1095 Phương pháp toán tử FK giải phương trình schrodinger cho nguyên tử hydro.docx

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Bùi Nguyễn Ngọc Thúy tgk PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO NGUYÊN TỬ HYDRO BÙI NGUYỄN NGỌC THÚY*, NGUYỄN ĐÌNH LUẬT**, NGUYỄN VĂN HOA***, CAO HỒ THANH XUÂN****, LÊ VĂN HỒNG***** TĨM TẮT Phương pháp tốn tử FK với phép biến đổi Laplace sử dụng cho toán nguyên tử hydro Các mức lượng tính xác số tới bậc tùy ý theo sơ đồ vịng lặp so sánh với kết xác Kết cho thấy triển vọng ứng dụng phương pháp toán tử FK cho toán hệ ngun tử Từ khóa: phương pháp tốn tử FK, phương trình Schrodinger, nguyên tử hydro ABSTRACT The FK operator method for solving Schrödinger equation of hydrogen atom The FK operator method is used with the Laplace transformation for solving the hydrogen atom problem Energy levels are calculated exactly by numbers with any given precisions after an iteration scheme and compared that allow us to obtain exact solutions These results unveil the prospect to apply the FK operator method to atomic systems Keywords: FK operator method, Schrodinger equation, hydrogen atom Mở đầu Bài tốn ngun tử hydro có lời giải xác nên mơ hình lí tưởng cho việc kiểm chứng hiệu phương pháp gần giải phương trình Schrưdinger [4, 7, 8] Kể từ năm 1970, có nhiều nghiên cứu với nhiều phương pháp khác sử dụng phương pháp biến phân [4], gần Hartree- Fock [8], giải trực tiếp phương trình Schrưdinger phương pháp số [7] cho nguyên tử hydro từ trường Phương pháp toán tử đưa vào năm 1982 nhóm giáo sư trường đại học Belarus [5] ứng dụng thành công cho nhóm rộng rãi tốn lí thuyết trường vật lí chất rắn, vật lí nguyên tử [6] Phương pháp tốn tử với tính tốn đại số xây dựng cho nhóm tốn vật lí ngun tử phương pháp có tính thời [1, 2] Do vậy, sử dụng toán nguyên tử hydro để kiểm nghiệm hiệu phương pháp tốn tử FK có ý nghĩa quan trọng cho việc vận dụng sau vào toán nguyên tử phức tạp * HVCH, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TPHCM HVCH, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TPHCM *** TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM **** ThS, Trường Cao đẳng Nông nghiệp Nam Bộ, thành phố Mỹ Tho, Tiền Giang ***** PGS TSKH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ** Một khó khăn vận dụng phương pháp tốn tử cho tốn ngun tử thành phần tương tác Coulomb có biến số nằm mẫu số Trong cơng trình [2], khó khăn giải cách sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel để đưa tốn khơng gian bốn chiều Tuy nhiên, phép biến đổi làm phát sinh khó khăn khác giải tốn, làm cho khó phát triển cho trạng thái kích thích phát triển cho tốn ngun tử nhiều điện tử Do đó, cơng trình chúng tơi sử dụng phép biến đổi Laplace để vượt qua khó khăn nêu vận dụng phương pháp toán tử FK Chúng tơi sử dụng sơ đồ vịng lặp để tính bổ bậc cao nhằm thu lời