Nghiên cứu sử dụng phần mềm maple 8 0 vào việc giải phương trình, hệ phương trình trong chương trình toán thcs

z Trờng cao đẳng s phạm hà nội khoa tự nhiªn - Đề tài Sử dụng phần mềm maple vào việc giải phơng trình, hệ phơng trình chơng trình toán thcs Mục lục Lời nói đầu Chơng I Những kiến thức phơng trình, hệ phơng trình chơng trình toán THCS Bài Phơng trình ẩn Phơng trình ẩn Phơng trình tơng đơng 2.1 Định nghĩa 2.2 Các phép biến đổi tơng đơng Bài Phơng trình Phơng trình bậc 1.1 Phơng trình bậc ẩn 1.2 Phơng trình tích 1.3 Phơng trình chứa ẩn mẫu 1.4 Phơng trình bậc hai ẩn Phơng trình bậc hai 2.1 Phơng trình bậc hai ẩn 2.2 Hệ thức Vi-ét ứng dụng 2.3 Phơng trình quy phơng trình bậc hai Phơng trình có chứa tham số Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 4.1 Định nghĩa 4.2 Các phép biến đổi tơng đơng 4.3 Định lí dấu nhị thức bậc Bài Hệ phơng trình Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn 1.1 Định nghĩa 1.2 Nghiệm số nghiệm hệ Hệ hai phơng trình tơng đơng 2.1 Hệ phơng trình tơng đơng 2.2 Các phép biến đổi tơng đơng Giải hệ phơng trình 3.1 Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng 3.2 Giải hệ phơng trình phơng pháp 3.3 Một số điều cần lu ý giải hệ phơng trình Bài Một số cách giải phơng trình Phơng pháp đặt ẩn phụ Phơng pháp nâng lên luỹ thừa Phơng pháp đồ thị Chơng II Sử dụng phầm mềm maple dạy học giải phơng trình, hệ phơng trình Bài Tìm nghiệm phơng trình, hệ phơng trình Phơng trình 1.1 Phơng trình bậc 1.2 Phơng trình bậc hai 1.3 Phơng trình bậc cao Hệ phơng trình 2.1 Hệ phơng trình hai ẩn 2.2 Hệ phơng trình nhiều ẩn Bài Tìm tòi phát hớng giải dựa lệnh maple Các lệnh hỗ trợ thờng dùng Một số ví dụ cụ thể Bài Đề xuất toán Xây dựng toán theo phơng pháp đà định Khai thác toán từ toán đà cho Chơng III Nghiên cứu ứng dụng maple để giải dạng phơng trình khác Phơng trình chứa Phơng trình mũ Kết luận Tài liệu tham khảo Lời nói đầu Ngày nay, công nghệ thông tin có nhứng bớc tiến vợt bậc thâm nhập vào mặt đời sống xà hội, mang lại lợi ích to lớn thiết thực lĩnh vực Riêng lĩnh vực giáo dục, CNTT đà làm thay đổi quan niệm dạy học có ¶nh hëng tÝch cùc viƯc n©ng cao hiƯu qu¶ giáo dục đào tạo Một công cụ CNTT mang lại cho trình dạy học phần mềm dạy học Việc sử dụng phầm mềm dạy học nhằm mục đích cải tiến nội dung phơng pháp dạy học, hỗ trợ trình dạy học, nâng cao hiệu dạy học, tạo động gây hứng thú học tập, chủ động tiếp thu kiến thức Ngoài phần mềm dạy học làm tăng cờng mối quan hệ hai chiều ngời dạy ngời học Hiện có nhiều phần mềm toán học chuyên dụng nh: Cabri Geometry, Geometers Sketchpad, Mathcad, Maple Trong Maple phần mềm đợc sử dụng phổ biến đáp ứng cho tính toán số, hỗ trợ nhiều lĩnh vực toán học: giải tích toán học, đại số tuyến tính, giải tích số, đồ thị, đại số sơ cấp, xác xuất thống kê Maple sử