Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 67 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
67
Dung lượng
1,07 MB
Nội dung
TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2010 - 2011 (Lê Phúc Lữ - tổng hợp giới thiệu) Bài 1/ Giải phương trình x x x x 1 2/ Giải phương trình với ẩn số thực x x 5 x (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) Bài Giải phương trình x x x 11x 25 x 14 (Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) x y Bài Giải hệ phương trình x y (Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu) x x y 3 y Bài Giải hệ phương trình sau 2 x y y (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) 4 x y xy Bài Giải hệ phương trình 2 4 x y xy (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) x y Bài Giải hệ phương trình tập số thực 2 x y x (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) 2y x2 y x Bài Giải hệ phương trình x2 y2 2x y (Đề thi HSG Hà Tĩnh) Bài Giải phương trình x x2 x (Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng) x x y Bài Giải hệ phương trình 2 y x y x y x (Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình) Bài 10 1/ Giải bất phương trình ( x x) x x xy y x y 2/ Giải hệ phương trình sau x y x 12 (Đề thi HSG Điện Biên) x y z10 Bài 11 Giải hệ bất phương trình 2007 2009 2011 x y z (Đề thi chọn đội tuyển Bình Định) Bài 12 1/ Giải phương trình x 1 x x 1 x x x y 2/ Giải hệ phương trình y y x (Đề thi HSG tỉnh Bến Tre) Bài 13 1/ Giải phương trình x x x 2/ Giải phương trình x x 3x x [2, 2] (Đề thi HSG tỉnh Long An) y x 2 y Bài 14 Giải hệ phương trình sau x x 2 y ( x 1) x (Đề chọn đội tuyển trường Chun Lê Q Đơn, Bình Định) 2 x y xy x y Bài 15 Giải hệ phương trình sau 7 y x x (Đề thi chọn đội tuyển Nha Trang, Khánh Hịa) Bài 16 1/ Giải phương trình x x x x x 2 x y x y 2/ Giải hệ phương trình x y (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc) Bài 17 Giải phương trình sau x x x x ( x x) x2 x (Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh) Bài 18 Giải phương trình sin x sin x cos x (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) Bài 19 1/ Giải phương trình x x x x 2 2 y ( x y ) 3x 2/ Giải hệ phương trình 2 x( x y ) 10 y (Đề thi chọn đội tuyển THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa) Bài 20 Giải phương trình x x2 x (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) 5( x y ) 6( x z ) x y xy x z xz 6( z y ) 4( x y ) Bài 21 Giải hệ phương trình 5 z y zy x y xy 4( x z ) 5( y z ) 6 x z xz y z yz (Đề chọn đội tuyển trường PTNK, TPHCM) Bài 22 1/ Giải phương trình x y 1 z ( x y z 11) x 121 27 x 2x 2/ Giải hệ phương trình x y xy 3x y (Đề thi HSG tỉnh Quảng Nam) Bài 23 1/ Tìm tất giá trị a, b để phương trình x 2ax b m có hai nghiệm phân biệt với bx 2ax tham số m y xy 6 x 2/ Giải hệ phương trình 3 1 x y 19 x (Đề thi HSG vịng tỉnh Bình Phước) Bài 24 2 2 x y z 2010 1/ Giải hệ phương trình 3 3 x y z 2010 2/ Giải phương trình 32 x x2 3x 2x x3 3x (Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình) Bài 25 2 x y x 2( x 1) 2(2 x y ) 1/ Giải bất phương trình sau y x x 17 2/ Với n số nguyên dương, giải phương trình 1 1 sin x sin x sin x sin n x (Đề thi HSG tỉnh Khánh Hịa) Bài 26 1/ Giải phương trình sau 2/ Giải phương trình log 3 sin x cos x 5sin x (2 3) cos x cos x 2x 1 3x2 8x ( x 1) (Đề thi HSG tỉnh Thái Bình) Bài 27 x y xy y 1/ Giải hệ phương trình y x y x2 2/ Giải phương trình lượng giác 2 tan x cot x sin x (Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ) Bài 28 Giải phương trình 24 x 60 x 36 1 0 5x x 1 (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh) Bài 29 Giải phương trình x x 3 x x x x x (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 2 (2 x x 4)(2 y y 4) 18 Bài 30 Giải hệ phương trình 2 x y xy x y 14 (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 2(2 x 1) x (2 y 3) y Bài 31 Giải hệ phương trình x y (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) x x y y y x x y x Bài 32 Giải hệ phương trình 3 x( y x ) (Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên) 2 y x x x y Bài 33 Giải hệ phương trình y x xy x (Đề thi chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du, Đăk Lăk) x y 35 Bài 34 Giải hệ phương trình 2 2 x y x y (Đề thi HSG tỉnh Yên Bái) Bài 35 Giải phương trình x 27 x 27 x 13x (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A1) 1 2 x y 2( x y ) Bài 36 Giải hệ phương trình y2 x2 x y (Đề thi chọn đội tuyển Quảng Ninh) x x 12 y 50 Bài 37 Giải hệ phương trình y 12 y z z 27 x 27 z (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Bài 38 Giải phương trình x9 x 2x 1 (Đề thi chọn đội tuyển Phú Yên) Bài 39 1/ Giải phương trình sau x x x x y y x 3x x 2/ Giải hệ phương trình sau x y y (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An) Bài 40 3 x y xy 1/ Giải hệ phương trình 4 2 x y x y 2/ Chứng minh phương trình sau có nghiệm ( x 1) 2011 2( x 1) x x x (Đề dự bị thi HSG tỉnh Nghệ An) x y x 12 Bài 41 Giải hệ phương trình sau y z y 9 z x z 32 (Đề thi chọn đội tuyển KHTN, vòng 1) y x2 x e Bài 42 Giải hệ phương trình y 1 3 log ( x y 6) log ( x y 2) 2 (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp) Bài 43 Giải phương trình sau x2 x 2 x2 x x2 1 1 x x 1 x x (Đề thi HSG tỉnh Bình Phước) Bài 44 1/ Giải phương trình 3x x3 3x x 2/ Tìm số nghiệm phương trình (4022 x 2011 4018 x 2009 x) 2(4022 x 2011 4018 x 2009 x) cos 2 x (Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Nguyễn Du) (2 x)(1 x )(2 y )(1 y ) 10 z Bài 45 Giải hệ phương trình sau 2 2 x y z xz yz x y (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Bài 46 1/ Giải phương trình sau 2010 x ( x x) y x xy x 2/ Giải hệ phương trình x 3 y 2 x y (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Sào Nam, tỉnh Quảng Nam) x11 xy10 y 22 y12 Bài 47 Giải hệ phương trình 4 2 7 y 13x y x(3x y 1) (Đề thi chọn đội tuyển TP.HCM) 2009 x 2010 y ( x y ) Bài 48 Giải hệ phương trình 2010 y 2011z ( y z ) 2011z 2009 x ( z x ) (Đề thi chọn đội tuyển chuyên Quang Trung, Bình Phước) 2 x y Bài 49 Giải hệ phương trình sau 4 x x 57 y (3 x 1) 25 (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An) Bài 50 Cho tham số dương a, b, c Tìm nghiệm dương hệ phương trình sau : x y z a b c 2 4 xyz a x b y c z abc (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) 3x y x x2 y Bài 51 Giải hệ phương trình sau