Khoá luận tốt nghiệp Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán: Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học chủ đề "Khoảng cách trong không gian" ở lớp 11

việc phát trién tư duy thuật toán không chỉ hướng đến mục tiêu của chương trình giáo dục là hình thành và phát triển năng lực, phẩm chất cho học sinh mà còn là một phan quan trọng của sự

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN

TP HỖ CHÍ MINH

PHAT TRIEN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO

HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐÈ

“KHOANG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN”

Ở LỚP 11.

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán.

Giảng viên hướng dẫn: ThS Lê Thành Thái.

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thuý Hiền Linh.

Mã số sinh viên: 46.01.101.075.

Thành phó Hồ Chí Minh, ngày 13 tháng 05 năm 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN

KHOÁ LUẬN TÓT NGHIỆP

PHAT TRIEN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐÈ

“KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN”

Ở LỚP 11.

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán.

Giảng viên hướng dẫn: ThS Lê Thành Thái.

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thuý Hiền Linh.

Mã số sinh viên: 46.01.101.075.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 13 tháng 05 năm 2024

NHẠN XÉT VÀ XÁC NHẠN CỦA NGƯỜI HƯỚNG DÁN

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC

ThS LÊ THÀNH THÁI

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của tôi Tất cả những số liệu kết

quả nghiên cứu và trích dẫn trong khóa luận hoàn toàn chính xác và trung thực.

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thúy Hiền Linh

LOI CAM ON

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến ThS.Lé Thành Thái — người thay đã tận tinhhướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Tôi xin chân thành cảm ơn đến toàn thể các thầy cô giảng viên khoa Toán — Tin học, đặc

biệt các thầy cô trong tô Lý luận và Phương pháp day học bộ môn Toán đã nhiệt tình giảng

dạy nhiều kiến thức quan trọng và bô ich đề tôi có nền tang thực hiện khóa luận tốt nhất.

Ngoài ra, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu thay cô trong tô Toán và các em học

sinh Trường THPT Cần Giuộc đã nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành phần thực nghiệm của

khóa luận tốt nghiệp này.

Cuỗi cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, thầy cô, bạn bè quan tâm, động viên và giúp

đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thúy Hiền Linh

MÔ ĐA Uesestssingroitoiioiiig0000001001355028811G00088E851601335030318330830318308330016918308.808380183033800/58380M378 1

I Lý do chọn đê tài chì 20112 11g Hàn n1 g1 1 ngu Hà g2, l

2 IMueitíchngbincứỨti::: ::-::::::::::::s::::2ïerieieniiiiiietitiatii22122110231122322201633252232232523 2

3 'Câu(hồi nghiỆñ/CỨN::i:soosoasiaooeaostoootiiitiiiiiiaiiitiiidgTi051108110331351168381851585119455885588588556 2

4 IFHunpipliipnghiếncfn, -: :»: :s::::::s:s:sss2 2n 2nr2neiorsoiesanies 3

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận - 5 St SH cerry 3

4.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiến -. - 5-5 55cscreseeczEkecverrrrxcreee 3

4.3 Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm -5-ĂSĂSSsSssieeieieeierree 3

5 Cấu trúc khoá luận 6 SE 122112211 H1 1 HH g1 n2 11 gu, 3

CHƯƠNGILL€CGSOLY TU ẤN ÏÏŸŸŸÝŸÝŸÿŸÿŸÿŸšzc 4

1 Quy trình thuật toán và quy trình tựa thuật toắn àc c nhhsHeenueeo 4

1.1 Khái niệm thuật toán - - - S11 1111 111 2011250151161 5 113K ngà Hy 4

4 Nguyín tắc dạy học phât triĩn tư duy thuật toân - 2: 2©22zz+zzzzzex 10

5 Mô hình học tập phât triển tư đuy thuật toân .2¿©2¿7222222zSvxcSxcsczzcrrrcet §

KETTHANCEHUANGI = ẽ=-ẽằ=—=ễ -ằ—==ễằẽ 16

CHƯƠNG 2 NGHIÍN CỨU CHƯƠNG TRÌNH GIÂO DUC PHO THONG 2018 VA CÂC BỘ SÂCH GIAO KHOA VE CHU DE “KHOẢNG CÂCH TRONG KHÔNG GIĂN” tiiitiâsiiiitsistâaitêsia::23Ằ23::521351645155ê::23Ạ23Ý23Ẫ23::5êê8ê5655ê::23ậ23::ềê8ê655êêê8êê688êề8êêê4êêêgêêềđêêê2êêêềêề2êêềêêêSõ 17 1 Yíu cầu can đạt của băi học trong chương trình giâo dục phô thông 2018 17

Di, VIITHDBIHOC 122.2132612-664002202132-2140/210021332147/123134220/30204040191/300/32021533 6635 17 3 Phđn tích băi học “Khoảng câch trong không gian” trong sâch giâo khoa toân 11 Chđn ELON SAM 4D 2.02224021442202200220212214020001201201221612423634342119214431034813234024312141230324122141448523:82251 17 3.1 Hoạt động mở dau oon ecseeccecssesssesssesssecseesssessessseesoseesessneesueennsssrsenscenaeenneeseeess 18 3.2 Khoảng câch từ một điểm đến một đường thăng đến một mặt phăng TT 19 3:2 HoatdGng kham phil j.:::5:ccssicasscsasscasssssscasscasscasssasscassssatseasssstesatseassesazessss 19 3.2.2 Khâi niệm khoảng câch từ điểm đến đường thăng, mat phăng 20

3.2.3 Câc ví du, hoạt động luyện tập vă hoạt động van dụng 20

3.3 Khoảng câch giữa câc đường thing vă mặt phăng song song, giữa hai mặt phăng SDHEISOIHE.20142221121022:132111201221132102235331182)13303331513)333351330533033355935332413351132935353933535339241525333353 21 3:0: THOẠEG0DEIKHADIPBNA2Z::::s::ẽnnoeiriiorriiriirniioiiiiiiiiiiiiiiaoroaii 21 3.3.2 Khâi niệm khoảng câch giữa câc đường thing vă mat phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song -. ¿- + 2z+Ezz£EEcEEEEEEZEEEEEEEEEEEZEEEcEkerkkrcrrrrkerrred 22 3.3.3 Câc ví dụ văihogtđộng luyện Ap ssissssisciscsisscsscssacasssocssesisassasassvassvessvaaseasve 23 3.4 Khoảng câch giữa hai đường thăng chĩo nhau 2- 2 s2 =s£cse2 24 3.4 IHoạtđộng khâm phâ3:.:::::.:::::::-::::‹::‹cccc-oecoaooosiooioaipstosgiraooaan 24 3.4.2 Khâi niệm khoảng câch giữa hai đường thang chĩo nhau 24

3.4.3 Câch dựng khoảng câch giữa hai đường thăng chĩo nhau 25

3.4.4 Câc ví dụ, hoạt động luyện tập vă hoạt động vận dụng 25

3.5 Công thức tính thĩ tích của khối chĩp, khôi lăng trụ khối hộp 27

3.6 Băi tập vận dụng kiến thức đê học - 2 2222212211 2111122112112 cccvei 27

4 Phân tích sách giáo khoa Toán 11 Cánh diều, Kết nỗi tri thức với cuộc sống, Cùng

P Barn bain them oon cce cece cceeeeeeeeeecceeesececeeeceucseecsueceecseeccssecesceeeneseeeesecs 110

3 Khuyến nghjao ccc ccccccccsssesssesssesssessvesssessersseessessessseessnssssssveesvensvanseanseaseenseeasersees 110TÄHHIỆT THÁM KHỔ ssasssansscasasnssectscascccctscossccssccssuassascossssssssscsasssesetsantses 111

DANH MỤC TỪ VIET TAT

Ký hiệu viết tắt Viết đầy đủ

MỞ DAU

1 Lý do chọn đề tài

Trong bối cảnh Cách mạng Công nghiệp 4.0 đang diễn ra mạnh mẽ và yêu cầu nguồn

nhân lực có khả năng làm việc với công nghệ cao, việc phát triên tư duy thuật toán là cực

kỳ quan trọng Nhiều ngành công nghiệp, từ công nghệ thông tin, tự động hóa đến y tế vàtài chính, đều đòi hỏi người làm việc có khả năng giải quyết vẫn đề một cách sáng tạo và

hiệu quả.

Hơn nữa việc phát trién tư duy thuật toán không chỉ hướng đến mục tiêu của chương

trình giáo dục là hình thành và phát triển năng lực, phẩm chất cho học sinh mà còn là một phan quan trọng của sự nâng cao chất lượng day học và học tập Hiện nay, cách tiếp cận giảng day tại nhiêu trường THPT chưa thực sự tập trung vào việc phát triển khả năng tư

duy thuật toán của học sinh Điều này có thé dan đến việc học sinh chỉ học thuộc lòng các

quy tắc và thuật toán mà không thực sự hiểu rõ cách thức hoạt động cũng như áp dụng chúng vào việc giải quyết vấn đề thực tế Việc tập trung vào phát triển tư duy thuật toán

cho học sinh THPT không chỉ giúp họ tự tin và thành công trong học tap, mà còn chuẩn

bị cho họ một tương lai chắc chắn và linh hoạt trong môi trường công nghệ cao và thay đôi liên tục.

