Sự hội tụ của chuỗi trong không gian banach và không gian các dãy số

Che kd quá đã hoàn thành, KẾ quả cính mã chúng tôi đi đại được là bải áo " Sone remrks and examples 10 omains of sums of series In Banach spaces” dng ð Tp chỉ Khoa bọ, Đại học Quốc gia

SU HOI TU CUA CHUOI

TRONG KHONG GIAN BANACH VA KHONG GIAN CAC DAY SO

‘Bd ai nghién cit khoa hoe ebp co si Masd = 2002-23-07

GIGI THIEU KET QUA CUA DE TAT

Sản phần mã để tài chúng ôi th được beo gồm các ết quả nghiễn cứu mới và tổng quan một số thành tựu về lý huyết chuỗi có thễ nghiên cứu sâu thêm

1 CÁC KÉT QUÁ NGHIÊN CỨU MỚI

11 Che kd quá đã hoàn thành,

KẾ quả cính mã chúng tôi đi đại được là bải áo " Sone remrks and examples 10 omains of sums of series In Banach spaces” dng ð Tp chỉ Khoa bọ, Đại học Quốc gia Hà

"Nội số 4/2003, chuyên san Toán -Lý

‘Cho X à một không gian Bamach bít kỷ (lữ han hoc vô han chiều) và một chổi bội tỷ trong X- Với các khái niềm và ký hiệu nu trong chong I pda ting quan, tong

bai bảo nói trên chủng tôi đã chứng mình 4 định ý sau đây

inh tý 1 Nêu chuỗi 7x, tong X hội tụ không điều kiên thi miễn tổng DS(E%) chi sồm mộtphẳn từ và T, =0}

“Chúng ôi cũng đã ây dựng vi dụ về chuỗi có miễn tổng chỉ gồm một phần từ những hỏi

tụ có điều kiện, tức là điểu ngược lại của định lý 1 không đúng

Định lý 2 Nếu chuỗi có miễn tÔng là một đa tạp tuyển tíh hữu hạn chiếu thị

Ty = DS(Ö„*,)-% với xe tuỷ ý thuộc DSŒ)

"Định i 3 Nea S là đa tạp tuyến ính hữu bạn chiễu ong X tỉ tồn tại một chổi 7 trong X có miễn tắng DS(S)x,

“Chủ ý rằng chuỗi nói rong định ý 3 được xấy dựng khá đơn giản Trong trường hợp X hữu bạn chiều ví đụ trên cũng kh ý thú: Trong [6] có xây dợng một chuỗi có tính chất rên

"nhưng phải xuất phát từ một tập con trủ mất và miễn giá tị của chuỗi cũng trù mật trong S,

“Chuỗi ong ví dụ của chúng ôi có miễn gi tị rời ge

Định lý 4 Nếu X là không gian Hilbert khả ly, A lả một không gian con đóng của X thì

trong X thn tại một chuỗi có min ng là A

Chủ ý rằng tập A nối trong định lý 4 có thế hữu hạn hoc vỗ han chiều Ví dụ xây đụng trong địng lý4 khá đơn giản

1.2 Cie kd gud dang tdp tục nghin cứu, chưa công Á

'Với mọi a € R, đất Z (4) = {m + ng ` m.n€ Z}

"Định lý 5 Z(a) trì mắt trong R khí và chỉ khi œ lã số vô tý

‘Da vao nh lý 3, chuỗi quan trọng rong ví dụ I2 2 (Phản tổng quan), chổi có miễn dng lhông phải là tập đồng trong /2([0I}0)], có thể thay bởi

XE 8,(xy)= //(x)+/4(s)* /2(x)+/2(x)+ tong đó œ là số vô ý bắt ký, Vì ập các

sử vô tỷ là không đếm được nên chúng tôi hy vọng đưa vio định lý 5 có thể nhân được một kết quả sấu tác nào đó v lý thuyết chuỗi

“Không gian Banach X gọi là B- lỗi (C lồi) nếu LíCụ) biểu diễn hữu hạn được tong X-