giải xác số Để minh họa, chúng tơi đưa kết cho trạng thái vài mức kích thích nguyên tử hydro Kết so sánh với nghiệm xác giải tích để thấy độ tin cậy phương pháp toán tử FK Bộ hàm sở biểu diễn đại số Ta định nghĩa toán tử aˆ +      ∂ =  aˆ j + ω ∂x  (1) x j , x j ∂− ∂ωx  , = j j  j   thỏa mãn hệ thức giao hoán  aˆ j , aˆ + (2)  k  =δ  j, k = 1, 2, tương ứng với trục Ox, Oy, Oz; ω tham số thực dương Để tiện sử dụng ta kí hiệu: Aˆ = aˆ j Aˆ + = (3) Nˆ = 2aˆ+ aˆ aˆ j , aˆ + aˆ + , + j j với lặp lại hai sốj có nghĩa làj lấy tổng toàn miền thay đổi số j = 1, 2,3 Dễ dàng kiểm chứng giao hoán tử sau:  Aˆ , A+ˆ +  = 2N+ˆ ,  Aˆ , Nˆ  = 4Aˆ ,  Nˆ , Aˆ  = 4Aˆ (4)       Bây ta xây dựng hàm sóng sở để sử dụng cho phương pháp tốn tử FK Ta sử dụng hàm dao động tử điều hòa chiều với trạng thái chẵn sau: (5) n,n ,n = + 2n + 2n aˆ aˆ aˆ + 2n (2n1)!(2n2 )!(2n3 )! 1 2 3 Do tốn có tính đối xứng cầu bảo tồn đại lượng bình phương mơ-men quỹ đạo hình chiếu mơ-men quỹ đạo nên ta cần xây dựng hàm sở thỏa mãn phương trình: Lˆ2 n,l, m Lˆ Z n,l, m = l(l +1) n,l, m , = m n,l, m , (6) tốn tử Lˆ , biểu diễn qua tốn tử sinh hủy có dạng: LˆZ + 2 L ˆ = − A ˆ A ˆ + Nˆ − Nˆ + , L ˆ = i − aˆ+ aˆ aˆ+ aˆ ( (7) ) 4 z Trong báo này, giới hạn xét trạng thái khơng có mơ-men động lượng quỹ đạo hình chiếu nên chọn l = 0, m = Từ (5) ta xây dựng hàm thỏa mãn (6) với trị riêng zero sau: n = (2n  1)! ( ) A+ n (8) Đây hàm sở cần tìm Bộ hàm chuẩn hóa Phương pháp tốn tử cho tốn ngun tử hydro Phương trình Schrưdinger nguyên tử hydro theo hệ đơn vị nguyên tử Hˆ = En , n = 0, 1, 2, 3, , ϕn ϕn ˆ 1 ∂ + ∂ + ∂ H =−  2  ∂x 2 ∂y  (9) Z  − x2y2z2 ∂z  Z điện tích hạt nhân Ở đây, ta xét trạng thái liên kết lượng gián đoạn âm Trong hình thức luận tốn tử sinh hủy thành phần động có dạng: 2 1  ∂ ∂ ∂ ˆ+ ˆ ˆ A + A−N (10) −  + +  =− ω  ∂x ∂y ∂z  ( ) Thành phần biểu diễn qua phép biến đổi Laplace Z − − x2  y2  z2 Z ∫ =  +∞ dt −t −t ( x + y + z ) e Z = +∞ ∫ dt − e t + Aˆ + Aˆ + Nˆ 2ω ( ) (11) t  Vì tốn tử (3) tạo thành đại số kín theo hệ thức giao hốn (4) ta đưa thành phần có dạng hàm mũ (11) dạng chuẩn khai triển theo chuỗi Taylor, Hamiltonian trở thành [1]: − Nˆ ln( 1+2t ) +∞ +∞ ˆ + + (− 1) j+k +∞ j+k−1/2 H t 2 Z k ˆ ˆ H ω +A −  ∑∑ dt Aˆ (12) j e ˆ ˆ =− A N − Aˆ ( ) ∫ j=0 j!k! (1+ 2t) j+k k=0 Sử dụng tư tưởng phương pháp toán tử FK ta tách toán tử Hamiltonian (12) thành hai thành phần: Hˆ = Hˆ + V ˆ (13) Phần ‘trung hịa’ có dạng sau: 21 Hˆ = ω Nˆ −Z   2−2 j +∞ ∑ˆ ∫ +∞ dt A j=0 ( j!)2 t2 j−1/ + − Nˆ ln( 1+t ) j e j Aˆ , (14) (1 + t)2 j k+ j tử+∞ số hạng chứa số thừa số toán sinh, k+hủy (−1) j−1/ − Nˆ lnCịn ( 1+t ) tốn tử + t +∞ +∞ “nhiễu loạn” có dạng: Z  + Vˆ  k Vˆ ω + ∑ ∑ dt Aˆ (15) j e =− Aˆ Aˆ − ˆ A ( ) ∫ j=0 k=0,k≠ j i! j!2 k+j (1+ t)k+ j Ta tính yếu tố ma trận Hkk = − =− Z ω(4k + 3)  Hkk = k Hˆ Vjk = j V□ k : k 2k+1  (2k)! k (2k +1)! (4 j −1)!! 