Trong chương trình toán THPT, hình học không gian được xem là một chủ đề khó hiéu

và trừu tượng đối với học sinh Đặc biệt, chủ đề “Khoang cách trong không gian” có

nhiều bài toán phức tạp và đa dạng Giải quyết những bài toán này yêu cầu học sinh phải

có khả năng xây đựng và hiểu rõ về khái niệm khoảng cách giữa các hình học trong không

gian Hầu hết các học sinh đều đối mặt với sự khó khăn khi nam vững nội dung này

Thậm chí, đây còn là phần mà nhiều giáo viên cũng gặp khó khăn trong việc truyền đạt kiến thức trong quá trình giảng day Dường như khó khăn ma học sinh gặp phải có nguồn

gốc từ việc họ chưa thực sự hiểu rõ về lý thuyết cơ bản và cảm thụ sâu sắc về những dạng

bài tập liên quan đến khoảng cách trong không gian Tô chức dạy học phát triển tư duy

thuật toán bằng cách xây dựng và thực hành các thuật toán, quy trình tựa thuật toán giúp

giáo viên và học sinh vượt qua những khó khăn nảy Điều này không chỉ giúp học sinh

nắm vững kiến thức mà còn giúp họ phát trién khả năng tư duy sáng tạo phân tích van

dé và thậm chí là xây dựng những giải pháp tôi ưu trong việc giải quyết bài toán.

Với những lý do trên, chúng tôi chon đề tải * Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh qua day học chủ dé Khoảng cách trong không gian ở lớp 11° làm dé tài nghiên cứu của

mình.

Hiện nay, đã có một số dé tài, công trình nghiên cứu về phát triển tư duy thuật toán cho

học sinh thông qua đạy học môn toán như:

Luận văn thạc sĩ của Viên Thị Liễu (2015): “Phat trién tư duy thuật giải cho học sinh

trung học phỏ thông tinh Hà Giang trong day học nội dung Phương trình lượng giác”,

Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên.

Luận văn thạc sĩ của Lê Văn Vặng (2019): “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinhthông qua dạy học chủ đề “Nguyén ham — Tích phân” — Giải tích 12” Trường Đại họcDong Tháp

Luận văn thạc sĩ của Lam Thị Thu Hường (2015): “Rén luyện tư duy thuật giải cho học

sinh thông qua dạy học nội dung Phương trình và bất phương trình" Trường Đại học

quốc gia Hà Nội.

Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Thắm (2015): “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh

thông qua dạy học Quan hệ song song trong không gian — Hình học 11° Trường Đại học

quốc gia Hà Nội

Gerald Futschek, Julia Moschitz (2010) Developing algorithmic thinking by inventing

and playing algorithms, Proceedings of the 2010 constructionist approaches to creative

learning thinking and education: Lessons for the 21st century (constructionism 2010),

I-10.

2 Mục dich nghiên cứu

Đề xuất tình hudng dạy học chủ dé Khoảng cách trong không gian ở chương trình Toán

lớp 11 theo định hướng phát triển tư đuy thuật toán cho học sinh.

3 Câu hỏi nghiên cứu

CHI: Tư duy thuật toán là gì? Vì sao cần phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong

dạy học môn Toán?

CH2: Chương trình giáo dục phô thông 2018 và các bộ SGK Toán 11 đưa vào day học nội dung Khoảng cách trong không gian như thé nào?

N

CH3: Xây dựng tình huống dạy học Khoảng cách trong không gian theo định hướng pháttriển tư duy thuật toán cho học sinh như thế nào?

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề đạt được mục tiêu nghiên cứu trên, tôi chọn những phương pháp nghiên cứu sau:

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy thuật toán trong dạy học Toán

- Nghiên cứu các luận văn thạc sĩ, tạp chí khoa học liên quan đến phát triển tư duy thuật

toán trong dạy học Toán.

4.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Nghiên cứu chương trình giáo dục phô thông môn Toán 2018.

- Nghiên cứu tri thức Khoảng cách trong không gian trong các Sách giáo khoa môn Toán

11 mới: Chân trời sáng tạo, Kết nói tri thức với cuộc sông, Cánh điều và Cùng khám phá

4.3 Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm

Triển khai thực nghiệm các tình hudng đã xây dựng cho học sinh lớp 11 Phân tích hậu

nghiệm đẻ kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của các tình huồng

5 Cấu trúc khoá luận

Khoá luận gồm phần mở đầu, 3 chương va kết luận chung

Trong phần mở dau, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu và phương

pháp nghiên cứu.

Tiếp đến chúng tôi trình bày 3 nội dung chính của khoá luận bao gồm:

Chương 1: Cơ sở lý luận.

Chương 2: Nghiên cứu chương trình giáo dục phô thông 2018 và các bộ sách giáo khoa

ve chủ dé “Khoang cách trong không gian"

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 Quy trình thuật toán và quy trình tựa thuật toán

1.1 Khai niệm thuật toán

Theo bách khoa toàn thư mở Wikipedia, thuật toán là một tập hợp hữu hạn các hướng dẫn

được xác định rõ ràng, có thê thực hiện được bằng máy tính, thường đề giải quyết một

lớp vấn dé hoặc dé thực hiện một phép tính Các thuật toán luôn rõ rang và được sử dụng

chỉ rõ việc thực hiện các phép tính, xử lý đữ liệu, suy luận tự động và các tác vụ khác.

Theo sách giáo khoa Tin học 6 của bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống (2021) thuật

toán là một day các chỉ dan rõ ràng, có trình tự sao cho khi thực hiện những chi dẫn này

người ta giải quyết được van dé hoặc nhiệm vụ da cho (tr.71)

Theo sách giáo khoa Tin học 6 của bộ sách Cánh diều (2021), thuật toán là một quy trình

chặt chẽ gồm một số bước, có chỉ rõ trình tự thực hiện dé giải một bài toán (ứr.81)

Theo Nguyễn Bá Kim (2011), thuật toán là một dãy hữu hạn những chi dẫn thực hiệnđược theo một trình tự, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi

thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mồ tả lời giải

bài toán đó (tr.376)

Ta có thê thay rằng khái niệm thuật toán của các nhà khoa học hay trong các bộ sách giáo

khoa có thé khác nhau vẻ ngôn ngữ biêu đạt nhưng bản chất ý nghĩa đều giỗng nhau.

Tổng quát lại, thuật toán có các đặc điểm sau đây:

(1) _ Là một dãy hữu hạn các bước xếp theo trình tự xác định.

(2) Mỗi bước là một thao tác sơ cấp hoặc một thuật toán đã biết

(3) — Sau khi thực hiện các bước thi đi đến kết quả

1.2 Tinh chất thuật toán

Theo Nguyễn Thị Thắm (2015), thuật toán có những tính chất cơ bản sau:

- Tinh đơn trị: nhiều chủ thê ( người hoặc máy tính) khi cùng thực hiện một thuật toán

thì phải cho ra cùng một kết quả

Tính dừng: sau một số hữu hạn lần thao tác phải đi đến kết thúc, không được tạo thành

vòng lặp vô hạn.

Tinh đúng dan: thuật toán phải giải quyết được van đề đặt ra, không cho phép kết qua

sai hoặc kết quả không day đủ.

- Tính phổ dụng: thuật toán phải áp dụng được cho các bài toán có cấu trúc tương tự

nhau với những đữ liệu cụ thé khác nhau.

- Tính hiệu qua: lựa chọn thuật toán tối ưu, được hiéu là thuật toán thực hiện nhanh, tốn

ít thời gian, sử dụng ít thiết bị lưu trữ kết quả trung gian.

1.3 Quy trình thuật toán

Theo Nguyễn Thi Thắm (2015), quy trình là một trình tự phải tuân theo đề tiễn hành một

công việc nào đó Như vậy quy trình thuật toán được hiểu là quy trình thực hiện các bước

của một thuật toán nao đó Quy trình thuật toán đòi hỏi phải đáp ứng đủ các đặc điểm và tính chất của thuật toán.

Ví dụ: Quy trình thuật toán giải phương trình bạc 2 ax’ +bx+c=0

Bước 1: Xác định hệ số a,b,c.

Bước 2:Xét hệ số a:

+Néu z=0 chuyên sang bước 7.

+ Nếu a#0 chuyên sang bước 3.

Bước 3: Tính A=b* -4ac.

+Néu A<0 chuyền sang bước 4.

+Néu A=0 chuyển sang bước 5.

+Néu AÁ >0 chuyên sang bước 6.

Bước 4: Kết luận phương trình vô nghiệm Kết thúc thuật toán

Bước 5: Kết luận phương trình có nghiệm kép là x, = x, =~ ¬ Kết thúc thuật toán.

1.4 Quy trình tựa thuật toán

Quy trình tựa thuật toán là quy trình thê hiện không day đủ các đặc điểm của thuật toán.

Theo Bùi Văn Nghị (1996), quy trình tựa thuật toán là quy trình có các đặc điểm sau của

thuật toán:

(1) Là một đấy hữu hạn các bước xếp theo trình tự xác định.

(2) Sau khi thực hiện các bước thì đi đến kết quả.

Còn đặc điểm “Mỗi bước là một thao tác sơ cấp hoặc một thuật toán đã biết" được thaybằng “ Mỗi bước là một thao tác sơ cấp hoặc chi là một gợi ý định hướng suy nghĩ , mộthướng dẫn thực hiện thao tác được lựa chon” Một điềm khác biệt nữa giữa quy trình

thuật toán và quy trình tựa thuật toán chính là quy trình thuật toán có thẻ thực hiện bằng

người hoặc máy tính còn quy trình tựa thuật toán thì chỉ có thê thực hiện bằng người

Ví dụ: Quy trình tựa thuật toán xác định góc giữa hai mặt phẳng

Bước |: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Bước 2: Tìm hai đường thắng thuộc hai mặt phang và cùng vuông góc với giao tuyến tại

một điềm.