'Chủng tôi đưa ra khái niệm X gọi lá B - lỗi yêu (C - lỗi yếu) nêu l;(X) là B - lỗi ( C ‹lŠi) Từ

các khái niệm này chúng tôi đã chỉ ra nều X là không gian B - lỗi (C -ỗi) thì X cũng là

-lỗi ) cũng diing với không gian B -lỗi yếu (C -lỗi yếu) Vấn đề nảy đang được tiếp tục

nghiên cứu

§2 TONG QUAN MOT SO THÀNH TỰU VÊ LÝ THUYẾT CHUÔI

“rong phin này chủng tôi tổng quan về 5 vấn để được tình hy tành Š chương

© Chong I Tinh chk Bi Type vk cotype

© Chuomg It Binh i Steinitz

.9_ Chương IV Định lý Dưonky

.ˆ Chương V Chuỗi hộ tụ không điều kiện và nh xạ khả tổng tuyệt đội

“Các vắn để được tổng quan vừa có tính chất cổ điền vừa có tính chất hiện đại và thời sơ CCác vấn đÈ này vẫn đang được các nhà toán bọc quan tắm nghi cứu,

“Trong mỗi chương chúng tôi nêu các khái niệm cơ bản, các kết quả đi(hụ được, chứng

tminh một vải kết quá có tính chất độc đáo về phương phảp, cho một vài bài toán để độc giá

suy nghĩ và thử sức của mình

Mie đích của chúng ôi trong mỗi chương là muốn đưa độ giá tấp cân với một vấn đề

tà vẫn đỀ đô có thể mở rùng và phát triển thành một lun vân khoa học, một hương nghiền cửa

áắt lun, Lý thuyết chuỗi có một vị trí đặc biệt quan trọng trong giả tích toán học, nó là

cơ sở để xắp xi các hàm bởi các đã thức, để tính gẳn ding ích phản, để giải gin ding mot

phương trình vi tích phản v.v Ngày nay lý thuyết chuỗi đã thành một lý thuyết độc lập

"Nghiên cứu lý thuyết chuỗi cho thấy nhiều vẫn đ thủ vị của số và ve, đồng thời cũng này sinh nhiều bí n côn chữ sự khám phá

“Trong tả liệu [I4] chúng ôi đã đành 53 trang cho lý thuyết chuỗi Khí có itu kita thực hiện một đề tải lớn ơn, chúng tôi sẽ cho ra mắt một quyển sách chuyên khảo v lý thuyết chuổi Về phương điện nghiện cứu, chúng tôi sẽ hoàn thành một vài ết quả đang dở dang để

“ông bổ trong một thời gian gẵn đây, Luân án thạc sỹ "Mi tổng của chuỗi vả các nh chất Lỗi" của Lê Xuân Trường đã cơ bản hoàn thành và sẽ bảo ệ rong năm 2001

- Phần thứ nhất — CAC KET QUA NGHIEN CUU MOI

OF SERIES IN BANACH SPACES DAU THE CAP and LE XUAN TRUONG Abstract In this note we present some remarks on the domains of sums of

‘series and some examples to domains of sams of series in infinite - dimensional Banach spaces

1 nRODUCTON

Suppose that SO, 24 isa series in X The domain of

dia beens aoe Gị wheal aac date

‘converges to x for some permutation ¢ : N+ N We denote A erate X wt dra of pn denial Kear oy ty isthe set of the set of all series ia Ry with terms in some finite deruensional linea subypace

of X, and

#= Ra, 8= Mn

that Dy" Ze is a convergence series with sum s in a Banach

me SP Đi ol peu of series D0 24 is a linear mubepaee [ C X", Denote by Ty CX the i lator of he ce se, Le

To= (EX: f(z) =0¥FeT} ries S27, Zin said to be unconditionally convergent ift converges for any rearrangement for its terms

We eral Ue flowing casa ‘theorem ips ae 9g Ác TRỢ following is ‘extension of Riemann theorem over the finite (Karmass Steinita theorem {2} Let SZ, 1 be a convergence seres in an m- shmensional space X and let 7,24 ~ 8 Then the domain of sums of the series P24 18 the linear set +o, where Ty i the annihilator of the set