22k−4 j+1  + ( j!)2   , (16) (4k +1)!! (4k +1)!! 2k − j +1 ∑  ω( j(2 j Vjk +1)δ (2 j + 2)(2 j + 3)δ k , j−1 + Z −  k ∑ (− 1) l=0(k< j) l=k− j(k> j) j−4l+1 j−k  j=1 3k− ) k, j+1 (2 j − 2k + 4l −1)!! (2k +1)!(2 j +1)! l!(2k + j +1)!!( j − k + l)!(2k − 2l +1) (17) Lí thuyết nhiễu loạn cho toán nguyên tử hydro phương pháp toán tử 4.1 Sơ đồ Rayleigh – Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng Ta kí hiệu ∆E , ( s) ∆C ( s) j tương ứng Ta có: ( s) ∆E ∆ n = +∞ ∑ V ∆C k =0 ( k ≠n) ( s) bổ lượng bậc s hệ số hàm sóng nk  ( s− 1) k , (18) ( s−1 ) +∞ s−1 ( s−t ) ( t) C j = ( 0) E −H  ∑ Vjk ∆Ck − ∑∆En ∆C , j  ( j≠ n) (19) t =1  k =0 ( k ≠n)  Công thức (18) (19) sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, ta sử dụng phần sau 4.2 Nghiệm tốn ngun tử hydro theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn Trong phần này, sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn (18)-(19) để tính đến bổ bậc cho trạng thái số trạng thái kích thích Bảng cho trạng thái cho thấy phương pháp toán tử với sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn nhìn chung cho kết xác (dưới 1%) ta chọn giá trị ω thích hợp gần với giá trị cực tiểu hóa lượng ( ω = 0.597705 ) Khi so sánh nhận thấy kết trình bày tốt kết tài liệu [1], [3] Điều cho thấy triển vọng phương pháp ứng dụng cho toán phi nhiễu loạn Ngồi ra, giá trị bổ bậc ba nhỏ so với giá trị bổ bậc hai chứng tỏ chuỗi bậc bổ hội tụ n jj ta hi vọng tính xác đến bậc tùy ý [3] Nếu tiếp tục thêm vào giá trị bổ bậc cao hơn, ta thu giá trị mức lượng ngun tử hydro theo phương pháp tốn tử giá trị thu tốn giải xác [1], [3] Bảng cho mức lượng kích thích thứ phương pháp toán tử với sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, chúng tơi nhận thấy kết tương đối phù hợp với kết xác (sai số 2.6%) Bảng Mức lượng nguyên tử hydro tính đến bổ bậc theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn chọn giá trị khác tham số ω ω Năng lượng Sai số tương đối 0.200000 0.300000 0.590000 0.597705 -0.474594 -0.503036 -0.499602 -0.499725 5.08% 0.61% 0.07% 0.05% Tài liệu [1] Sai số Năng tương lượng đối -0.495110 0.98% Tài liệu [3] Sai số Năng tương lượng đối -0.503036 0.61% Bảng Mức lượng kích thích thứ nguyên tử hydro tính đến bổ bậc ba theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn ω Mức lượng E1 Sai số tương đối 0.299999 0.300000 0.311000 -0.121721 -0.122168 -0.123929 2.6% 2.2% 0.85% Bảng Mức lượng kích thích thứ hai nguyên tử hydro tính đến bổ bậc ba theo lí thuyết nhiễu loạn ω 0.009990 0.009995 0.009997 Mức lượng E2 -0.055302 -0.055138 -0.055427 Sai số tương đối 0.45% 0.75% 0.23% Như vậy, sử dụng phương pháp tốn tử kết hợp với sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, ta sử dụng hàm sở dao động tử điều hịa, từ thu mức lượng nguyên tử hydro với kết xác tính đến bổ bậc ba Giá trị bổ bậc ba nhỏ nhiều giá trị bổ bậc hai chứng