THÔNG TIN TÀI LIỆU
TUY N CH N CÁC BÀI TỐN PH NG TRÌNH, H PH TRONG NG TRÌNH, B T PH NG TRÌNH THI H C SINH GI I CÁC T NH, THÀNH PH N M H C 2010 - 2011 (Lê Phúc L - t ng h p gi i thi u) Bài x x x x 1 1/ Gi i ph ng trình 2/ Gi i ph ng trình v i n s th c x x 5 x ( Bài Gi i ph thi HSG t nh V nh Long) ng trình x x x 11x 25 x 14 Bài Gi i h ph Bài Gi i h ph ( HSG Bà R a V ng Tàu) ng Nai) x x y 3 y ng trình sau 2 x y y thi HSG H i Phòng, b ng A) 4 x y xy ng trình 2 4 x y xy ( Bài Gi i h ph thi HSG t nh x y ng trình x y ( Bài Gi i h ph ( thi HSG t nh Lâm ng) x y ng trình t p s th c 2 x y x ( thi ch n đ i n ng Nai) DeThiMau.vn Bài Gi i h ph 2y x2 y x ng trình x2 y2 2x y ( Bài Gi i ph ng trình x x2 x ( Bài Gi i h ph thi HSG Hà T nh) thi ch n đ i n Lâm ng) x x y ng trình 2 y x y x y x ( thi HSG t nh Qu ng Bình) Bài 10 1/ Gi i b t ph ng trình ( x x) x x 2/ Gi i h ph xy y x y ng trình sau x y x 12 ( Bài 11 Gi i h b t ph thi HSG i n Biên) x y z10 ng trình 2007 2009 2011 x y z ( thi ch n đ i n Bình nh) Bài 12 1/ Gi i ph ng trình 2/ Gi i h ph x 1 x x 1 x x x y ng trình y y x ( thi HSG t nh B n Tre) DeThiMau.vn Bài 13 1/ Gi i ph ng trình x x x 2/ Gi i ph ng trình x x 3x x [2, 2] ( Bài 14 Gi i h ph y x 2 y ng trình sau x x 2 y ( x 1) x ( Bài 15 Gi i h ph thi HSG t nh Long An) ch n đ i n tr ng Chuyên Lê Quý ôn, Bình nh) 2 x y xy x y ng trình sau 7 y x x ( thi ch n đ i n Nha Trang, Khánh Hòa) Bài 16 1/ Gi i ph ng trình x x x x x 2/ Gi i h ph 2 x y x y ng trình x y ( Bài 17 Gi i ph ng trình sau x x x x ( x x) thi HSG t nh V nh Phúc) x2 x ( Bài 18 Gi i ph thi HSG t nh Hà T nh) ng trình sin x sin x cos x ( thi ch n đ i n tr ng THPT chuyên Lê Khi t, Qu ng Ngãi) Bài 19 1/ Gi i ph ng trình x x x x DeThiMau.vn 2 2 y ( x y ) 3x ng trình 2 x( x y ) 10 y 2/ Gi i h ph ( Bài 20 Gi i ph ng trình thi ch n đ i n THPT Chuyên Lam S n, Thanh Hóa) x x2 x ( Bài 21 Gi i h ph thi HSG t nh Lâm ng) 5( x y ) 6( x z ) x y xy x z xz 6( z y ) 4( x y ) ng trình 5 z y zy x y xy 4( x z ) 5( y z ) 6 x z xz y z yz ( ch n đ i n tr ng PTNK, TPHCM) Bài 22 1/ Gi i ph ng trình 2/ Gi i h ph x y 1 z ( x y z 11) x 121 27 x 2x ng trình x y xy 3x y ( thi HSG t nh Qu ng Nam) Bài 23 1/ Tìm t t c giá tr c a a, b đ ph ng trình x 2ax b m có hai nghi m phân bi t v i bx 2ax m i tham s m 2/ Gi i h ph y xy 6 x ng trình 3 1 x y 19 x ( thi HSG vịng t nh Bình Ph c) Bài 24 DeThiMau.vn 1/ Gi i h ph 2/ Gi i ph 2 2 x y z 2010 ng trình 3 3 x y z 2010 ng trình 32 x x2 3x 2x x3 3x ( thi ch n đ i n Ninh Bình) Bài 25 1/ Gi i