Phương pháp toán tử và phép biến Đổi laplace cho bài toán exciton Âm hai chiều

phương thức chuyển giao kết quả nghiền cứu và khả năng áp dụ: {quia thu được là một trong những ứng dụng ey thé của phương pháp toán tử EK để giải phương trình Schrodinger ch các bãi to

3U, LX¿X

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

‘TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHI MINH

BAO CAO TONG KET

DE TAI KHOA HỌC & CONG NGHE CAP CO SO PHUONG PHAP TOAN TU VA PHEP BIEN DOI LAPLACE CHO BAI TOAN EXCITON AM HAI CHIEU

Mã số: CS2011.19.51

Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài 'Chủ nhiệm đề tài

‘TRUONG KHOA VẬT LÝ

1

‘TS Nguyén Manh Hing _ Th$ Hoàng Đỗ Ngọc Trim

THƯ VIÊN ng lam _|

TE_HO-CHI-MINH

'TP Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2012

Hộ và tên Đơn vị công tác Nhiệm vụ,

Hoàng ĐỗNgọc Tràm — | Thường Đạihọc SưphamTP HCM Chủnhiệm

2 | NguyễnVinhKhương | Trường DạihọcSưphạmTP.HCM | Thurky khoa hoc

Học viên cao học - Trưởng ĐH

3 | LeQy Ging Khoa học tự nhiền Tp HCM Thành viên

| vier học - Trường ĐH

4 | Nguyễn Thi Man aol Khoa học tự nhiên, Tp HCM “Thành viên

ĐƠN VỊ PHÓI HỢP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Khoa Vật lý, Trường đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh

Mục lục

THONG TIN KET QUA NGHIÊN CỦU A PHAN: MO BAU 0 8

3.1 Nội dung nghiên cứu "Ị

31 Phương php toán ử PK và sự theo tham 6 0 eae 3.1.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ nguyên tử hai chiễu 21

2.1.3 Ap dung FK-OM cho bài toán exeiton âm hai chiều 25 3.2 Kết quả nghiên cứu coal 2.2.1 Kết quả công bổ 38

2 Két qui dio t90 ——-

PHAN III: KET LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ, ecee

TẢI LIỆU THAM KHẢO

‘TRUONG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM

Tp HCM, ngập 10 thẳng 11 năm 2012 THONG TIN KẾT QUÁ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chị

~_Tên đề ti: Phương pháp toán tử vả phép biển đối Laplace cho bải toản exciton

âm hai chiều

~ Masổ: CS2011.1951

~_ Chủ nhiệm để tài: Thể Hoàng Đỗ Ngọc Tem

—_Cơ quan chủ tì: Kboa Vật ý - Trường Dại học Sư phạm TP Hỗ Chí Minh

~ Thời gian thực hiện: 24 tháng từ thắng 06 năm 201 1 đến tháng 06 năm 3012 3 Mục tiên: (0) phát triển phương pháp toán tứ: sử dụng phép biển đổi Laplace dé đưa phương trình Schrödingcr về dạng phù hợp cho các tỉnh toàn đại sổ, xác định điều kiện tim nghiệm số chính xắc cho bãi tản exciton ấm bai hiểu

"de kết quả thụ được có ý nghĩa khoa học và mới

~ Điều kiện chọn tham số ự do để ông tốc độ bội tụ của phương pháp toán tứ FK:

~ Nghiệm số chính xắc cho bã toần ecci

& Sản phẩm: Công bổ 01 bải bảo khoa học:

~ Hoàng Đỗ Ngọc Trầm Lê Văn Hoàng, Tham số tự do với sự hội tụ của phương pháp

saản ne EK, Tạp chí Khoa học ĐH Sư phạm TP, HCM, số 33 (Khoa học và Công

‘nghé), 2012, 94-106, ISSN- 1359-3100

—_ Sản phẩm đảo tạo: 03 luận văn dại học bảo vệ thẳnh công,

gu quả phương thức chuyển giao kết quả nghiền cứu và khả năng áp dụ:

{quia thu được là một trong những ứng dụng ey thé của phương pháp toán tử EK để giải

phương trình Schrodinger ch các bãi toán hệ nguyễn tử, đấy là một trong những bước gian cho nguyên tử, phân tử trong trường điện của xung laser siêu ngẫn được sử dụng, đây

tì “Chủ nhiệm để tài ILS (

“ThS Hoàng Đỗ Ngọc Trim

Xác nhận cua co quan ct

TRUONG KHOA VAT LY

TS Nguyễn Mạnh Hùng

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

‘Project title: OPERATOR METHOD AND LAPLACE TRANSFORMATION FOR

‘THE PROBLEM OF A NEGATIVELY CHARGED EXCITON IN A TWO- DIMENSIONAL SEMICONDUCTOR

~ Code number: CS2011.19.51

’ Principle Investigator: M Sci Hoang Do Ngoc Tram

«, Institution: Physies Department - Ho Chi Minh City University of Pedagogy

«4, Duration: 24 months from June 2011 to June 2012

‘Objective(s): (i) to develop operator method: using Laplace transformation to obtain determine a universal criterion for optimal choosing the value of a free parameter in

‘order to inerease convergent rate of the method; (i) to apply the method to finding exact numerical solution for a negatively charged exciton in 2 two-dimensional semiconductor system

3 Creativeness and innovativeness: The obtained results have scientific significance and are original

4 Research results:

— Determining @ universal criterion for optimal choosing the value ofa free parameter inorder to increase convergent rate ofthe method:

= Obtaining basic set of wavefunctions, expressions and schemes for calculating

‘energies and wavefunctions for ground state and arbitrary excited states of the

‘negatively charged exciton in a two-dimentional semiconductor,

— Obtaining exact numerical solutions (energies and wavefunctions) for the case of

‘ero angular momentum of the negatively charged exciton in a two-dimentional semiconductor

5S Products: 01 journal articles:

convergence rate of the FK operator method, 3 Sei HCMC UP 33 (Nat Se, &

Approval Principle Investigator

of the Implementing Institution

Dean of Physics Department Als

Dr Nguyen Manh Hung M Sei Hoang Do Ngọc Tram

Cũng với các thành tựu trong Vật lý thực nghiệm, các hệ lượng tử được xét đến

xây dựng các phương pháp phi nhiều

‘quan lâm của các nhà Vật lý trong những năm trở

rất lớn của nô trong việc chế lạo ra các vật liệu mới cũng như các hị

xuất hiện khi số chiều giảm đi [8] Kỹ thuật

MBE (Molecular Beam Epitaxy), MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor

Deposition) cho phép tạo ra các cấu tric thip chiéu khác nhau trong đỏ các hệ đối phổ biển (9| Các nghiên cửu thực nghiệm cho thấy trong các hệ này tổn tại cấu trúc cỏ trang thải liễn két (bound state) gida điện tử và lỗ trống gọi là exeilon Tủy theo phương thức kết hợp giữa điện tử và lỗ trống sẽ tạo thảnh các

kết giữa một điện tử và một lỗ trồng sẽ

dạng exciton khác nhau; khi có sự li

tạo thành exciton trung hòa (e+# —> +), giữa hai điện tử vả một lỗ trong thi tao

exellon dương (e+38 ~sA *} T10 HH]: Mặc đủ đã được tim thấy từ rất lâu cả trong lý thuyết [13, 13] lẫn thực nghiệm (xem [10] và các công trình trích dẫn trong đó), các nghiên cửu về exciton vẫn mang tính thời sự do liên quan đến

nhiễu hiệu ứng Vật lý mới vả thú vị [14-17] Việc nghiên cứu các tính chất

quang, điện của exci n, năng lượng liên kết ela exciton dưới tác động cũa

trường ngoài được nhiều nhóm quan tâm vì góp phần lảm rồ hơn các tính chất

của các chất bản dẫn - một vật liệu quan trong trong công nghệ vật liệu Phổ cđộ chính xắc ngây cảng cao

Việc giải phương trình Schrédinger dé ti

đã được nhiều nhóm nghiên cứu thực

phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp biển phần cũng một số phương

phổ năng lượng cho exciton

1 Đối vai exciton trang hia,

pháp số khác đã được sử dụng để tỉnh năng lượng trong trường hợp từ trường yếu và mạnh, đối với vùng tử trường trung bình được tính bằng các phương

phương trình vĩ phân đạo hàm riêng

(xem [18,19] và các công trình trích dẫn trong đó); một số phương pháp giải số

cho độ chính xác cao cũng được sử dụng trong khoảng 10 năm trở lại đây như

phương pháp biển phân kết hợp với phân tích theo chuỗi 1/N [20], phương pháp

ý thuyết nhiễu loạn có tính tới tiệm cận hảm sóng [21], cá hai cho các kết quả pháp ngoại suy cũng như bằng tính số