tỏ chuỗi bậc bổ hội tụ ta hi vọng tính xác mức lượng đến bậc tùy ý Tuy nhiên, sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn bộc lộ số hạn chế tính hội tụ chuỗi nhiễu loạn chưa cao, chưa lợi nhiều thời gian việc khảo sát miền hội tụ tham số tự ω chưa giải hợp lí Hơn nữa, với sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, ta khơng thể xác định trước bậc nhiễu loạn cần tính theo sai số mong muốn Tiếp theo sau sử dụng sơ đồ vòng lặp Các mức lượng nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp 5.1 Sơ đồ vịng lặp Hàm sóng ϕn biểu diễn qua hàm đủ, trực giao, chuẩn hóa n : +∞ ϕn = + ∑Ck k n (20) k =0 k ≠n Theo sơ đồ vịng lặp [2] ta có hàm sóng gần vòng lặp thứ (s) ứng với lượng gần ϕ n (s) (s ) n E n+ s = n sau: + ∑C k (s) k (21) k =0 k ≠n (s) Trong (21) hệ số khai triển C k hàm sóng giá trị lượng En( s ) tính số theo sơ đồ theo cơng thức truy hồi sau: E n (s ) n+s = H + ∑C V (s ) nn nk , k k =0 k ≠n V + kn Ck ( s ) = n+s ∑ C m( s−1 )Vkm m= 0,m≠ k ,m≠ n (s) n , (22) E − kk H 5.2 Nghiệm xác số tốn ngun tử hydro theo sơ đồ vịng lặp Lập trình tính tốn FORTRAN 9.0 theo sơ đồ (22) với yếu tố ma trận (16)-(17) ta thu mức lượng E0 nguyên tử hidro Chọn sai số tương đối 10-6 giá trị thông số tự ω = 0.5 gần với giá trị cực tiểu hóa lượng thành phần trung hòa Hamiltonian, số vịng lặp tương ứng s = 1528 Kết so sánh với kết tài liệu [1] phù hợp với lời giải xác trình bày bảng Trong đó, cột thứ hai số vòng lặp tương ứng Bảng Mức lượng nguyên tử hidro theo sơ đồ vòng lặp ω s 1528 0.5 E0 -0.499990 Tài liệu [2] - 0.499990 Như vậy, ta thấy phương pháp tốn tử với sơ đồ vịng lặp cho ta hội tụ đến kết xác, cụ thể với 1528 vịng lặp ta có lượng xác đến năm chữ số sau dấu phẩy E0 = −0.499990 Tuy số vịng lặp lớn số lượng tính tốn sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn với bậc nhiễu loạn ta có tổng vơ hạn tốc độ hội tụ tổng khơng cao Tham số tự ω quan trọng việc nâng cao tốc độ hội tụ đến nghiệm xác sử dụng phương pháp tốn tử với sơ đồ vịng lặp Qua khảo sát tính số, miền hội tụ thông số tự mức mức lượng ω< Như vậy, ta dễ dàng chọn giá trị ω thích hợp để tốn cho nghiệm xác số Đây ưu điểm sơ đồ vòng lặp so với sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn với lí thuyết nhiễu loạn, việc lựa chọn tham số ω thích hợp khó khăn, thơng thường giá trị ω phải gần với giá trị cực tiểu hóa lượng Ngồi ra, so sánh với sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, sơ đồ vịng lặp giúp chúng tơi khảo sát miền hội tụ tham số tự ω cách dễ dàng qua việc tính số máy tính Khảo sát tính số cho thấy sơ đồ vịng lặp giúp tiết kiệm tài ngun tính tốn lí thuyết nhiễu loạn nhiều lợi thời gian tốc độ tính tốn (sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn cho kết lâu hội tụ hơn, thời gian tính tốn lâu so với sơ đồ vòng lặp nhiều với sai số tương đối) Ngồi ra, khác với sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, tính số theo sơ đồ vịng lặp giá trị sai số chọn từ đầu nghiệm lượng thu tốt nhiều so với sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn Cuối cùng, lấy sai số tương đối nhỏ ta thu nghiệm toán cho mức lượng dần đến kết xác Kết mức lượng tính đến bổ hội tụ đến giá trị với độ xác cho trước nên ta gọi nghiệm xác số Đây ưu điểm bật sơ đồ vòng lặp so với sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn Ta chọn số lượng tử l, để tính mức lượng kích thích Khi hàm } { m n 00 hợp thành không gian Hilbert tốn đưa nhiễu loạn khơng suy biến Khác với sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, sơ đồ vòng lặp cho phép ta xác định trước sai số tương đối cho kết Từ đây, để tính mức lượng kích thích ta chọn sai số tương đối 10 -6 Bảng cho lượng trạng thái kích thích thứ Bảng Mức lượng kích thích thứ nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp với giá trị khác thông số tự ω ω 0.1 0.2 0.3 0.4 s 1682 926 629 473 E1 -0.124990 -0.124990 -0.124990 -0.124990 Bảng ta thấy giá trị số vòng lặp cột thứ hai tương ứng với giá trị thông số tự ω chọn khác cho thấy vai trò tham số tự q trình tính số Qua khảo sát tính số, miền hội tụ thơng số tự mức kích thích thứ ω < 0.45 Như với giá trị ω thỏa mãn ω < 0.45 cho kết mức lượng kích thích thứ có giá trị gần với giá trị xác với sai số nhỏ cho trước 10-6 Bảng Mức lượng kích thích thứ hai nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp ω 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 s 2482 2047 1726 1496 1003 Bây ta xét đến mức kích thích thứ hai Qua khảo sát tính số, miền hội tụ thông số tự ω mức kích thích thứ hai ω < 0.1 Như vậy, với giá trị ωthỏa mãn ω< 0.1 cho kết mức lượng kích thích thứ hai có giá trị gần với giá trị xác với sai số nhỏ cho trước 10-6 Kết luận Thứ nhất, phương pháp toán tử kết hợp phép biến đổi Laplace sơ đồ vòng lặp ứng dụng cho việc giải phương trình Schrưdinger cho ngun tử hydro cho phép ta thu trị riêng xác số việc tính số có tốc độ hội tụ cao Thứ hai, kết thu mức lượng bản, mức lượng kích thích thứ thứ hai nguyên tử hidro cho phép ta khẳng định tính đắn phương pháp tốn tử Vì cách giải tổng qt, khơng cần tính đến đặc điểm riêng Hamiltonian nên ta hi vọng kết luận áp dụng tốt cho toán nguyên tử khác Như vậy, phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp phương pháp đáng tin cậy Thứ ba, tham số tự ω quan trọng việc nâng cao tốc độ hội tụ đến nghiệm xác sử dụng phương pháp tốn tử với sơ đồ vịng lặp Qua khảo sát tính số với sơ đồ vòng lặp, miền hội tụ tham số tự mức lượng ω < , mức kích thích E2 -0.055550 -0.055550 -0.055550 -0.055550 -0.055550 thứ thứ hai ω < 0.45 ω < 0.1 Thứ tư, ưu điểm vượt trội phương pháp toán tử việc tách tốn tử Hamilton thành hai thành phần khác so với phương pháp nhiễu loạn truyền thống Qua kết ta thấy sử dụng tư tưởng