Đánh giá dạng calderón zygmund cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với dữ liệu divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _- 'TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH o0, Nguyễn Phương Thảo ĐÁNH GIÁ DẠNG CALDERÓN-ZYGMUND CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TỰA TUYEN TÍNH VỚI DỮ LIỆU DIVERGE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _-

'TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH

oo:

Nguyễn Phương Thảo

ĐÁNH GIÁ DẠNG CALDERÓN-ZYGMUND CHO PHUONG TRINH ELLIPTIC TUA TUYEN TINH VGI DU LIEU DIVERGENCE KHOA LUAN TOT NGHIEP

'Thành phó Hồ Chí Minh - 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _-

'TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH

o0,

Nguyễn Phương Thảo

ĐÁNH GIÁ DẠNG CALDERÓN-ZYGMUND CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TỰA TUYEN TÍNH VỚI DỮ LIỆU DIVERGENCE Chuyên ngành: Toán giải tích

MSSV: 46.01.101.145

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

PGS TS NGUYỄN THÀNH NHÂN

“Thành phó Hồ Chí Minh - 2024

inh gia so sánh với nghiệm phương trình thuân nhất, 12 Một số dạng bất ding thức: Young] 14

3 _ Đánh giá so sánh với nghiệm phương trình thuẫn nhất) 16

Bat dang thiic reverse Holder] 19

[1 Wi we ugg wa him pnp ”

[3.2 Bất đẳng thức hàm phân phi (bát đẳng thức dạng good-A)| 25

m [Ea Dan id Calderin-Zygmund wong Ei »

3

8

Lời cam đoan

Tôi xin cam doan khóa luận tốt nghiệp với để tài "Đánh giá dạng Calderó Zqgmund cho phương trình elliptie tựa tuyén tinh véi dit ligu divergence" do chính tôi thực hiện, đưổi sự hướng dẫn của PGS TS Neuyén Thanh Nhân Các kết Khóa luận tốt nghiệp, luận văn nào đã được công bổ trước đây Những tài liệu tham khảo mà tôi sử đụng trong quá tình thực biện khóa luận đượ trích dẫn một cách đầy đã và nêu rõ trong mục Ti liệu tham khảo Nếu những, thời nhận mọi hình thức kỹ luật từ khoa và nhà trường

‘TP H6 Chi Minh, tháng 05 năm 2024 Sinh viên thực hiện khóa luận Nguyễn Phương Thảo

Lời cảm ơn

Xánh giá đạng Calderón-Zygmund cho phương trình eliptic tựa tuyến tính với dữ liệu đivergenee" là nội dung tôi đã nghiên cứu và làm khóa luận tốt phô Hỗ Chí Minh Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã nhận được nhiễu sự quan tâm, stip đồ, động viên từ quý thầy cô, gia đình và bạn bè

Nhân, người thầy đã giới thiệu cho tôi đề tài này, trự tiếp hướng dẫn tân tình; thầy

l có những trao đổi, góp ý và lời khuyên quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận Nhân địp này, jh cm ơn Bạn giám hiệu trường Đại học Sư pham Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi thực hiện khóa

giảng day quý báu trong suốt bổn năm học vữ qua Xin cảm ơn quý thấy, cô trong Hội đồng châm khóa luận tốt nghiệp đã nỉ

.được hoàn thiện, chìn chủ hơn

"Ngoài ra tôi in cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn sỉnh viền khoa Sư phạm Toán học K46 đã luôn bên cạnh ủng hộ, giúp đỗ và là nguồn động lực to lớn để ôi có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Cuối cùng, tuy đã cỗ gắng trong quá trình thực hiện khóa luận nhưng do kiến thức

của bản thân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất

xét, góp ý giúp cho khóa luận của tôi

Miễn mổ, bị chăn trong không gian IR"

Biên của miễn f`

Đường kính cũa miễn f

“Quả cầu trong R” có bán kính r và tâm xy Ba)n

Gradient cia him wR”

Divergence eta him veets FRY > R”

"Độ đo Lebesgue của tập đo được 4 C ” Hàm đặc trưng trên tập 4C

“Tích phân trung bình của hàm khả tích ƒ trên tap do dude A c R"

