Định lý matheron trong không gian tôpô

Nội dang chính: Nghiên cứu định lý Matheron trong không gian tp "Đa ra khái niệm T` -không gian, một lớpkhông gian tops khá “rộng, rên đã định lý Maltheron dược mo rong tron vẹn Kết quả

‘TRUONG DAL HQC SU PHAM TP HO CHi MINI

DINH LY MATHERON TRONG KHONG GIAN TOPO

MA SO: CS.10-19-102 CHU NHIEM DE TAL PGS.TS DAU THE CAP

Te HO CHi MINH-2011

HU VIEN

Tóm tắt kết quả nghiên cửu đề tà

khoa học công nghệ cấp trường nghiên cứu

“Tông quan vẻ Định lý Matheron

‘On the matheron theorem for topological sapac (Bai dang trén VNU Journal of Science, Matbemaice s-Physics)

Định lý Matheron vả tiên đề tách

(Bải đăng trên Tap chi Đại học Sai Gon)

'Thuyết minh để tai, hợp đỏng triển khai nhiệm vụ

TOM TAT KET QUA NGHIEN CUU

Dé TAL KHOA HQC VA CONG NGHE CAP TRUONG

“Ten d3 tai: DINH LY MATHERON TRONG KHONG GIAN TOPO

Mi sé: CS.2010-19-102

Chủ nhiệm dé tai: PGS.TS Dau Thd Cap Tel: 0913638568

E-mail: capdr@hcmup.edu.sm

Cơ quan chủ trì để tài : Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM

“Cá nhân phổi hợp thực hiện: 7ñ Š Bùi Đình Thẳng Đại học Sài Gòn

“Thời gian thực hiện: Tháng 5/2010- thang 5/2011 Mục tiêu: Tổng quát hóa Định lý Matheron từ không gian mtri lên không gian tấp

Nội dang chính: Nghiên cứu định lý Matheron trong không gian tp

"Đa ra khái niệm T` -không gian, một lớpkhông gian tops khá

“rộng, rên đã định lý Maltheron dược mo rong tron vẹn

Kết quả chính đạt được:

1 Về khoa học: Đã công bổ 2 bài báo khoa học 1) Dau The Cap, Bui Dinh Thang, On the Matheron for topological spaces, VNU Journal of Science, Mathematies-Physies, 23(2007) 194-200

3) Đậu Thể Cắp, Bùi Đình Thing, Nguyễn Thị Thanh Lý, Dinh Ip

BỊ

3 Về đảo tao: Luân vẫn Thạc sỹ theo để tải Nguyễn Thị Thanh Lý, Dinh ly Matheron và các tiên để rách, 2010

Project title:

MATHERON THEOREM FOR TOPOLOGICAL SPACES Code number: C5,2010-19-102

Coordinator: Assoc Prof Dr Dau The Cap

Implementing Institution : HoChiMinh City University of Education Cooperating: M.A Bui Dinh Thang, Saigon University Duration: from May 2010 to May 2011

Objectives: Generalizing the Matheron theorem from metric spaces to topological spaces

Study: the general Matheron theorem Introduce the Main contents:

separation axiom T , and prove some forms of the general Matheron

theorem in these topological spaces

Boa, aA END yo, a,

Để dàng thấy rắng với mọi & € 4, 0),0, 0, cởi ,|7Z0|2| nà Kzø

“Theo hướng đỏ, trong [4] có định lý quan trọng sau đây,

compact da phueong va Kha ly Khi dé không gian mass-and-hMt của E là

‘compact, kha ly va Hausdorf}

“Tổng quát kết quả trên, trong |5] đã cho khẳng định tương tw cho E thuộc lớp không gian mẽtrie khả ly

Trong [2| [3] chúng tôi đã nghiên cứu bài toán kh E là một không,

gian tôpô bất kỳ Chúng tôi đã khảo sát triệt để hơn bài toán nói trên, kết

quả nhận được là sâu sắc hơn ngay cả khí E là không gian métric

h lý Matheron trong không gian tôpô Trong [2| chúng tôi đã chứng mình các kết quả sau đây inh đề Cho £ là Không gian tópó từ ÿ Khí đó khong gian miss- andlui của E là T, — không gian vũ compvef