b t ph 2 x y x 2( x 1) 2(2 x y ) ng trình sau y x x 17 2/ V i n s nguyên d ng, gi i ph ng trình 1 1 sin x sin x sin x sin n x ( thi HSG t nh Khánh Hòa) Bài 26 sin x cos x 5sin x (2 3) cos x cos x 1/ Gi i ph ng trình sau 2/ Gi i ph ng trình log 2x 1 3x2 8x ( x 1) ( thi HSG t nh Thái Bình) Bài 27 1/ Gi i h ph 2/ Gi i ph x y xy y ng trình y x y x2 ng trình l ng giác 2 sin x tan x cot x ( Bài 28 Gi i ph ng trình 24 x 60 x 36 thi HSG t nh Phú Th ) 1 0 5x x 1 ( thi HSG t nh Qu ng Ninh) DeThiMau.vn Bài 29 Gi i ph ng trình x x 3 x x x x x ( Bài 30 Gi i h ph thi ch n đ i n tr ng THPT Chuyên HSP Hà N i) 2(2 x 1) x (2 y 3) y ng trình x y ( Bài 32 Gi i h ph ng THPT Chuyên HSP Hà N i) 2 (2 x x 4)(2 y y 4) 18 ng trình 2 x y xy x y 14 ( Bài 31 Gi i h ph thi ch n đ i n tr thi ch n đ i n tr ng THPT chuyên L thi ch n HSG t nh H ng Yên) 2 y x x x y ng trình y x xy x ( Bài 34 Gi i h ph thi ch n đ i n chuyên Nguy n Du, k L k) x y 35 ng trình 2 2 x y x y ( Bài 35 Gi i ph ng Nai) x x y y y x x y x ng trình 3 x( y x ) ( Bài 33 Gi i h ph ng Th Vinh, thi HSG t nh Yên Bái) ng trình x 27 x 27 x 13x ( Bài 36 Gi i h ph thi HSG H i Phòng, b ng A1) 1 2 x y 2( x y ) ng trình y2 x2 x y ( thi ch n đ i n Qu ng Ninh) DeThiMau.vn Bài 37 Gi i h ph x x 12 y 50 ng trình y 12 y z z 27 x 27 z ( Bài 38 Gi i ph ng trình thi ch n đ i n tr ng THPT Phan Chu Trinh, N ng) x9 x 2x 1 ( thi ch n đ i n Phú Yên) Bài 39 1/ Gi i ph ng trình sau x x x x 2/ Gi i h ph y y x 3x x ng trình sau x y y ( thi HSG t nh Ngh An) Bài 40 1/ Gi i h ph 3 x y xy ng trình 4 2 x y x y 2/ Ch ng minh ph ng trình sau có m t nghi m ( x 1) 2011 2( x 1) x x x ( Bài 41 Gi i h ph x y x 12 ng trình sau y z y 9 z x z 32 ( Bài 42 Gi i h ph d b thi HSG t nh Ngh An) thi ch n đ i n KHTN, vòng 1) y x2 x e ng trình y 1 3 log ( x y 6) log ( x y 2) 2 DeThiMau.vn thi ch n đ i n tr ( Bài 43 Gi i ph ng trình sau x2 x ng THPT Cao Lãnh, x2 x 1 x x 1 x x 2 ng Tháp) x2 1 ( thi HSG t nh Bình Ph c) Bài 44 1/ Gi i ph ng trình 3x x3 3x x 2/ Tìm s nghi m c a ph ng trình (4022 x 2011 4018 x 2009 x) 2(4022 x 2011 4018 x 2009 x) cos 2 x ( Bài 45 Gi i h ph thi ch n đ i n Chuyên Nguy n Du) (2 x)(1 x )(2 y )(1 y ) 10 z ng trình sau 2 2 x y z xz yz x y ( thi ch n đ i n Hà T nh) Bài 46 1/ Gi i ph ng trình sau 2010 x ( x x) 2/ Gi i h ph y x xy x ng trình x y 3 2 x y ( Bài 47 Gi i h ph thi ch n đ i n tr ng THPT Sào Nam, t nh Qu ng Nam) x11 xy10 y 22 y12 ng trình 4 2 7 y 13x y x(3x y 1) ( Bài 48 Gi i h ph thi ch n đ i n TP.HCM) 2009 x 2010 y ( x y ) ng