"oán tử cực đại cấp phân số với a € 0,r}

"Toán tử cực đại Hardy-Littlewood,

Không gian các hàm khả vi vô hạn lần, có support compact trên © Không gian Lebesgue cdc him do được, có lũy thừa » kha tic trén Không gián Lorentz,

Không gian Orlic2 định nghĩa qua hàm ?£ Không gian Oriicz-Sobolev định nghĩa qua hàm 3 Kết thúc chứng minh

Giới thiệu

‘Tom tat khóa luận

Nội dụng chính của khóa luận là xây dưng đánh giá Calderốn:Zygmund rong Không gian Lorentz vi không gian Orlice cho lớp phương tình elipie tựa tuyển tính

a divergence va digu kiện biên Dirichlet thuận nhất có dạng sau đây:

~div(A(z,Ya)) = di(BŒ,F)) trong

a trong đó 0 là miễn mở, bị chặn trong R®,n > 2.va F thuộc không gian Orlicz L*(Q) với 2í : (0,00) +B được định nghĩa bởi:

trong đồ p > 1 và a : R x RR" duige cho ba:

ale.$) = 8:8 losfe+|€Ù) vớï£ #0, và af.0)=0 @ Chúng tôi sẽ tình bầy tính chính quy nghiệm của bài toán (thông qua đánh

gid Calderén-Zygmund trong không gian Lorsntz [+*() và không gian Orlicz “(0

cđưổi ác động của toán tử cực đại cấp phân số MỊ, Cụ thể, ta sẽ chứng mĩnh rằng: M,H(IF)) € #20) > My H(|Vul) € 92(0) M:#(#))

Phương pháp chúng tôi sử dụng chủ yêu trong khóa luận này là đánh giá nghiệm của bài toán } đựa tên cơ sở xây dựng bắt đẳng thức bầm phân phối (hay bắt đẳng Đài báo khảo sát tính chính quy nghiệm

”(@) > M,H(lVul) € (0),

Giới thiệu tổng quan

“Trong Toán học, phương trình đạo hàm riêng (PDEs) có nhiều ứng dụng trong

ấy dựng các mô hình máy tính mô

su phn tin, tĩnh diện học, động điển học, Đặc biếu tính chính quy nghiệm là một tính chất quan trọng củn phương Calderén-Zyemund la mot trong những phương pháp đóng vai trò quan trọng rong,

việc đánh giá các kết quả chính quy nghiệm Có rất nhiều bài báo, tạp chí khoa học

viết vẻ lý thuyết này Cụ thể, lý thuyết Calderón-Zygmund đối với lớp phương trình

elliptic p-Laplace được công bồ lần đầu bởi Iwaniec (13) Ké từ đó, DiBenedetto va

Maniedi đã áp dụng lý thuyết này cho cúc hệ phương tình cllipie -Lapluee S}

va parabolic p-Laplace Ngoài ra, lý thuyết Calderón-Zygmund toàn cục cũng được trơn bời Byun, Wang và các các cộng su [2]

Trong khóa luận này chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu đánh giá Caldcrồn-Zgmund

ho lớp phương trinh elliptic tựa tuyển tính hay chính là dạng phương trình Euler- Lagrange với phiếm hàm

và nghiêm yếu của các phương trình ứng với các phiếm hàm trên Đặc biệt, khi

G(x.) = [EP vi 1 < p < se, điểm cựe tiểu của phiếm hàm cũng chính là nghiệm nghiệm {[3J[J Có ha lớp phương trình Œ phổ biến Đẫu tiên là lớp Orliez

trong dé p(-) RP ¬ thôn mãn diễu kiện tổn ti 71,72 sa0 cho

1 <4 <p() <3 <%

Đối với các kết quả chính quy nghiệm của các phương trình ứng với lớp Oricz:

lớp có số mũ là hàm tham sổ, ta có thể tham khảo lần lượt trong Bài toán chính được nghiên cứu tong khóa luận là phương trình cllipe tựa tuyển tính với dữ ligu divergence va digu kiện biên thuẫn nhất có dạng [trong đó các toán Wit A,B: Re > RP thoa mãn điều kiện: tổn tại các bằng số Xí, Kí; > 0 sao cho [Alar $91 + Isle Ale, $1 S ilgl?"ogte + [ED