Chứng munh Giả sử Lấy F„F,€7,F,#F, Ta có thể giả thiết E\K #2, Chon xe R\K, Khi do U, « 9", U, = 972, là các lần cản

của F, vi F; tương ứng thỏa min gu, vi RU, Vay 7 WT) không gian

Để chứng mình J compact, theo Bổ đề AlexandrofT, ta chỉ cẳn chững mình mọi phủ của Z dạng {V“:K cức/}U|Z 6,j€J} có phá

con hữu hạn

Đặt Q— Ù,, Khi đ (9 mở VÌ

(EF sao cho K, CO, Thật vậy, nếu trải lại thì

(E\9)OIK, zØ với mọi ¿€7 nên £\€\€ (177) là một điều mâu thuẩn

Do K, compact nến tổn HỈ { }C? so cho {G,.G,o0G,} - phủ K, Với mọi F€7 thì FOK =Ø hoặc

£nG, Ø với k nào đồ thuộc [L.2 n} Do đó

P€7®*U7,U U2

Định lý được chứng minh

1.2 Mệnh đề Cho E là không gian Hausdorƒf compact địa phương Khi

6 không gian miss-and-hit eta F Id Hausdorff

Ching minh, Gia sử E,E' C7, E = E" Khi đô cô thể giả thiết tồn tại a€F\F’ Do E Hausdorff compact địa phương nên tồn tại V là lân cận

của asao cho V mở, V compact vi VF! = 2 Néu #“=/Ø€7 thỉ chọn Ÿ; nêu Ƒ"z Ø thì chọn U,= Ø2, Ứy =7,

{lin cin cia F, ,, là lần cận của F* trong 7, Uy Wy = 2

Mệnh dé 2.1 và Mệnh để 2.2 ta có

2⁄3 Hệ quả Mếu E là không gian Hausdorff compact dia phương thì

không gian miss-and-hit của E là compact va chuẩn ắc 2⁄4 Mệnh đề Néu Ƒ là T,-không gian không compac! địa phương tại it

nhất một điểm thì không gian miss-and-hit cla E Khong Hausdorff

“Chứng mình Giả sĩ E không compact địa phương tại x, €E Liy ty

ý x,€E\{x,} Đặt F= [x,.x,}, F =[x} Ta sẽ chứng minh mọi lân

ø

cân U,=72„„_„ của Ƒ và Uy =7, „ của F” đều có Ủ, f1,

Nếu x, ỦG, thì do £OG, =Ø với mọi an nen x,€G, với mọi i= 1 Ti ds FEU, và đo đô FEU, NU,

Nếu x, €U6, thi ast G 16,

chira x,.Do Gg KU’ ( vì nếu trải lại thị & L2” là lấn cận compaet của

2⁄5 Hệ quả Cho E là thing gian Hausdorff Khi d6 E compact dia phương khi và chỉ khi không gian miss-and-hit cia E la Hausdorff

§3 T, ~ không gian và định lý Matheron

"y

Không gian tôpô E goi la T., ~ Khdng gian néu moi tip con compact

của E đều là tập đóng Các kết quả của phẩn này được giới thiệu trong [3] Nếu Z là T, ~ không gian thì mọi tập chí gồm một phần tử đều là

‘compact nén lả tập đóng do đỏ £ là T, - không gian Nếu £ là T, không gian (hay Hausdorff ) thi moi tập con compact của £ đều là tập đóng

Moi a€ thì #\|a] là tập mở nên (a) là tập đồng Vậy E là T, ~

không gian Dễ thấy mọi tập con vô hạn của đều trù mật trong £

là tập hữu hạn thí hiển nhiền K compaet Nêu Á vỏ hạn thí xét phủ mở bắt

ý {G |, 8a K Chon j, € 1 sao cho GOK 22 Do £\G, ll tập hữu

hạn nên Ở = K1(/£\G, } là tập hữu hạn Mọi je J chọn í,€/ sao cho

¬

Jeo ¡ | là phủ son hữu hạn của & Vity K compact

(Chon Ấ, là tập võ hạn cửa Z sao cho /°\ K, cũng là tập võ hạn Ta có,

X, là tập compaet nhưng không đóng tức E không là T,, ~ không gian

đạc TM tại, — không giản không là Ï, - không giam

“Giả sử £ là tập không đm được với tôpö có phản bú đếm được, tức là töpô gồm tập rỗng vả tắt cả các tập con của £ có phẩn bù (không quả) đêm được