trình 2010 y 2011z ( y z ) 2011z 2009 x ( z x ) ( thi ch n đ i n chuyên Quang Trung, Bình Ph c) DeThiMau.vn Bài 49 Gi i h ph 2 x y ng trình sau 4 x x 57 y (3 x 1) 25 ( Bài 50 Cho tham s d ng a, b, c Tìm nghi m d thi ch n đ i n Ngh An) ng c a h ph ng trình sau : x y z a b c 2 4 xyz a x b y c z abc ( Bài 51 Gi i h ph 3x y x x2 y ng trình sau t p h p s th c y x 3y x2 y ( Bài 52 Gi i h ph thi ch n đ i n Chuyên V nh Phúc, t nh V nh Phúc) 4 x x y y ng trình 2 ( x y ) ( Bài 53 Gi i ph ki m tra đ i n Ninh Bình) ki m tra đ i d n tr ng THPT Chuyên HSP Hà N i) ng trình x sin x x.cos x x x x x ( Bài 54 Gi i h ph thi ch n đ i n Hà N i) ( x 2)2 ( y 3) ( y 3)( x z 2) ng trình x x z y 15 3 yz 2 8 x 18 y 18 xy 18 yz 84 x 72 y 24 z 176 ( thi ch n đ i n HSP Hà N i, ngày 2) Bài 55 2 z ( x y ) x y Tìm x, y, z th a mãn h y z xy zx yz 2 y (3x 1) 2 x ( x 1) ( thi ch n đ i n tr ng H KHTN Hà N i, vòng 3) DeThiMau.vn L I GI I CHI TI T VÀ NH N XÉT Bài x x x x 1 1/ Gi i ph ng trình 2/ Gi i ph ng trình v i n s th c x x 5 x ( thi HSG t nh V nh Long) L i gi i 1/ i u ki n x Ph ng trình cho t ( x 1)2 ( x 2) -N u ng đ ng v i x 1 1 x (*) x (*) ( x 1) ( x 2) x x , lo i -N u x x (*) ( x 1) ( x 2) , -N u V y ph x (*) ( x 1) ( x 2) x x , lo i ng trình cho có nghi m m i x thu c 2;5 2/ i u ki n x 5 Ph ng trình cho t ng đ ng v i x 5 x x (1 x ) (5 x ) (1 x)( 5 x ) x (1 x )(5 x ) x (1 x)(5 x) x 10 x 25 x x 30 x 3 x 10 Th l i, ta th y ch có x 3 th a mãn V y ph ng trình cho có nghi m nh t x 3 Nh n xét Các d ng tốn ph ng trình vơ t c b n quen thu c, chúng hồn tồn có th gi i b ng cách bình ph ng đ kh c n mà không c n lo ng i v tính gi i đ c c a ph ng trình hay khơng đ n gi n vi c xét u ki n, ta có th gi i xong r i th l i c ng đ c 10 DeThiMau.vn Bài Gi i ph ng trình x x x 11x 25 x 14 ( thi HSG t nh ng Nai) L i gi i Ph ng trình cho t ng đ ng v i ( x x ) ( x x3 ) ( x3 x ) ( 9 x 18 x) (7 x 14) ( x 2)( x x x x 7) x x x x 9x Ph ng trình th hai có th vi t l i ( x x x x 6) ( x x x x 3x x x 6) ( x 1)2 ( x x 6) Do ( x 1)2 ( x x 6) 0, x nên ph V y ph ng trình vơ nghi m ng trình cho có nghi m nh t x Nh n xét ây m t ph ng trình đa th c thơng th ng, có nghi m x nên vi c phân tích thành nhân t đ n gi n; khó bi t đánh giá ph ng trình cịn l i có nên ti p t c tìm cách gi i hay khơng hay tìm cách ch ng minh vơ nghi m Tr ng h p đ cho phân tích thành đa th c khơng có nghi m đ n gi n, tốn tr nên khó kh n h n r t nhi u; th m chí c v i nh ng đa th c b c b n Ch ng h n nh gi i ph ng trình x 3x 10 x 16 x , n u tính