Bước 3: Xác định góc giữa hai đường thang trên, đó chính là góc can tim.

2 Tư duy thuật toán

2.1 Khai niệm tư duy thuật toán

Theo Nguyễn Bá Kim (2011), tư duy thuật toán là một dang tư duy toán học có liên hệ

chặt chẽ với việc thực hiện các thao tác tư duy, được sắp xếp theo một trình tự nhất định

mà kết quả là giải quyết được nhiệm vụ đặt ra.

2.2 Đặc trưng của tư duy thuật toán

Theo Viên Thị Liễu (2015), tư duy thuật toán có Š đặc trưng cơ bản sau:

1 Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán.

2 Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo những trình tự xác

định.

3 Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đỗi tượng riêng lẻ thành một quá trình

điễn ra trên một lớp đối tượng

4 Mô tả chính xác quá trình tiền hành một hoạt động

5 Phát hiện thuật giải tôi ưu dé giải quyết bài toán

Trong đó, (1) thẻ hiện năng lực thực hiện thuật toán, (2) > (5) thê hiện năng lực xây

đựng thuật toán.

2.3 Mắi liên hệ giữa tư đuy thuật toán với các năng lực đặc thù trong day học Toán.

* Năng lực mô hình hoá Toán học

Tư duy thuật toán giúp chúng ta tạo ra các mô hình toán học và giải quyết các vấn đẻ toán

học một cách có hệ thông và logic Khi chúng ta tiếp cận một vẫn đẻ, tư duy thuật toán giúp học sinh nâng cao khả năng phân tích vẫn đẻ và mô hình hóa nó thành bài toán toán

học Hơn nữa, tư duy thuật toán khuyến khích sự sáng tạo trong việc phát triển các mồ

hình toán học Học sinh không chỉ học cách áp dụng các mô hình toán học đã có mà còn

khám phá va phát trién các mô hình mới dé giải quyết các van đề khó khăn hơn Chang

hạn như, giáo viên đưa ra vẫn dé cần giải quyết như sau:

Bài toán

Thường ngày, chiếc xe 6 tô di thang từ A đến D Tuy nhiên do hiện tại trên đường đi trực tiếp từ A đến D có tai nạn nghiêm trọng nên xe ô tô phải đi đường vòng như hình vẽ Hỏi

quảng đường di mới tang bao nhiều ki-lé-mét so với quãng đường di cũ?

Thông qua phát trién tư duy thuật toán, học sinh có kha năng phân tích nội dung và yêu

cầu bài toán dé học sinh dé dàng chuyên bài toán thực tiễn thành bài toán toán học Từ

đó học sinh phát triển năng lực mô hình hoá toán học Không những vậy năng lực mô hình hoá toán học còn được thé hiện khi học sinh thiết kế, thực hiện và đánh giá thuật toán giải quyết van dé dé xây dựng được một mô hình toán học tôi ưu.

Như vậy, phát triển tư duy thuật toán không chỉ giúp học sinh giải quyết các van đề toán

học một cách hiệu quả mà còn giúp cho học sinh trở nên thành thạo trong việc mô hình

hoá toán học Phát trién tư duy thuật toán khuyến khích học sinh hiệu biết sâu sắc hơn về

toán học và khả năng sáng tạo để xây dựng các mô hình hiệu quả.

* Nang lực tư duy va lập luận Toán hoc

Phát triển tư duy thuật toán đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực tư duy

và lập luận toán học Tư duy thuật toán là quá trình xây dưng và thực hiện các thuật toán

dé giải quyết các van dé phức tạp Khi học sinh giải quyết một vấn đề bằng cách thiết kế

và thực hiện một thuật toán, học sinh cần phải suy nghĩ về các giải pháp giải quyết vấn

dé cũng như cách lập luận logic dé đạt được kết quả mong muốn Điều này yêu cau sự

tập trung, phân tích kỹ lưỡng và khả năng tư duy sáng tạo ở học sinh.

Đề xây dựng các giải pháp hiệu quả cho các vấn đề cụ thể mà còn phải hiểu rõ về cơ sở

toán học của chúng Điều này bao gồm việc học sinh lựa chọn và kết hợp các kiến thức

toán học như đại số, xác suất và đỗ thị dé phân tích và nâng cao tính tối tru của thuật toán

Từ đó giúp hình thành năng lực tư duy và lập luận Toán học.

Ngoài ra, phát triển tư duy thuật toán cũng đòi hỏi khả năng lập luận logic và suy luậnkhi chứng minh tinh đúng đắn của một thuật toán hoặc tính tối ưu của nó Phát triển kĩnăng phân tích, tông hợp, so sánh, là các biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận

Toán học Tóm lai, phát trién tư duy thuật toán và phát triển năng lực tư duy vả lập luận

Toán học luôn đi đôi và tương tác với nhau giúp thúc đây khả năng vận dụng kiến thức

toán học đẻ giải quyết van dé trong cuộc sông của học sinh

* Nang lực giải quyết vấn dé Toán học

Phát triển tư duy thuật toán là một yếu tổ quan trọng trong việc phát triển năng lực giải

quyết van đề Toán học Tư duy thuật toán đòi hỏi kha năng phân tích tao ra, và toi ưu

hóa các thuật toán dé giải quyết các vấn dé phức tạp Khi tiếp cận một van dé toán học,

tư đuy thuật toán cho phép ching ta tách nó thành các bước nhỏ hơn và dé hiểu hơn.

Việc phát triển tư đuy thuật toán giúp học sinh trở nên nhạy bén hơn trong việc nhận diện

mô hình toán học trong các van dé cần giải quyết Đồng thời, tư duy thuật toán cũng

khuyên khích sự sáng tạo và tư duy logic của học sinh, giúp học sinh tim ra các giải pháp

sáng tạo cho các vấn đẻ toán học

Tóm lai, phát triển tư duy thuật toán là một phan quan trong trong việc phát trién năng

lực giải quyết vấn đề Toán học Nó giúp học sinh tiếp cận và giải quyết các vấn đẻ toán

học một cách để dàng và hiệu quả hơn.

* Năng lực giao tiép Toán học

Khả năng giao tiếp toán học đòi hỏi học sinh biết cách trình bày ý tưởng và kết quả toán

học một cách rõ ràng và hap dan Khi hoc sinh phat trién tu duy thuật toán, hoc sinh

thường phải diễn giải cách thuật toán hoạt động, cung cấp các bằng chứng và kiến thức

toán học dé minh chứng tính đúng đắn của thuật toán Điều này giúp học sinh trở nên thành thạo hơn trong việc diễn đạt va trình bay các ý tưởng và kiến thức toán học.

3 Vai trò của phát triển tư duy thuật toán trong dạy học Toán.

Phát triển tư duy thuật toán đóng vai trò quan trọng trong đạy học Toán Dưới đây là một

số vai trò của phát triển tư duy thuật toán trong việc giảng dạy và học Toán:

- Giúp học sinh hiểu và vận dụng các khái niệm Toán học: Khi học sinh phát triển tư duy

thuật toán, học sinh học cách phân tích và giải quyết các van đề toán học bằng cách chia

chúng thành các bước nhỏ và logic Điều này giúp học sinh hiệu sâu hơn vẻ cách các khái

niệm toán học liên quan đến nhau và kết hợp chúng lại với nhau đẻ tạo ra giải pháp Hơnnữa, tư duy thuật toán giúp học sinh áp dụng các khái niệm toán học vào thực tế Bằngcách nắm vững kỹ năng tính toán và kiến thức toán học, học sinh có khả năng vận dụngtoán học đẻ giải quyết các van dé trong cuộc sông hàng ngày

- Phát triển năng lực giải quyết van đề và sáng tạo: Tư duy thuật toán giúp học sinh phát

triển kỹ năng giải quyết van dé, từ việc phân tích van dé, tìm ra phương pháp giải quyết,

đến việc thực hiện và kiểm tra kết quả Phát triển tư duy thuật toán còn khuyến khích sự

sáng tạo va tư duy logic của học sinh Bang cách tìm ra các phương pháp giải quyết không

truyền thông và suy nghĩ logic, học sinh có thẻ tạo ra những giải pháp mới cho các bài

toán.

-Phát trién năng lực tư duy lập luận Toán học: Phát triển tư duy thuật toán là yếu tố quan

trọng trong việc giúp học sinh phát triển khả năng tư duy và lập luận toán học Tư đuy

thuật toán giúp họ học cách suy luận logic, hiểu sâu hơn về các khái niệm toán học, thúcday sáng tạo trong giải quyết van dé, và phát trién kha nang lập luận toán học mạnh mẽ

- Phát triển khả năng học tập và tự tin: Phát triển tư duy thuật toán giúp học sinh phat

triển khả năng học tập tự chủ và tự tin trong việc giải quyết các bài toán phức tạp Họ sẽ cám thay tự tin hơn và có khá năng tiếp cận và giải quyết các van dé Toán học khó khăn

hơn.

- Phát triển năng lực giao tiếp Toán học: Phát triển tư duy thuật toán là một yếu tố giúp

học sinh phát triển nang lực giao tiếp toán học Phát triển tư duy thuật toán không chỉ giúp học sinh tư duy sâu sắc và đưa ra các lập luận logic trong toán hoc, mà còn thúc day khả năng trình bảy ý tưởng toán học một cách rõ ràng và thuyết phục cho học sinh.

9

Tóm lai, phát trién tư duy thuật toán có vai trò quan trọng trong day học Toán, giúp học

sinh hiểu và vận dụng các kiến thức toán học dé giải quyết các van đề trong thực tiễn, phát trién các năng lực chung và năng lực đặc thù môn toán cũng như phát triển kha năng

học tập và tự tin cho học sinh.

4 Nguyên tắc dạy học phát triển tư duy thuật toán

Phát triển tư duy thuật toán là một trong những mục tiêu quan trọng của dạy học Toán,

vì nó giúp học sinh nâng cao khả năng suy nghĩ logic, sáng tạo, giải quyết van dé và hìnhthành tư duy khoa học Theo Lê Văn Vặng (2019), đề dạy học theo hướng phát triển tưduy thuật toán cân tuân thủ các nguyên tắc sau đây:

a) Dam báo sự thông nhất giữa tính khoa học và tính giáo duc trong dạy học

Đây là nguyên tắc cơ bản nhất, yêu cầu nội dung và phương pháp dạy học phải phù hợp

với mục đích giáo dục, với nhiệm vụ day học và với những tính quy luật của quá trình

day học Nội dung dạy học phải phản ánh những thành tựu khoa hoc, công nghệ và văn

hoá hiện đại, cung cấp cho học sinh những tri thức chân chính và giúp họ tiếp cận với

những phương pháp học tập, nhận thức và làm việc một cách khoa học.

b) Kết néi lý thuyết với thực tiễn trong day học

Đây là nguyên tắc giúp học sinh hiểu bản chất của các khái niệm toán học và vận dụng

chúng vào thực tiễn Dạy học không chỉ truyền đạt kiến thức mà còn phải tạo điều kiện cho học sinh tự khám phá, tự giải quyết các bài toán toán học và các bài toán liên quan

đến các lĩnh vực khác Dạy học cũng phải kết nối toán học với các môn khác với cuộcsông và xã hội, dé tăng cường tính ứng dụng và tính liên ngành của toán học

c} Tang cường hoạt động của người học trong day học.

Đây là nguyên tắc giúp học sinh phát triển năng lực tự hoàn thiện và tự điều khiển quá

trình học tập Dạy học không chi là truyền đạt kiến thức mà còn là gợi mở, khơi gợi,

khuyến khích và trợ giúp cho người học Dạy học phải tạo ra những tình huỗng thách

thức, kích thích sự tò mò, sáng tạo và ham muốn khám phá của người học Dạy học cũng

phải biến người học từ những người tiếp nhận kiến thức thành những người sáng tạo kiến

thức.

d) Phát triển toàn diện các kỹ năng, năng lực của người học trong dạy học.

Nguyên tắc phát triển toàn diện kỹ năng của người học trong day học giúp người học

không chỉ có kiến thức toán mà còn có các kỹ năng cân thiết trong cuộc sông hiện nay

10

Các kỹ năng này bao gồm: kỹ năng suy luận logic, kỹ năng phân tích và tong quát hoa,

kỹ năng biểu dién và trình bày, kỹ năng làm việc nhóm, kỹ năng giao tiếp và thuyết phục,

kỹ năng sử dụng công nghệ thông tin,

Với mục tiêu hướng đến phát triển năng lực cho học sinh của chương trình giáo dục phổ

thông 2018, ngoài nguyên tắc phát triển các kỳ năng của người học trong đạy học, dạy

học phát triển tư duy thuật toán cũng can phải đảm bảo các nguyên tắc phát triển năng

lực cho người học như năng lực tư duy và lập luận Toán học, năng lực mô hình hoá Toán

hoc, năng lực giải quyết van dé Toán học va năng lực giao tiếp Toán học

e) Tôn trọng, kế thừa và phát triển chương trình sách giáo khoa hiện hành.

Các bộ sách giáo khoa được thiết kế và phát triền dựa trên nền tang kiến thức, năng lực.phẩm chất cần thiết cho học sinh Dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán tậndụng và phát triển tối đa nguồn tài liệu và tài nguyên hiện có trong sách giáo khoa Việcdam bảo sự tôn trong, kế thừa và phát trién tôi ưu chương trình sách giáo khoa hiện hành

giúp dạy học theo hướng phát triển tư đuy thuật toán đồng bộ và liên kết với chương trình

giáo dục tông thê Điều này giúp đảm bảo rằng học sinh không chi phát trién tư duy thuật

toán ma con đáp ứng đầy đủ các mục tiêu và tiêu chuẩn giáo dục

5 Mô hình học tập phát triển tư đuy thuật toán

* M6 hình của Gerald Futschek & Julia Moschitz (2010)

Dựa trên mô hình phát triển tư duy giải quyết vấn đề của Tummer, Gerald Futchek & Julia Moschitz đã phát minh mô hình học tập phát triển tư duy thuật toán gôm 5 bước

Phần thet vấn đề anaryie ett.

„ new "4 prebes Hi orecie

ce H ,

` `¬

Danes

( = ‘ ( =»Phản ánh qey trình |

thuật toán {qey trình Ten ÿ tưởng, pai phác

tựa that toan) Bi quyết win đề

oi "¬ - ` / Lie?

z ` ` vos

Thực hiện quy trích Xửy đựng qey trình Ÿ xen Ÿ

these 1oán (quy vish thuật todn (quy trính NỘI Pg tựa thuật toán| tựa thuật toá*) <=="

} Figwe 2 The process af foaming by #veniing 020Ø40:2

Bước 1: Phân tích van dé

Ở bước đầu tiên, học sinh can tim ra van đề chính và cần chia nó thành các van đề nhỏ

hơn, đơn gián hơn.

Bước 2: Tìm ý tưởng, giải pháp giải quyết van dé

Trong quá trình này, học sinh phải sáng tạo, nêu các đề xuất ý tưởng giải quyết vấn đẻ

Nếu từ van dé chính học sinh đã chia thành các van dé nhỏ thì học sinh có thê tìm ý

tưởng giải quyết các van đề nhỏ Giáo viên nên tô chức cho học sinh thực hiện theo nhóm

đề học sinh có thê thảo luận theo nhóm về ý kiến của từng cá nhân Sau đó các thành viên

tiền hành đánh giá các dé xuất theo các khía cạnh sau: Ý tưởng nào giải quyết van dé một

cách đúng đắn nhất? Ý tưởng nào có thé dé dàng đưa vảo thực tế? Ý tưởng nào có thégiải quyết vấn đề hiệu quả?

Bude 3: Xây dựng quy trình thuật toán (quy trình tựa thuật toán)

Mục tiêu của bước này là có thê nói hoặc viết ra một quy trình chính xác về các ý tưởng

để giải quyết vấn đè.

Bưuóc 4: Thực hiện quy trình thuật toán (quy trình tựa thuật toán)

Quá trình này giúp học sinh kiêm tra thuật toán có hoạt động hay không và đánh giá hiệu

quả của thuật toán.

Buớóc 5: Phản ánh quy trình thuật toán (quy trình tựa thuật toán)

Mục tiêu của phan ánh thuật toán là cải tiền lời giải Kết quả của sự phản ánh thuật toán

là xuất hiện những vấn đề mới cần giải quyết Khi đó mô hình quay trở lại từ đầu Việc

giáo viên tô chức học theo nhóm giúp học sinh có thé học được rat nhiều từ các học sinh khác và các ý tưởng của họ, từ đó giúp học sinh tiền bộ hơn về tiến độ học tập.

* Mô hình của Nguyễn Bá Kim (2011)

Trong quyền sách Phương pháp dạy học môn Toán ( tr.379 — tr.382), Nguyễn Bá Kim đã

đưa ra một quy trình hình thành một quy trình tựa thuật toán như sau:

Bài toán xuất phát, phân tích hướng giải

Phát hiện, dé xuất, thảo luận, kết luận quy

trinh tựa thuật toan

-7

Ụ

Vận dụng quy trình tựa thuật toán giải một

sO bai toán mới, điều chỉnh quy trình khi

cân thiệt

Phân tích cụ thé các bước như sau:

Bước 1: Giáo viên đưa ra một hoặc một số bài toán xuất phát làm cơ sở dé phân

tích, phát hiện quy trình tựa thuật toán từ lời giải bài toán.

Bước 2: Giáo viên hướng dẫn HS trao đổi, thảo luận về quy trình tựa thuật toán để

giải dạng toán đó.

- Trong bước này giáo viên có thé có những gợi ý để định hướng cho học sinh trao đôi,

thảo luận lời giải cho từng bài toán Học sinh có thê giúp đỡ nhau, cùng giảng giải cho

nhau đẻ cùng giải quyết được bài toán, giáo viên cũng cần nhắc nhớ học sinh những chú

ý cần thiết

- Giáo viên có thé sử dụng hệ thông các câu hỏi mở, phương pháp day học đàm thoại,

phân tích các thao tác nhằm phát hiện ra quy trình tựa thuật giải theo riêng mình.

Giáo viên có thê chia học sinh thành một số nhóm, phát phiếu học tập và yêu cầu các học

sinh:

+) Làm việc cá nhân dựa theo phiếu học tập: Tìm lời giải bài toán; phát hiện, dé xuất quy

trình tựa thuật toán.

