Phương pháp thế vị lớp cho bài toán biên với dữ liệu lp

Tao Gin day, Shen [J] đã nghiên cứu thành công bài tosn Neumann cho hệ phương trình trên miễn Lipschitz với toán tử =din4V Do đó, khóa luận này này hướng đồn việc cải tiến kết quả của [6

KHOA TOÁN - TIN HỌC

0

Khóa luận tốt nghiệp PHƯƠNG PHÁP THE VỊ LỚP CHO BÀI TOÁN BIÊN VỚI DỮ LIỆU 1”

Họ và tên: Nguyễn Đức Trung MSSV: 46.01.101.181 GVHD: TS Nguyễn Ngọc Trọng TPHCM, Tháng 5, 2024

Lời nói đầu

“Trong những năm qua, bài toán giá trị biên cho phương trình đạo hàm riêng vẫn liên đầu vào không liên tuc Vorchota R] đã nghiên cứu bài toán Neumann và bai ton Dirichlet tren mién Lipschitz cho toan tit Laplace, Tié

‘ii md rộng thành công cho bài toán Ne

Schrodinger ~A + V với V e RH Tao

Gin day, Shen [J] đã nghiên cứu thành công bài tosn Neumann cho hệ phương trình trên miễn Lipschitz với toán tử =din(4V)

Do đó, khóa luận này này hướng đồn việc cải tiến kết quả của [6] cho toán tử loại Schrodinger -di(4V) + W' với biên Neumann trên miền Lipschitz bi chan

'B6 cue khóa luận sẽ lần lượt trình bày về tính giải được của bài toán và đánh giá chính quy cho nghiệm của bài toán được đưa ra Trước khi đi vào chỉ tiết nối dụng, ta khái quát sơ hược bài toán cần giải quyết cùng mot số giải thích và thống nhất về mặt ký hiệu trong các phần sau của khóa luận

cho miền Lipschitz bi chan và £ c R® với n> 3 Thé ning V € Rll: nghia la tan tai Cy

và F^(G) là nón bên ngoài 0,

TT (Ø) ={X €R"\9:|X = đ|< 28(X)}

‘trong 6, 5(X) la kí hiện cho khoảng cách tit X đến biên 9 Trong bài, nếu ta không cần làm xõ nón phía trong hay phía ngoài @ thì kí hiệu T(Q) := T*(Q) hiên (p,g} là tích vô hướng giữa hai vecto p,q va efing có thể được ký hiểu là

và + là hệ số Lipschitz của biên

“Trong suốt khóa luận, A = (ø,,) là ma trận hằng cấp n x n, đối xứng, bị chăn

và cliptie đều Nghĩa là

vụ = đu; 3À € (0,1]sao cho A|g# » voi moi €€ R"

“Tà nói (AVu,7) = 9 tren OM theo nghĩa

(AVu,0) = g trên a0

Hon nita, ta có đánh giá chính quy sau,

ISett4e+ [ao 2V(X)#Sm[V, X)" tá <C, [ tao

¡{>6 OP Sous Í voy <i}

Khoa Tos ~ Tin how ñ ‘Trung Doi hie Sw Pham TPHCM tới mỗi s € [0,1], trong dé

m{W, )

Bồ cục của khóa luận được sắp xếp như sau: Chương đầu tiên, ta sẽ giới thiêu một số kết quả quan trọng, đặc biệt là bất đẳng thức Harnack yêu và đánh giá nghiệm cơ bản của toán tử =die(4V) + V, Chương thứ at, ta

lữ liêu #2 và đưa ra đánh giá chính quy nghiêm trong

ẽ xết tính giải

TTa lưu ý rằng C là hằng số đương và có thể khác nhau trên Lừng đồng, nó

là những điểm thuộc 9 hoặc R", trong khi đó Q và P là những đi

Chuong 1

Một số kết quả quan trọng cho toán tử -~d¡s(AV)+V

“rong chướng này ta sẽ giới thiêu một số định

Trong đó nổi bật là Bắt đẳng thức Harack yếu

toán tử =di(AV) + V

fa vA tính chất quan trọng nghiệm cơ bản của

Dinh ly 1 (Bổ đồ 1.11 trong f}) Cho we CHR) Thi

(XV VOXDAX, m(V: Ä)#4X < ef, Volta +

1.2 Một số bất đẳng thức cho nghiệm Dinh lý 1.4 (Bổ dé 23 trong fll) Cho u € W)2(8(Xu,2H)) đà nghiệm của

—din[AVu) + Vụ =0 trên B(Xo,2R) Cho 7 € (0,1) thà tần tas ing số C > 0 chỉ phụ thuộc rào n về À sao cho

Foosem 2 YW SS fy es

Định lý 1.5 (Dinh ly 6.1 trong BI) Cho @ là miễn Lipschitz bi chan trong R®

tồi moi we WI4(0)