chính xác đến 7 chữ sẻ thập phân cho trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích bậc thấp Đồi với bải toán exeiton âm, phức tạp hơn rất nhiễu, một số

nhôm đã ti lời gi gi ích và nghiệm sổ 2-26] chủ yêu cho vũng từ trưởng mạnh và yếu Trong các nghiên cửu trước [I.2 ], nhỏm chủng tôi cũng đã áp đụng phương pháp toán tử để giải tìm nghiệm s

cho trạng thái cơ bản và các trạng thất kích thích lên đến n=50 trong toàn miễn cho bài toán exeiton trung hòa.

bước phát triển của phương pháp khi áp dụng cho các hệ nguyễn tử hai chiều,

Me tiêu của để ải này là áp dụng phương pháp toán tử để tìm nghiệm số chính xác cho phương trình Schrodinger cua exciton dm hai chigu Điểm khác biệt của để ải này so với các công nh trước đây Khong phat chí ở bải toán sẽ xét, mã quan trọng hơn là ở cơ sở phương pháp luận Phương

bao gim bổn bước cơ bản: (1) - Biểu diễn toán tử Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy: pháp toán tử có một quy trình chung để giải các bài toán khác nhai x.p)~>H(œ.a'.@): (2) ~ Tách từ Hamihonian ra thành phẩn trung hỏa:

H(a,a" de) = H2(a`a.@)+If(a,a*.@) ; (3) - Chọn tham số ø sao cho H,(a'a.@)

là thành phần chính cia Hamiltonian va tir diy ta cỏ nghiệm riếng của

1,(a°a.œ) là năng lượng gần đúng bậc zero; (4) - Xem I'(ø.ø".) là thành

phản nhiễu loạn vả tỉnh các bổ chính bậc cao theo các sơ đỗ thích hợp Tuy nhiên, khi áp dụng cho các bãi toán cụ thể về hệ nguyên tử, phần tử cần pi lưu ý những đặc điểm riêng: phương trinh Schrodinger chita phin toa d ở mẫu

xổ kín để đưa các toán tử về dạng “chuẩn” thuận lợi cho các tỉnh toán đại số;

tiệc š3ÿ dịng bộ hàn 3ăng cơ sở pHù hợp Giải quyếi được các vận này là môi bước quan trọng để mở rộng phương pháp toán tử cho các bài toán về hệ bao gốm 3 phần: (1) trình bày các bước cơ bản của phương pháp toán tử và

khảo sát về sự hội tụ của phương pháp toán tử theo tham số tự do thông qua bải

toán dao động tử phi điều hòa một chiễu, đồng thời cũng đễ xuất một tiêu chỉ để

‘chon được giá trị tôi tu của tham số này; (2) trinh bảy các đặc điểm của phương

pháp khi áp dụng cho các hệ nguyên tử, phân tử và cách thức gi tuyết những khỏ khăn đó; (3) phương pháp toán từ được áp dụng cụ thé cho bai toan exciton nhỏm khác |25 26]

2.1 NOL DUNG NGHIEN CUU

3.1.1.1 Phương pháp toản tie FK [4, 5]

“Trong phần nảy, chúng tôi giới thiệu bổn bước cơ ban của phương pháp toán

tử FK giải phương trình Sehrödinger thông qua bài toán đao động tử phi điều hỏa

trong đó hệ số phí điều hoa Ä >0 Ở đây, ta sử dụng hệ đơn vị không thứ nguyên

Ta viết lại toán tử Hamillon (3) trong biểu điễn toán tử sinh hủy như sau:

phương pháp lý thuyết nhiễu loạn: tách Hamiltonian thành hai thành phần: phản

xác và phin "nhiễu loạn" *(2',á,4.o)

“Tuy nhiên, khác với li thuyết nhiễu loạn là việc phân chia phan chinh vả phan nhiễu

ngoài, việc phân chia trong phương pháp toán từ chỉ thuần tay dựa vào hình thức vậLli khác nhau

Với cách phân chia như vậy trường ngoài 4 được phân bố cả trong phản

chính lẫn phẫn nhiễu loạn Ngoài ra ta có tham s6 a, được gọi là tự do vì không có

toán tử /l (ã*á,4,@} Toán tử nảy giao hoán với toán tử ä =ả'ả nên nghiệm

riêng có dạng là hàm sóng của dao động tử điều hòa

12

© diy ta đã sử dụng kỷ hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó các nghiệm (vaeuum) |0) được xác định bằng các phương trình:

Khi cần thiết chủng ta cỏ thể sử dụng phương trình này để xác định dạng tường

mình của hàm sông, tuy nhiễn chủng ta cỏ thể tinh toán thuần túy đại số bằng cách

sử dụng hệ thức giao hoàn (2) va phương trình (8)

Ta thay năng lượng gần đúng bậc zero (9) phụ thuộc vào tham số tự do ø Việc

chọn giá trị nào cho tham sổ này được thảo luận trong các công trình [27-30] Cụ thé cho gin đúng bậc Zero tham số được tỉnh từ phương trình:

q0)

Phương tình (10) không phải xuất phảt từ nguyên lí biển phân, mã lừ ý nghĩa

là năng lượng chính xác của bải toán không phụ thuộc giả trị của tham số tự do, vỉ vậy điều kiện này được sử dụng cho cả trạng thải cơ bản lẫn trạng thái kích thích

Mac dit diéu kiện này với một số bài toán cho kết quả gần đúng bậc zero tương đối

chính xác, thêm nữa sai số không thay đổi đáng kể trong toàn miễn thay đổi tham số

trường ngoài nhưng lại không cho tốc độ hội tụ cao nhất khi tinh nghiệm chính xác

Với ác bài toán hệ nguyên tử mã chứng tôi đang nghiễn cứu, miễn tham số tỗi ưu cho sự hội tụ vẻ nghiệm chính xác rắt hẹp vả với các trạng thái kích thích thì miền.

thảo luận và đưa ra phương trình mới tổng quát để tìm tham số tự do nảy

« Bước bốn Tỉnh các bổ chính bậc cao dé thu được nghiệm số chính xác bằng các

sơ đồ thích hợp, Ở đây có thể sử dụng sơ đỗ lí thuyết nhiễu loạn Tuy nhiên, trong

nghiệm chính xác và về khối lượng tỉnh toán Ta sẽ nêu ý tưởng chính của sơ đỏ

‘Cie phan tir ma tran nay có thể tinh một cách dễ dàng bằng các biến đổi thuần đại

sổ nhờ các công thức (2), (8) Để tiện trong tính toán ta đưa ra hai công thức sau:

2.1.1.2 Su hi tu cia phucong pháp toán tử PK theo tham số tự do

a Nghiệm chính xác bằng số

Sử dụng quy trình tính toán của FK-OM củng các công thức của các yếu tổ ma

trận đưa ra đối với dao động tử phi điều hỏa trong phần trên, về nguyên tắc có thé xây dựng chương trình QAO_FKOM IT để tính nghiệm chính xác đến 15 chữ số sau dẫu phẩy cho trường hợp hệ số phi điều hỏa A bit ki, được kiểm tra cho đến gid

trị Ä=100 Chương trình làm việc cho trạng thái kích thích lên đến ø=50 Trong

bảng | đưa ra một số giá tri minh hoa cho trạng thái cơ bản ứng với các giả trị Ä'

nhồ, trung bình và lớn Tương tự, bằng 2 minh họa cho trường hợp trạng thái kích

chỉ đưa ra minh họa vải hệ số đầu tiên) Như vậy, ta thấy phương pháp toán tir FK

cho ta nghiệm chính xác bằng số với giá trị tham số nhiễu loạn bat i

b Sự phụ thưộc tắc độ hội tụ vào tham số tự do

Để thu được các kết quả chỉ ra trong các bảng 1 và 2, tham số tự đo @ duge

“chọn bằng phương trình (10) tuy nhiên ta cũng có thể chọn bằng cách thử nghiệm sao cho nghiệm thu được theo từng vòng lặp

15

hội tụ nhanh nhất về nghiệm chỉnh xác Ở đây ta thấy rằng với các giả trị @ khác

nhau thì chuỗi (17) sẽ khác nhau nhưng đều cũng hội tụ vẻ một giả trị Chính vi vậy