dụng lập trình để giải toán phức tạp, đặc biệt Maple tính toán kí hiệu toán học Đề tài nghiên cứu vấn ®Ị rÊt nhá: Sư dơng phÊn mỊm Maple vµo viƯc giải phơng trình, hệ phơng trình chơng trình toán THCS Vì nội dung xuyên suốt chơng trình đại số trờng THCS đợc đề cập đến cách thờng xuyên Điều đòi hỏi thân giáo viên cần có kĩ tốt mà phải biết hớng dẫn giảng dạy rõ cho học sinh công đoạn, hớng suy luận logic phơng pháp giải dựa tập mẫu, biết cách khai thác để tạo tập tơng tự khái quát Với đặc tính dễ sử dụng, tơng tác ngời máy đơn giản, đặc biệt khả tính toán sử lí nhanh, Maple phù hợp cần thiết với ngời giáo viên việc kiểm tra kết quả, hớng dẫn phát hớng giải đề xuất toán phơng trình hệ phơng trình Đề tài có chơng: - Chơng I Những kiến thức phơng trình hệ phơng trình chơng trình toán THCS - Chơng II ứng dụng phầm mềm maple dạy học giải phơng trình, hệ phơng trình - Chong III Nghiên cứu ứng dụng maple để giải dạng phơng trình khác Vì nhiều hạn chế kinh nghiệm thân thời gian có hạn, nên đề tài không tránh khỏi có nhiều sai sót Em mong đợc thầy giáo bạn thông cảm, đồng thời có ý kiến quý báu để đề tài đợc hoàn chỉnh Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Nguyễn Văn Tuấn, ngời đà hớng dẫn giúp đỡ em hoàn thành chuyên đề Chơng I Những kiến thức phơng trình hệ phơng trình Bài Phơng trình ẩn Phơng trình ẩn Một phơng trình ẩn x có dạng f(x) = g (x), vế trái f(x) vế phải g(x) hai biểu thức biến Giá trị biến nghiệm phơng trình đà cho gọi nghiệm phơng trình Một phơng trình có một, hai, ba nghiƯm nhng cịng cã thĨ kh«ng cã nghiƯm có vô số nghiệm Phơng trình nghiệm đợc gọi phơng trình vô nghiệm Giải phơng trình tìm tất nghiệm (hay tập hợp nghiệm) phơng trình Tập hợp nghiệm phơng trình thờng đợc kí hiệu chữ S Ta cã S= { x/ f(x) = g (x) } lµ tập nghiệm phơng trình Phơng trình tơng đơng 2.1 Định nghĩa Hai phơng trình tơng đơng hai phơng trình có tập hợp nghiệm Kí hiệu tơng đơng 2.2 Các phép biến đổi tơng đơng 2.2.1 TÝnh chÊt NÕu ta céng mét sè hc đa thức vào hai vế phơng trình ta đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình đà cho f(x) = g(x) f(x) + h(x) = g(x) + h(x) (Với h(x) đa thức cđa Èn) 2.2.2 TÝnh chÊt NÕu ta nh©n hai vế phơng trình với với số khác ta đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình đà cho f(x) = g(x) c.f(x) = c g(x) (Víi c lµ h»ng sè, c ) 2.2.3 Hệ - Quy tắc chuyển vế: Nếu chuyển số đa thức từ vế sang vế phơng trình đổi dấu hạng tử ta đợc phơng trình tơng đơng f(x) + h(x) = g(x) f(x) = g(x) - h(x) - Quy tắc giản ớc: Trong phơng trình ta nhân (hoặc chia) hai vÕ cho cïng mét sè kh¸c 2.2.4 Chó ý - Quan hệ tơng đơng hai phơng trình phụ thuộc vào việc ta xét phơng trình tập hợp số - Nếu cộng mét biĨu thøc chøa Èn vµo hai vÕ cđa mét phơng trình phơng trình không tơng đơng với phơng trình đà cho - Nếu