Phương trình trong không gian banach có thứ tự phương trình elliptic

HO CHI MINH KHOA TOÁN - TIN HOC BAO CAO TONG KET DE TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẮP CƠ SỐ Mã số: 2011.19.42 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ, PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTI

TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHI MINH KHOA TOÁN - TIN HOC

BAO CAO TONG KET

DE TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẮP CƠ SỐ

Mã số: 2011.19.42

PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ, PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Chú nhiệm đề tài: PG8/1S, Nguyễn Bích Huy

_THƯ VIỆN |

Trưởng Đại-Học St-Pham, TP HỒ-CHÍ-MINH —_

'TP HỒ CHÍ MINH

Năm 2012

+ Tóm tắc kết quả nghiên cứu

+ Summary

„ Bài báo được hoàn thành trong đề tài

+ Phụ lục: Bản thuyết mình đề tài khoa học và công nghệ cấp trường

TOM TAT KET QUA NGHIEN CUU

CUA DE TAI

'Tên đề tài: PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ, PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Mã số: CS.2011.19.42

Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nguyễn Bích Huy

Cơ quan chủ quản đề tài: Khoa Toán~Tin học, DHSP TP HCM

“Thời gian thực hiện: 12 tháng, từ 4/2011 đến 4/2012

1 MỤC TIÊU CHON Dé TAI

Lý thuyết phương trình trong không gian Banach có thứ tự ra đời

từ những năm 1940 và được phát triển, hoàn thiện cho đến ngày nay

để có những áp dụng cho các lớp bài toán mới của Toán học và Khoa học Tự nhiên Một trong những lớp phương trình được các nhà toán học

“Toán-Sinh học sau đây:

{ —A,u=Am(z)u" —u> trong 2

u=0 trên Ø9 ®

với các điều kiện khác nhau đặt lên hàm trọng rn(z) và các số mũ œ, Ở

Mé rộng tự nhiên của (1) là phương trình:

~A;u = ƒ(œ,u, Du) — g(z,) 4) Trong để tài này chúng tôi sẽ áp dụng các kết quả về phương trình trong không gian Banach có thứ tự với một số thay đổi cần thiết để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, sự phụ thuộc cöa nghiệm theo tham số 2, cầu trúc tập nghiệm cho các phương trình (1),(2)

2.1 Chỉnh sửa một điều kiên trong định lý về nhánh liên tục trong tập nghiệm của phương trình chứa tham số trong không gian có thứ tự 3.2 Chứng minh sự tồn tại nghiệm lớn nhất, nghiên cứu đáng điệu tiệm

liên tục trong tập nghiệm, sự phãn nhánh nghiệm cho phương trình (1)

2.3 Chứng mình sự tồn tại nghiệm cho phương trình (2) với một số điều kiện thích hợp đặt lên các hàm ƒ, g

3_ KẾT QUẢ ĐẠT DƯỢC

3.1 KET QUA KHOA HOC,

Dang mot bai báo khoa hoc trén tap chf Nonlinear Analysis: N.B Huy, N.D Thanh, T.D Thanh,

On the structure of unbounded positive solution to the quasillinear

logistic equation

Nonlinear Analysis, 75 (2012), 3682-3690

32 KET QUA DAO TAO

Một luận văn Thạc sĩ đã bảo vệ là:

Dang Hai Long (học viên cao hoc khoa 21! ) Cấu trúc tập nghiêm của phương trình logistic tựa tuyến tính DHSP Tp.HCM, 2012

3.3 TOM TAT KET QUA NGHIÊN CỨU 33.1 NHANH LIEN TỤC CUA TẬP NGHIỆM

Cho không gian Banach (X, ||.|) với thứ tự sinh bởi nón và ánh xạ hoàn toàn liên tue F: [0,0c) x —+ K Xét phương,

trình:

2

muốn xét sự "liên tục, dày đặc theo định nghĩa nào đó của tập

§

Định nghĩa 1

'Ta nói tập S là nhánh liên tục, khong bị chặn xuất phát từ Ø nếu với mọi tập mở bị chan G36 thi SNAG z£ Ø

Định lý 1 Giả sử F: 0,oo) x K —+ K là ánh zạ hoàn toàn liên tụe

tà tồn tại ánh za tang G: K —+ K, ham ợ: |0,se) — (0,00), phan tit

we K \ {0} va cdc số a,b > 0 sao cho F(A,x) > G(p(A)z) va (i) G(tu) > atu Vt € [a,b],