Dinh Iy 1.6 Cho Xo ¢H, R>0, VE Rie và là nghiệm cia —div(ATa) +

Vu =0 trong 2(Xo,2R) AM Gid sử (Vu)" € 12(Z(Xu,3B) n8) tà (AVu, 0) =0 Z(Xu,3R) n0 Khi đó, tạ có đánh giá

Lay ø € C>(B(Xu, 3#) và Ð = D(Xo, 3Š) Theo công thức tích phân timg phan’ Java SdeuzÐMX = Í I(AN»)7] sa gtd esama Vuj4X

== | tained <0 D Suy ra

ƒ |(AVw)(Veu)] | (AVu) Vợ] unre $0

Bây giờ, ta chéo hóa ma trận A Do A đối xứng nên ta có thể viết:

“Theo tính chất eliptic đều, ta có:

All < [vEp|` = (VEP) (VEPc)

(A9 £

<A-'g?

“Kon Tuần ~ Tin how 5 Trường Đại học Sư Phạm TPHCM

Khi đó

a [iw ower Pax < [Í [vEPviewe)] fax

< | [(veeve) ou] ext f deiverax Vay

fistowertax > <x f otvepax >

Mặc khác, do phép nbiing Sobolev véi sé mit Sobolev p* =

(mse)? <e (fru [oes Theo Dinh Wy [EH] toes

aw wisc(L fi, wea)

wisn) AR" Joga

Chứng minh được hoàn thành n

Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Harnack yếu) Cho Ư€ RL Xụ € Ö, R >0

tà —ie(.AVu) + Vụ = 0 trong Z2(Xq,2R)NQ Gid sit (Vu) € L2(Z(Xp, 2K) AQ)

tà (AVu,0) = 0 trên Z(Xp,2R) 1AM Thi voi md

hang 6 Ci sao cho:

ding thie Fetferman-Phong, ta dp dung cho him up, ta có

f lbix.ì m(V,X)*u#4X -ƒ |bix,ì m(V, XP n4

<€ D(X.) 'V(ug) 4X + Œ DX.) lun Vax

1+ [X = Xolm(V,Xo) <1 + rm{V.Xo) < 2rm(V.Xo) với mọi X € DỤXu R)

Khi đó, (Vex) 2 Cim(V, Xo) „

ra an cnýŸ J Mit

“Kon Tuần ~ Tin how 8 Trường Đại học Sư Pham TPHOM

Biy id ta dat T(X,Y) là nghiệm cơ bản cũa toán từ =din(4Vu) trong RY Ti

[I], tà có bai đánh giá sau:

Hơn nữa với ‡ € Z,k > 0, tổn tài hằng số Cy sao cho: VX, }/ € R"

Định lý 1.8 Tin tai C > 0 sao cho wdi X.Y ER" va Y1< aby te 08

T(X,Y) TY) = -f To(X,Z)V(Z)T(Z,Y)dZ hà

Có dinh Xo, ¥) € R" sao cho [Xo ~ Yá| < aT Ta có

IPC%o, Yo) = Polo, Ya}

trong đó, r» = [Xo — Yal

Xét 6 tg, 9 = |Xo~ Ya oe Z\+|2-Yol < B+|Z-Yo| nen # < |Z-Yo)

Do |Z - Xol < $< en m(V,Z) ~ m{V,Xo) Khi a6,

Khoo Tain ~ Tin hoo 10 Trưởng Đại học Sự Phạm TPHCM

{1+ [Xp — Z|am(V, Xa)}Ê < Œ {L+ |Z

“Kon Tuần ~ Tin how LL Thưởng Đại học 8í Pham TPHCM

Khi n — 3, ta suy mm tic ching minh của định lý tr

thì If(X.Y)— Ry(X.Y)| < Cm(V X), , nếu |X = Y| < bay IVxT(X,Y) — VxTa(X,Y)| < Cm(, X)# lo; e

ÏX=Yimrx) Khin=4, tá có

IP(X,Y) = Tạ(X,Y)| < Cm(V, X)?log 5iX=TimW,X] € Định lý 1.10 Chớ / € 12(09), 1< <e tà»(X) = S/(X) = fo MX.Q).QMO NER" Ki dé ta cb

W(Vuy" Lean) < Cllflleriay

Ching minh Ching minh theo timg dong trong [3] u

“Khoa Toán - Tần học 12 Trưởng Đại học Sự Phạm TPHCM

Chương 2

Sự tồn tại nghiệm và đánh

giá chính quy với dữ liệu 1ˆ

lý thuyết Fredholm va mot s6 tinh chất của tích phân

ói dữ liêu LẺ, Sau đó, bằng cách xây,

á chính quy nghiệm trong trường toán với dữ liệu 12/29)

Bổ đề 2.1 Với các giải thiết như trong Định lý tú có

IX - Pl < 205) và IX PLS a V) và |X—PI<—L—,

“Tà có:

xa vụ, (PP) AVS-agacisv(/)5))

lite, MP AWE-suaerevVX) = AVS-ae(ae()09))

+ (FIP) AVS guise (IV)

¬ yyy CPD APS ancavyer NIX) ~ AVS,

+§

-án(av(/)(X)) 1+ ao) UI(P)