lí thuyết nhiễu loạn không cần xét đến điều kiện áp dụng lí thuyết nhiễu loạn cách tách tốn tử Hamilton ln thỏa điều kiện lí thuyết nhiễu loạn không phụ thuộc vào đặc điểm vật lí hệ Thứ năm, qua kết khảo sát, chúng tơi nhận thấy phương pháp tốn tử theo sơ đồ vòng lặp cho kết tốt có nhiều ưu điểm sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn phương pháp toán tử Với sai số tương đối, sử dụng sơ đồ vịng lặp ta thu kết có độ xác cao sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn Thứ sáu, kết khẳng định áp dụng phương pháp tốn tử theo sơ đồ vịng lặp cho toán phi nhiễu loạn nguyên tử hydro trường ngồi tốn ngun tử hidro từ trường, điện trường; toán phân tử nhiều nguyên tử hay tốn tinh thể Đây ưu điểm phương pháp tốn tử theo sơ đồ vịng lặp Ghi chú: Cơng trình phần nghiên cứu theo đề tài khoa học công nghệ cấp sở mã số CS.2011.19.54 tác giả Nguyễn Văn Hoa chủ nhiệm đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phương Duy Anh (2010), “Phương pháp toán tử cho toán nguyên tử hydro từ trường có cường độ bất kì”, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TPHCM Lê Văn Hoàng (2003), “Phương pháp đại số cho tính tốn hệ ngun tử”, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TP HCM, (2), tr 115-125 Bùi Nguyễn Ngọc Thúy (2009), “Một số mức lượng bậc thấp nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử”, Luận văn tốt nghiệp đại học, Khoa Vật lí Trường ĐHSP TPHCM M Bachmann, H Kleinert, and A Pelster (2000), “Variational approach to a hydrogen atom in a uniform magnetic field of arbitrary strength”, Phys Rev A 62, 052509 I D Feranchuk, L I Komarov (1982), “The operator method of approximate solution of the Schrödinger equation”, Phys Lett A 88, pp 212-214 I D Feranchuk, A A Ivanov (2004), “Operator method for nonperturbative description of quantum systems”, In Etude on Theor Phys., Ed Feranchuk I et al, World Scientific, Singapore, pp 171-188 C Stubbins, K Das and Y Shiferaw (2004), “Low-lying enery levels of the hydrogen atom in a strong magnetic field”, J Phys B 37, pp 2201-2209 A Thirumalai and Jeremy S Heyl (2009), “Hydrogen atoms in strong magnetic fields”, Phys Rev A 79, 012514 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 29-12-2011; ngày chấp nhận đăng: 24-4-2012) ... A+ n (8) Đây hàm sở cần tìm Bộ hàm chuẩn hóa Phương pháp tốn tử cho tốn ngun tử hydro Phương trình Schrưdinger nguyên tử hydro theo hệ đơn vị nguyên tử Hˆ = En , n = 0, 1, 2, 3, , ϕn ϕn ˆ 1 ∂... đồ vịng lặp cho toán phi nhiễu loạn nguyên tử hydro trường ngồi tốn ngun tử hidro từ trường, điện trường; toán phân tử nhiều ngun tử hay tốn tinh thể Đây ưu điểm phương pháp toán tử theo sơ đồ... nguyên tử hidro cho phép ta khẳng định tính đắn phương pháp tốn tử Vì cách giải tổng qt, khơng cần tính đến đặc điểm riêng Hamiltonian nên ta hi vọng kết luận áp dụng tốt cho toán nguyên tử khác