Nghiên cứu một số tính chất cơ học của không gian quanh lỗ Đen quay

Sau khi công bố thuyết tương đổi hẹp, Einseir miệt mài nghiên cứu tìm .h đưa trường hấp dẫn vào thuyết tương đối hẹp và kết quả là thuyết tương đối Tông ra đời mỘt trong bai thành tựu v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 'TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

Nghiên cứu một số tính chất cơ học của không thời gian quanh lỗ đen quay

Mã số : CS.2003.23.37

Tác giả :Lê Nam

2003 ~ 2004,

TPHCM, Ngày 01 tháng 08 năm 2004

Lịch sử vấn để

II Một số khái niệm cơ sở về lỗ đen

a, LO den theo quan diém Newton

Sau khi công bố thuyết tương đổi hẹp, Einseir miệt mài nghiên cứu tìm h đưa trường hấp dẫn vào thuyết tương đối hẹp và kết quả là thuyết tương đối Tông ra đời ( mỘt trong bai thành tựu vĩ đại của vật l học hiện đại), Ngay sau đó

J nam (1916) Schwarzschild tim ra nghiém riéng eta phương trình Einstein nhưng cả Schwarschild lẫn Einstein đều không biết rằng nghiệm trên chứa dựng

“mô tả toàn diện vũng Không ~ thời gian bên ngoài lỗ đen không quay Nam 1926 Fowler đưa ra giả thuyết rằng sao lòn trắng tổn tại ở trạng thái tổn định nhờ sự cân bằng của lực hấp dẫn với áp suất suy biển của khí điện tử tư

do, Dựa vào ý tưởng trên năm 1931 Chandrasekhar đã chứng minh được khối lượng tối hạn của sao lồn trắng vào khoảng 1.# khối lượng mặt ười Với lõi sao có khối lượng lớn hơn giá tị trên sau khi đối hết nhiên liệu nhiệt hạch xế co lại và bán kính cỡ vài km nếu khối lương của nó lớn hơn nhiều lần khối lượng tối hạn, thoát ra được

Năm 1939 Oppenheimer va Snyder đã tính toán quá trình co lại do hấp, dẫn của ngôi sao và nhận thấy nó hoàn toàn có thể cất đứt mọi sự liên lạc với thế iới bên ngoài Đây là sự tính toán chỉ tiết đầu tiên về sự hình thành lỗ đen

Lỗ đen và vấn để co lại do hấp dẫn bị bỏ quên cho tới cuối những năm năm mươi mới đựớc nhóm Prineeton do John Wheeler lãnh đạo và nhóm London dủo H-Bondi lãnh đạo nghiên cứu Theo thuyết tương đổi rộng một lỗi xảo sau khi tời sẽ co lại tong khoảng thời gian ngắn tổi bán kính Schwarzschild

R, =2GMcˆÌ Lúc này trường hấp dẫn sẽ trở nên mạnh tới mức không một bức

xu nào hoặc bất kỳ vật thể nào có thể thoát ra võ cực Vũng không thời gian mà được John Wheeler nghĩ ra vào năm 1968 Biển của lỗ đen là siêu mặt với các véctớ tiếp tuyến là vếctơ null và được gọi là chân ri sự kign ~ event horizon Năm 1963 nhà toán học người New Zealand Roy Kerr đã tìm ra nghiệm tổng quát mô tả lỗ đen quay Từ nghiệm Ket ta thấy có ba thông số cơ bản nhất

để mô tử lỗ đen dừng và cô lập là khối lượng M, mômen động lượng J và điện tích Q Năm 1971 S.Hawking chứng mình rằng diện tích chân trời sự kiện không

giống với định luật IÏ nhiệt động học ~ trong mọi quá tình vật lý entropy của hệ luôn tăng

‘Vai lỗ đen quay ngoài diện tích chân ười sự kiện (điện tích bể mặt lỗ đen)

lượng khác để mô tả quá trình cơ

c của lỗ

và mômen động lượng của lỗ đen ta còn ha

học của lỗ đen là hấp dẫn bể mặt và vận tốc góc của lỗ đen Vận tốc m đen quay dude dinh nghĩa tương tự như vận tốc góc của một vật thể rấn quay dược định nghĩa khác voi ed hoc Newton nhưng vẻ ý nghĩa vật lý thì nó đúng một đơn vị để nằm yên tại bể mặt chân trờ sự kiện Điều này có nghĩa nếu lỗ den hoe Newton Như vậy thông qua các đại lựơng trên ta có thể biểu diễn sự gia tăng mất hình thức nó giống như định luật nhiệt động học,

Mặc khác dựa vào tính đối xứng trục và dừng của lỗ đen quay ta chứng minh dude hap dẫn bể mặt là hằng số trên khấp chân trời sự kiện Tính chất này nhiệt động học ta có định luật: Tại trạng thái cần bằng nhiệt, nhiệt đô là hằng số

trên khấp vật thể Tiếp theo ta có thể lý luận rằng hấp dẫn bể mặt không thể

bằng zero và tính chất này gọi là định luật thứ HII

Mục đích của để tài này là tìm cách trình bày lại các định luật trên một cách ngắn gọn hơn, đơn giản hơn và đặc biệt sẽ chứng minh lại hấp dẫn bể mặt là

ba te giả là Bardeen, Carter và Hawking Phương pháp chứng minh sử dụng hưởng dẫn tác giả thực hiện

2 Mot số khái niệm cơ sở về lỗ đen

4) LB den theo quan diém Newton

Như đã biết vận tốc thoát khỏi lực hút của vat thể lớn hình cầu khối lượng

M, bán kính R được tính theo công thức :

"Từ (3) ta rút ra được ba kết luận sau:

~ _ Khi reo ta thấy gy = goo ~ => vy giá trị r=o goi là điểm kì dị không

2m (0? ssn? 04)

=0 = mặt ứng với r=2m gọi là mặt dịch chuyển

đỏ hấp dẫn vô hạn Nó có tên gọi như vậy là vì nếu ta có máy phát ra photon tẳng số v đất ại mặt này thì người tại vô cực sẽ không thu được

gì hết Hay nói cách khác anh ta sẽ thu được photon với tẳng số bằng Zerô

Khi r=2m ta thấy gạ = gịị = =2 => mật ửng với r=2m có tên là chân cho vật thể ta đang xét Ta cũng nhận thấy đổi với lỗ den Sehwarzschild (còn gọi là lỗ đen không quay) thì mặt dịch chuyển đỏ

‘hap dan v6 han trùng với chân ười sự kiện

hơn Khi đó yếu tố độ dài (3) sẽ có dạng :

r

(1-22 Jair Sian (162 be "`" 4)

với t=L+2mlnr~2m|

Tir day ta vẽ được biểu đổ không - thời

gọi là các đường trắc dja null di ra và đi vào) “cho các tia sáng di ra và đi vào (còn

Đường trắc địa na đi rà Đường trấc địa

aul di vào

Khi vẽ các nón áng sáng tạo bởi các đường null di ra và đi vào ta thấy,

càng gần vị trí r=2m các nón càng nghiêng vào trong và tại vị trí r=2m thì mặt

phải nón ánh sáng (itng voi đường null đi ra ) sẽ song song với trục 7 Điều này

có nghĩa nếu tại r=2m phát ra tia sáng hướng ra ngoài thì ta sáng này sé ditng yên tai chỗ Nói chính xác hơn nó không thoát ra ngoài được mà chạy vòng quanh mặt cầu bán kính r = 2m Người tại xa vô cực sẽ không thấy bất kỳ một tỉa sáng thể thoát ra ngoài được vì tốc độ ánh sáng là cao nhất Vùng trên được nhà vật lý

Mỹ John Wheeler gọi là lỗ den (1968)