tập hợp số thực y x 3y x2 y (Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc) 4 x x y y Bài 52 Giải hệ phương trình 2 ( x y ) (Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) Bài 53 Giải phương trình x sin x x.cos x x x x x (Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) ( x 2)2 ( y 3) ( y 3)( x z 2) Bài 54 Giải hệ phương trình x x z y 15 3 yz 2 8 x 18 y 18 xy 18 yz 84 x 72 y 24 z 176 (Đề thi chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội, ngày 2) Bài 55 2 z ( x y ) x y Tìm x, y, z thỏa mãn hệ y z xy zx yz 2 y (3x 1) 2 x ( x 1) (Đề thi chọn đội tuyển trường ĐH KHTN Hà Nội, vòng 3) LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT Bài 1/ Giải phương trình x x x x 1 2/ Giải phương trình với ẩn số thực x x 5 x (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) Lời giải 1/Điều kiện x Phương trình cho tương đương với ( x 1)2 ( x 2) -Nếu x 1 1 x (*) x (*) ( x 1) ( x 2) x x , loại -Nếu x x (*) ( x 1) ( x 2) , -Nếu x (*) ( x 1) ( x 2) x x , loại Vậy phương trình cho có nghiệm x thuộc 2;5 2/ Điều kiện x 5 Phương trình cho tương đương với x 5 x x (1 x ) (5 x ) (1 x)(5 x ) x (1 x )(5 x ) x (1 x)(5 x) x 10 x 25 x x 30 x 3 x 10 Thử lại, ta thấy có x 3 thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x 3 Nhận xét Các dạng tốn phương trình vơ tỉ quen thuộc, chúng hồn tồn giải cách bình phương để khử mà khơng cần lo ngại tính giải phương trình hay không Để đơn giản việc xét điều kiện, ta giải xong thử lại 10 t , t 0, 4 khơng khó, thấy 1 t từ việc quan sát biểu thức đặt điều kiện xác định; nhiên, việc dễ khiến ta lầm tưởng đến việc xét hàm số mà không nghĩ cách đánh giá kiểu Nhận xét Việc phát hàm số f (t ) Một tốn có cách đánh e x ( x x) ln( x 1) e x Các bạn thử giải thêm toán sau x2 x x2 x x2 x x2 x x 1 Bài 44 1/ Giải phương trình 3x x3 3x x 2/ Tìm số nghiệm phương trình (4022 x 2011 4018 x 2009 x) 2(4022 x 2011 4018 x 2009 x) cos 2 x (Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Nguyễn Du) Lời giải 1/ Phương trình cho tương đương với 3x x ( x 1) 3 ( x 1) x y Đặt y 3x Ta có hệ phương trình ( y 1) 3x Trừ hai phương trình hệ, vế theo vế, ta ( x y ) ( x 1) ( x 1)( y 1) ( y 1) y x x y xy 2 ( x 1) ( x 1)( y 1) ( y 1) 1 Suy x 3x ( x 1)3 x x 3x ( x 1)( x 2) x x 2 Thử lại ta thấy thỏa Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 2/ Đặt t 4022 x 2011 4018 x 2009 x Ta có 53 t sin x t (sin x cos x ) t 2t cos 2 x (t 1)2 sin 2 x 2 t sin x t (sin x cos x) Ta bốn phương trình sau t sin x cos x, t (sin x cos x ), t sin x cos x, t sin x cos x Ta thấy hàm số t ( x) 4022 x 2011 4018 x 2009 x lẻ nên cần xét phương trình t ( x) sin x cos x, t ( x ) cos x sin x Ta có t ( x) sin x cos x 4022 x 2011 4018 x 2009 x sin x cos x Xét hàm số g ( x ) 4022 x 2011 4018 x 2009 x (sin x cos x) có g ( x ) 4022.2011x 2010 4018.2009 x 2008 (cos x sin x) nên hàm đồng biến Hơn g (0) 1, g (1) g (0).g (1) , đồng thời g ( x) liên tục (0,1) nên phương trình g ( x) có nghiệm thuộc (0,1) , tức phương trình t ( x) sin x cos x có nghiệm thực Tương tự, phương trình t ( x) cos x sin x có nghiệm thực thuộc (0,1) Do đó, phương trình t ( x) cos x sin x t ( x) cos x sin x có nghiệm thực Vậy phương trình cho có nghiệm thực (2 x)(1 x )(2 y )(1 y ) 10 z Bài 45 Giải hệ phương trình sau 2 2 x y z xz yz x y (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Lời giải Ta có x y z xz yz x y ( x y z )2 ( xy 1)2 hay 1 x y z 0, xy y , z ( x y ) ( x ) x x Thay vào phương trình thứ hệ, ta 54 (2 x)(1 x )(2 )(1 ) 10( x ) x x x 2x x )( ) 10( x ) (2 x)(1 x )( x x x (4 x )(1 x ) 1 10( x ) 4( x ) 17 10( x ) x x x x Đặt t x 1 t Ta có t x , thay vào phương trình trên, ta x x 4(t 2) 17 10t 4t 25 10t (4t 25) 16(1 10t ) (4t 20t 29)(2t 3)(2t 7) t Với giá trị t này, ta có x 7 33 x2 x x x -Với x 7 33 7 33 , ta tính y ,z 4 -Với x 7 33 7 33 , ta tính y ,z 4 Thử lại ta thấy thỏa Vậy hệ cho có hai nghiệm phân biệt ( x, y , z ) ( 7 33 7 33 7 33 7 33 , , ), ( , , ) 4 4 Nhận xét Việc phát đẳng thức khơng khó việc thay giá trị vào tìm cách đặt ẩn phụ thích hợp khơng đơn giản, cần có cách biến đổi xác Bài tốn có hình thức ý tưởng thú vị Bài 46 1/ Giải phương trình sau 2010 x ( x x) y x xy x 2/ Giải hệ phương trình x 3 y 2 x y 55 (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Sào Nam, tỉnh Quảng Nam) Lời giải 1/ Phương trình cho tương đương với 2010 x x x Ta chứng minh phương trình có nghiệm x Thật Xét hàm số f ( x) 2010 x ( x x) , ta có f ( x) 2010 x.ln 2010 ( x 1) x 1 -Nếu x f ( x) ln 2010 ( 1) nên hàm đồng biến, mà f (0) nên 1 x phương trình có nghiệm x với x -Nếu x 1 , ta có f ( x ) 2010 x.(ln 2010) , f ( x) 2010 x.(ln 2010) 0 2 ( x 1)5 ( x 1) Suy f ( x ) hàm đồng biến nên f ( x ) f (1) (ln 2010)2 nên f ( x ) hàm 2010 2 nghịch biến, suy f ( x) lim f ( x ) lim [2010 x ( x x)] nên phương trình f (0) x x khơng có nghiệm với x 1 1 1 1 1 x x ( ) , 2010 x nên 2 2 2010 trường hợp phương trình vơ nghiệm -Nếu 1 x 1 x x f ( x) 2010 x.ln 2010 ( 1) nên hàm đồng biến, suy 2 x 1 f ( x) f (0) -Nếu Tóm lại, phương trình cho có nghiệm x y x xy x 2/ Giải hệ phương trình x 3 y 2 x y Từ phương trình thứ hai hệ tính đồng biến hàm số f (t ) 2t t , ta có x y 56 Thay vào phương trình thứ hệ, ta x4 4x 2x 2x4 x x 2( x 1) 3 x4 4x ( x 1)2 ( x x 3) x Thử lại, ta thấy thỏa; tương ứng với giá trị x này, ta có y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y ) (1,1) x11 xy10 y 22 y12 Bài 47 Giải hệ phương trình 4 2 7 y 13x y x(3x y 1) (Đề thi chọn đội tuyển TP.HCM) Lời giải Ta thấy hệ nghiệm thỏa y nên ta xét y , ta có x x x11 xy10 y 22 y12 ( )11 y11 y y y Xét hàm số f (t ) t11 t , t f (t ) 11t10 0, t nên hàm đồng biến x x Đẳng thức f ( ) f ( y ) y x y y y Thay vào phương trình thứ hai hệ, ta x 13 x x x(3 x x 1) Đặt t 13 23 3 x x x x x Ta có x 7t 13t 8t 3 3t t (2t 1)3 2(2 x 1) (3 3t t ) 3 3t t Xét hàm số f (a) a3 2a, a f (a) 3a nên hàm đồng biến Phương trình f (2t 1) f ( 3 3t t ) 2t 3 3t t (2t 1)3 3t t (t 1)(8t 5t 2) Do t nên giá trị thỏa mãn Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm 57 Nhận xét Do phương trình thu sau tìm quan hệ x y khơng có nghiệm dương nên ta dùng bất đẳng thức để đánh giá thay dùng hàm số 2009 x 2010 y ( x y ) Bài 48 Giải hệ phương trình: 2010 y 2011z ( y z ) 2011z 2009 x ( z x ) (Đề thi chọn đội tuyển chuyên Quang Trung, Bình Phước) Lời giải Đặt 2009 a , ta xét hệ tổng quát ax (a 1) y ( x y )2 (a 1) y (a 2) z ( y z ) (*) (a 2) z ax ( z x) ( x y ) ( z x) ( y z ) Ta tính ax ( x y )( x z ) Tương tự (a 1) y ( y z )( y z ), (a 2) z ( z x )( z y ) Từ suy ax.(a 1) y.(a 2) z ( x y )( y z )( z x ) Mặt khác, từ (*) ta thấy tổng cặp ba giá trị ax, (a 1) y , (a 2) z không âm, ta chứng minh ba giá trị không âm Thật vậy, giả sử ax x , từ phương trình thứ phương trình thứ ba (*), suy (a 1) y 0, (a 2) z y , z hay x y, x z ax ( x y )( x z ) , mâu thuẫn Do ax Tương tự, ta có (a 1) y , (a 2) z Nhưng tích ba số lại khơng âm nên ta phải có ax (a 1) y (a 2) z x y z Thử lại thấy thỏa Vậy hệ cho có nghiệm x y z Nhận xét Rõ ràng hệ số ban đầu chọn dựa theo thói quen “chọn hệ số trùng với năm cho đề” nên ta hồn tồn xét tốn tổng quát để việc biến đổi thuận tiện Bài tốn thực thú vị sau có ax ( x y )( x z ), (a 1) y ( y z )( y z ), (a 2) z ( z x)( z y ) Nếu không dùng bất đẳng thức để đánh cố gắng dùng phép khó thành cơng 58 2 x y Bài 49 Giải hệ phương trình sau 4 x x 57 y (3 x 1) 25 (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An) Lời giải 10 5( x y ) 2( x y ) 25 Hệ cho tương đương với 57 4 x x xy y 25 2 x y x xy y 47 25 Ta thấy x y x 3xy y 47 47 (2 x y )( x y ) (2 x y ) ( x y ) 25 25 Đặt x y a, x y b , ta a b 12 2 2 a b (a b) 2ab 2ab (a b) ab 25 47 94 144 a b 17 ab a b 2ab 2(a b) (a b 1) 25 25 25 25 ab 132 25 Ta thấy hệ phương trình thứ hai vơ nghiệm, hệ thứ có hai nghiệm 4 11 (a, b) ( , ), (a, b) ( , ) , tương ứng ( x, y ) ( , ), ( , ) 5 5 5 25 25 11 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ( x, y ) ( , ), ( , ) 5 25 25 Nhận xét Cách phân tích phương trình thứ hai thật khó thấy Bài tốn thực chất xuất phát từ hệ đối xứng thông thường, qua phép tách biểu thức, trở nên phức tạp việc biến đổi ngược lại thường phải mò mẫn Ta nhân phương trình thứ với 25 phương trình thứ hai với 200 cộng lại, ta có 25(3 x y 1)2 144 , giá trị 25 50 chọn phương pháp hệ số bất định với mong muốn tìm quan hệ đẹp x y, bình phương chẳng hạn 59 Bài 50 Cho tham số dương a, b, c Tìm nghiệm dương hệ phương trình sau : x y z a b c 2 4 xyz a x b y c z abc (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) Lời giải a b c abc Phương trình thứ hai hệ tương đương với yz zx xy xyz Đặt x1 a b c , suy x12 y12 z12 x1 y1 z1 (*) , y1 , z1 yz zx xy Dễ thấy x1 , y1 , z1 nên tồn giá trị u, v thỏa u, v x1 sin u, y1 2sin v Thay vào (*), ta có z12 z1.sin u.sin v sin u 4sin v Đây phương trình bậc hai theo biến z1 , ta có (2sin u.sin v ) (4 sin u sin v 4) 4(1 sin u )(1 sin v) cos u.cos v z 2 sin u sin v cos u cos v Suy phương trình có hai nghiệm z1 2 sin u sin v cos u cos v Do a yz sin u , b zx sin v, c xy (cos u cos v sin u sin v) Thay vào phương trình thứ hệ, ta có x y z yz sin u zx sin v xy (cos u cos v sin u sin v) ( x cos v y cos u )2 ( x sin v y sin u z ) x cos v y cos u x sin v y sin u z Ta tính z x sin v y sin u Tương tự, ta có y a y a b b x ab z 2 zx yz z ca bc ,x 2 60 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y , z ) ( bc ca ab , , ) 2 Nhận xét Đây toán IMO Shortlist, đề lời giải thực hay, kết hợp đẹp đại số lượng giác Ta giải biến đổi đại số nhờ cách đặt ẩn phụ bc ca a b x u, y v, z w đánh giá bất đẳng thức 2 3x y x x2 y Bài 51 Giải hệ phương trình sau tập hợp số thực y x 3y x2 y (Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc) Lời giải Ta giải hệ phương trình số phức Nhân phương trình thứ hai hệ với i (đơn vị ảo i 1 ) cộng với phương trình thứ nhất, x y xi yi 3( x yi) i( x yi ) ( x yi) 0 ta có x yi 2 x y x y2 x y2 x yi Đẳng thức viết lại z x y2 3i (1 2i ) z z 3z i z z i z 1 i z Đặt z x yi -Nếu z i , suy x yi i x 2, y -Nếu z i , suy x yi i x 1, y 1 Thử lại ta thấy thỏa Vậy hệ cho có hai nghiệm ( x, y ) (2,1), (1, 1) Nhận xét Dạng toán phổ biến chung ý tưởng giải số phức x 2y 3x 10 y x x2 y x x2 y , (Đề chọn đội tuyển Hà Nội 2007) Các toán tương tự 10 x y x y y y 0 x2 y x y2 61 Trên thực tế, ta giải cách dùng biến đổi đại số, nhân x y thích hợp vào vế phương trình trừ lại để thu quan hệ đơn giản biến Bài 52 Giải hệ phương trình: 4 x x y y 2 ( x y ) (Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) Lời giải Đặt x y a, x y b, c Từ phương trình thứ hai hệ, ta có Ta có x ab c ab c a b ab ,y Suy 2 a b 2 a b 2 ab x y ( x y )( x y )( x y ) ab (a b ) , nữa: 4 2 (a b) a 3b a c 3b 2 Do đó, phương trình thứ hệ cho tương đương với x y (a b ) ab a c 3b c(a b ) a c 3b (a b ) 2 Ta có hệ c2 c4 c(a b ) a c 3b c(a ) a ca c3 a3 ac (ca 1)(a c ) a a ab c a a c c Suy hệ có hai nghiệm (a, b) (c,1);( , c ) c 62 Xét hai trường hợp 3 1 c 1 3 1 - Nếu a c, b x ,y 2 c3 c3 1 11 11 - Nếu a , b c x c , y c2 3 c 2c 2c 2c 2c 3 3 3 1 Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x, y ) , , , 2 3 3 Bình luận Đây hệ phương trình đẹp, hình thức dễ làm bối rối nhẩm nghiệm tìm hàm số để khảo sát ý tưởng thông thường Lời giải túy đại số cách đặt ẩn phụ đề cần phải ý, xuất đề VMO 2005 x 3xy 49 2 x xy y y 17 x 4 x y y 2x Một tốn tương tự có lời giải thú vị ( x y )5 Bài 53 Giải phương trình x sin x x.cos x x x x x (Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) Lời giải Ta thấy phương trình khơng có nghiệm x 1 nên ta xét x 2 Xét hàm số f ( x ) x sin x x.cos x x x x x 1, x Ta có f ( x) x.sin x (2 x 1) cos x 3 (2 x 1) x 3x Ta chứng minh đánh giá mạnh x.sin x (2 x 1) cos x x x 0, x (*) 63 Ta thấy biểu thức không thay đổi thay x x nên ta cần xét x Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau sin x x x3 x2 , cos x , x x2 Xét hàm số g ( x ) cos x , x , ta có g ( x ) sin x x, g ( x ) cos x g ( x ) sin x x g (0) Do đó, g ( x) hàm đồng biến [0, ) , suy g ( x ) g (0) cos x Tương tự, ta có sin x x x2 x2 cos x 2 x3 Từ hai đánh giá này, ta có x.sin x (2 x 1) cos x x x x( x x3 x2 ) (2 x 1)(1 ) x 3x Hơn nữa, ta có x 3x2 x3 x2 x4 2 2 4 x( x ) (2 x 1)(1 ) x x x x x x 3x 0 2 2 nên x.sin x (2 x 1) cos x x x 0, x Do (*) hay f ( x) 0, x Suy f ( x ) hàm đồng biến nên phương trình cho có khơng q nghiệm Mặt khác f (0) nên nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x Nhận xét Điểm quan trọng toán chứng minh f ( x ) , biểu thức vừa có chứa sin x, cos x thức, đồng thời số hạng tự hàm số lại âm nên thật khó dự đốn phải làm trường hợp Việc bỏ biểu thức chứa quan trọng giúp ta có hàm số chẵn cần xét biểu thức miền [0, ) ; x3 x2 , cos x nên toán đưa chứng minh bất đẳng thức thông thường Nếu không đưa yếu tố lượng giác đa thức phải tiếp tục đạo hàm chưa điều khả thi Bất đẳng thức (*) làm mạnh thêm miền đó, ta cịn có thêm hai đánh giá sin x x x.sin x (2 x 1) cos x x x 0, x 2 64 ( x 2)2 ( y 3) ( y 3)( x z 2) Bài 54 Giải hệ phương trình x x z y 15 3 yz 2 8 x 18 y 18 xy 18 yz 84 x 72 y 24 z 176 (Đề thi chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội, ngày 2) Lời giải Đặt a x 2, b y Thay vào phương trình hệ cho, ta ( x 2)2 ( y 3)2 ( y 3)( x z 2) a b b(a z 4) a ab b bz 4b , x x z y 15 3 yz a a 7b 3bz x 18 y 18 xy 18 yz 84 x 72 y 24 z 176 8a 2a 18b 72b 18ab 18bz 30 z 94 8a 2a 18(b2 ab bz 4b) 30 z 94 a ab b bz 4b Suy a a 7b 3bz (*) 2 8a 2a 18(b ab bz 4b) 30 z 94 Từ phương trình thứ phương trình thứ ba, ta có 5a a 47 8a 2a 18a 30 z 94 10a 2a 30 z 94 z 15 2 Thay vào phương trình thứ hai, ta có 5a a 47 5a a 12 5(a a) a a 7b b b a a b 5 5a a 12 Nhân phương trình thứ hệ (*) với trừ cho phương trình thứ hai, ta 2a a 3ab 3b 5b Thay z 5a a 47 5(a a ) b vào phương trình này, ta có 15 5a a 12 65 5(a a ) 15a (a a ) 25(a a) 2a a 3 5a a 12 a a 5a a 12 12 (2a a )(5a a 12)2 15a (a a ) 25(a a ) (5a a 12) 75( a a ) 50a 70a5 208a 94a3 482a 156a a (a 2)(5a 14a 13)(5a 11a 3) a a 2 a 11 61 10 Tương ứng với giá trị này, ta tìm bốn nghiệm hệ cho ( x, y , z ) (2, 3, ( 47 31 61 61 28 13 61 4 29 ), ( 4, , ), ( , , ), 15 15 10 15 15 61 31 61 28 39 61 , , ) 10 15 15 Nhận xét Việc đặt ẩn phụ a x 2, b y làm cho hệ cho đơn giản nhiều liên hệ phức tạp biến cịn Bài tốn giải theo cách nhân phương trình cho đại lượng thích hợp cộng lại rõ ràng điều dễ dàng thực Việc dùng phép phức tạp lại tự nhiên may mắn phương trình cuối khơng có chứa Ở tính tốn nặng không dễ dàng mà tự tin biến đổi biểu thức nhận sau phép chưa có nghiệm đẹp mà đánh giá Bài 55 2 z ( x y ) x y Tìm x, y, z thỏa mãn hệ y z xy zx yz 2 y (3x 1) 2 x ( x 1) (Đề thi chọn đội tuyển trường ĐH KHTN Hà Nội, vòng 3) Lời giải Từ phương trình thứ ba hệ, ta có 2 x( x 1) (3x x) x ( x 1) x3 3x y x y x y (3x 1) (3x 1) 3x Đặt x tan , ( tan tan , ) cos Ta có tan y y tan 3 tan 2 3tan 66 Từ phương trình thứ hệ, ta có x y (2 tan tan 3 ).tan 3 tan tan 3 tan 3 z 2( x y ) tan 3 tan 3 tan 3 cot 3 sin 3 cos 3 tan tan ( ) tan 2 cos 3 sin 3 sin 6 Từ phương trình thứ hai hệ, ta có x y z xy zx yz x ( y z x)2 x (tan 3 tan tan tan ) tan sin 6 sin 3 1 2sin 3 1 tan ) ( tan ) cos 3 sin 3 cos 3 cos 2sin 3 cos 3 cos cos 6 cos 6 cos sin 6 sin ( tan )2 ( ) sin 6 cos cos sin 6 cos cos 5 )2 ( cos 5 cos sin 6 cos cos 5 cos( 6 ) sin 6 cos cos ( k 2 cos 5 cos( 6 ) 5 ( 6 ) k 2 22 11 , k 2 ,k k 2 , k 2 cos 5 cos( 6 ) 5 ( 6 ) k 2 2 22 11 Do ( , ) nên hai họ nghiệm k 2 , k không thỏa mãn 2 k 2 , ta tìm tất 10 giá trị thỏa mãn 22 11 3 5 7 9 , , , , 22 22 22 22 22 Với hai họ nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y , z ) (tan , tan 3 tan , tan 3 5 7 9 ), , , , , sin 6 22 22 22 22 22 Nhận xét Cách dùng lượng giác có lẽ đường để giải với nghiệm khơng thể có cách đại số mà tìm Ý tưởng quan trọng xuất phát từ biểu thức x y hoàn toàn giống hệ số khai triển tan 3 Do đó, biến đổi phức tạp ý tưởng tự nhiên! 67