+) Thảo luận theo nhóm về nội dung phiều học tap, cùng nhau trao đôi, thảo luận và thôngnhất quy trình tựa thuật toán

+) Cử đại điện trình bày quy trình tựa thuật toán của cá nhân hoặc nhóm mình.

Bước 3: Vận dụng quy trình tựa thuật toán giải một số bài toán mới, điều chinh quy

liệu hướng dẫn bồi dưỡng giáo viên cốt cán mô đun 2, năng lực được hình thành khi

chuyên hoá những kiến thức, kĩ năng, thái độ dé giải quyết tình huống mới và xảy ra trong môi trường mới Do đó mục tiêu của chương trình giáo dục phô thông không dừng lại ở

việc luyện tập kiến thức, kĩ năng trong môi trường quen thuộc mà còn đòi hỏi học sinhphải có khả năng vận dụng những kiến thức, kĩ năng kết hợp đẻ giải quyết các vấn đề.Điều này thê hiện tầm quan trọng trong việc chủ động cho học sinh phát hiện và xây dựngcác thuật toán giải quyết vấn đẻ Để có thể giải quyết được vấn đẻ hiệu quả đòi hỏi học

sinh phải phân tích kỹ van dé cũng như nắm vững các kiến thức, các thuật toán đã biết có

liên quan Do đó, mô hình học tập phát triển tư duy thuật toán của Gerald Futschek &

Julia Moschitz là mô hình phù hợp với mục tiêu và tiền trình dạy học hướng đến phát

triển năng lực cho học sinh Không những vậy năm bước trong mô hình học tập phát

triển tư duy thuật toán Gerald Futschek & Julia Moschitz đáp ứng các cấp độ đo nhận

thức của thang đo Bloom Cụ thê như sau:

Bước 1: Phân tích van đề

Bước này đạt được cấp độ 2 (Hiệu) trong thang đo Bloom được thê hiện qua việc họcsinh cần phát hiện và nhận thức vẻ van dé, chia vấn dé phức tạp thành những van đề nhở

va đơn giản hơn dé dé giải quyết.

Bước 2: Tìm ¥ tưởng, giải pháp giải quyết van đề

Bước nay đạt được cấp độ 2 (Hiểu) trong thang do Bloom được thé hiện qua việc họcsinh phải tư duy dé tạo ra các ý tưởng và giải pháp sáng tạo dé giải quyết van dé

Bước 3: Xây dựng quy trình thuật toán

Bước nay đạt được cấp độ 3 (Vận dụng) trong thang đo Bloom được thê hiện qua việc

học sinh cần xây dựng một quy trình chính xác và logic dé thực hiện ý tưởng giải quyết

van đề

l4

Bước 4: Thực hiện thuật toán

Bước này đạt được cấp độ 4 (Phân tích) trong thang đo Bloom được thể hiện qua việc

học sinh thực hiện thuật toán đã xây dựng đẻ giải quyết van đề và đánh giá hiệu quả của

thuật toán.

Bước 5; Phan ánh thuật toán

Bước này đạt được cấp độ 5 (Đánh giá) trong thang đo Bloom được thê hiện qua việc học

sinh phải phan ánh về tính hiệu quả của thuật toán, cải tiễn lời giải.

15

KET LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương này, chúng tôi đã tìm hiểu và tông hợp các công trình nghiên cứu đã có để

làm rõ khái niệm thuật toán, tư duy thuật toán, phân biệt được quy trình thuật toán và quy

trình tựa thuật toán, mỗi liên hệ giữa tư duy thuật toán và năng lực trong day học toán,

vai trò của phát triển tư duy thuật toán trong dạy học toán cũng như các nguyên tắc cần

tuân thủ khi thực hiện tô chức day học phát triển tư duy thuật toán Không những thé,chúng tôi đã tìm hiểu về các giai đoạn trong các mô hình đạy học phát triển tư duy thuật

toán.

Qua đó, chúng tôi nhận thay phát triển tư đuy thuật toán chính là rèn luyện cho học sinh

khả năng tư duy, suy nghĩ nhận thức dé giải quyết van dé một cách có trình tự Từ đógiúp học sinh tiếp thu các kiến thức Toán học hiệu quả, phát triển các thao tác trí tuệ

(phân tích, tông hợp, so sánh, khái quát hoá, ), tích cực thúc đây khả năng sáng tạo và

logic toán học cho học sinh.

Thông qua nội dung phân tích các mô hình học tập phát triển tư đuy thuật toán ở trên, mô

hình học tập của Gerald Futschek & Julia Moschitz là cơ sở dé chúng tôi tiến hành phân

tích chương trình giáo dục phô thông 2018 toán 11 và các bộ sách giáo khoa ứng với chủ

dé “Khoảng cách trong không gian” ở chương 2 Dé từ đó tiền hành xây dựng tình huéng

dạy học phát triển tư duy thuật toán trong dạy học “Khoang cách hai đường thăng chéo

nhau trong không gian” ở chương 3.

16

CHƯƠNG 2 NGHIÊN CỨU CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DUC PHO

THONG 2018 VÀ CÁC BỘ SÁCH GIAO KHOA VE CHU DE

“KHOẢNG CÁCH TRONG KHONG GIAN”.

1 Yêu cầu cần đạt của bai học trong chương trình giáo dục phổ thông 2018

Bài học “Khoang cách trong không gian” ở lớp 11 được nêu cụ thê phải đạt được các yêu

cầu sau:

— Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một đường thăng; khoảng cách từ một

điểm đến một mặt phăng; khoảng cách giữa hai đường thing song song; khoảng cách

giữa đường thăng và mặt phăng song song; khoảng cách giữa hai mặt phăng song song

trong những trường hợp đơn giản.

~ Nhận biết được đường vuông góc chung của hai đường thăng chéo nhau; tính được

khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau trong những trường hợp đơn giản (ví dụ:

có một đường thăng vuông góc với mặt phăng chứa đường thăng còn lại).

— Sử dụng được kiến thức về khoảng cách trong không gian dé mô tả một số hình anh

trong thực tiễn.

2 Vị trí bài học

— Sách Chân trời sáng tạo: Chương VIII, bai 4 SGK toán 11 (tập 2) Số tiết: 3

Sách Kết nối tri thức với cuộc sống: Chương VII, bài 26 SGK toán 11 (tập 2) Số tiết:

3.

— Sách Cánh diều: Chương VII, bài 5 SGK toán 11 (tập 2) Số tiết: 2

~ Sach Cùng khám phá: Chương VIH, bai 4 SGK toán 11 (tập 2) Số tiết: 3

3 Phân tích bài học “Khoảng cách trong không gian” trong sách giáo khoa toán 11

Chân trời sáng tạo.

Trước khi vào bài học, sách giáo khoa đã đưa ra các từ khoá ngay sau tên bài học giúp

học sinh xác định nội dung chính của bài học.

Từ khoa: Các loại khoảng cách trong không gian;

Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

(Trích dân SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.74)

17

3.1 Hoạt động mở đầu

@®) (á bào nh êø loại Vhaitsg cds trang cổag trình đang By độ g 6127 Lien DE obo

(Trích dẫn SGK Chân trời sáng tạo toán II, tập 2, tr.74)

Trước hết, trong sách giáo khoa, một tình hudng được đặt ra với câu hỏi "Có những loại

khoảng cách gì trong công trình xây dựng này?” kèm theo hình ảnh minh họa Mục tiêu

của tình huống này là thúc day cuộc thảo luận của học sinh về các khía cạnh khác nhau

của khoảng cách trong không gian, thông qua việc quan sát một công trình đang được

xây dựng Cách trình bay tạo điêu kiện cho sự tương tác và tham gia của học sinh Câuhỏi ở đây được đặt mở, cho phép học sinh thể hiện ý kiến và quan điểm cá nhân một cách

tự do Điều này loại bỏ yếu tố đúng sai trong câu trả lời va giáo viên không đánh giá

chúng dưới góc độ đúng sai.

Tiếp theo, sách giáo khoa đặt câu hỏi "Làm cách nào dé tính toán những khoảng cáchnày?" Mục tiêu ở đây là đặt van dé cần phải giải quyết trước mắt, làm định hướng chohọc sinh trong quá trình học tập vả cũng là câu hỏi mà học sinh cần trả lời khi kết thúcbài hoc Thông qua tình hudng này, học sinh phát triển kỹ năng giải quyết van dé và sáng

tạo khi họ tạo ra những cách tiếp cận đẻ giải quyết thách thức được dé ra trong sách giáo

khoa Hơn nữa, họ cũng cải thiện khả năng giao tiếp toán học khi trình bày những ý tưởng

của mình.

Liên quan đến việc phát triển tư duy thuật toán trong tình huống này, chúng tôi nhận thấy

tính đơn trị và tính đúng dan của thuật toán không được đảm bảo, cụ thê ở khoảng cách

đ, học sinh có the đưa ra các nhận định đó là khoảng cách từ một điểm đến mặt phăng,

khoảng cách giữa đường thăng và mặt phăng song song Còn xét trên phương diện 5 bước

của mô hình day học phát triển tư duy thuật toán, hoạt động này hoàn thành được đến

bước 2 Đó 1a học sinh phân tích yêu cau sách giáo khoa đề ra và tìm ý tưởng, giải pháp

giải quyết yêu cầu đó Nhìn chung, hoạt động mở đầu của các bộ sách giáo khoa chưa

đảm bảo tất cả tính chất của thuật toán cũng như năm bước trong mô hình dạy học phát

18

triển tư duy thuật toán nên chưa tạo cơ hội đề tô chức hoạt động phát triển tư duy thuật

toán.