Vậy lỗ đen là vùng không - thời gian nơi trường hấp dẫn mạnh tới mức mọi vật một khi đã chui vào vũng đó sẽ không bao giờ quay trở lại Mặt r=2m gọi là chân trời sự kiện Nó đóng vai trồ biên của tất cả các sự kiện bên trong của

WS den mà về nguyên tắc người ở ngoài lỗ đen sẽ không thể quan sát được

Nghiệm Schwarsehild mô tả lỗ đen không quay một trường hợp riêng trong

tự nhiên Năm 1963, sau 47 năm tính từ lúc Einstein đưa ra thuyết tương đối rộng Roy Kerr da tim ra nghiệm tổng quát của phương trình Einstein cho chân Không

Có thể nói đây là công trình tất đặc sắc có ảnh hưởng sâu rộng trong lãnh vực thuyết tương đổi rông được thực hiện bởi một cá nhân

dang nhưng người ta hay sử dụng dang Boyer - Lindquist để nghiên cửu:

~ Khi cho a=o ta thấy nghiệm Kerr sẽ hở vẻ nghiệm Schawrschild, « va M

là hằng số rong đó M là khối lượng sinh ra tường hấp dẫn được tính trong hệ Gxezl

~ Các tenxớ meic gạy không phụ thuộc trực iếp vào t và ¿nên nghiệm,

có tính đối xứng trục và dừng Từ đây ta thấy nghiềm Kerr tiếp nhận hai trường vects Kil là:

wo (1.0.00) ; K 3 =(0,0,0,1)

~ -Momen động lượng cia 18 den Kerr J=ma

“Tướng tự như lỗ đen không quay ta có mặt dịch chuyển đó hấp dẫn vô tñnh(Static limit surface) Lý đo là vì Ở trong mặt này các hạt không thể đứng yên tai một vị trí mà sẽ phải quay theo chiếu quay Mặt giới hạn tĩnh được xác định theo công thức ủa lỗ den

~ Chân tời sự kiện hay biên của lỗ đen Kem được xác định từ điều kiên Siie-.o Từ điểu kiến này la tính được:

"Từ (6)và (7) ta nhân thấy hai mặt này không trùng nhau, Chúng chỉ trùng nhau tại bai cực Vũng không gian nằm giữa ai mặt rên gọi là ersosphe

sat gi hae nh chin trời sự kiện

senphene Ảnh cất dọc của lỗ đen Kerr

3 Cée định luật cơ học của lỗ đen

Có thể nói S.Hawking là một trong những nhà vật lý lý thuyết xuất sắc

nhất hiện nay Ông có rất nhiều công trình lớn trong lĩnh vực vật lý 1S den, big bang và vũ trụ học mà một trong số đồ là công trình mang tên "bốn định luật của

cơ học lỗ đen", Để có những nền tắng nhất định trước khi bước vào lĩnh vực đang

xôi động hiện nay là hấp dẫn lượng tử ta cẩn nấm chắc các công trình cơ bản về

lỗ đen của Hawking và các cộng sự của ông Tuy nhiên như nhiều chuyên gia đã nhận xét các công trình của Hawking rất khó tiếp cận cho những ai mdi bước vào lĩnh vực này vì sự chứng minh của ông mặc dù độc đáo và chất chẽ về mặt toán học, nhưng lại được trình bay quá ngấn gon Đây chính là trở ngại lờn cho các

di bốn mục đích sau

= Thong qua dé Wi này bản thân tác giả nấm được những công cụ toán

học cần thiết cho sự khởi đầu nghiên cứu về vật lý lỗ den

quan tâm đến vật lý lỗ đen để từ đó đễ dàng hơn khi chuyển sang lỗ

~ _ Thử tìm một cách chứng minh khác với cách ching minh cia Hawking Rất may là tác giả đã tìm được người hướng dẫn đó là giáo sư Robert gia đầu ngành hiện nay về vật lý lỗ đen

“Thông qua để tài này liên hệ với các đồng nghiệp trên thế giới, từ đó tạo một quan hệ tốt giúp đỡ nhau cũng nghiên cứu khoa học 1.Công thức tích phân