Bfz,6)| < Kile}? Hoste + [ED

véi moi x € vagy eR"

"Từ diễu kiên thứ bai trong ta có thể suy ra ôn tại Ty > 0 sao cho

(A(x, 6) — ACen) €— 0) > EU + In” Pople lel +hDIe—aP, We € 9,6,ne R” Khong mit tinh tng quit, ta gi sit Ky = Tồ Như vậy, ta có thể viet lại điều kiện

@) nu saw

[Ala 9+ ella ACa 6) < Kile? Hogte + ED

(A(z,£) — A(r,n),£ — n) > Ka(|£| + nl)? lowte + |£l + |nl)l€ — oP, (6)

IBle, 9) < KileP“Hog(e + ID

với mọi z € 0 và cu € TP

Để thủ được đánh giá gradient cho nghiém bài toán (I) wong khong gian Lorentz

và Onlez đưới tác động của toán tử cực dại cấp phân số, chúng tôi sẽ thêm điễu kiện

chúng tôi sẽ sử dụng kỹ thuật xây dựng bắt đẳng thức hàm phân phối Kỹ thuật này

được tác giả Tran & Nguyen xây dựng, phát triển và sử dung để khảo sát tính chính

-quy nghiệm của nhiều lớp bài toán, có thể tham khảo trong {IR|D0 Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận được trình bày theo ba chướng

+ Chương I: Một số kiến thị

“rong chương này, chúng tôi sẽ tình bày lại một vài kiến thức cơ bản liên quan đến các không gian hàm bao gồm không gian Lorentz, không gian Orlicz, không gian nhắc lại các khái niệm và bổ đề vả toán tử cực dai cấp phân số, didu kign (3,r0)- bản nhằm phục vụ cho việc chứng mình các kết quả chính trong Chương 2 và 3

+ Chương 2: Đánh giá so sánh với nghiệm phương trình thuẫn nhất

ú trình bày một số tính chất đặc trưng của hàm ?£

và một số dạng của bắt đẳng thức Young Trên cơ sở đó, chúng tối sẽ phát biểu và chứng minh đánh giá so sính nghiệm của bài toán {] với

nghiệm của phương trình thuần nhất và đánh giá toàn cục; đồng thời đưa ra bắt đẳng

tie Reverse Hilder

+ Chương â: Đá

gradient trong không gian Lorentz va không gian Orlicz

“Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày đánh giá Calderon Zysmund cho nghiệm

của phương trình (I) trong không gian Lorentz va không gian Orliez trên cơ sở xây

‘ung bit ding thức hàm phân phối Đây cũng chính là kết quả chính của khóa luận

1.I Không gian Lorentz

Dinh nghia 1.1.1 Cho 9 fa 1p mé trong R va hai tham s6.0 <9 < 96, 0<

Không gian Lorentz L**(0) la tip tdt od cde him f do dude Lebesgue trén 9 sao cho

+ Ảnh xạ | Ìis-gp là tựa chuẩn, không thỏa mãn bắt đẳng thúc tam giác trong rường hợp tổng quất

Khoá luận ốt nghiệp Khoa odin tn hoe + Tập hợp có dạng (x € 0: |f[2)|> A} với À > 0 thường được gọi là các tập mức (level se) của hàm ƒ trên `

+ Thơng tường hợp s = 20, Kong gian Lorez L*®(0) còn được gi là không sian Lebesgue yéu hodc khong gian Marcinkiewice

1.2 Không gian Orlicz-Zygmund 7”lo¿ ,(O) và không gian Orlicz-Zygmund-Soboley IU 121/0)

Định nghĩa 1.2.1 (Không gian Orlic/-Zygmund 7lox Z(f) Không gian Orlic:- Zaemumdl 1P lo LÍ) được định nghĩa bởi

với chudn Luxemburg ược xác định như sau:

2), vdt chun dupe xc định bởi

H/lleteese = TƯ zeros 240 + WF lar tog 240 trong đó, dé thu tén, ta viet |W flzecgngay thay cho UVF \ yy Hon nita, ta

Xí hiệu MỆ PPF(0) là bao đồng của CịP(0) trong II 2M),

Bổ đỀ 1.41 Hàm 1€: |0.s5) — 5<) được định nghữ bởi

®G) =Pbgfc+a), z> 0 p>1

là hàm Young

Chứng minh Đầu tiên, ta sẽ chứng mình 1t là hàm đồng biễn và lỗi trên [0,<)

Ta c6: H(x) = 2" log(e +2), > 0, Khi đồ, đo p > 1 nên

Ai higu la Y € 2, nếu tổn tại số thực Aa(}) > 1 sà chơ

Vex) < AAI), Yee 0,

và } thỏa mẫn điều kiện Vạ, kí hiệu là Y € Vo, néw t6n tại số thực Va(}) > 1 sao chờ

1

2V20}

ve) < Y(VaV)x), Vr>0

"Nếu Y théa man cd hai diéu kign Az vd Vs, ta viết Y € Ag V2

"Bổ đỀ 1.32 Ham Young 9Á thỏa cả hai điều kign Ay và Vị Chứng mình Chọn Aa() = 3721 > 1 Khi đĩ, với mọi z > 0, ta cĩ Aa00MG)

Khoá hn tt nghiệp Khoa odin tn hoe

Bổ đề 134 Cho Y 1a ham am thỏa mãn điề kiện Qa Khi dé với mối ó > 1 và

—

Yor) < (yy ght MO),

Chứng mình ĐỀ trong chứng minh nay, ta ~ A¿(3) nghĩa là

1.4 Không gian Orlicz và không gian Orlicz-Sobolev

Định nghĩa 1.4.1 (Không gian Orliez) Cho © là tập md, bi chin trong B va ham

3 ¡|0.) - (0,50) 1a ham Young Lép Orliez

090% < 40

an Orliez 1? (9) la khdng gian vect nhỏ nhất chứa lớp Orlic: O (0) và

“được trang bị chuẩn Luxemburg nu sau

Ilioyy inf >0 fo (a <i}

Bé ad 1.4.1 (G9), Bb a8 5.2) Cho ta hàm do được ong miễn nỏ, bi chan C E"

va hm Young Y © AV Kh dé, wid > Ova No > tae

PD) Er NB) | <9: |/œ)| > NRA)| < %,

với đánh giá

3008 < Í 9/04: < €0) +8)

trong dé C = C(Nụ, Az(Y), Va(Y)) > 0,

Định nghĩa 14.2 (Khong gian Orlicz-Sobolev) Cho hàm Y : |0.3<) — (0s) là

‘ham Young Không gian Onlice-Sobolev IV”*(Đ) là tập hợp tất cả các hàm đo được L>(A) sao cho |Vƒ| € E (9) Chuẩn trong không gian này được xác định bồi:

[lls ay = Usher) + VV Slee

ca) Hơn nữa, tạ kỉ hiệu NV) (0) là

trong đó, ta viết |ƒ |», thay to 1S

tao đồng của Cộ (0) trang WVL}

Nhận xét 1.4.1 Không gian Orlicz-Zygmund L? log 18) được đình nghia trong (E3)

“được định nghĩa bởi Ổ) Tương ự, các không gian Orliez-Zygmund-Sobolev W'#"(0)

và HỆ * (0) cũng lẫn lượt có thể định nghĩa bi các Không gian Orlicz-Soboler A2540) và 2240)

1⁄5 Nghiệm yếu

inh nghia 1.5.1 (Nghiêm yếu) Cho F © L¥ (9) và hai toán rử 4A, B thỏa mãn điều

kiện 6) Hàm u € VÀ “(Q) được gọi là nghiên yếu của bài toán (Ï} nấu công thức biển phân

[ Aevn wete=— fate.) ote đứng với mọi hàm thử € Cÿ (9)

B6 dB 15.1 Cho F € L (2); hai ton tt A,B théa man digw kién ) và € HẠ (0)

là nghiệm yếu của bài toán (I) Khi dé, cong tite bién phan sau

[evo vets = fate.) Tote

“đúng vái mọi hàm thử € WWJ “(@)