nhân hai vế phơng trình với đa thức ẩn phơng trình không tơng đơng với phơng trình đà cho - Hai phơng trình vô nghiệm đợc gọi tơng đơng với Bài Phơng trình Phơng trình bậc 1.1 Phơng trình bậc ẩn Phơng trình bậc ẩn phơng trình dạng: ax + b = ( a ) a, b hắng số; a gọi hệ số ẩn; b hệ số tự do; x ẩn TXĐ: R Phơng trình bậc ẩn có nghiệm x b a 1.2 Phơng trình tích Phơng trình tích phơng trình có dạng: f(x).g(x) h(x) = (1) f(x), g(x), , h(x) đa thøc cña Èn  f ( x )0   g ( x )0      h( x )0 Ta cã: f(x).g(x) h(x) =  Khi giải phơng trình (1) ta giải phơng tr×nh f(x) = 0; g(x) = 0; ; h(x) = Vì tập hợp nghiệm phơng trình (1) hợp tập nghiệm phơng trình mà ta vừa giải 1.3 Phơng trình chứa ẩn mẫu Để giải phơng trình chứa ẩn mẫu ta làm theo bớc sau: - Tìm TXĐ phơng trình - Quy đồng mẫu, khử mẫu - Giải phơng trình vừa tìm đợc - Nghiệm phơng trình giá trị ẩn thoả mÃn TXĐ 1.4 Phơng trình bậc hai ẩn 1.4.1 Định nghĩa Phơng trình bậc ẩn phơng trình có dạng: ax + by =c a, b, c số đà biết (a, b không đồng thời 0) x, y hai ẩn Nghiệm phơng trình bậc hai ẩn cặp giá trị (x; y) hai ẩn thoả mÃn phơng trình 1.4.2 Biểu diễn tập nghiệm phơng trình bậc hai ẩn Phơng trình bậc hai ẩn ax + by =c có vô số nghiệm Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nghiệm phơng trình đợc biểu diễn điểm có toạ độ ( x0 ; y0 ) Tập nghiệm đợc biểu diễn đờng thẳng ax + by =c , kí hiệu (d) - Nếu a , b đờng thẳng đồ thị hàm số bậc - Nếu a , b = đờng thẳng cã d¹ng nÕu c 0 , trïng víi trơc tung nÕu c = x y  a c x b b c a , song song víi trơc tung - Nếu a = 0, b đờng thẳng đồ thị hàm số hoành c , trïng víi trơc hoµnh nÕu c = y c b , song song với trục Phơng trình bậc hai 2.1 Phơng trình bậc hai ẩn 2.1.1 Định nghĩa Phơng trình bậc hai ẩn phơng trình cã d¹ng: ax  bx  c 0 x ẩn; a, b, c hệ số đà cho a 2.1.2 Giải phơng trình bậc hai * Giải phơng trình bậc hai khuyết Dạng phơng trình Khuyết b v c c ax2 = KhuyÕt b ax2 + c = KhuyÕt c ax2 + bx = Cách giải x = (nghiệm kÐp) c x =a c  ac < : x =  - a  ac > : v« nghiƯm  x 0 x  ax + b  0    x  b a * Giải phơng trình bậc hai đầy đủ C«ng thøc chung c«ng thøc thu gän  b  4ac Hai nghiƯm ph©n biƯt    b   2a NghiÖm kÐp x1,2  b 2b;  b2  ac   Hai nghiƯm ph©n biÖt  b   x1,2  a NghiÖm kÐp  0  0 b 2a V« nghiƯm x1 x      x1 x  b a V« nghiƯm 2.2 HƯ thøc Vi-Ðt ứng dụng 2.2.1 Định lý Vi-ét thuận Nếu phơng trình bậc hai ax bx c ( a 0 ) cã hai nghiÖm x1 , x2 (phân biệt không) tổng tích lần lợt lµ: S  x1  x2  øng dơng: a Tính nhẩm nghiệm Cho phơng trình: b c P x1.x2  a ; a ax  bx  c 0 ( a 0 ) c x2  x  a - NÕu a + b + c = th× , c x  a - NÕu a - b + c = th× x1 , b Xác định dấu nghiệm Cho phơng trình: ax bx c S ( a ) với Phơng trình có: - Hai nghiƯm tr¸i dÊu: P < - Hai nghiƯm cïng dÊu:  0 , P > - Hai nghiƯm d¬ng:  0 , P > 0, S > - Hai nghiƯm ©m:  0 , P > 0, S < c