(Ì) lim e $A) = 00, lim.-x ||G(fu)ll = se trong đó | ||, là chuẩn trên X thoả mãn

lzl < elzll: #® < z < y # Jzll < llull Khi đó tập S là nhánh liên tục không bị chặn, xuất phát từ 0 L1 3.32 PHƯƠNG TRINH LOGISTIC

được thoả mãn:

(H).a=p=1, 4> (ren)

Khi đó VÀ > 3 thi bai toán (1) có nghiệm yếu dương lớn nhất C1 Định lý 4 Giả sử các điều kiện (Hì), (Hà) VN được thoả mãn va uy

là nghiệm yếu dương lớn nhất của (1) Dat vy = AV-P+Yuy, Khi ds:

1 Nếu 3 >p— 1 thì tồn tại nghiệm œ của bài toán sau đầu

—Au — m(z)u2- trong

@) sao cho lima~a v, = v hkn trong f3 tà trong Wy"(2)

2 Nếu 3 < p— 1 thì tồn tại nghiệm u của bài toán (4) sao cho lim, s„„ uạ = 0 hền trong € và trong Wj”(Q) T1

(b) Cầu trúc toàn cục của tập nghiệm

Định lý 5 Giả sử điều kiện (Hy) tà (Hạ) sau day được thoả mãn:

(Hs) p22, a<8<p-1, 4> (ấy)

Khi đó lập nghiệm S = {u € Wé?\{0} : u > 8, 3A > 0 dé (A, u) thoả (1)}

là nhánh liên tục không bị chặn, xuất phát từ 8 L1 Định lý 6 Giá sử điều kiện (1h) tà (Hạ) sau đây được thoả mãn (He) p>2, a=p-1<B<p'-1,q>% Goi Xs là giá tr riêng chính của bài loán sau day

tr —Apu = m(z)|u|?-?u - trong

Xét phương trình (2):

—âyu = f(z, u, Du) — 9(z,u) trong Q,u =0 tren a2 Phương pháp đưa (2) về bài toán điểm bắt động như sau: Với điều kiện (G¡) thì Yh € W12(Q) bài toán sau day có nghiệm duy nhất u = P(h)

—âyu + g(2,u) =h trong 2

Gọi N/ là toán tử Nemyskii: w —x ƒ(z,u, Du) thì (2) được đưa về bài toán điểm bắt động u= Po Ny(u) Dinh ly 7 Gid sit ofc ham Caratheodory f: 0x Rx RN — R va g:0xR —+ R thoả mãn các điều kiện sau đâu:

(Gi) g(z,0) = 0,u+—+ ofr, u) la hàm tăng Vz € 9,Yt > 0, 3ø, € £(2) : supui«t |g(#,)| € #(2)

(G2) au? — by(z) < Hes) < ayu? + d(x) V(x,u) € 2 x [0,00) tới B<p'-1, bel”!

(Ai) 0 < ƒ(Œ,u.e) < Thậm + dul’, (z.u,v) € 2x Rx RY di a<p~l,+<p~ 1, m(z) € £*(0), q > (7)

(F-G); Tén tai tap md 2, € 2, sd mm, > 0 sao cho f(2.u,v) > mou V(2,u,v) Ex Rx RY

Timmy 23% = 0 déu trên 9

Khi đó (2) có nghiệm yếu dương O

Định lý 8 Giả sử các điều kiện (G),(G\) tà các điều kiện sau đây được thoả mãn

(Fi)

(a) 0 < f(z,u,v) < m(z)wr-(1 + |uP), (z,u,v) € Mx Rx RY voi p~1<8.+<p(1— 5), m(z) € £19) q > ru () Với mọi day (ta)a (ta)a, (0u)n 9đ0 cho tạ —* 0, tin —+* tứ tề (ta)

bị chấn thì

Han (ayer

5

Ayu = Amj(z)u!

thod man A, > 1

(F-G); limy 0 22 = 0 đều trên 9

Khi đó (3) có nghiệm yêu dương L1

4 TÀI LIỆU THAM KHẢO

HH] L Boceardo, L Orsina, Sublinear elliptic equation in Z*, Houston J Math, 20 (1994) 99-144

[2] H Brezis, F Browder, Some properties of higher order Sobolev space,

J Math Pures Appl 61 (1982) 245-259

[3] M Delgado, A Suarez, On the structure of the positive solution of the logistic equation with nonlinear diffusion, JMMA 268 (2002) 200-216 [4] P Drabek, J Hernadez, Existence and uniqueness of positive solution for some quasilinear elliptic problem, Nonlinear Anal 44 (2001) 189-204 [5] N B Huy, Global continua of positive solution for equation with non- differentiable operators, JMMA 239 (1999) 449-456 (6) N B Huy, Positive weak solution for some semilinear elliptic equation, Nonlinear Anal 48 (2002) 939-945