Như đã biết không-thời gian quanh lỗ đen Kem có tính đối xứng trực và dừng nên ta có bai trường vectơ Killng là:vectd tịnh tiến theo thời gian K" và

Tp dụng định ụ Stoke để chuyển tích phân theo mặt ba chiểu thành tích

phân hai chiều đối với vế trái(4)

độ, yếu tổ ể m cỉa siêu mặt ba ciếu S

46, yếu tổ bể mặt của £S với ZSlà biên của $

Ta chon mat spacelike S là tiệm cân phẳng nghĩa là khi r tiến tới z thì không gian cong sẽ trở về không gian phẳng Minkobski.Nó sẽ tiếp tuyến với veetd Killing quay K*va cất chân ười sự kiện của lỗ đen Ker tại mặt hai chiều Z8 Mặt § sẽ có hai biên là ;biên8bọc lấy lỗ đen và biên AS, tai vO cing Ta chọn hướng của đó „ sao cho: đ§=Z8~ZS, và viết lại (5):

ÍK*Đd6ạy = [K*®d6ạy— [K*Šd6,y=-[RRKỀM6, (6)

xau khi ghép hai biểu thức (7) và (8) lại ta được công thức tình M « [Ér® -xạh Ìcbạg, +

= hang athe nhất vế phải của (9) biểu thị sự đóng góp củavật chất nằm

sự kiện còn số hạng thứ hai biểu thị khối lượng của lỗ đen Vế trái

ih sii ms 28 den dob cquan sát viên tại vô cùng trong ving tiệm cận phẳng Do vectơ null Ï tiếp tuyến với chân trời sự kiện có thể viết dưới dạng:

Do vectở null Ï tiếp tuyến với 2B nên ta có thể chọn vectd null khác là n,

vuông góc với 3B và vects nly được chuẩn hoá sao cho nạÍ' được Penrose và Newman thực hiện vào năm 1968.Hai ông đã chọn các vect ull ng va T® thoả các điễu kiện sau:

1-Điểu này đã

nạn =lạl=0 — ;nạl?=-| ssignature(-+4++)

Từ hai vectơ trên ta có thể biểu thị yếu tổ bể mật d6qp của CS thing qua

yếu tổ diện tích nguyên tố dA của mặt 2B:

6a Hạng — lạn,)S ` =lạnpjðlA (4)

“Thay (14) vào tích phân thứ bai vế phẩi(13) và xét riêng số hạng này:

Xétriéng số hạng sau:

png = (ee lạ “lạng = lạú#®®g 2 lạng

`XeLiếp số hạng thữai và hon on tương ta 0c:

Phony = le, can =-lql°n

dla! ndA = Ðn5ạA = (16)

Ø phần phụ lục ta sẽ chứng minh K=const trên khấp chân trời sự kiện nên: 1 L

A là điện tích chân trời sự kiện của lỗ đen Kerr

“Thay lại(15)và(18) vào (13) ta được;

Mikhổi lượng của lỗ đen do bởi người quan sắt tại vô cùng

A diiện tích chân trời sự kiện của lỗ đen

.:vận tốc góc của lỗ đen

J:mômen động lượng của lỗ den

K:được gọi là hấp dẫn bể mặt của lỗ đen

lỗ đen còn (là điện thế của chân trời sự kiện

2.Công thức vi phân

en với A=r2<2Mr+a2;p2 =r2 +aŸSin3g

"Ta tính được vận tốc góc của lỗ đen:

"Ta có thể tính trực tiếp hấp dẫn bể mặt từ định nghĩa(17) cho nghiệm Kerr

và để tiện việc in ấn ta ký hiệu lại như sau:

vectơ tiếp tuyến vùa là vectd vuông góc với chân trời sự kiện.Theo hệ quả của định ye Pin trong hình Bil tích ta có biểu thức sau[Hugston.Tod|