3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thang, đến một mặt phẳng

3.2.1 Hoạt động khám phá 1

œA 2) Cho điểm Af và đường thing ø không đi qua Af, Trong mặt phẳng (M4, a), dùng ẽke

đề tim điểm 7ƒ trên ø sao cho AMT 1 a (Hinh la), Do độ dài dogn A.

b) Cho điểm Af khéng nằm trên mặt phẳng sin nhà () Dùng đây dot để tìm hình chiếu

vue &éc 7ƒ của Af trên ŒP} (Hinh 1b) Do độ đà down AMT.

MS

a) >)

= tênh 1

(Trích dẫn SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.74)

Trong hoạt động khám pha đầu tiên, sách giáo khoa mở đầu bằng yêu cau đo độ đài đoạn

MH nhằm cung cấp cho học sinh cơ hội làm việc với khái niệm cơ bản về khoảng cách

từ một điềm đến một đường thăng Tiếp theo, sách giáo khoa thúc day học sinh tính độ

dai đoạn MH , với H là hình chiếu cia M lên mặt phẳng (P) nhằm mở ra cánh cửa

cho học sinh khám phá khái niệm về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Từ

đó học sinh được khuyến khích phát triển tư duy lập luận toán học cùng với khả năng

phân tích vấn đẻ.

Vẻ khía cạnh phát trién tư duy thuật toán, hoạt động này đáp ứng các yếu t6 của quy trình

tựa thuật toán cùng với đạt đến bước 4 trong mô hình dạy học phát triển tư duy thuật toán.

Cụ thê hơn

Bước I: Học sinh phân tích thông tin từ dữ liệu, yêu cầu của sách giáo khoa.

Bước 2: Học sinh đưa ra phương hướng tiếp cận đẻ giải quyết yêu cầu

Bước 3: Học sinh xây dựng các bước giải thành một quy trình tựa thuật toán.

Bước 4: Học sinh thực hiện quy trình này để tìm ra độ dai đoạn MH trong từng trường

hợp cụ thé.

Tuy nhiên, cần nhắn mạnh rằng hoạt động này chưa thực sự làm nồi bật mục tiêu cuối

cùng là giúp học sinh khám phá và nắm vững khái niệm về khoảng cách từ một điểm đến

một đường thăng và một mặt phang Dé bô sung sách giáo khoa có thé đưa ra yêu cầu

nhận xét vẻ độ dai đoạn MH , giúp học sinh nhận ra rằng MH chính là biểu thị cho

19

khoảng cách từ một điểm đến một đường thăng trong câu a và là khoảng cách từ mộtđiểm đến một mặt phẳng trong câu b.

3.2.2 Khái niệm khoảng cách từ điểm đến đường thắng, mặt phẳng

Sau khi tiếp cận với khoảng cách từ một điểm đến một đường thang, một mặt phẳng thông

qua bài toán khám phá, sách giáo khoa đưa ra định nghĩa cùng với những chú ý và nhận

xét.

Định nghĩa

toa của điểm Af trên đường thẳng ø thi độ đài đeen AH đượcạc( là Khodng cách tie M đến đường thẳng a, ki biệu &M, a)

Néu Z7 là hình chiều vuêng ade của điểm Af trên mặt phẳng (P} thi độ đài đoạn 4# được

get là Khoding cách tie M đến (P), kí hiệu aM, (P1).

Chú ý:

Ta quyước: ¢ AM, a) =0 kls và chi khá Af tộc a;

© AM, (P)) = 0 klu và chi kiu M thuộc (P) Nhận xét:

a) Lay điểm tưy ý trên đường thing a, ta luôn có HAL, a) < MN.

b) Lay điểm X tuỷ ý trên mặt phẳng (}, ta loôn có atid, (#)) < MN

(Trích dẫn SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.75)

3.2.3 Các ví dụ, hoạt động luyện tập và hoạt động vận dụng

Dé củng cô kiến thức, sách giáo khoa đưa ra các ví dụ, bài tập vận dụng Đầu tiên, sách

giáo khoa đưa ra các ví dụ, bài toán sau

W dy 1 Cho hinh chúp O.ABC có diy À tam giác đều cạnh avi GAL (ABC) Cho toệt

OA «@ 2

a) Tinh khoảng cách tứ điểm £2 dn (4C)

©) Tinh khoảng cách từ đí êm (2 đến đường thẳng BC.

OW AQ c

a) Tà có OA | ABC), suy tá KO, (ADO) = OA = 9 4

b) Về 47! | ĐC, t 05 OW 1 ĐC (định li bs đường vuêng góc),

Tam gjás ABC đến cỏ con bằng ø se ta 0/ = 88

Trong tren pike wating GAH, là cố OF = VOETAHTM « fo? 22 „ sÉT4 2

ow

2

Vậy ta có SO, BC)

Cho hinh chớo SASCD với đây ABCD Bi hinh vung

cánh 2, Cho biết S4 = ø vả S4 vuông pio với ACD), ye a) Tinh khoảng cách tờ diém # đến (S472) ~e ? b) Tính khoảng cách tir dim A din cạnh SC

—.=

loi Mệt quot tần có bẻ đúy của thin quạt là 29 om Người 7

ta mon treo quạt sao cho Kixdag cách từ đính quạt ><

đền sản shà lì 2,5 ra Hiếu phin làm cán quạt ie bào Hae?

iu? Cho tett trie nhủ ceo 3,6 mì

(Trích dan SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.7Š5)

20

Mục tiêu của việc sử dụng ví dụ và bài toán thực hành là cung cấp học sinh một cơ hội

tương tác thực tế, áp dụng kiến thức vừa học dé giải quyết các tình huống thực tế liênquan đến khoảng cách từ một điểm đến một đường thăng hoặc một mặt phăng Phương

pháp tô chức day học trong sách giáo khoa dựa trên quy trình công cụ - đối tượng - công

cụ, mục dich ban đầu là cung cap một bài toán dé kích thích học sinh định hình van đề

Tiếp theo, sách giáo khoa trình bày kiến thức cần thiết, và sau đó cung cấp vi dụ và bài

toán luyện tập dé học sinh thực hành Từ đó, học sinh phát triển khả năng biêu dién toánhọc và phát triên tư duy thuật toán

Ví dụ đầu tiên trong sách giáo khoa tập trung vào việc hướng dan học sinh xác định và

tính khoảng cách từ một diém đến một đường thăng hoặc một mặt phăng Sau đó là bàitoán luyện tập có cầu trúc tương tự, giúp học sinh thực hiện lại quá trình xây dựng thuật

toán dé tìm khoảng cách trong các trường hợp khác nhau Cuối cùng, trong bài toán vận

dụng sách giáo khoa đưa ra một tình huỗng thực tế, tạo điều kiện cho học sinh áp dụng

những gì họ đã học dé giải quyết vấn dé thực tế Từ đó, ta thấy ring việc sử dụng cách

trình bày trong sách giáo khoa cho phép giáo viên tạo ra một quy trình day học kết hợp

giữa kiến thức và thực hành, giúp học sinh phát triển kha năng tư duy thuật toán một cách

toàn diện.

3.3 Khoảng cách giữa các đường thang và mặt phẳng song song, giữa hai mặtphẳng song song

3.3.1 Hoạt động khám phá 2

2 a) Cho đường thing a song song với mặt

phăng (P) Lay hai điểm A, B tuỳ ý trên a và F 8

A và B trên (P) (Hình 4a) So sánh độ dài hai

b) Cho hai mặt phẳng song song () và (Q) a) b) Lay hai diém A, B tuy ý trên (P) va gọi H, K Hinh 4

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A va B

trên (Q) (Hình 4b) So sánh độ dai hai đoạn

thăng AH và BK.

(Trích dẫn SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.76)

Bộ sách Chân trời sáng tạo đưa ra một hoạt động khám phá yêu cầu sự hướng dẫn từ giáo viên dé học sinh tìm hiểu về tình hudng trong đó và xác định được AB va HK là hai

đoạn thăng song song, và tiếp đến so sánh độ dài của đoạn thăng AH và BK Mục đích

21

của hoạt động này là giúp học sinh khám phá khái niệm về khoảng cách giữa các đường

thăng và mặt phăng song song Qua việc tham gia hoạt động này, học sinh phát triển năng

lực tư duy và kha năng lập luận toán học va năng lực giao tiếp toán học.

Vẻ khía cạnh phát triển tư duy thuật toán, hoạt động này hoàn toàn tuân theo các nguyên

tắc của thuật toán vả quy trình 5 bước trong mô hình đạy học phát triển tư duy thuật toán.

Bước |: Học sinh phân tích thông tin từ dữ liệu, yêu cầu của sách giáo khoa

Bước 2: Học sinh đưa ra phương hướng tiếp cận dé giải quyết yêu cầu (sử dụng thước

đo, tính chất song song của hai đường thằng)

Bước 3: Học sinh xây dựng các bước giải thành một quy trình tựa thuật toán.

Bước 4: Học sinh thực hiện quy trình nay để so sánh độ dai hai đoạn thăng AH và BK Bước 5: Học sinh thực hiện đánh giá tính tối wu của các phương hướng giải quyết.