Ph©n tÝch tam thøc bËc hai thành nhân tử Tam thức bậc hai có dạng: f(x) = ax  bx  c b c P a vµ a ( a 0 ) Cho ax  bx  c 0 - NÕu   tam thøc bËc hai cã hai nghiƯm ph©n biƯt f(x)=ax + bx + c  c  b = a  x2 -  -  x   a  a  = a  x -  x1 + x  x +x1x  f(x) = a  x - x1   x - x  - NÕu  0 tam thøc bËc hai cã nghiÖm kÐp x0 f(x) = a  x - x  - NÕu tam thức vô nghiệm nên không phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử đợc d Tính hệ thức nghiệm mà không cần tính nghiệm Cho phơng trình: ax bx c 0 ( a 0 ) b c S  x1  x2  P  x1.x2  a ; a víi 1  2 Ta cã thĨ tÝnh c¸c hƯ thøc nh: x1 x2 ; x1  x2 ; x1  x2 VÝ dô: x12  x22  x1  x2   x1.x2 c  b    a  a 2.2.2 Định lí Vi-ét đảo Nếu hai số x1 , x2 cã x1  x2 S vµ x1.x2 P x1 , x2 nghiệm phơng X  SX  P 0 tr×nh: (  S  P 0 ) øng dông: a TÝnh nhẩm nghiệm Ví dụ: Phơng trình x (  3) x  0 cã hai nghiÖm x1  , x2  b LËp ph¬ng trình bậc hai biết nghiệm Ví dụ: Phơng trình bậc hai nhân nghiệm có dạng x  (  2) x  2 2.3 Phơng trình quy phơng trình bậc hai 2.3.1 Phơng trình bậc cao Phơng trình bậc cao phơng trình có bậc lớn Phơng trình bậc cao thờng đợc giải cách đa phơng trình tích đặt ẩn phụ Cần ý đến dạng sau: - Phơng trình trùng phơng: ( a ) Đặt ẩn phụ y x ax  bx  c 0 - Ph¬ng trình bậc bốn dạng: x a x b c Đặt ẩn phụ y x a b - Phơng trình bậc bốn ®èi xøng: ax  bx  cx bx a Đặt ẩn phụ y x x 2.3.2 Phơng trình chứa ẩn mẫu Để giải phơng trình dạng này, sau đặt điều kiện để mẫu khác không ta thờng khử mẫu để đa phơng trình đa thức Có thể dùng phép biến đổi tơng đơng: P Q P Q P, Q đa thức chứa ẩn 2.3.3 Phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Khi giải phơng trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối ta sử dụng phép biến đổi tơng đơng sau: A A   A A 0 A0  A B A B    A  B  B 0  A  B    A B   A  B  2.3.4 Ph¬ng trình vô tỉ Ta gọi phơng trình đại số chứa ẩn dấu phơng trình vô tỉ Để giải phơng trình vô tỉ chứa bậc hai, ta thờng khử dấu bậc hai cách bình phơng hai vế đặt ẩn phụ Phơng trình có chứa tham số Một phơng trình đợc gọi phơng trình chứa tham số tất vài hệ số ẩn đợc biểu diễn chữ VÝ dô: ax + = 2x -5 mx  x  (m  2) 0 Trong c¸c phơng trình chứa tham số nên rõ chữ biểu thị ẩn, chữ biểu thị tham số Thông thờng ngời ta hay dùng chữ x, y, z, t để ẩn Khi giải phơng trình chứa tham số cần ý đặt điều kiện cho tham số để biểu thức phơng trình có nghĩa giá trị đặc biệt tham số toán biện luận tìm điều kiện có nghiệm Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Khi giải phơng trình chứa ẩn nằm dấu giá trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị tuyệt đối đa phơng tình dạng dấu giá trị tuyệt đối 4.1 Định nghĩa Ta có: A A   A A 0 A0 4.2 C¸c phÐp biến đổi tơng đơng B A B   A B A  B  A B A  B  A2  B Khi gi¶i phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta làm nh sau: a Biến đổi