VụXc] =X[yXe;p]~0

iia ida a as - hạng mang đấu cộng và ba số hạng mang dấu

trừ Ấp dụng phương trình Killing(1) cho ba số hạng mang dấu trừ ta đước: Kerb + XpXacc + XeXuca =:

Từ đây ta thấy bai lỗ đen có thể va chạm nhau và kết hợp lại thành lỗ đen mới trong khi một lỗ đen sẽ không bao giờ bị chia làm hai lỗ den nhỏ hơn Diện

AI, A› diện tích chân trời sự kiện của hai lỗ đen trước khi va chạm A¿ diiên ích chân ưrời sựkiện của lỗ đen mới được hình thành sau va chạm Việc chứng mình định lý trên rất phức tạp nên ta không xét ở đây Hawking- Ellis-trang 318,333]

đi tới kết luận hấp dẫn bể mặt luôn lớn hơn zero K20 (42)

M [hier dng hoc |

Thứ Zero | Tai trang thấi cân Hấp dẫn bẻ mật là

[nine nhiệt nhiệt độ là |hằng số trên khấp chân hằng số trên khấp vật ện của lỗ đen T=const

dE = TdS ~ PdV

| | Trong mọi quá trình 4, Trong mọi quá trình M

“Thứ hai | vit 19 Enuopy ca he luôn vật lý điện ch chân tri ting luôn ting theo thời gian đS>0

“Thứ bà Trong mọi quá trình| _ Trong mọi quá ia vatly không thé đạt được | vật lý không T=0 được: K=0

Nhìn vào bing so sinh tà thấy có sự giống nhau kỹ lạ vể mặt toán học giữa các định luật cơ học lỗ den với các định luật cơ bản của nhiệt động học Bắt đầu từ định lý điện tích Hawking ta thdy có sự giống nhau giữa diện tích chan rời A và entropy S.Tiép theo ta thấy có sự giống nhau giữa số hạng O4 với số hạng công hoe PAV va thực tế đúng như vậy[landau-lifshit]

Do A đóng vai trò § nên K đồng vai trò nhiệt độ của lỗ đen.Theo thuyết tương đối rộng cổ điển thì nhiệt độ của lỗ đen là không tuyệt đối nên sự tương thuyết hoài nghỉ và ong số đó có J.Bekenstein và S.Hawking.Năm 1974 Hawking đã phát hiện ra sự bức xạ của lỗ đen và ông tìm ra công thức nhiệt độ lỗ đen

Ts & (tich trong hệ đứn vi G =

dây ta thấy ngay cnuopy của lỗ đen sẽ được tính theo công thức BekeosckeHavhine:

sah

Như vậy,các định luật của eơ học lỗ đen đúng là các định luật nhiệt đồng học và cũng từ đây ta bước sang một lĩnh vực mớï:nhiệt động học lỗ đen lượng tư

ˆ( quantum black hole thermodynamies).Vể lĩnh vực mới này khi có điểu kiện

chủng tôi sẽ giới thiệu với bạn đọc,

của nhà trường và của phòng KHCN-SĐH của trường ĐHSP TP.HCM

“Tác giả bay tỏ sự biết ơn tới giáo sư R.Wald-trưỡng tổng hợp Chicago,giáo

xư JBekenwein-trưởng tổng hợp Jerusalem,giáo sư K.Tod-ường tổng hợp Oxford da gitip 43 téc giả trong việc hoàn thành bài báo này Phu Lue cho phần này:

Bây giờ ta sẽ chứng mình rằng hấp dẫn bể mat ( suaee gravity) K là hằng số trên khấp chân trời sự kiến

XPXIuVejYpX; = ~XPRpa[c° Xa]Xe

Biểu thức của ta có dang

X,X[aVc]K-+KXfyVepXa = [XfaVe]X?MpXa-X"Reale® Xue @)

Do vects X*1a vudng gốc siêu mat tai chin ti (hypersurface onhogonal atthe horizon) nén áp dụng định lý Frobenius tao [Hughston & Tod} X[asbXe] = 0= FV Xa +XaVeXp +XpVaXe)