DE dng thi ring E không là T, - không gian Ta sẽ chỉ ra E là T

không gian

Giả sử 4 là tập con vô hạn bit ký của E Chọn đây {+,} các điểm phản biệt trong 4 Đặt

G.=EAx keN ken)

Ta có {G,} là phủ mở của 4 không cô phủ con hữu hạn Do đỏ 4 không compact,

là tập hữu hạn Do đó mọi tập con compact cia & đều đóng hay E là T,, không gian

“Ta có kết quả thú xị sau

3⁄3 Mệnh đề Cho E là Không gian töpõ thỏa mãn tiên dé đóm được thứ nhắc Khu đồ E là T.,_ không gian K và chỉ Elò T, - không gian

“Chứng mình Giả sử trải lại E không là T, - không gian Khi đó, do E

thỏa mãn tiên đẻ đêm được thứ nhất, nên tên tại a, bE, ton tai co so kin cản giám đêm được [U,} của a không chứa ® và {V,} của ® không chứa

du sao cho

U,OV, 2 với mọi n€

Chon x, CU, PV, vit dat A= {a}, me NJ Xét phủ mở tủy ý {Gj}, cia 4 Chọn ¿

1 sao cho aCG, Khi đồ tổn tại sụ sao cho

U, CG,, Tả cô 4€, với mọi mồ, Mọi j< mg, chọn i, sáo cho x,cG, Ta cô [G, ÌŸ là phủ son hữu hạn của 4 Vậy 4 là tip compact

Do {x,}CA, 4,16 nén É€A, bợ A Ta có 4 là tập compact nhưng,

không là tập đồng nên £ không là T., - không gian.M 3.4, Mệnh đề, Cho E là 7 không gian kha ly Khu đổ không giản ma:

and-lw của E là khả

lị-sử 2 ,„ „„ là mỗi lân cận của Z” Do K đông nén G,\ là tập mở khác

tổng Chọn x,€ A(G,\K), í=1.2 n Tả có {x„x, x„}01K =Ø

{%s1 4v]f1G, z2 với mọi ï = L2, n Ký hiệu Z(4) là họ các tập

con hữu bạn của 4 Ta có Ø(A)C 7, F(A) dém được và trủ mặt trong F với tôpô miss-and-hit.E

(Giá sử £ là 7, — không gian, compaetđịa phương thỏa mãn tiên để

đểm được thứ hai Khi đó £ khả ly vả thỏa mãn tiên để đếm được thir

nhất Tử đỏ theo Mệnh để 3.3, £ lä Hausdorft Vì vậy tử các Mệnh để 2.2

và Mệnh để 3.4 ta có định lý sau

35 Dinh Ij Cho E là T, — không gian conpact đã phường thâu môn liên để đếm được thứ hai Khí đố không gin múu-andjdt của E là compact, kha ly và HausdorjJ

% Mệnh đề Cho E lỏ 1, -không gian compdkt địa phương thỏa man tien

id dln diode thứ hài KHÍ đã Hồng giới nưu-as4-lii của E lổ campoek

chuẩn tắc và thỏa mãn tiên đề đêm được thứ hai

Chứng minh, Do E thỏa mãn tiên đề đểm được thứ hai nên thỏa mãn

đề đẳm được thứ nhất Theo Mệnh để 3.3, £ là Hausdorff Tir dé theo

Hệ quả 2.3, ta chỉ cẳn chứng minh Z với tôpô miss-and-hit thỏa mẫn tiến

để đếm được thứ bai Do £ HausdorfT compact địa phương thỏa mãn tiên

và có bao đông của mọi tập thuộc J compact,

Gia sir@ là tập con mở của Z và "CC Ta xét hai trường hợp sau đây

19) Tổn tại K€% và G,,G, G,€@ sao cho

là cơ sở tôpô đêm được của 7 với tổpô miss-and-hiL E

Do mọi không gian métric kha ly đều thỏa mân tiên để đếm được thử bai và mọi không gian chỉnh quy thỏa mãn tiên để đếm được thứ hai đều khả mêtie (xem [1]), nên từ Mệnh để 3.6 suy ra định lý sau đây 3.7 Định lý Cho E là không gian métric compact dia phueong khả ly Khí