1.6 Toán tử cực đại cấp phân số

lịnh nghĩa 1.6.1 (Toán từ cực dại cấp phân số) Với mổi a € 0.rj, tự định nghĩa toán

tử cục đại cắp phân số M, là toán tử được xác định bởi:

bị chăn của toán từ cực dại cấp phân số) Cho s > 1 và a €

= C(n,a) > 0 sao chờ vấi mọi ƒ € L*(R*), ta có lệnh để 1.6.1 (Tí

Bely) M4 € sy > Br} COM Bly) C Byly) {2 € 2 sty > Br} wong 6-2 = (21,9)

Bổ đề 1.7.1 Cho € là miễn thỏa điều kiện (8,ra)-Reifenberg với ä e (0, 1 và

HA NHA chan cán «c69

ea "<0

148 Điều kiện (3,;u)-BMO

thỏa mãn điều kiện

“Trong khóa luận này, a giả sử rằng toán tử trong bài toái

(6,ru)-BMO, được định nghĩa như

"Định nghĩa L8.1 ((T7), Định nghĩa 1.1) Cho đ,rọ > 0 .A EP x RY + RY duoe gọi

là thỏa mãn điều kiên (Š.ra)-BMO nêu

= cw f Stamnes

trong đó

(A By) (x) = súp \Atz.0) - Asin (6)] se lo ICP Tlogfe + |(l)

và Âm, (6) Ha tich phan trung bình của AI, €) trên quả câu B,(y), nghĩa là:

1.9 Hàm phân phối

“Định nghĩa 1.9.1 (Hàm phân phối) Cho 0 là tập mỏ, bị chặn trong Rẻ", K CRY va

hàm Ƒ đo được trên 9 Ham phan phéi dy + (0,00) —+ ÍD,se) của ƒ được định nghĩa

hổi dang %Íà) = (€9: |/2)|>ÄJI, A>0 a6

và hàm phân phối dia phuong dj(K,») của ƒ trên tập K được định nghĩa bỏi

Trong trường hợp Q C K, rõ rằng d/(Ä) = dy(O 9

1.10 Một số bất đẳng thức cơ bản

"Bổ để 1.10.1 (Bất đẳng thức Young) Chơ 1 < r.s < + thỏa mãn > + t= 1 Khí đó,

bắt đẳng thức

Inb| < +la|" + +#|ll"

đứng với moi abe R và + > 0

Bổ để 1.10.2 Cho a,b Id edie số thực khong dm vit > 0, ta 06:

Blot 4H) < (a+B) < a"+Đ,— nếu <1 <1

¬ ắ

Đánh giá s so sánh với nghiệm phương trình thuần nhất

“Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số ính chất đặc trưng của hàm # được định nghĩa bởi Ö) và một số dạng của bắt đẳng thức Young, Trên cơ số đó, nghiệm cũa phương tình thuần nhất và đánh giá toàn cục; dông thời đưa ra bất đẳng thie Reverse Hilder,

2.1 Một số tính chất của hàm ? va ham 7°

"Nhắc lạ, với p (1,3), hầm 2€ :0,s) => (0,00) và hàm 4É :[0,s<) — 0,5) lần Mượt được xác định bởi

Hla) = 2? log(e + 2) z>u, vị ‘ a

“Khoá luận tắt nghiệp

`Vây / không giảm trên 0,ac) Mặt khác, £ > 0 nên

J0) > /(0) = ó — 1 > 0 hay logle + 6) < ólosfc + 9,

Từ đó, suy rà (2!) — 0 log(e + ot) < ó2 MP log(e + 0) = oH)

"01 Thất vây, do = € (0,1) nén ta 66

“Tiếp theo, ta sẽ chứng minh #4(zt) < ="

= CMP logle + ct) < ot logle +t) = PHI)

seen (cs) 490 (oh) st rete

6 Dop> nent mis >¢> Ota

` ray HO, 6) <0 HO 9,97 > 1 Dod

ding vii moi s > 0,t> 0