(6) N B Huy, N D Thanh, T, D Thanh, On the structure of unbounded positive solution to the quasilinear logistic equation, Nonlinear Anal 75 (2012) 3682-3690

Project title: Equations in than Banach spaces and elliptic equations Code mumber: CS.2011.19.4:

Coordinator: Assoc Prof Nguyễn Bích Huy

Implementing: Ho Chi Minh City University of Pedagogy Duration: 12 months, from 4/2011 to 4/2012

1 Objectives

We apply the results from theory of equations in ordered

spaces with some corections to obtain the existence of solution or max- imal solution and its asymptotic behavior, the global bifurcation from equation

2 Main contens

2.1 Obtain the existence of maximal solution and its asymptotic behav- ior as A—+ or A —+ 00, the global mon from trivial solution for the solution set of the logistic equatior

2:2 Prove the exiatnce of action for a generalized logistic equation

3 Publication

Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, Trdn Dinh Thanh

On the structure of unbounded positive solutions to the quasilinear

logistic equation

Nonlinear Analysis, 75 (2012), 3682-3690

“Deere hrm, Ory fri on amt 27 A Duong Ca và

‘espe aay 2 fount eat TeNdonc hết ynpreieBetsve sẻ isan 092 acer a Ai igh ene wl ats

hypotteses on the operator A, the functions mộ, e(x) and the powers af has

om marematany pects er appleaton in muthenaea blog (ce 1-8 on fither erences ere) Fr the pehem

anor be applied ro wabounded solutions To overcome these tule we shall apply me:

‘mapotone miorant arguments frm the dheary of operator equations ordered spaces The aes ep’ a lows, Section 2 presents ame pris on quinn red ses td he

Lear o ene Secion& we sean tne cme of foal canara afsaktase ae B'S pt and he Pool

‘nfuration from the tava solution a= p~ 1 < f

2 Pretoinary resus

21, Eavationsin ordered spaces

X beacone, ie Ks lose conver subset such that forall = 0 Ieeirected upwards fer exh pain v= Irena in € M wits 0 Sv bphes Fu) © Fo) The folowing face pst bere at ereaung Maschinas swe Sm AmapfM EX — Xiscaied ot cee Cominvoe operators isan iedae consequence o opoution 2 3'n{3] ee a)

‘Theorem A (et X beareal Banach space andre by acane MX beaclosed subset ond M—- M bean incresing onatnr em ) Renan ne le nome en cre pre,

{h) Ine sequence Han] converges waenere an) © My ‘Them hes greatest ied pot in

‘Given an operator = (0,00) x K — K such that F(A.@) = 9 we consider the problem of finding 3 pai (wl 0 susie

‘We set = ((A.a) € 10.0) x Klu # @ (A wsolves (5) and denote by 5 the projection of = onto X Deion (11.6) Belongs these of Eten we cl 2 pit fection of salutons of G) rom the vit soli [Nate ha herman undone comin bran sant am 5.9 Hanyu pen Theorem et F050) KK become \ limps = 1 comivos operating

aperetor GK > K ond afncion y= {0 26) —> {0 24) such hat

eC bea bounded domain with smoet bowndry yu» divi Val "Va ct peta

394 ¡48% Ñ — be Cratheulry function Consider ine quasar ám 0onn2 boundary valve ola"

YE > OBp ©1290) = wu,

for any © WM) tee + 3 m1) thee ets nine 2 € MỘ”(G) nhà ha gíc2) € UỤ), sát € DỊ) nổ

orany © C482 andy =e Moreover fee ers repo ay expe thew

[oraesnreaenien vs fauna sve-n) Sana

where (.-) denotes the duality pairing between W~'¥ (22) and W/*(2),

Srheavonra raya tn tước 0c hơn y an

“21 TT lfdúceguslon with he pLaplcan a eduction tthe fed point problem

Conside the logistic equation urvolving the ptaplaian

ng 39 400%€, i a postive parameter, and the (uncon mix and postive numbers say the flowing, pote

(th) mas taro mae isi.) wth sutable gad there exits smooth domain 2 12, anda number m > Osuch

xe thạu ft ny he P2) C W~ 9 (A), there ex mist auniqee’-¢ WiC) such hats e 9/2) and

‘ofthe fixed pone equa

'kewna 2, If (12) holds chen F acts from (0, 9o) x (5 (42) ita Wy"(2)7

(0 einreigin wend wa sbihin of 3) then wy <F( {2d + 71> et mp om a ket

ro Property () Ra en proved i 6, Tore 3.110 prove) we coo by montana fhe hon (ites Ot oom < ` dd (5) te ceteding MÌ“(Øy ¬ T() compte Nena pea (8) = (2) tealiue ad? : L# (Ñ) > WE) contin 90 Pi piel ono on W412) ost