độ hội tụ phụ thuộc vào tham số tự đo

Ta thay ring giá trị tham số ø khác nhau cho lốc độ hỏi tụ khác nhau Mặc

dù, bảng 3 chỉ đưa ra các số liệu cho trạng thái cơ bản, nhưng ta có kết quả tương tự

xi các trang thái kích thích và Với miễn thấy đối lớn giã tì

Thử nghiệm với các ø khác nhau ta thấy có một miễn giả trị tỗi ưu cho tốc độ hội 4w nhanh nhất, Trên hình 1, biểu diễn tốc độ hội tụ phụ thuộc vào tham số tự do ứng

với trường hợp Ä nhỏ (a) và lớn (b) Trục hoành là giá trị ¿2 trong khi trục tung chỉ bậc vòng lập (s) khi năng lượng thu được chính xác đến 15 chữ số sau dấu phẩy

6 phi nhiéu loạn 2

Gia tri (s) cng nho, te 45 hi

tốc độ hội tụ sơ đổ nhiễu loạn vào chọn lựa tham sở tư do, lúc này (s) là bậc bỏ

chỉnh nhiều loạn để có giá trị năng lượng chính xác đến 1Š chữ số sau dẫu phảy Ta

sơ đỗ vòng lập có tốc độ hội tụ cao hơn sơ đỗ nhiễu loạn Hình 2 cho sự phụ thuộc

tốc độ hội tụ vào tham số tự do không những cho trạng thái cơ bản mà cả cho trang

© Điều kiện để chọn tham số tự do tối ưu

"Như vậy, ta đã thấy được sự tồn tại miền tham số tự do tối ưu Việc xác định

miề

này rất quan trong trong việc áp dụng phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrodinger, dje biệt là cho các bài toán phức tạp như hệ nguyễn tử Chủng tôi xuất phát từ điều kiện lí thuyết nhiễu loạn:

mvs chen he totais A ahi, A=1.0 thụ được hằng phường

FR the xử đồ ng lập ứng ie hau ca thea do Cit a ie ath bed yc Ne tI or Oh toch eo antic ose 3

có nghiệm chính xác, Trong lí thuyết nhiễu loạn điều kiện nảy cũng chỉ mang tính

ước lẽ vì ta khng thẻ so sánh độ lớn hai toản tir mi chỉ có thé co dang gin ding

của điều kiện (IE), Chính vì vậy ta sẽ đựa vào (1E) dé định nghĩa một hàm số theo

Hình 3 vẽ hàm số (21) cho các bậc (s) khác nhau tir zero tăng dẫn Ta thấy

ham /(2) có miền cực tiểu theo biển số ø với giá trị hàm số nhỏ hơn l:

diy, ta không ký hiệu bie gin đúng (s) trên him số A(w) là do quan sit thấy đến một bậc gần đúng (s, ) nào đỏ miễn cực trị của hảm không thay đổi ding trường hợp ø=0 và ø =4) và tủy theo hệ số 4 lớn hay nhỏ mã s„ có các giá trí

Ta chon thang trên trực tung phù hợp cho bai hảm số ao cho có thể so sánh miễn

cực trị của nó Kết quả thu được như trên hình cho thay miễn tham số ø tối ưu phủ

ý nghĩa thực tiễn cho ta điều kiện để chọn tham số tự do tối ưu thay vì mò mắm thử nghiệm Chủng tôi đưa ra hai trường hợp cho trạng thai co ban (m= 0) va trang cho thấy điều kiện tim tham số tự do tổ ưu (20) mang tính phổ

2.1.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ nguyên tử hai chiều

“Trong phần trên, chúng tôi đã giới thiệu quy trình chung của FK-OM đẻ giải

phương trình Schrödinger cho các hệ Vật lý khác nhau; tuy nhiên, khi áp dụngo FK-

OM cho cic bai toan phức tạp hơn, vỉ dụ như các bải toán về hệ nguyên tứ, phân tử,

tủy thuộc hệ Vật lý cụ thể, cằn chủ ý một số điểm riêng như sau :

() Các biến động lực ở mẫu số: đỗi với các b

ao động tử phi điều hỏa nêu trên, toán tử Hamilton có dạng đa thức của các biến toán đơn giản như bải toán

