a4 + b4 + c4 CMR: a Tam giác ABC là tam giác nhọn b 2sin2A = tanB tanC HD: a a4 + b4 + c4 < (b2 + c2)2 => a2 < b2 + c2 => Góc A nhọn Mặt khác, a4 + b4 + c4 > b4=> a > b => à > B; A à a 4 = b4 + c4 > c4 à > B A à Vậy ABC là tam giác nhọn Bài 10 Cho tam giác ABC có... (a 2 + b 2 + c 2 )(a 2 MA2 + b 2 MB 2 + c 2 MC 2 ) 3a 2b 2 c 2 3a 2b 2 c 2 a MA + b MB + c MC 2 + 2 2r u u 2au u b + u u ur ur 2 cuu Đẳng thức xảy ra (a 2 MA + b MB + c MC ) = 0 M là điểm Lơ-moan của tam giác ABC Ví dụ 23(*) Cho tam giác ABC Các điểm X, Y, Z theo thứ tự chạy trên các đờng thẳng BC, CA, AB Tìm vị trí của X, Y, Z sao cho (YZ2+ZX2+XY2) nhỏ nhất Giải: 2 2 2 2 2 2 14 Trịnh Hồng Hạnh... ãAIB = sin 90 + ữ= cos 2 2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Theo kết quả của VD 20, ta có: A B C A B C GA + cos GB + cos GC cos IA + cos IB + cos IC 2 2 2 2 2 2 2 A B C cos ma + cos mb + cos mc ữ AN + BP + CM 3 2 2 2 A B C 3 cos ma + cos mb + cos mc [ ( p a) + ( p b) + ( p c) ] 2 2 2 2 3 3 = p = (a + b + c) 2 4 cos Đẳng thức xảy ra G I VABC (đều) Ví dụ 22.(*) Cho tam giác ABC Chứng minh . tròn nội tiếp, bàng tiếp ( ) tan ( ) tan ( ) tan 2 2 2 A B C r p a p b p c = = = tan 2 a A r p = 2 Trịnh Hồng Hạnh - ĐHSP Toán - Hóa K7 tan 2 b B r p = tan 2 c C r p = 7. Công thức tính. AB G là điểm Lơ- moan của tam giác ABC => X, Y, Z là hình chiếu của điểm Lơ- moan của tam giác ABC trên Bc, CA, AB - Ngợc lại, nếu X, Y, Z là hình chiếu của điểm Lơ- moan L của tam giác ABC. 0bc bc A A bc bc + = Vậy: 2 2 2 4 3.a b c S+ + = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: à 0 sin 3 tan 3 cos 60 b c b c A A A b c ABCdeu A = = = = = = V Cách 2: Theo công thức Hê-rông