tốn gi y khơng ph i d dàng mà có đ c phân tích (2 x x 1)( x x 3) đ gi i t ng ph Bài Gi i h ph ng trình tích x y ng trình x y ( L i gi i i u ki n: x, y C ng t ng v hai ph HSG Bà R a V ng Tàu) ng trình c a h , ta có: ( x x ) ( y y ) 10 Tr ph ng trình th hai cho ph ng trình th nh t, v theo v , ta đ c: 11 DeThiMau.vn ( 2x 2x ) ( y y ) 2 2x 2x 2y 2y t a x x 0, b y y Ta có h sau: a b 10 b 10 a b 10 a a 5 5 b 50 20a 2a a b a 10 a Xét ph ng trình x x x (5 x ) x 25 x 10 x x x T ng t , ta c ng có y V y h ph ng trình cho có nghi m ( x, y ) (2, 2) Nh n xét Ngoài cách gi i t n d ng tính ch t c a c n th c, ta c ng có th đ t n ph r i bi n đ i; ph ng trình th hai, s h ng t có th khác mà l i gi i v n đ c ti n hành t ng t Ch ng h n, gi i h ph ng trình sau x y x y Bài Gi i h ph ng trình sau x x y 3 y 2 x y y ( thi HSG H i Phòng, b ng A) L i gi i i u ki n y 0, x 0, x y y t a x , b x y 3, a, b H cho vi t l i y a b a 2, b 2 a 1, b a b -V i a 2, b , ta có 12 DeThiMau.vn x 4 1 x 2, x y x 4, x y 4 x y y y 4 x x x 15 0, x 4 x x 3, y 4 x x 5, y 1 y 4 x y 4 x -V i a 1, b , ta có 1 x 1 x 1, x y x 1, x y 7 x y y y x x 10, y 10 x x 0, x y 7 x x 10, y 10 Th l i, ta th y t t c đ u th a V y h ph ng trình cho có nghi m ( x, y ) (3,1), (5, 1), (4 10, 10), (4 10,3 10) Nh n xét D ng h ph ng trình gi i b ng cách đ t n ph th ng g p nhi u kì thi, t H-C đ n thi HSG c p t nh khu v c Chúng ta s th y xu t hi n nhi u đ thi c a t nh đ c nêu d i Bài Gi i h ph 4 x y xy ng trình 2 4 x y xy ( thi HSG t nh Lâm ng) L i gi i L y ph ng trình th nh t tr ph ng trình th hai, v theo v , ta đ c: y y xy xy ( y 1) xy ( y 1) ( y 1)( y xy ) y y 1 y xy -N u y , thay vào ph ng trình đ u tiên, ta đ c: x x x( x 1) x x Th l i, ta th y c hai nghi m đ u th a mãn 13 DeThiMau.vn -N u y 1 , thay vào ph ng trình đ u tiên, ta đ c: x x x ( x 1) x x 1 Th l i, ta th y c hai nghi m đ u th a mãn -N u y xy x đ u tiên, ta đ y2 (d th y tr 4y ng h p y ), thay vào ph ng trình c: 1 y y2 2 2 4 y 4 y (1 y ) y 4(1 y ) ( y 1)(5 y 7) 4y 4y Suy y 1, x hai nghi m nêu V y h ph ng trình cho có nghi m phân bi t ( x, y ) (1,1), (0,1), (1, 1), (0, 1) Nh n xét ây m t d ng h ph ng trình đa th c khó, rõ ràng n u ph ng trình th hai, ng i ta chia hai v cho khó có th t nh n bi t giá tr mà nhân vào r i tr t ng v nh Vi c phát hi n giá tr đ nhân vào có th dùng cách đ t tham s ph r i l a ch n Bài Gi i h ph x y ng trình t p s th c 2 x y x ( thi ch n đ i n ng Nai) L i gi i Tr t ng v hai ph ng trình c a h , ta đ c x x y 5( y x) ( x y ) x ( x y ) 5 x y x ( x y ) 2 -N u x y , t ph ng trình th nh t ta có x x ( x x 3)( x 2)( x 1) x 2 x , t ng ng v i y 2 y Th l i th y th a, ta có hai nghi m ( x, y ) (2, 2), (1,1) -N u x ( x y ) y x , thay vào ph x2 ng trình th nh t c a h , ta đ c x x x x x 25 x 14 DeThiMau.vn ng th i, t h cho ta c ng có x x y x 216 96 312 6 6 25 x x x 25 Do x x 5 25 25 3 2 Suy tr ng h p này, h vô nghi m V y h cho có hai nghi m ( x, y ) (2, 2), (1,1) Bài Gi i h ph 2y 2 x y 1 x ng trình x2 y2 2x y ( thi HSG Hà T nh) L i gi i i u ki n: xy 0, x y t a x y 1, b x , ab y 3 b 2b b 1, a 1 2b b H cho tr thành a b b 3, a a 2b a 2b a 2b -V i a 1, b 1 , ta có x y 2, x y , ta tìm đ c hai nghi m ( x, y ) (1, 1), (1,1) -V i a 9, b , ta có x y 10, x y , ta tìm đ c hai nghi m ( x, y ) (3,1), (3, 1) Th l i, ta đ u th y th a mãn V y h cho có nghi m phân bi t ( x, y ) (1, 1), (1,1), (3,1), (3, 1) Bài Gi i ph ng trình x x2 x ( thi ch n đ i n Lâm ng) L i gi i i u ki n x 15 DeThiMau.vn Ta có ( x 2) ( x 4) ( x 1) x2 x2 ( x 2)( x 2) 0 x 1 1 ( x 6) x 1 ( x 2) x2 0 x 1 ( x 6) x x 1 x2 0 ( x 6)2 x x 1 D th y ph ng trình th hai vơ nghi m v trái ln d nghi m nh t x ng nên ph ng trình cho có Nh n xét Cách đ n gi n h n dành cho ch ng minh hàm đ ng bi n, nhiên, c n ý xét x tr c đ o hàm Bài Gi i h ph x x y ng trình 2 y x y x y x ( thi HSG t nh Qu ng Bình) L i gi i i u ki n x, x y Ph ng trình th nh t c a h t ng đ ng v i x x y x x y 1 x y 1 y x y 1 y 4( x y 1) ( y 2)2 x y x Ph ng trình th hai c a h t ng đ ng v i y x y x y x ( y x )2 xy y x y x y 1 x y x y x y x Ta có h m i y 2 y ( y 2) y ( y 2) y y y x y x x 16 DeThiMau.vn So sánh v i u ki n ban đ u, ta th y c hai nghi m đ u th a mãn V y h ph ng trình cho có hai nghi m ( x, y ) ( , 1), (2, 4) Bài 10 1/ Gi i b t ph ng trình ( x x) x x 2/ Gi i h ph xy y x y ng trình sau x y x 12 ( thi HSG i n Biên) L i gi i 1/ i u ki n x 3x x 1 x Ta có x x x2 4x ( x x) x x 1 x x 2 x 3x 2 K t h p u ki n trên, ta có x x V y b t ph 1 x ng trình có nghi m x (, 2/ i u ki n y H cho t t u x y, v ng đ 1 ] {2} [4, ) x x y y ng v i ( x y ) x 12 y x u v u 3, v , ta có h y uv 12 u 4, v -V i u 3, v , ta có x y 4, x x 3, y , th a u ki n y 17 DeThiMau.vn -V i u 4, v , ta có x y 3, x 12 x , y , th a u ki n 5 y 12 V y h cho có hai nghi m ( x, y ) (3,1), ( , ) 5 Bài 11 Gi i h b t ph x y z10 ng trình 2007 2009 2011 x y z ( thi ch n đ i n Bình nh) L i gi i T b t ph ng trình th nh t c a h , ta có 1 x, y, z T hai b t ph ng trình c a h , ta có x 2007 y 2009 z 2011 x y z10 x (1 x 2001 ) y (1 y 2001 ) z10 (1 z 2001 ) T u ki n 1 x, y, z , ta d dàng th y r ng x (1 x 2001 ), y (1 y 2001 ), z10 (1 z 2001 ) Do đó, ph i có đ ng th c x y ra, t c x (1 x 2001 ) y (1 y 2001 ) z10 (1 z 2001 ) x, y , z x, y , z K t h p v i u ki n x y z10 , ta th y h b t ph ng trình cho có nghi m ( x, y , z ) (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) Bài 12 1/ Gi i ph ng trình 2/ Gi i h ph x 1 x x 1 x x x y ng trình y y x ( thi HSG t nh B n Tre) L i gi i 1/ i u ki n x 1,3 x 0, x x 1 x 3, x 18 DeThiMau.vn Ph ng trình cho t ng đ ng v i x 1 ( x 1) (3 x) x 1 x x 1 x ( x x )( x x ) x 1 x x 1 x ( x x ) D th y ph ng trình th nh t vô nghi m nên ta ch xét ( x x ) ( x 1) (3 x ) ( x 1)(3 x) ( x 1)(3 x) 4( x 1)(3 x ) x x x V y ph ng trình cho có hai nghi m x 2 2 2/ i u ki n x, y D th y n u x y ng Ta xét x, y Xét hàm s c l i nên h có nghi m ( x, y ) (0, 0) t2 t 0, t nên , t , ta th y f (t ) t f (t ) t hàm đ ng bi n H cho đ x f ( y) c vi t l i Suy x y , thay vào h cho, ta có y f ( x) x x x x x x x ( x 1)( x x 1) x 2 T y 1 ng ng v i hai giá tr này, ta c ng có y 3 V y h cho có ba nghi m ( x, y ) (0, 0), (1,1), ( 3 3 , ) 2 Nh n xét Bài ph ng trình th nh t n u khơng có bi n đ i phù h p mà đ t n ph l i gi i s dài dòng r c r i, c n ý t n d ng nh ng tính ch t c a c n th c, l ng liên h p đ khai th c đ c m riêng c a toán 19 DeThiMau.vn Bài 13 1/ Gi i ph ng trình x x x 2/ Gi i ph ng trình x x 3x x [2, 2] ( thi HSG t nh Long An) L i gi i 1/ i u ki n x 5 Ph ng trình cho t ng đ ng v i x ( x x 3)2 x ( x 4)( x x x 1) x 4x 6x 1 ng trình x x x (*) Ta xét ph Hàm s f ( x) x x x có f ( x) x x nên đ ng bi n; h n n a, f (0) f (1) (1).2 nên ph ng trình f ( x ) có m t nghi m thu c (0,1) ng trình (*) b ng ph Ta s gi i ph ng pháp Cardano 61 t x y , ta có (*) y y 0 3 27 (u v3 t y u v , ta có 61 ) (3uv )(u v) 27 61 3 u v 27 Ch n u v cho uv Gi i h ph ng trình này, ta ch n nghi m u T đó, ta tìm đ x x0 c nghi m c a ph (61 417) 54 (61 417), v 54 9u ng trình (*) 93 (61 417) 54 0.189464 20 DeThiMau.vn .. .Bài Gi i h ph 2y x2 y x ng trình x2 y2 2x y ( Bài Gi i ph ng trình x x2 x ( Bài Gi i h ph thi HSG Hà T nh) thi ch n đ i n Lâm ng) x x y ng trình. .. ng trình y2 x2 x y ( thi ch n đ i n Qu ng Ninh) DeThiMau.vn Bài 37 Gi i h ph x x 12 y 50 ng trình y 12 y z z 27 x 27 z ( Bài 38 Gi i ph ng trình thi ch... DeThiMau.vn Bài 13 1/ Gi i ph ng trình x x x 2/ Gi i ph ng trình x x 3x x [2, 2] ( Bài 14 Gi i h ph y x 2 y ng trình sau x x 2 y ( x 1) x ( Bài 15 Gi i h ph thi
Ngày đăng: 31/03/2022, 01:18
Xem thêm: