Kĩ thuật tập mức cho bài toán parabolic tựa tuyến tính khóa luận tốt nghiệp

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Kĩ thuật tập mưức cho bài toán parabolic" do chính tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn của PGS.. Lời cảm ơn hoá luận tốt nghi

KHOA TOÁN - TIN HỌC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

KĨ THUẬT TẬP MỨC CHO BÀI TOÁN PARABOLIC TỰA TUYẾN TÍNH

Sink vidn thực hiện: Lê Khánh Huy

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Kĩ thuật tập mưức cho bài toán parabolic" do chính tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn của PGS T§ Nguyễn

và không sao chép bất kì khoá luận tốt nghiệp, luận văn nào đã được công bồ trước đây

Những tài liêu tham khảo mà tôi sử dựng trong quá trình thực hiên khoá luận đã được trích dẫn một cách đầy đủ và nêu rõ trong mục Tài liệu tham khảo Nếu những thời nhân mọi hình thức kỉ luật từ khoa và nhà trường

Thành phố Hồ Chí Minh, 01/05/2034 Sinh viên thực hiện

Lê Khánh Huy

Lời cảm ơn

hoá luận tốt nghiệp với đề tài “Kĩ thuật tập mức cho bài toán paraboli

Ti noi dung ma tôi thực hiện nghiền cứu và tìm hiểu trong thời gian cho phép, dưới sự hướng dẫn tan tình của PGS T8 Nguyễn Thành Nhân Trong quá trình thực hiộn, tôi nhân được nhiều sự quan tâm, chỉ bảo và giúp đỡ sâu sắc từ tập thể thầy cô và bạn bè khoa Toán - Tìn học, trường Dại học Sư phạm Thành phố Hỗ Chí Minh

‘Toi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tối thấy giáo hướng dẫn của tôi, PGS TS Nguyễn Thành Nhân (Giảng vien khơa Tuần - Tìn học, Đường Đại học Sự pham Thành phố Hồ Chí Minh), với những hướng dẫn tận tình, ân cần để giúp tôi trưởng thành hơn và hoàn thành được khoá luận tốt nghiệp như ngà

ï cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể thầy cô khoa Tosn Tin học, đặc biệt là thầy cô trong tổ Giải tích đã có những đóng góp, hướng dẫn và tao diều kiến hót trong quá trình tôi thực hiện khoá luận tốt nghiệp

Mặc dù tôi đã có gắng hoàn thành khoá luân tốt nghiệp này một cách tốt nhất

có thể, nhưng trong quá trình học hỏi và kiến thức còn hạn chế, chắc chắn không được ý kiến của bạn bè, thây cô để hoàn thiện nhiều hơn

sức

“Thành phố Hồ Chí Minh, 01/05/2034 Sinh viên thực hiện

Lê Khánh Huy

Lời nĩi đầu

Két quả chính quy nghiệm được bất đầu khảo sát trừ các lớp phương trình oliptic tuyền tính, mà trường hợp đơn giản nhất là phương trình Laplace Các nghiên cứu tuyển tính, Lớp phương trình đại điên cho bài tốn tựa tuyến tính là phương trình phương trình tựa tuyến tính, hộc ngay cả phương trình p-Laplace vẫn cịn nhiều bài tốn mỗi

Gan day, mot phương pháp đánh giá tính chính quy nghiệm tồn cục thơng qua Việc xây dưng các ước lượng liên quan dén tap mite được nhiều tác giá áp dụng cho hơn, để thu được kết quả chính quy nghiệm cho phương trình, người ta chứng mình này cĩ nguồn gốc từ kĩ thuật sử dụng bắt đẳng thức "Larse-M° của các tác giá T Kussi và G Mingione [T[Tf], hoặc bất đẳng thức good-A của N.-C Phue [Ti [D] M.-P Tran [I3], Nhan thấy phương pháp này cĩ thể khảo sát hiệu quả với các tính đánh giá gradient, chúng tối đề xuất a

parabolic tua tuyén tinh’

Đình hướng của chúng tơi là tiếp tục vân dụng và cải tiến kĩ thuật xây dựng các ước lượng tập mức để

parabolic tia tuyến tính, gần với tốn tử ;-Laplace, cụ thể hơn là chúng tơi khảo sắt

gọi đề tài là "Kĩ thuật tập mức cho bài tốn

chứng mình các đánh giá gradient cho một số lớp bài tốn phương trình parabolic twa tuyén va hướng đến kết quả đánh giá gradient tồn cục khơng trơn,

Phương pháp chính mà chúng tơi s

hoặc bắt đẳng thức liên quan đến hàm phân phối tác động lên tập mức Cụ thể hơn,

để chứng mình các kết qua gradient, chúng tơi tiền hành xây dựng một bất đẳng đưa vào định nghĩa của khơng gian hàm đang xét (như khơng gian Lorentz, khong gradient

Việc xây dung bit đẳng thức good-A dưa trên bổ đồ Gehrins, cịn được biết đến

i dung trong đề tài này là kĩ thuật good-\

trình thuần nhất tương ứng Hai là bất đẳng thức so sánh sự sai khác giữa nghiệm,

của bài toán đang xét và nghiệm của bài toán thuần nhất tương ứng Khoá luận tốt nghiệp của chúng tôi có cấu trúc được chia thành ba chương, tóm tất nội dung từng chương như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệu và nhắc lai một số kí biệu quan trong (bao gồm các toán tử, không gian hàm) sẽ được thiện và nhấc li các định lí, bổ đề cần thiết cho các chứng mình của phần san

Chương 2: Đánh giá so sánh Trons chương này, chúng tôi xây dimg các bất đẳng thức cho phép so sánh giữa nghiệm của bài toán đang xét và bài toán thuần tmiền và đánh giá trên biên của miễn đang xét

Chương 8: Xây dựng bắt đẳng thức Trong chương này, chúng tôi tập trung xây đưng bất đẳng thức hàm phân phối cho bài toán parabolic dựa trên kĩ thuật sood-\ và bổ đề phủ Vitali Sau đó áp dung

gradient trên không gian Lorentz có trong LỆ(fr) quả thu được cho đánh giá

Muc luc

0

2.3 Dank gia tren bien]

Vu = (Var, Veg, Buy)?

Dinh nghia 1.1.2 Laplace eiia ham wi +R, kí hiệu là Au, rác định hổi

Pu Pw Pu

Néu w+ RE thi Aw la vector k thành phần, cụ thể là

Aw=(Auy,Auy, ,Au)

Định nghĩa 1.1.8 Divergence eiia ham » QR, A hiew la div(v) hoặc Ý , sác dink boi

1.2 Khai niém vé mot sé khong gian

1.2.1 Không gian Lebesgue và các tính chất

Dinh nghĩa 1.2.1 (Không gian Lebesgue) Cho 9 [a tap md trong RY wa 0 <p < oe

“Không gian Lebesgue LP(9) là không gian các hàm ƒ do được Lcbesgwe trên €3 sao cho lun) < se, trong đó

Iflisey = (0e) nếu 0 < p< œ '

|/lu~n, = it [C >9: |/G)| < C hấu Kiấp nơi trong 9) Chú ý rằng bit đẳng thức tam giác (Minkowski)

HỨ +ðllze $ Willey + lien

đúng khi và chỉ khi p > 1

Dinh If 1.2.1 (Grafueos, [l]) Vai mor 0-< p< 20, ta 06

ister = (of XlE9:1/0)|>A] 3 trong dé kí hiệu |E| là độ do Lebesgue cia tap E trong R"

Ching mink, Bing kí hiệu vz là hàm đặc trưng trên E, ta có biểu điễn lứ<8I/00133)|= Í xeneiaytr 'Từ đó suy ra

Ap dung công thức Eubini, ta được

Định nghĩa 1.2.2 (Khong gian Lorontz) Cho 9 la tap md trong B wd hai thane số 0<q< 20, 0< 8 <x Khing gian Eononts L2(f) là không gian các hàm ƒ đo dược

Lebesgue trén f9 sao cho | fis <>, trong dé

Was “(1 ren ines an) : nếu 0< §< s6 tà

Leta) > ay Isl asmiay = sup Alte

Đôi với không gian Lorentz, ta có một số nhận xót sau:

Nhận xét 1.2.1 hig =

Lebesgue L1(9), theo dink

không gian Lebesgue

i Không gian Lorentz L1*(Q) chính là không gian

"Nhận xét 1.3.2 Tập lợp cổ dang {z € 1+ |/0)| > À) tới À » 0 thường được gợi là

ce tip mite (level sets) cia hàm ƒ tren 9

Nhận xét 1.2.8 Thuing hợp s = s, không gian Lorents E!*(9) còn được gọi là hong gian Lebesgue yếu hoặc không gian Marrindicvic

1.2.3 Khong gian Sobolev và các tính chất

Định nghĩa 1.2.3 (Dao ham yéu) Cho © la tập mở trong RY vi w © LO) tới 1< p< 00 Ta ndtv 6 dao him you trong L°(0) néw tén tai n ote hin w; € LO) vidi i

Nain xét 1.2.4 Khi g © C(®), fa có thỂ suy ra tần lại mat tip K° compact con sao cho

wre a\K

Định nghĩa 1.2.4 (Không gian Sobolev W1(0)) Cho © fa tap md tong BY vài đầm yếu của nó Vu € (I7(đ))”, túc là

2 } 2), i = Chuẩn trong khong gian Sobolev W1(Q) được định nghĩa bởi

đớn, IP

leliussey [ (oe vee a

hoặc một chuẩn khác tương đương là

7¬"

Định nghĩa 1.2.5 (Khong gian địa phương) Giả sử X(9) là một không gian Lebesgue

cả các hầm u€ X(Ñ) uổi mọi tập con campact K của 2

Định nghĩa 1.2.6 (Không gian Sobolev HWJ (9) Cho Q là tap ma bong RY vit W2(n)

Dinh lf 1.2.3 (Green), Cho © là tap mở trong BY va cae him uw © WMO) vse

trong dé n(x) là vector pháp tuyến hướng ra ngoai tai x € 9,

Sử dụng công thức này, ta có thé dé dàng chứng mình được hai hệ quả sau H@ qua 1.2.1 Cho 0 la tap mở trong TẾ" tà các hàm ứ € V19(9,R) (u nhận giá trị thực), te V12 (Q,RP) (e nhận giá trị vector) di 1 < p< oo Khi do

"`

4

on

trong đổ 5% ti dao ham của w theo hacong m

Các công thức Green trên đều đúng khi chọn w e IWj”(9) hay ø e ŒX(9) Khi

chọn ø € IWJ”(9) hay ø e C2X(f), các tích phân trên Ø9 đều triệt tiêu

Định I 1.24 Sobddo) Cu 9 l tp mở, ị đơn rà dĩ hiến bốn ng EP, Giả sity € (Ln), ta Kt hie pt = Khe dd, tới mới ạ € (Ly, tổn lại hằng số

C= C(n, p,q, diam(Q)) > 0 sao cho

Ielisep Š CINsliyye, Vé€ W)Z() rong đó kí hiệu diam(9) = sap{[z = v|: s,ự 9) là đường kính của f1

1.3 Bài toán biến phân và nghiệm yếu

được công thức biểu diễn của nghiêm này

Với m > 2, không tổn tại nghiệm mạnh thuộc lớp

ta số thể tìm được hầm u ý C2) nhưng thoả mãn

xác định mot không gian chứa nghiệm rộng hơn lớp C2 Tit day dẫn đến ý tưởng là đưa ra định nghĩa nghiêm khác với nghiêm mạnh, thoả mãn ầu khấp mới

Có nhiều đình nghĩa nghiệm khác, va trong số đó thì nghiệm yéu (weak solution)

là định nghĩa cơ bản đầu tí

Ý tưởng định nghĩa nghiệm yếu như sau Nhân hai về phương trình =Aw = ƒ với

ham y € CM), sau đó lấy tích phân trên © ta được

hi đó, ham w € W"(9) thoả mãn bài toán

Đến đây, thay vì tìm nghiệm mạnh œ

yéu w € W!2() thoi man bài toán

phân tương ting với phương trinh Laplace

function),

Để chứng mình sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu, người ta thường dùng Dinh i Lax-Milgram BI Corollary 5.8] Cu thé, người ta chứng mình được với mọi dir lion f € £°(M) (véu hon gia thiét ƒ liên tục trước đó), phương trình Laplace Môn tồn tại duy nhất nghiêm yếu w € W3() Ngoai ra, do tinh trit mat etia CHM) trong I2 (9), bài toán (L3) có thể viớt lại thành

} được goi là nghiêm yếu của Í 1), người ta sẽ tìm nghiêm Đài toán (1.3) được gọi là công thức biến

và hàm ¿ được gọi là hàm thử (Iest

có thể được viết lại dưới dạng tuyển tính liên tục Bài toán

Mặt ví dụ đơn gin cho dang phương anh pi ayn Th pong tin p Laplace

1.4 Bài toán chính quy nghiệm

Giả sử hàm đữ liêu ƒ € 12G) và w € WJ(O) là nghiệm yếu của phương trình

ta được

tức là u thoả mãn bài toán (14) Chọn hàm thử ¿ fivecortar= f reomerar

Ấp dụng bất đẳng thite Holder véi p = q = 2 cho về phải, ta được

(,«22)`<c((/saz} wo

“Từ bắt đẳng thức [LTÌ, ta thấy rằng nếu |/ys/gy hữu han thì |Yu|,s,p, cũng hữu,

là một dang của bài toán chính quy nghiêm, cho ta kết luân về sự phụ thuộc của Thay EB vào {

Các đánh giá gradient với Xị, X; là các không gian Lebesgue thường là kết quả cổ Lorentz hoặc không gian Morrey

1.5 Phương trình parabolic tựa tuyến tính

Tà giả thiết A thoả mãn

và thoả mãn

(A,b9 = A,tO,£= Q > AalE = GP, (1.12)

‘v6i moi (£,¢) € RY x RY va hiiu khiip noi (x,t) € RY x R, trong dé A; va Ay là các hằng số dương Thêm nữa, ta giả sử rằng đạo hàm của 4 theo € bị chăn, tức là

với mọi CE RY và (ryt) ERY XR

Trong suốt khoá luận này, chúng ta luôn giả sử 4 thoả mãn, Ben cạnh đó, ta kí hiệu T¡ = diam(9) + 72 và với (ø,£) € RẺ hiến

Để khảo sát phương trình này, chúng ta cần miễn £ thoả mãn điều kiện sau, gọi

Tà điều kiện (5, Ro)-Reifenberg

Định nghĩa 1.5.1 Miễn Q dude got la thod điều kiên (5, Ro)-Reifenterg wdi 5 € (0,1) vào nề z sao cho toa độ của + theo hệ ton độ này là bằng 0 vie 40) n{

Ta gif sit A thoi man điều kiện nhỏ của dạng BMO theo biến z, nghĩa là A(z.f,C} thoả mãn điều kiện (5, Ra}-BMO v6i 5, Ro > 0 theo s6 mũ p > 0 nếu

“Ta nhắc lại rằng hàm dương sẽ € Lệ [R**!) được gọi là trong Â, với 1 < p.< s nếu

bìa, sa 28 (W,,nn0) („e9 an) sup mm sms) Pha] <»

Ta có llllu(e) = lblus(e), đò đó LÊ(E) = 13(E) Thông thường, khi = 1, ta viét L09(E) thay cho LỆP(E)

1.6 Toán tử cực đại và tính bị chặn

Ta kí hiện M là hàm cực dai parabolic Hardy-Litlewood, eụ thể hơn, với mỗi ham fe R**! kha tich dia phương (túc khả tích trên mọi tập K compaet), ta có Minted =m f ưa [lus)|dyds, (te RN

Nếu p > 1 và u € A„, ta có M là todn tit tir LR) vao L(Y) va tir LER")

vào chính nó với 0 < s < % Diễu này thể hiện qua các mệnh đề sau Mệnh đề 1.041 on tÈM là ị chân từ 1! (BS) vào 09 (RN) với mix 1

nghĩa là lần ti hằng số C > 0 sao cho

fren aun >a} [mena

1.7 Hàm phân phối và các kết quả

“Trong khoá luận này, mục tiêu của chúng tôi là làm rõ các kết quả san dưới gốc nhìn của hàm phân phối

Trước tiên, chũng tôi định nghĩa hàm phân phối của bài toán parabolic như sau Dinh nghĩa 1.7.1 Với 6 là hầm đo được trên 9y, M là toán tử cức dại cấp phân số

và là hầm trọng As, la định nghấa hàm phân phối d, cho bởi công thức

điQ) c= ({z€ r: MNG) >A}), A>U

10

Định If 1.7.1 Cho F € L4Qr,R") Khi dé, tin toi duy nhất nghiệm youu €

22 (0.7;H4(Q) cia phuong bình (LID) VOi mdi w € Ay, 0 <4-< se, 0< Š & tin tai 5 = 5(N.At,An ass [ela ) © (1) vd so = so(Ns As, An) > D saa chớ nến 9 là

én (5, Rq)-Reifenberg va (A) <5 di Ro > 0 nao dé thi

cũng có thể viết đưới góc nhìn hàm phân phối Từ

đó ta thấy bắt đẳng thức [L1 có thể viết đưới góc nhìn hàm phân phối

Vĩ toán tử M bị chặn từ Zÿ“(#Ÿ**) vào chính nó với p > 1, < s < % và ¡ € Ax: miên ta thu được kết quả sau

Định lí 1.7.2 Cha F € E2(Q;, RẤ) và sụ được cho trong định lí duy whit nghiệm yếu u € LẺ (0.T: HÀ(S)) của phương trình

3 <4 < %6, 0< $< %, tồn tại 8 = ð (N, Ai, Âa q, Íela,„} € (0,1) sto cho néu 0 la (5, Ro)-Reifenberg va (AJR <5 vdi Rg > 0 nào đó thì

Khi đó tên tại

IIIYslllzy*qe,y < CIIIFlllis*qa,

trong đá C phụ thuộc vào Ñ, Âu, Aạ, ạ, s; lưÌA,„„ tà Tạ/Rụ

"Trong trường hợp tuyển tính, ta thu được đánh giá toàn cue gradient cho nghiệm yếu của phương trình

§=5 (NAL Ang ss[ulay,) € (0,1) sao chớ nếu 0 la min (5, Ro)-Reifenberg tà

[AIR <6 ni Ry > 0 nao đó thà tần tại duy nhất nghigm yéu we 12 (0,7; HA(O)) ciia phacong trink (£3), hơn nữa

MPulllesene) < CU MaLell yng) + MES (116) trong đó C chỉ phụ thuậc tầo A, Âu, Aa, q, s, [9]Ay; tà Tọ/Rọ

2, Vấi mỗi c € (01), TẾT cụ <3, 0< s € ị I9 6 Ai tà NHI] PL €

LE (Oy), ta tầm được 8 = 5 (N.Ay.A2,9,8,¢,[w2*]q,) € (0,1) sao cho néu Ota

miền (Š fụ) va [AJ < 5 wai Ry > 0 nao dé thi tén tor duy nit nghiem yeu

"8 o) oi pan thf hon

IIIYwlllryay < €||M+(#||[uys,a,; + CIEIllry*eas- (1.17)

trong đó C chi phụ thuộc wo N, Ar, May a 65 & way vd To/ Ro

Ở đây, Mụ kí hiệu cho toán tử cực đại cấp phân số ứng với độ đo Radon dương,

trên RY, tate là

“Trong bắt đẳng thức kí hiệu Lÿ““(Qr) là không gian Lorentz_Morrey gồm

các hàm đo được ø trong Öy thoả mãn

lløllr:*~ Hales ` sup ® + lel,„ <0

hầm đo được ø trong ft thoả mãn

0<p<dian(0),xc0

Chứng mình của bổ đề[L7.1| được trình bày trong [6] Proof of Theorem 2.21) và lưu

§ Với (xo lu) € fĐr và 0 < ø < Tụ thì

valet) nh nh 2n 9)

NO-D và trong đồ 0 < xị < &— (N+2) =1) + V0 <0, <k— TẾ

wa, SCO MD, Lil], $C)

Chương 2

Đánh giá so sánh

2.1 Kết quả cơ bản

Trước khi bắt đầu nội dung về đánh giá so sánh, chúng ta nhắc lại kết quả cơ bản

về sự tổn tai duy nhất nghiệm của phương trình

Mệnh đề 2.1.1 Nếu Ƒ € L2(9yRÝ

LẺ (0,T, HẠ()) của phương trình Whi dé tin tại duy nhất nghiệm yếu u €

và đánh giá toàn cục sau thoả mãn,

Sự tổn tại duy nhất nghiềm của phương trình {L10} có được từ định lí Lax

Milyam, rồi sử dụng ø là hầm thử của oth ro

ferve (nimi) øic (6:10) cơ (612)

ta suy ra nghiệm yếu œ của phương trình thude © (0,7; 12()) Mở rộng ra, ta

có thể thấy w cũng là nghiệm yếu của phương, khi xót trong 9 x (~s,T)

va F € L°(9,R%), dong thoi F = 0, u = 0 trong @ x (—00, 0) Trong suốt khoá luận này, ta luôn giả sit u € C(—œ,T; 3(f)) q1 12(~,T: HẠ(8))

là nghiệm yếu của phương trình trong @ x (~20,T) voi F € L(Mr,R®), F=0

trong 9% (-20,0

2.2 Đánh giá bên trong

Với mỗi quả cầu Bạn = Öag(zạ) CC Ø và tụ € (0,T), xét nghiệm duy nhất

we € (to~ AR? to: L(Ban)) 9 fg — AR? to: Bạn)) của phương tình

ty — HN (AG,LVA)) = 0: trông Quan

w = w trên đụQyg,

+ Qạy = Bạy x (to — ARP, to);

+ 8/92 = (OBan x (to — AR®,to)) U (Baw » (t= tạ — 4B)

Bổ đề sau đây có tên gọi là bổ đề Gehring,

Tổ đề 2.2.1 (Gehing) Cho u thoả mãn phương tình QQ) Khi dé tin tai hằng số

> 2 va C > 0 chỉ phụ thuộc rào N, Ân, A; sao cho đánh giá

mm nh na

đúng vdi moi Q,(y,s) C Qạn

tBỗ đề tiếp theo cho chúng ta đánh giá cho Vư ~ Vw

Bổ đề 3.3.3 Chơ u thoả mãn phương trình Khi đó tồn tại hằng số Œ =

(N,Au,Aj) > 0 sao cho

Chứng mình Cho u— là hàm thử của phương trình [LTỘ, ta có

(u— wu = 1M Vu) + div(F)) (2.5)

Lấy tích phan @3), áp dụng công thức tích phân từng phần và lưu ý w = u trên

9Qan, ta có

(u = w)updndt = (w= w) (div (A(x, t, Wu)) + div(F) } dade

= { (AŒ,1,Vn) + F) V(u = weeds lạ (2.6)

Lại cho u — + là hàm thử của phương trình Í ta có

(ue= way = (w= w)aiv (A(,t, Vu) (27) Lấy tích phân

2Qan, ta 06 ấp dụng công thức tích phân từng phần và lưu ý w = w trên

"1 ar

Ap dung bit ding thức Holder, ta có

-J ir va vepdrars [ |ứE Vu — Vu) |drdt lọ [oe

Š ( I, oe lộ vot) ( I [Vu = Vo vont) (2.13)

_, tà suy ra

` -

trong d6 © = C(Y, Ai, Ai) >0

“Tiếp theo, ta kí hiếu v bai