Mặc dù vậy, kết quả của hoạt động chưa thực sự nôi bật khái niệm khoảng cách giữa cácđường thăng và mặt phang song song Dé cải thiện điều này, sách giáo khoa có thê thêm

yêu cầu xác định AH và BK chính là khoảng cách từ điểm A đến mặt phăng (P) và từ

điểm B đến mặt phăng (P) Khi học sinh đã xác định AH = 8K và A,B đều nam trênđường thăng a, khái niệm khoảng cách giữa các đường thăng và mặt phăng song song sẽtrở nên dé dang va logic hơn dé hiểu Bằng cách thực hiện hoạt động như vay, ta sẽ giúp

học sinh phát triển mô hình hóa toán học một cách rõ ràng và tạo cơ hội cho việc tô chức

day học theo mô hình 5 bước phát triển tư duy thuật toán một cách hiệu quả hơn

3.3.2 Khái niệm khoảng cách giữa các đường thắng và mặt phang song song, giữa hai mặt phẳng song song.

Sau khi tiếp cận với khoảng cách giữa các đường thăng và mặt phăng song song qua bài

toán khám phá, sách giáo khoa đã lần lượt đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường

thăng song song, giữa đường thăng và mặt phăng song song và giữa hai mặt phăng song

song.

Định nghĩa

vẻ khoảng cách từ một điểm bắt kì

trên a đến 6, kí hiệu ala, 4).

Khodng cách giữa đường thẳng a va mặt phẳng (P) song song với ala khoảng cach

từ một điểm bat kì trên ø đến (P), kỉ hiệu da, (P)).

Khaảng cách giữa hai mặt phdng song song (P) và (Q) là khoảng cach từ một điểm

bắt ki trên (P) đến (0), kí hiệu ä((), (@)).

tNNw

(Trích dẫn SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.76)

3.3.3 Các ví dụ và hoạt động luyện tập

Dau tiên, sách giáo khoa đưa ra ví dụ 2 dé học sinh làm quen với các xác định và chứng

minh khoảng cách giữa đường thăng và mặt phăng song song, giữa hai mặt phăng song

song qua một bài toán có hướng dẫn

Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD „£ BC! có cạnh bằng a Tinh theo a a) Khcảng cách giữa đường thing DD’ và (LđŒŒ);

bà Khoảng cách gitta hai mật phẳng C4277) và (BECC).

Giải

a) Ta có DD! / Ad’, ADD, GUCC))= AD, LiA'CO)).

Goi Ø2 là tim hành vuông ABCD

“Ta có DO LAC và DO LAA, suy ra DO 1 (ACC),

Vậy ADD’, (4A'CC) = AD, AA'C'C)) = DO= ay?bà

+

b) Ta có G120) // (BB'C'C) suy ra

RAND DỊ, (BB'C'C)) = HA, (BB'CC]).

DaA1B | BE và AB L BC, suy 12 AB L (BB'BC)

Vậy Á((L4'7⁄D), (BB'CO) = AB <a

(Trích dan SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.76)

Tiếp đến, sách giáo khoa đưa ra hoạt động luyện tập 2 giúp học sinh thực hành tính khoảng

cách giữa các đường thăng và mặt phăng song song.

bea Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D’ có cạnh bằng a Tinh khoảng cách:

a) Giữa hai mặt phẳng (4CD") và ¿#ŒB).

b) Giữa đường thẳng AB và (4'B'CD’),

(Trích dẫn SGK Chân trời sáng tạo toán Ì Ï, tập 2, tr.77)

Cách tổ chức hoạt động của sách giáo khoa tạo điều kiện và cơ hội cho hoạt động phát

triển tư duy thuật toán Bài toán có hướng dẫn ở ví dụ 2 giúp học sinh làm quen và xây

dựng quy trình tựa thuật toán giải quyết các lớp bai toán liên quan đến tính khoảng cáchgiữa các mặt phăng và đường thăng song song Tiếp đến, ở hoạt động luyện tập 2, học

sinh phân tích yêu câu bài toán, thực hành thuật toán đã tìm ra và đánh giá thuật toán đó.

Cu thé,

Bước 1: Học sinh phân tích thông tin tir đữ liệu, yêu cầu của sách giáo khoa.

Bước 2: Học sinh đưa ra phương hướng tiếp cận đề giải quyết yêu cầu (chuyền về tinhkhoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng)

23

Bước 3: Học sinh xây dựng các bước giải thành một quy trình tựa thuật toán.

Bước 4: Học sinh thực hiện quy trình quy trình tựa thuật toán.

Như vay, từ bước 1 đến bước 4 trong mô hình dạy học phát triển tư duy thuật toán được

thé hiện day đủ ở hoạt động này.

3.4 Khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau

3.4.1 Hoạt động khám phá 3

2 Cho hai đường thẳng chéo nhau a va b, Goi (0) là

mặt phẳng chứa ở va song seng với a, Gọi (P) là

mặt phẳng chứa đường thẳng a, vuông góc với (Ø)

vả cắt b tại điểm J Trong (P), gọi e là đường thắng

di qua #, vuông góc với a và cất ø tại điểm 7.

Đưởng thing 17 có vuông góc với b không? Giải thách.

(Trích dẫn SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.77)

Mục đích của hoạt động này giúp học sinh khám phá khái niệm đường vuông góc chung

giữa hai đường thăng chéo nhau trong không gian Ở đây, sách giáo khoa cung cấp hướng

dan vẻ cách xây dựng một đoạn thăng vuông góc chung bằng cách tạo một mặt phăng đi

qua một trong hai đường thăng chéo và vuông góc với mặt phẳng chứa đường thăng còn

lại Bằng việc làm như vay, học sinh có cơ hội tiếp cận việc xây dựng quy trình tương tự

như thuật toán để xác định đoạn thăng vuông góc chung.

Tuy nhiên, sách giáo khoa nên đưa ra thêm một yêu cầu nhận xét về đoạn thang IJ dé học

sinh khám phá được khái niệm khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau Có thê thấy

rằng, hoạt động khám phá này thê hiện trực quan và chi tiết cách xây dựng khoảng cách

giữa hai đường thăng chéo nhau Nên hoạt động này tạo điều kiện cho việc tổ chức dạy

học theo định hướng phat triển tư duy thuật toán.

3.4.2 Khái niệm khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau.

Sau khi tiếp cận với khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau qua giải quyết yêu cầu

của bài toán khám phá, sách giáo khoa đã lần lượt đưa ra định nghĩa đường vuông góc

chung, đoạn vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau

Định nghĩa

Fn thing e vừa vuông gốc, vừa cắt hai đường thing chéo nhau

a và b được gọi là đường vuông gác chung của a và b.

Nêu đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ø va ö cắt chúng lin lượt tại [va J thì đoạn LJ gợi là đoạn vuông góc chung

của a và b.

Khodng cách giữa hai đường thang chéo nhau là độ dai đoạn vuông finh?

góc chung của hai đường thẳng đó, kí hiệu do 8).

(Trích dẫn SGK Chân trời sáng tạo toán II, tập 2, tr.77)

3.4.3 Cách dựng khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau.

a) Khoảng cách giữa hai đường thing chéo nhan ø và b

bing khoảng cách giữa một trong hai đường đến mit phẳng

song song với nó và chứa đường còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thắng chéo nhau bảng

khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lân lượt chứa hai đường thắng đó,

(Trích dan SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.77)

Điểm đặc biệt ở nội dung xác định khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau chính là

sách giáo khoa có đưa ra thêm các cách xây dựng khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau Học sinh có thẻ xây dựng các quy trình tựa thuật toán cho các phương hướng giải

quyết bài toán liên quan đến khoảng cách giữa hai đường thang chéo nhau Dé từ đó, họcsinh thực hành luyện tập các bai toán tương tự va đưa ra đánh giá điều kiện sử dụng củacác phương hướng giải quyết Do đó, nội dung khoảng cách giữa hai đường thăng chéo

nhau tạo cơ hội tô chức dạy học phát triển tư duy thuật toán theo đủ Š bước trong mô hình

của Gerald F & Julia M.

3.4.4 Các ví dụ, hoạt động luyện tập và hoạt động vận dụng

Tiếp đến, sách giáo khoa đưa ra bài toán ví dụ 3 giúp học sinh làm quen và đánh giá cáchlựa chọn phương hướng giải quyết bài toán một cách tối ưu Cụ thê, néu trong trường hợpđoạn vuông góc chung có sẵn hoặc đẻ bài yêu cầu xác định khoảng cách giữa hai đường

thang chéo nhau thì học sinh 4p dụng khái niệm khoảng cách hai đường thăng chéo nhau

dé giải quyết van dé Còn ở trường hợp chỉ yêu cau tính khoảng cách giữa hai đườngthăng chéo nhau và đoạn vuông góc chung không có sẵn trên hình thì học sinh nên lựa

chon cách chuyên về khoảng cách từ điểm đến mặt phang hoặc khoảng cách giữa đườngthang và mặt phẳng song song dé giải quyết van đề.

Ví dụ 3 Cho hình chép SABCD có đáy là lánh vuông ABCD cạnh 2, cạnh %4 = a và

vuông góc với mit phẳng G1BCĐ) Tinh khoang cách giữa hai đường thing:

a) SE và CD, b) AB va SC,

Giái a} Ta có BC L Sd và ĐC LAB, sary ra ĐC L SB.