dé khong gian miss-and-hit cha E la compact vei kha metric

§4 Các ví dụ

4.1 Mệnh đề Chơ E là tấp vó hạn với tôpô có phần bù hữu hạn Khi đá EÝ

Không là T,, - Không gian nhưng không gian miss-and-hit iia Us Hausdorf,

Chứng manh Theo Ví dụ 31, E hông là T,_ - không gian Giá sử E,.H*C , I2 F“ Ta chỉ cần xết hai trường hợp sau

- Nếu F= thi chon U, =I", U, Fy

\ÉR, Tả có U) = 2/' là một lân cận của {+} trong

FDU), =@, Dodo D khong trù một trong # ,E

Theo Mệnh để 42, ỉnh T., — không gian của E trong Mệnh để 34 là sốuyêu

[1] Bau Thể Cấp, Töpó đại cương,

[2] Dau The Cap, Bui Dinh Thang, On the Matheron theorem for topological spaces, VNU Jounal of science, Mathematics ~ Physics 23 (2007) 194-200

[3] bau Thể Cáp, Bui Dinh Thắng, Nguyễn Thị Thanh ly, Dinh Ii Aatheron và tiên đễ tách, Tạp chỉ Đại học Sài Gòn 4(2010), 125-131 [4] Hung T, Nguyen, Introduction to random sets, Chapman & Hal/CRC, Boca Roton London New York , 2006

[5] 1.L Kelley, General topology, Van Nostrand, Princeton, N.J., 1995 [6] G Matheron, Random sets and intergral geometry, Jobn Willey and Sons, NewYork, 1975

{7] Neuyen Nhuy and Vu Hong Thanh, On Matheron theorem for non Locally compact metric space, Vietnam Journal of Mathematics 27(1999) 115-121

This article introduces the separation axiom T, and proves some general forms of

‘the Matheron theorem in topological spaces

Fain, 6 ® FONG NG, Ni Fy,

DỄ dàng thấy rằng với moi K EX,

posts, “Trg Dye Su phar TP HB Chi

2 TS Tin Dai Si Gin Dos boe Bing Thi

Fe NENG, =F ax

do đồ họ

{Foc 0, KER G Gyre G,€ G,neN}

là cơ sở của tôpô trên Z7 Ta gọi tôpô này

i t6p6 miss-and-hit wen J vA J vi tôpô

nh mi hing gi mitt Trường hợp £ là không gian khả mêtie, khả lí, tôpô miss-and-hi cổ nhiều ứng dụng, đã được nghiên cứu tong [4] [6] Do đỏ việc tìm các điều kiện đặt lên trên £ lý gian miss-and-hit cia nó

“có những tính chất tốt nào đồ là có ý nghĩa Dinh li Matheron trong [4], 5] đã cho những điều kiện như thể trong trường hợp

Ƒ là không gian mêtic khả li “rong [2] chúng tôi đã nghiên cứu bài toán tương tự khi E là một không gian pd

tất kì, Tiếp tục [2], bài viết này chúng tôi

sẽ khảo sắt trệt để hơn bài toắn nói rên, Xkết quả nhận được là säu sắc hơn ngay cả khi £ là không gian mếtic Ls