động lực, khí chuyển về biểu diễn toắn từ sinh hủy th việc áp dụng OM để giải phương trình Schrddinger ắt để dàng; tuy nhiên, đối với các bài toán về nguyễn

phân tử thì các sổ hạng biểu điễn tương tác Coulomb đều chửa phần tọa độ ở phía

mẫu sổ, một sổ trường hợp các biển động lực này còn nim trong dau căn, gây khó

a

i Laplace Các phép binh phương tuyển tính [31] cụ thể là phép biển đổi Levi- CCivita đổi với các bài toán hai chiều, phép,

các bài toán ba chiều hay phép biển đổi Hurwitz đổi với các bài toán nhiều chiề

hơn, cho phép dưa các bãi toán đăng xét về dạng bài toán dao động tử phí hòa khá

Đồ đổ, trong đề tải ñâÿ sử đọng phếp biển đối Lapiet để đưa phần tọa độ rạ khối

mẫu số, khi đó vẫn áp dụng được phương pháp toán tử một cách hiệu quả mà không cần phải thông qua một biển hình thức nữa

(ii) Đưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn: Dạng chuẩn (normal) của một

biểu th toán tử được định nghĩa là dạng đã được biển đổi sao cho các loắn tử sinh luôn về phía bên trải và các toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu thức Trong, cho việc tính toán Thực vậy, khi biểu biển tắt cả trạng thải qua trạng thải cơ bản

‘chan không `: ä|0(@))

|0tø)) thí lợi dụng tính chất của trang thái

=(I+aé)o(Iea'a)(ioata)=tearariezaaea' airs

Tuy nhién, trong qua trin

inh toin, ngodi cac s6 hạng dạng da thức, chúng tối

thường gập các số hạng cỏ dạng hàm e mũ, việc vận dụng phép biển đổi như trên sẽ

gặp khó khăn do các toán tử sinh hủy trên mũ khi khái triển để đưa về dạng chuẩn

sẽ có bậc lày thừa rắt cao Vì vậy, trong trưởng hợp nảy, cản áp dụng phương pháp

một toán tử sinh với một toán tử hủy và một toán tử trung hòa (nêu có) sao cho ba

146 6 dạng của toán tử còn lại Khi đó, sử dụng các tính chất giao hoán tử kết hợp

với tỉnh chat eo ban của toán tử:

Vi dục cm

Vi ta 66 he thite giao hoán [ ả",ả ]= 1 nên tử đầy cắc toán tử á, ả` và số Ï tạo

thánh một đại số kín Như vậy ta có thé viết

elit eins =F), e

và tiễn hành tìm các hảm số /() gi/).h) theo các bước sau:

Bước một: Lấy đạo hàm hai về của (22) theo biển số f như sau:

Định nghia him nghich dao ciia F(1) ba F°"(e) sao cho F (i) F"(1)=1 tá có:

ˆ*t)=e te mày le (24) Nhân hai vé (23) cho “(9 va thu gon các số hạng ta được: HGR Pa Har re ae +8 (0) 25) 23

* sat f(n)[a.a}+—=4-s(0) Thay vio (25) ta 66:

(iii) ,Xây dựng bộ hàm sóng cơ số: đây là một trong những bước cơ bản khi sử dụng FK-OM, nghiệm chính xác của bải toán được biểu diễn qua bộ ham nảy vả các

của bài toán Việc xác định bộ hàm sóng cơ sở dựa trên ba yêu tí

(4) Nghiệm riêng

của phản chính A; theo tư tưởng của lý thuyết nhiễu loạn đã nói ở trên, bộ hảm

các thành phẫn trung hỏa ä = đ"đ, chính là Hamiltonian của đao động tử điều hỏa

chất vật lý của bãi toán, cụ thể ở đây ta xéttính đổi xứng của bài toán Ví dụ đổi với

hệ chuyển động tự do trong không gian ba chiều thì có tính đối xứng cầu, bình

phương moment động lượng qui dao £° là đại lượng bảo toàn; trong trường hợp hai mật phẳng chuyển động Oxy thì sẽ có tinh đổi xứng quanh trục Oz, khi đó hình xửng của hệ Vật lý, ta chọn bộ hàm sóng cơ sở đồng thời là hàm riêng của đại lượng

bảo toàn, trong trường hợp hai chiều là ổ, (ii) Biểu thức tường mính của Hamiltonian: dé sir dung được bộ him séng cơ sở khi tính toán các tác dụng để tìm các yêu tổ ma trận của Hamiltonian, một yêu cẳu cơ bản là các sổ hạng có mặt trong

nghĩa, với số trạng thái cũng hoặc khác,

2.1.3 Ap dung FK-OM cho bai toán exeiton âm hai chiều Phản trên đã nêu một số điểm lưu ý khi áp dung FK-OM cho cdc bai toan