5

In this note we construct some series in infnite-dimensionaly spaces with

‘domains of sums is linear sets

(2) SOME PROPERTIES THE SET

Theorem 1 Let Dy, 24 be @ unconditionally convergent series in a Ba- rach space X then

Lac and To= (0) Proof By theorer 1.3.1 in [2,3°S 24 € Ro, For every J € X'*, the sores of real numbers", fore X = I On the other band, any z € X,z 4 f(2s) is secon cng, mes (| < Banach’s theorem, sets ~The theorem is proved waa) 78 Me (0),

‘The contrary of theorem 1 is false if X is infinite dimensional Indeed, in the Hilbert space for the eanomical orthonormal basis { ¢4) consider series baving terms ¢,, SUte, foreach n>2, 21-1 >k20

11 1

“ẩn tận Tan +«

does not converge unconditionally, but domain of sums of this consists of only the one point

Theorem 2 If S37, ty € { then Ty = DS(SP, 24) — 20 for any to €

T= DSILn)- x re DDH),

On the otber hand, from Hahn-Banach's theorem, any f ¢ T® there exists

Ja =T such that Jor = f Henee TỂ = Tụ The theorem is proved, [!

3 SEIRES WITH DOMAINS OF SUMS ARE FINITE DIMENSION-

ALLY LINEAR SETS IN BANACH SPACES

‘Theorem 3 Let Xe any Banach space and S be an m-dimension nay iar set of & Then tere eat = 24 € Rạ mh tai D85.) = 8 Proof Given fix 20 € S Then $ ~ x a linear subspace of X Let (e)} 2, Ive a basis of $~ zy Por any i € { 1.2 mm] and j € N, put ty = Obsiously, for any É € N there exits a unique pair (i) fore (1.2, 2m) aul j € N sue that

m(j~1]+í (*)

It follows that the element 24 = ty + #449 € X is unique We shall prove

Nhat DS(E zx) = Gi dorian tả nưnbem Ài, Ân, Àu

wwe obtain the perinutation o NN We have S32, x9) = = Inder, for any ¢ > Oand ¥€ {1,2,.m) Ure exist no and € Ñ mạch that

4 SERIES WITH DOMAINS OF SUMS ARE LINEAR SUBSETS IN

‘THE HILBERT SPACES

TA 4, Det Ä te gen Hiert pes end Ab ole ‘of X Then there ezists a converyence series 2, 24 with DS(S 24) = A Proof From theorem 3 we can assume dimA = oo Given a ba) Sy eh ta Cy) fan tac a ofA or any AEN, we

Then ¢ is a surection Let zm) = ty-nay- It i not hard to show that

LE Jaq) = Since A is dosed proved of X so DSS 24) = A The Theorem is n

Hig) = AEFI ~ EFI) +4

[1] J Bone, A.Defant, The Levy-Steinitz

ecole ars bel Stal of atic, 17000, 190188

‘ical Society (1991)

1] V.bLKadet, MLK Applications 94, Birkhauser (1997) Seri in Banach pie, Oper hoy, A (s] 1 A.Lyusternik, V.1Sobolev, lements of forctional analysis, Hindustan, Delhi, Wiley, New ¥ork(1974)

[5] M.LOstrovskii, Domains of sums of conditionally convergent series

nach roe, Tor Fakta Aout Peon yp 41986), 7-88,

TONG QUAN MOT SO THANH TỰU

VE LY THUYET CHUOI

“CHƯƠNG L CHUÔI TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuỗi (A) gọi lá hội tụ không điểu kiện (hay hội tụ giao hoán) nêu với mọi hoán vị

.® của tập các s tự nhiên N ta đều có chuỗi Š xụụ, hội tụ

Định lý LI.I Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều là chuỗi hội tụ không điễu kiện Hơn