2 T, - KHONG GIAN A đ

Không gian tôpô Z gọi là 7, ~ khổng

“gian nêu mọi tập con compsct của £ đều là

tập đồng,

Nhu E là T,, ~ không 1 gian thì mọi lập

chỉ gằm một phần từ đều lã compact nên là

tập đồng, do đó E là T, ~ không gian Nếu

£ là T, — không gian (hay Hausdorff) thi

mọi tập con cornpaet của Z đều là tập đồng

ên E là TT, = không gian

Bảy giờ ta ẽ chỉ r TỊ, ~ không gian

1l một khái niệm thật sự trung gian giữa T,

và T, - không gian

21 Vĩ đụ Tân tại T, — không giam

hd li, không là T', — Không giam

ik ot Woe vb Ta

bù hữu hạn (hay tôpô

mek, tức là tôpô gồm, te a và tất cả

các tập con của E có phần bù

Mọi a€E thì E\{a] ae

(a) là tập đông Vậy E là T, ~ không

gian Dễ thấy mọi tập con vô hạn của E đều,

trù mật rong E

Ta sẽ kiểm tra rằng mọi tập con Ấ của

E du compact That vậy, nếu K là tập hữu

hạn thì hiển nhiên K compaet Nếu K vô

hạn thì xét phủ mở bắt kì {G,} „của K

Chọn j,€ƒ sao cho G.NK =Ø, Do

E\G, là lập hữu hạm nến J=KP(E\G, } là tập hữu hạn Mọi J€J chon (,€T so cho jCG,,.Khi

4 {6 a UĂG,} là phủ con bữu hạn

ca K Vay K compact Chon K, 18 tip võ bạn của E sao cho E\ K, cũng là tập vô bạn Ta có, là tập compaet nhưng không đồng, tức £ không T, —không š gian

22, Vide Th ah T, ~ Khong an

“hông là T, ~ không gian Giả sử E là tập không đếm được với töpô có phần bù đếm được, tức là tôpô gồm

tập rỗng và tất cả các tập con của £ có

hảnb (tông qu) đếm được

DE ding thấy rằng £ không là T, ~

không gian Ta sẽ chỉ ra E là T, ~— không sian, Giả sử 4 là ập con vô hạn bắt kì của

E Chọn ety [x,} các đến phn biệt

tưong 4 Đặt

G,=E\ x, :kEN k= a)

Ta e6 {G,} là phù mở của 4 không

6 phủ con hữu hạn Do đó 4 không

compact “Từ chứng minh trên suy ra tập cơn K của E compact khi và chí khi K là tập hữu

126

hạn Do đó mọi tập con compact của £ đều

dong hay £ là T, - không gian

Ta có kết quá thổ vì saw

2.3 Mệnh để

Cho E là T, ~ Không gian hỏa mãn

iin dé im dhe: thc nds Khi đỗ E là

T,, — hông gian ki vis chi Bhi E là T, ~

hông gian

Chứng ml, Giả sử trái lại E không là

T, - không gian Khi đó, đo /Z thôa mẫn

tiên để đếm được thứ nhất nên tổn tại

da, b€ E, tÌn tại cơ sở lần cận giảm đấm

được (U,} của đ không chia b vi

{V,} của b không chứa @ sao cho

c6, j.- Ta cb 4,CU, với mọi

n>n, Moi j <M, chon i, sao cho

1,66, me (0 Tả phủ con hữu

bs a Vie A lhe apc

{x,JCA, x, +b nén BEA, DEA

Tà cổ 4 là tập compaet nhưng không là tập

đóng nên £ không là T', - không gian

3111 Định lí Cho E là T, compaet khả lí và

thing sian, compact dia pho vs kh lí Khi đỏ Ang gian miss-and-hr ca El compact, tha i vis Hos

3.12 Định lí Cho E là không gian sẽmic compact địa phương khả li Khi đó

wi Bhd metric

chứng mình Định lí 2.1 và Định

1 22 ta côn nhận được các tổng quất của định Í Matheron nguyên thuỷ theo những khía cạnh riêng lẽ

3.21 Mệnh để Cho E là không gian 1ổpô tuỳ ý Khi đó không gian miss-and-hit ccủa E là T, ~ không gian va compact Chững minh Giả sử Lẫy F,,F, €7,

E,>E, Ta có thể gi thất E,VẾ, = Ø, Chọn xC/S\E, Khi đó U, =Z11,

Uy, =2, là các lân cận cia F; va F,

THƯ VIÊN