‘Theorem 1, Assume tha the hyporheses (8) andthe following Hoes

(tye ep 19

"hes forony A >» 0 tere ess marin ase weak sean (0)

rom hy we cat 12) ols wih = 9 Hee tbe agra Fined in Section 23 om Z (0) tuo let and we sai appty Tceem oe (13k conse im 0) PLA > we se he eto a) sea of

FQ uijrom Lemna Vand 2we have Flug) Wy Flis)-us Flay) and w >= maxluy ay) then sy < g.01 =u ang Fu) by maretsid eF.Theefore conn i) Theor: Fecal vent conden nthe A tiaca ta poe te ewes tb 800° A es Since we tara Đề Bans F(a) Choosing w attest function in} we ca

ners [ vi af meare sa f mnstor

rom 16a (Hy) we dedce that tf C2 which proves the boundednes ofthe set FIM) nD) 7

"Theorem 2 Assume ha che sumber by defied en Lee 1nd the hypotheses It) (thane Ten oronyh > 32, £9) has maxima pstve weak soution iinet lagen) fw yore se in Derk ih» the =F a econ Te Afr Ou

by Clee wity = 0 1A < 1 Consequently i) sede in

Memark 2 For ~ p ~ iis proved inf6, Theorem 5.4 hat (9) has Solutions Wi) “42

a

Wie cam check that

(werk am)“ i, 1+0~UpJ04/8) “ữ*p+DWMg= aa)

“Therefore oor hypothesis (Ui les restrictive than conten 7Ì

Now we shall study the asymptotic behavior ofthe maim sation as A» OOF X — cơ

Li pap lueadevaaagu ida og ebeenicy euewen

"1

4 6£ lu 8 in Mộ (BI

1 hen there exist solution» of (18) such ha iy 1, — wae i 2 ond in "12

đụ ng of tan pu = NBR yey at he cl posi we

‘Sten he towing

—

Iie > p= that O25 anh < imple, < iy, a a tion of 19) 4nd 0, <

: fran sence Other feppireniladye seriveh yea gs =n 34s fancton in we Bae Sry om (1) hat

FSC Aon Saag € C Re”

&C-Bujth,

ier te ty Consequently, the Sequence {vm is bounded in W472) and so some subsequence sill denoted by Je com ‘Choosing uy ~ vas 3 test function and ae toa function in (20) witb w= vy (= ty} We from W37(2).The limit function must be

<< smtaye"*? € 1/8), € LG) aeithe đomnaled comvetšcncetheprem ccthai he nghl- hupd iớcef

Ee ee ohana Tol" ced fly Conseaveny ny fea = te

‘which i combinacon with the weak convergence yields the strong convergence since W (2) i uniformly convex Siece

ta) that

Wy 9 Oty wand oA, mia) Được '(f3) we đeđuce from (20) (WÍIh w s vụ tị fa)

Hence ia solution of (18)

2: lathe case < p—1 we MOVE lay fe = Of > fy APA < jad We GaN ese the same aiguments as ove wut ø

‘and uso wy falta > 0,

Remark 3 (Cf = p= 1 then,

4 Global continua of positive weak solutions

‘Theorem 4 Asume (Mend:

tinp220<perta> (fe) tt of ly

5< we W210) (10/020 > 06 neha

iia ala th ie, ret fk ra Sion 23 ae ee ptt (19.56 el poe al he wet ie at

(enseloenly.oncboongg = (0y — Giay)™ we have

(em =AMGaạ) ty = Gia) £ [ [G'0a) =maijM =IP Km = (pm Gun tf ete neared den ắc hand eo 9 là we ee

TA

1s nơ — mạ(1 SẺ TẾ —0ng)) <0

sp) = J fount =e

Since Ais homogeneous of depee p— 1,we deduce from (24 hat

f,

1 ——

ame Wiehe 8 <p coment, (28) ys A) (Ce — 0" = Oars fo condiion (bin Theocem halts”

ni si (13) from the trv solution, hats we want fe Asch hat (4) Belongs the os

l= 1.1 10,009 Gay |= Ou HUA aden) 00119

“Tosiothis we hae to impose thatthe number in hypothesis Ms) sass @ > $ Then the eigenvalue problem

~ Ayu mca ein 2,u Don 20

possesses ist igeovlue ig > Owith corresponding eigenfunction vy © W712) NLD} yy ~ Dons? Morea + faethe lowing propery