Mit |hác BCL CD, suy ra BC là đoạn vuông góc chung của hai đường SB và CD Ta cô

&SB, CD) = BC = a.

b) Cách 1 Ta có „f8 1 (SAD) và SÐ là tình chiều voing

sóc cửa SC lên (S4D) Vẽ 4K L SD, KE (41B, EF /.AK

Ta cOAB ¡ AK, AK L SD, suy a AK L SC Do EF i AK,

suy ya ta cfing có BF | AB và EP cát AB tại F, BP LSC

vả định hướng sử dụng vừa rút ra được ở hoạt động trên dé lựa chọn phương ắn giải

quyết, xây dựng thuật toán, vận hành thuật toán và đánh giá thuật toán.

TẾ, cho tir dign G4C có ba cạnh 04, OB, OC đều bing ø

và vuông góc từng đôi mot Tinh khoảng cách giữa hai đường thing:

a) OA và BC, tà OB va AC.

(Trích dân SGK Chân trời sáng tạo toán 1], tập 2, tr.78)

Cuỗi cùng, sách giáo khoa đưa ra hoạt động vận dụng là một bài toán thực tiễn trong lĩnh

vực xây dựng nhà cửa.

Một căn phòng có trân cao 3.2 m Tỉnh khoảng cách giữa

một đường thing a trên tran nha và đường thẳng 6 trên

sản nhà.

26

(Trích dần SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.78)

Ở các hoạt động này, bước 1 là học sinh cần phân tích dé bài và yêu cầu của bài toán đểxác định đó là khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau Bước 2 là học sinh tiễn hành

tìm phương án giải quyết bài toán Bước 3 là xây dựng quy trình tựa thuật toán Bước 4

là học sinh thực hiện thuật toán và bước 5 là học sinh đánh giá thuật toán để lựa chọnthuật toán tối ưu Đó cũng chính là 5 bước trong mô hình tô chức day học phát triển tư

đuy thuật toán.

3.5 Cong thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp

Mục đích của phan này cho thấy ứng dụng của khoảng cách trong không gian dé xác định

thê tích các khôi chóp, khôi lang trụ và khối hộp trong không gian Từ đó mở rộng các

dạng bài tập và các bài toán vận dụng trong thực tiễn.

3.6 Bài tập vận dụng kiến thức đã học

Các bài tập sau bài học mà sách giáo khoa Toán 11 Chân trời sáng tạo đưa ra thê hiện các kiểu nhiệm vụ sau:

Kiểu nhiệm vụ 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phăng (Ví dụ I tr.75

Hoạt động luyện tập 1 tr.75, Bài tập 1 tr.81, Bài tập 4 tr.&6, Bài tập 9 tr.§6)

Đối với ví dy 1 và hoạt động luyện tập 1

W dy 1 Cho tink chop (22L8C có diy là tam giấc đều cạnh avi O4 1L 8C), Cho hd

‘Tam giúc ABC đều có cạnh hing, ø sav mn AH = “0

lrong tam giác vuông QAH, ta cỏ OH = VOd"> AIP = Ja’ +92 =

ov?

3

Vậy ta có RO, BC)

Cho hình chép S.ABCD với diy ABCD là hình vuông

cạnh a Cho biết S4 = a va S4 vuông góc với (ABCD).

a) Tinh khoảng cách từ điểm B đến (S47)

b) Tinh khoảng cách từ điểm ⁄4 đến cạnh SC.

(Trích dân SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.75)

Đây là các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phang thông qua khái niệm Đầu tiên, học sinh cần xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phăng, nghĩa

là cần xác định hình chiều của điểm đó lên trên mặt phăng Ở ví dụ 1, sách giáo khoa cho

ta sẵn dữ kiện dé xác định hình chiếu của O lên mặt phăng (ABC) GO hoạt động luyệntập 1, học sinh cần phải kết hợp giữa dữ kiện đề bài cho và tính chất của hình vuông đề

xác định hình chiếu từ B lên (SAD) Sau khi xác định được khoảng cách , học sinh áp

dụng các kiến thức đã học đề tính khoảng cách đó

Kỹ thuật giải quyết: áp dụng khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phăng.

Con ở bài tập 1,

1 Cho hình chóp SABCD, diy ABCD là hình thoi cạnh a có Ø là giao điểm của hai đường chéo,

ABC = 60°, SOL (ABCD), SO= a-ƒ3 Tính khoảng cach từ O den mặt phẳng (SCD)

(Trích dẫn SGK Chân trời sáng tạo toán Ì Ï, tập 2, tr.81)

Ở bài tập này, đầu tiên học sinh cũng cần xác định hình chiếu từ một điểm lên mặt phẳng.Tuy nhiên hình chiếu này không có sẵn mà đòi hỏi học sinh cần biết cách dựng khoángcách từ một diém đến một mặt phang cho trước

Dé tìm khoảng cách từ điểm O đến mặt phing (SCD), ta cần tìm hình chiếu của Ø lênmặt phẳng (SCD) Gia sử H là hình chiếu của Ø lên (SCD) Khi đó OH vuông góc vớimặt phang (SCD), điều này đồng nghĩa với việc OH vuông góc với hai đường thang cắtnhau bat kỳ trên (SCD) Lúc này, học sinh can nắm được kiến thức hai mặt phẳng vuônggóc dé nhận định OH nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phăng (SCD) Như vậy.đầu tiên học sinh cần xây dựng mặt phẳng đi qua O vuông góc với (SCD) Khi đó mọiđường thăng trong mặt phẳng vừa xây dựng đều vuông góc với 1 đường thăng trong mặt

phăng (SCD) Ta cần tìm giao tuyến chung giữa hai mặt phăng và kẻ đường vuông góc

từ O đến giao tuyến chung đó Khi đó, khoảng cách chính là độ dai đoạn vuông góc từ

O đến giao tuyến chung Sau đó học sinh áp dụng các kiến thức đã học dé tính độ dài

đoạn dai vuông góc đó Học sinh có thê trình bày lời giải bài tập | như sau

“Trong tam giác OCD vuông tại O, ta có OK = a “ = BỘ

“Trong tam giác SOK vuông tại O, ta có SK = Vos’ + OK? = =—.

OS.OK _ a/SI

SK 1ˆ

“Trong tam giác vuông SOK, ta cỏ OH =

(Trích dan SGV Chân trời sáng tạo toán 11, tr.254-255)

Kỹ thuật giải quyết

- Xác định mặt phăng đi qua điểm đó và vuông góc với mặt phăng đã cho

- Tim giao tuyến chung giữa hai mặt phẳng.

- Tìm hình chiều từ điểm đã cho đến giao tuyến

- _ Chứng minh đoạn thang từ điểm đã cho với hình chiêu của điểm đó lên giao tuyến

là khoảng cách cần tìm

- Ap dụng kiến thức đã học tính khoảng cách vừa tìm

Đối với bài tập 4 trong nội dung ôn tập chương,

4 Cho hình chop tam giác déu SABC có

cạnh day bằng 2ø và chiêu cao bằng a2.

Khoảng cách từ tắm O của day ABC đến

một mặt bên là

A avis B av?7 7

fia 2

c, 14, p, 2avi42 +

(Trích dân SGK Chân trời sáng tạo toán 1], tập 2, tr.86)

Dây là một bài toán được cho ở dang cầu hỏi trắc nghiệm không có hình ảnh minh hoạ

kèm theo Do đó đầu tiên học sinh cần phân tích đẻ bài và yêu cầu bải toán để dựng được

hình chop tương ứng Tiếp đến, học sinh cần xác định khoảng cách từ Ø đến các mặt bên

29

trên hình vẽ Ở day, học sinh cần nhớ lại kiến thức tính chất hình chóp đều được học ởbài 3 (Hai mặt phẳng vuông góc) Cuối cùng học sinh cần áp dụng các kiến thức đã học

như hệ thức lượng trong tam giác vuông, dé giải quyết bài toán này Học sinh có thê

giải bài tập 4 như sau:

B

Goi H là trung điểm BC và 7 là trung điểm AB.

Vì O là tâm của tam giác ABC đều nên O= AH OCT

Kỹ thuật giải quyết

Xác định mặt phăng đi qua điểm đó và vuông góc với mặt phăng đã cho.

Tim giao tuyến chung giữa hai mặt phăng.

Tìm hình chiều từ điểm đã cho đến giao tuyếnChứng minh đoạn thang từ điểm đã cho với hình chiều của điểm đó lên giao tuyến

là khoảng cách can tìm

Ap dụng kiến thức hệ thức lượng trong tam giác vuông dé tính khoảng cách vừa

tìm.

Đối với bài tập 9 trong ôn tập chương.

9 Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB

cạnh ø nằm trong hai mặt phăng vuông góc

với nhau Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của AB và AD.

a) Chứng minh rằng (SMD) L (SNC).

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phang

(SNC).

(Trích dan SGK Chân trời sáng tạo toán 11, tập 2, tr.86)

Ở đây kiến thức khoảng cách từ điềm đến mặt phẳng được áp dụng dé giải quyết câu b

Tuy nhiên, học sinh cần áp dụng kiến thức hai mặt phăng vuông góc đẻ giải quyết câu a

và xác định được CN L MD Giả sử K là giao điểm CN và MD Khi đó MK LCN Tương tự như ở bài 4, kẻ MH 1 SK thì MH chính là khoảng cách từ ă đến mặt phăng

(SNC) Học sinh có thé giải bài tập 9 như sau:

31