hẻ nguyên tử, phân tử và các biện pháp giải quyết Phần này sẽ ap dung cy thẻ đẻ

giải phương trình Schrödinger cho exciton âm hai chu

2.1.3.1 Bibu diễn đại số +

Exciton âm bai chiều về cơ bản cũng tương tự như ion He gồm hai điện tử

và một lỗ trồng chuyển động trong không gian hai chiều Phương trình Schrödinger

cho exiton âm hai chiều khi sử dụng gần đúng Borh-Oppcnheimer có dạng như sau:

các chỉ số dùng để phân biệt hai điện tử, Z” là điện tích hiệu dụng của lỗ trồng;

phương trình này được viết dưới dạng không thứ nguyên, trong 46 dom vi độ dài là

'bán kinh Borh hiệu dụng ø, =8? / me”, đơn vị năng lượng theo hẳng số Rydberg hiệu

dụng R,—mjZ9/12

“Trong biểu thức (28) các số hạng tương tác chứa biển động lực ở mẫu số, ta sẽ:

sử dụng phép biển đổi Laplace để đưa các biển số này ra khỏi mẫu:

Tiếp theo, ta sẽ đưa Hamiltonian (30) về biểu diễn của các toán tử sinh hủy

hai chiều được định nghĩa như sau:

Để thuận tiện trong quả trình tính toán và đưa được các số hạng trong

Hamiltonan vé dang chuẩn, ta định nghĩa các toán tử mới như sau:

a}, +8, +0 +8

veo usar foolatat ool cath tea]

2.1.3.2 BG him sing cas

Sau khi đưa được Hamiltonian của bài toản về biểu điễn dại số dưới dạng

chuẩn, theo quy rình của FK-OM, ta đễ dàng tách toán tử này thành hai thành phần cho bài toán,

Như đã nổi ở tên việc xấy dựng bộ him sing cơ sở cưa trên ba yêu tổ: hảm riêng của phẩn chính 17°, dim bio tính đối xứng của bài hâm cơ sở đã đỉnh nghĩa Ta xét yêu tiên là sử dụng bộ hàm riêng của toán từ /7,, đó là hàm sống của dao động tử điều hoà hai chiêu

i ay" (acy (6! Inn) = eal )* (GY (ay (&Y" Joa): 36) với m.n,,m,.m,là các số nguyên không âm Trạng thái chân không |0(ø)) được định nghĩa là nghiệm của các phương trình:

(ø))=0, â,|0(@))=0, Â|0(@))=0, 6,|0(ø))=0 6)

với điều kiện chuẩn hóa:

‘Vda lễ thể bại khi Xây dựng bộ hắm sống cơ sẻ lễ xẻi đến tỉnh đổi xăng của

bai toán, Với bai toán ta đang xét, do các exciton chuyển động hai chiều trong mặt

phẳng Oxy nên có sự bảo toàn mỏ-men động lượng quỹ dạo theo trục 2; do đó, ta

Si Ti le này den liêu ti: đội số bổ Gng Mi

(40) (40)

| ) Tmmm YR)" YB)" lola)

#8 Kd ld, là: GE SỐ Nghiên không âu, trì dếng da Ï- là m=JtpSS 1à số nguyên, Tử đây ta có thể sử đụng (43) để xây dựng bộ hàm cơ sở cho bằi toán

đang xét với giá trị cố định ø Khi đó ta chỉ còn 3 số lượng tử thay đổi là ¿ côn chỉ số còn lại bây giờ là phụ thuộc /,= /, + /,— /; —m Bộ hàm cơ sở được viết lại như sau:

với các chỉ sé j,, /, là hai số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện /,+ j,>m: /;

tà SỐ nguyên không Em thỏa mãn điều kiện /, + /; —m 3 ƒ,

‘Ta c6 thé định nghĩa các số lượng tử một cách thuận tiện hơn như sau:

Với Hamiltonian trong biểu diễn đại của các toàn tứ (35) và bộ hảm sóng

cơ sở (44), ta để dàng xác định được các phần tử ma trận của tôan tử Hamillonian

‘ding để tim nghigm của bài tỏan trong các bước sau

Để thuận tiện hơn, ta kí hiệu:

Các phần tử ma trận nảy được tinh toán bằng các phép biển đổi thuần đại số dựa

ma trận khác không cho trường hợp mô-men động lượng quỷ đạo “r2 Ú là:

iad ss mh (ay nema] es oem= i)!

¬