“nữa, mọi hoán vị của nó đều có chung mội tổng

Bài tập LI

L1 1 Hoền vị z gọi lã hoán vị thay đổi tính hối tụ nễ tổn tại một chuỗi Š`ø, hội nhưng chuỗi Ÿ ø,u, phản kỳ, Hoán vỉ gợi là hoàn vị tay đổi ng nêu ba ti mộc chuỗi hội tụ Š ø, sao cho chuỗi Š au, cũng hội tụ nhưng Š đ„¡y # Š 2,

3) Tim đi tưng của hoàn vi hay li tng v hon xị ay đội nh Mộ tụ 5), Chững mình mọi hán vỉ bạ đổi tổng đề là hoàn vi hay đội tính hội tự

112 Gib si xÌả một hoàn vì côn Nago cho z(#)=15k sấu k đến và

*Í#)<(U]nằuk,j là ác số lẻ k<j, ơlàhoệnvịcũa Noo cho x(‡)=2,5E nÉuk

chấn và z(E) <z(/) nêu k, j à các số lẽ, k <j Chứng mình rằng nêu các chuỗi bs

di, l6 Fin Othe Fo can Ÿ, =2Ÿ

131 Không gian Cy

Không gan C, là không gian gốm tt c các đây số x=({,)có lim, =0 với phép

toàn các dãy vả với chuẩn

El-ml:|

Không gian C,, là một không gian Banach khả Ì¡

132 Không gian |,

Với mọi ø> ta ký hiệu ,là không gan gằm d c các đây số x=((,) so cho

|“ < với php ton ce dy a vi chan

M-(#'}

Với mọi 21, , à không gian Banach Kh hi

133 Không giơ |,

Không gan ,là không gan gm tấ cả các hy số x~(&,) so đo tÌ|<eevới

hp toán các đây và với chiẳn

12 1 Cho H là siêu phẳng trong C, cỏ phương tinhu(x)= 5°24, Chứng mính

ing voi mọiøe H, không tổn ti bc 1ƒ đỄ4(s,H)= d(5,H))

123 Chứng mình ắng /, nhing đông cự đượ vào 1, 0,

13, CHUÔI TRONG KHÔNG GIAN BANACH

1.3.1 Ce log ội tụ của chuỗi rang không gia Banock

Cho chuỗi Š s, '° trong không gian Barach X: Chuỗi (A) gọi là hộ ty hyệt đội nêu

Chuỗi (Á) gọi là bội tụ không điều kiện (hay hội tụ giao hoán) nếu với mọi hoán vi

- của tập các số tự nhiên N ta đều có chuỗi Sy, boi

Chuỗi (A) gọi là hội tụ có đều kiện nu nó hội tụ nhung có một hon vì ơ_ của tắp

sao cho chuỗi Š xu phân kỹ

Chuỗi (A) gọi là hội tụ haàn hảo nêu chuỗi Ÿ ayz, bồi tụ với mọi cách chọng, = £!

"Định lý L-3.1 Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều là chuỗi hội tụ không điểu kiện

Nhận sết L3,1 Ví đụ sau đây chỉ ra chuỗi bội tụ không điều kiện có thể không bội tu tuyệt đi (so ảnh với nhận xét LÌ 1)

"Định lí L3.3 Mọi hoán vị của một chuỗi hội tụ không điều kiện đu có chưng một

"Định í 13.3 Chuỗi hội tụ không điều kiện hi và chi khi nó bội tụ hoán ho,

"Định lí L34 (Gelfand) Cho `Š x, là chuỗi hội tụ không điều kiện Khi đó tập tắt cả các tổng của chuỗi Š`z,x, với a, = #1 li mét tip compact cia X Bài tập L3,

13.1 Xây đựng chuỗi rong , hội tụ nhưng không bội tụ tuyệt đi

132, Chubi `, gọi là phân kỳ hoàn háo nêu chuỗi `z,x, phân ký với mọi cách chon ay =41