tơng đơng: Sử dụng phép biến đổi tơng đơng b Chia khoảng trục số: Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để bỏ đợc dấu này, trục số lúc đợc chia thành số khoảngmà biểu thức dấu giá trị tuyệt đối có dấu không đổi 4.3 Định lí dấu nhị thức bậc khác nhau, từ tìm hớng giải đắn phù hợp cho toán để rút ngắn thời gian cách tối đa mà đảm bảo độ xác cao, ta sử dụng lệnh Maple hỗ trợ Với tốc độ tính toán sử lý liệu vô nhanh, Maple giúp cho hoạt động khám phá, tìm tòi hớng giải đợc tiến hành nhanh chóng hiệu Sau suy nghĩ đoán hớng giải cho phơng trình hay hệ phơng trình, ta có thĨ dïng c¸c lƯnh cđa Maple kiĨm chøng, lËp tức nhận đợc kết Nhờ nhanh chóng biết đợc hớng hay sai Nếu đúng, ta tiếp tục suy nghĩ tìm bíc gi¶i tiÕp theo; nÕu sai nhanh chãng chun sang hớng làm khác Bên cạnh đó, lệnh cã thĨ sư dơng nh mét c«ng kiĨm tra kết bớc, kết cuối cùng, ta đối chiếu với kết đà thực lệnh solve đà giới thiệu phần trớc Với chức này, Maple thực có lợi ích không nhỏ giáo viên lẫn học sinh Các lệnh hỗ trợ thờng dùng a Phân tích đa thức thành nhân tử Lệnh tổng quát: [> factor(DaThuc); [> factor(DaThuc,Dang); Dạng yêu cầu nh: dạng luỹ thừa đó, real (trờng thực), complex (trờng phức) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tö x  x  0 [ > factor(x^2+5*x-6); ( x ) ( x1 ) VËy x  x  ( x  6)( x  1) b ViÕt biĨu thøc díi d¹ng bình phơng tổng để sử dụng lệnh trớc hết ta khởi động gói công cụ lệnh: [> with(student); Lệnh tổng quát: [> completesquare(BieuThuc); [> completesquare(BieuThuc,Bien); Ví dụ: Viết biểu thức dới dạng bình phơng tæng x  xy  y [> with(student); [> completesquare(x^2-4*x*y+4*y^2,{x,y}); x   y  2  VËy x  xy  y 4( y  x ) c Đơn giản biểu thức Lệnh tổng quát: [> simplify(BieuThuc); [> simplify(BieuThuc,Kieu); Ví dụ: Đơn giản biểu thức sau a2 b2 c2   (a  b)(a  c) (b  a )(b  c ) (c  a )(c  b) [> simplify(a^2/((a-b)*(a-c))+b^2/((bc)*(b-a))+c^2/((c-a)*(c-b))); a2 b2 c2   1 VËy (a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a )(c  b) d Giản ớc phân thức hữu tỉ Lệnh tổng quát: [> normal(BieuThuc); Ví dụ: Giản ớc phân thức hữu tỉ a3  a  a  a  3a  4a  5a  3a  > normal((a^3-a^2-a-2)/(a^5-3*a^4+4*a^35*a^2+3*a-2)); a 2 a a a  a 2a e S¾p xÕp biĨu thøc LƯnh tỉng qu¸t: [> collect(BieuThuc,Bien); [> collect(BieuThuc,BieuThucYeuCau); [> collect(BieuThuc,Bien,factor); Ví dụ: Sắp xếp đa thức x3 a x  bx  x  [> collect(x^3-a^2*x+b*x^2+x+1,x); 1 x 3 b x 2 (  a 2 1) x [> collect(x^3-a^2*x+b*x^2+x+1,x,factor); 1 x 3 b x 2( a1 ) ( a 1) x f LÖnh khai báo Lệnh tổng quát: [> A:= M [>f:=x-> hàm số A tên biểu thức cần khai báo; M biểu thức cần khai báo, f hám số cần khai báo Ví dụ: Cho biểu thức x  27 x4  x2 Để khai báo biểu thức ta làm nh sau: [> A:=(8*x^6-27)/(4*x^4+6*x^2+9); x627 A := x4 x2 g Chuyển đổi biểu thức thành dạng ®a thøc tõng ®o¹n