‘Ta chứng mình

= (Rfamaeer= Tae) (009

“Theo Định lý [1.8] với |X = Y| < ta có

IVyT(X.Y) = VyR(X,V)| < CEE TỦ, món n >3

“Kon Tuần ~ Tin how Trường Đại học Sư Phạm TPHCM

Ly P € 09 e6 định và X € 2 sao cho: |X — P| < 28(X) và [X — P| < aby Khi

TW lap luân trên kết hợp với

"` ae

= (AVT(P,Q) ~ AVTU(P,Q),7(P)) 1Q) Theo định lý hội tụ bị chăn ta được kết quả

Nhu, Í,,(4ST0X,) = AVTi(X.Q),/00) QMO a

= (Tae = K*asav,) UP)

(AVu,Ø) = 21 + ÑY quay)

Bi di yếu, nếu lần tại 0 < ä < œ— 1 sao cho nhân thốn mãn

Định lý 2.8 (Dịnh lý 3.4 trong (7)

1/(20) là compact

Từ Dịnh nghĩa 22]và Định lý BA) ta 66 Ky casper ~ Kanan)

6 (1.x) I toa tt compact Vay

(AHA (0) = „2l, „ 149601),709) = (~} + Kasey) LP) Gia sit (u # K2ycapjav) (DUP) = 0, hấu khấp nơi P € Ø9 Theo công thức tích phân từng phẩn, ta có:

Suy ra, Yu = 6 trong R"\9 Vi

2 1 = Ka apysv) (UP) = 0h Kd noi P € 39, Vậy Đ + K*q acc | £20) > 12(09) là một đơn ánh,

Đổ đề 2.5 Cho k > 0 là số nguyên tày ý, tồn tại hằng số Cy không phu thuộc vio X.Y nà dưỡng kink mién 9 sno cho

‘Ta c6 v € W2(Q) va v Ia nghiệm của phương trình sau div(AVo) + Vv J trong 2

» [averse - foe (ave nase fv [oe

oa fivers [vies [os

Khoa Tos ~ Tin how 20 Trường Đại hye Su Pham TPHCM

“Trường hợp 2: vụ = [Xu = Yol ~ siểXỹ —

Lin nữa tà đặt s(X) = fo X(X,Y)JIYJ4Y Trong đó: / € C (RP) và suypƒ C {V € 0: ÿ < |Ý — Xi| < 2n}

Bi Maou Lana! Css!) lena)

Bây giờ, ta chứng mình đánh giá chính quy trong Định lý

Định lý 2.6 Với giá đhết giống như Định ty, Ta od

DI We)" exon) $ Cla aaer

2» [rvema.aytax sc, faa, I lon

Vs [0.2], Cc là hằng số không phụ thuộc vio w va 2

Chứng mảnh Ta có

UVa" Haseny $C | FPF agama o| sells : ) a hem

sol (jr K*quaesr} | Halen

< Clo er

Trung Dei hoe Se Pham TPHCM

‘Theo dénh gia ham Neumann V(X,¥) va bit ding thức Holder, ta có: [ JX(@,X)dg <

Kết luận

Voi những ứng dụng quan trọng trong vật lý cơ học lượng tử, trong y học và

không trơn luôn

nhân được nhiều sự quan tâm và phát triển không ngừng, Ở khóa luận này

chúng tôi chưa phát triển tính duy nhất nghiêm cho bài toán Chính và lý do đó, hướng phát triể tiếp theo cho bài toán này đó là ta sẽ tìm điền kiên thích hợp phương pháp thể vị lớp này cho các toán tử tuyển tính khác, thâm chí có thể khá phổ biến trong toán học những năm sẵn dây Sau cùng, xin gi lời cảm ơn đốn giảng viên hướng dẫn, thấy TS Nguyễn

các ngành khoa học nói chung, Bài toán giá trị biên với dữ

Ngọc Trong đã hỗ trợ giúp tôi hoàn thành khóa luận này Trân trọng cảm ơn,

“Trường Đại học Sư Phạm TPHCM đã giúp tôi có điều kiện thực hiện khóa luân còn những lỗi sai sốt, tắt mong nhận được sự thông cảm và góp ý chân thành

từ người đọc,

Tài liệu tham khảo

Kurata, K and Sugano, S., A Remark on Estimates for Uniformly Elliptic Operators on Weighted Lp Spaces and Morrey Spaces; Math, Nackr 209 (2000), 137 - 150

Lanzani, L and Shen, Z., On the Robin Boundary Condition for Laplaces tion, Vol 29, Nos.1 and 2, pp.91-109, (2004),

Shen, Z, On the Neumann problem for Schrodinger operators in Lipschitz domains; Indiana Univ.Math, J (1) 43(1994), 13 174 Shen, Z., The 1# boundary value problems on Lipschitz domains; Advances

Verchota, G.C., Layer potentials and regularity for the Dizichlet problem for Laplace’s equation on Lipschitz domains J Funct Anal, 59, 572-611 (1984)