2) Chimg minh ring chudi ox, phin ki bodm hảo khi và chỉ khi đây (x) Không

CHƯƠNGH TINH CHAT LOL TYPE VA COTYPE

11 BIEU DIEN HỮU HẠN

1.1.2 Khosing eich Banach: Mar

“Cho X, Y lá các không gian Banach Ta gọi khoáng cich Banach -Mazur d( X,Y) gitta X

và Y là đạ lượng d(x.) int fir} fr}

tưong đỏ T là đẳng cấu giữa X và Y; đ( X,V) = sonbu X và V không địng cầu Khoảng cách Benech -Mazur có cc ính ch su

1) đ(Y,Y)>L, Nếu X và ¥ dling oy thid (VF) <1

2) 4(#.#)=4(Y.x)

3) 4(Xy)4(,Z)>4(X.Z)

11.2, Biéw didn hữu họp

Không gian Beach X gọi la bibu didn hữu hạn được trong không gian Banach Y nấu với

‘moi £ >0 và mọi không gian con hữu hạn chiều Z của X thn tai không gian con hữu hạn chiều Z của Y sao cho4(Z,Z,)< 1+

Nếu X biểu diễn hữu bạn được trong Y th ta ký hiệu Ý “2Ý

Nhập sét IL1.1 Nếu X nhúng đẳng cự được vào Y tài YY Với mọi >1, J, nhúng đẳng cự được vào, [01], đo đôi, “.1,[04]

TL Chimg minh ting nbu XSY va Sz thi X42

1.2, Tim mit vi đọ sao cho X-'5Ÿ những không cô Ý ^X

111.3 Chứng mình rắng nếu X “5, thì X đẳng cự với một không gian Hilbert

II 1.4 Chứng mình rắng nêu X ~s7,[0,] thì X nhúng đẳng cự được vào , [0.1]

I1 5 Chứng mình mọi không gan định chuỗn hai chiếu đều biểu ciễn hữu hạn được trong,

1116 Me không gan kha i X dbu th ai một không gan khi ÌÍ Y s20 cho X “6”

m|É-|et-

với mọi họ itu han cdc phn tir x trong X với chuẫn không vượt quá Hàm ð(,X):N -s', xác đn bởi

Bin) oso mi] kis

Bơi là đồ đo của tính chất lỗi của không gian X

Định ý IL22 Không gian XIà Bồi khí và chí khi ð{s,X)< với mộtch số n nào đ, 1M32 Không gia CdẢ:

Không gian Banach X gọi là C48i nếu không gian Cy không biểu đin hữu hạn được trong X

Định by 112.3 Khdg gian X là C.lỗ kh vb chi Kit tal chl sb n vi > 0580 cho moi không gianconn chiêu của X đều có đ(4,/7)3>1+£

Định lý 13.4 Với nơi không gian Banach X, các điễu kiện sau đây lš tương đường, 3) Tin tai meN và £>0 sao cho4(4,”)>1+, với mọi không gian con A của X, dimA=a

b) Tên bi xe N và >0 saocho với mọi họ các phÌn từ x,,s, , của X, xJ> lên tại các sổ =1 sede Sa |les

Hăm CÍ,X)-N~», xác định bởi công thức

cleat Jn

to Hi 9 do cs tah chit Ci ea không gian X

'Định lý 11.2.5 Không gian X là C-lỗi khi vả chi khi C(n.X) > 1 voi moine N

Bài tập 12

112.1 Chứng mình rằng

a) B(ma.Y)sB(m.X)ð(m,X)

9) C(m,X)>C(=,X)C(n.X)

I2 2 Chứng mình mọi không gian B-ỗi đều là không gin C8

112 3 Chững mình Cạ là không gian thương của không gia CHi J, 112.4, Cho X là không gian B.lỗi và Y là không gian con B-ỗi của X Chứng mình

112.5 Cho X là không gian Banaeh Kỷ hiệu /,(AX ) là không gian các đây x= (x,) trong,

.X thôa mãn Š ,Ÿ” <o, với phép toán dãy và với chuẩn

k(ÿ}

Cig in ring

8), NEU XW BABI Ah (X) fing BAB:

b) NEU XU CABi bi /(X) cũng CH