Khóa luận Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho Exciton hai chiều trong điện trường đều

MỤC LỤC MỤC LỤC i DANH MỤC BẢNG ii DANH MỤC HÌNH VẼ ii MỞ ĐẦU Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU 1.1 Phương pháp toán tử FK 1.2 Phương trình Schrưdinger exciton 2D điện trường .10 1.3 Phép biến đổi Levi-Civita 13 1.4 Phương pháp toán tử FK cho toán exciton 2D điện trường 14 Chương 2: KẾT QUẢ VÀ PHÂN TÍCH .19 2.1 Chương trình tính tốn .19 2.2 Trường hợp điện trường không  1  0,    20 2.3 Trường hợp điện trường khác không  1  0,    26 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI 29 DANH MỤC CÔNG TRÌNH .30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 PHỤ LỤC .34 Phụ lục 1: Tách Hamiltonian thành hai thành phần bao gồm Hˆ r , Hˆ G 34 Phụ lục 2: Biến đổi phương trình Schrưdinger dạng không thứ nguyên 36 Phụ lục 3: Phép biến đổi Levi-Civita 38 Phụ lục 4: Tính giao hốn tử Hamiltonian Lˆ z 40 Phụ lục 5: Tính hệ thức giao hốn aˆ, aˆ   , bˆ, bˆ  .42 Phụ lục 6: Biểu diễn H , Lˆz theo toán tử aˆ, aˆ  , bˆ, bˆ .44 Phụ lục 7: Các công thức tác dụng tìm yếu tố ma trận H R .47 i DANH MỤC BẢNG Bảng 2.1 Giá trị lượng trạng thái n tính phương pháp tốn tử FK cơng trình [7] 25 Bảng 2.2 Năng lượng trạng thái (n  1) phụ thuộc vào cường độ điện trường .26 Bảng 2.3 Năng lượng trạng thái kích thích thứ  n   phụ thuộc vào cường độ điện trường 26 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1 Sự hội tụ phương pháp toán tử FK cho trạng thái  n  1 trường hợp nmax  50 22 Hình 2.2 Sự hội tụ phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ  n   trường hợp nmax  50 22 Hình 2.3 Sự hội tụ phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai  n  3 trường hợp nmax  50 23 Hình 2.4 Sự hội tụ phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ  n   trường hợp nmax  80 24 Hình 2.5 Sự hội tụ phương pháp tốn tử FK cho trạng thái kích thích thứ hai  n  3 trường hợp nmax  80 24 Hình 2.6 Phổ lượng exciton theo điện trường 27 ii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật liệu hai chiều (2D) có tính chất vật lý hóa học quan trọng nghiên cứu nhiều thập kỷ [27], [28], [30] Kể từ báo cáo Geim Novoselov et al vào năm 2004, graphene đơn lớp phẳng bao gồm nguyên tử carbon xếp mạng tinh thể tổ ong hai chiều (2D), nhanh chóng trở thành chủ đề nóng khoa học vật liệu vào thời điểm tính chất hấp dẫn có tiềm lớn Do lượng vùng cấm không, cấu trúc siêu mỏng phẳng, graphene thể tính chất điện tử, nhiệt, quang học đáng ý như: tính di động cao hạt mang điện nhiệt độ phòng, dẫn nhiệt vượt trội, hệ số truyền quang học cao, Dù graphene mang lại tính chất độc đáo lượng vùng cấm khơng nên xem kim loại, làm hạn chế ứng dụng Ngồi graphene cịn có chất bán dẫn hai chiều có cấu trúc tương tự ví dụ transition metal dichalcogenides (TMDs), hexagonal boron-nitride (h – BN),… Chất bán dẫn 2D chất bán dẫn tự nhiên có kích thước ngun tử Khi mà kích thước giảm đáng kể, chất bán dẫn thể số tính chất độc đáo, chẳng hạn chuyển từ tính chất bán dẫn gián tiếp sang trực tiếp ứng dụng điện tử, lưu trữ lượng, cảm biến vật liệu tổng hợp [27] Trong vật liệu 2D, two-dimensional transition metal dichalcogenides (TMDs) trở thành trọng tâm nghiên cứu ứng dụng công nghệ cấu trúc tinh thể chúng, loạt thành phần hóa học nhiều tính chất vật liệu [28] Do đó, nghiên cứu TMDs ngày tăng chiếm tỉ lệ cao số lượng công bố nghiên cứu vật liệu 2D [8] 2D TMDs thường kí hiệu MX2 M nhóm kim loại chuyển tiếp (ví dụ Ti, V, Nb, Mo, Hf, Ta, W) X nhóm chalcogen (S, Se Te) TMDs đơn lớp bao gồm lớp nguyên tử kim loại chuyển tiếp kẹp hai lớp nguyên tử chalcogen cấu trúc lăng trụ tam giác (trigonal prismatic structure) [20] Do cấu trúc tinh thể dị hướng độc đáo cao, tính chất vật liệu 2D TMD điều chỉnh cách hiệu thơng qua phương pháp khác bao gồm giảm kích thước, xen kẽ,… Cụ thể ta thay đổi cấu trúc dãy cách làm mỏng lớp 2D thành đơn lớp [28] Đơn lớp TMDs với lượng vùng cấm “trực tiếp” nằm khoảng vùng gần hồng ngoại đến khả kiến Hiện nay, nghiên cứu đơn lớp TMDs thuộc nhóm VI ý bao gồm MoS2, MoSe2, WS2, WSe2 Đây chất bán dẫn với tính chất quang học điện tử đặc biệt, hứa hẹn có nhiều ứng dụng quang điện tử ví dụ tế bào quang điện, diode phát quang,…[8] Các nghiên cứu dịch chuyển quang học chủ yếu TMDs hình thành exciton [20] Exciton chuẩn hạt tạo thành có tương tác Coulomb điện tử mang điện tích âm lỗ trống mang điện tích dương, tương tự nguyên tử hydro Exciton thường phân loại tùy vào tính chất vật liệu xét Đối với chất bán dẫn exciton gọi exciton Mott-Wannier, với chất cách điện người ta gọi exciton Frenkel Trong chất bán dẫn, exciton tạo thành photon bị hấp thụ, kích thích điện tử từ vùng hóa trị lên vùng dẫn để lại lỗ trống mang điện tích dương Sau đó, điện tử lỗ trống kết hợp với tương tác Coulomb tạo giả hạt exciton đồng thời phát photon [23] Đối với chất bán dẫn hai chiều (2D), exciton có ý nghĩa đặc biệt, số chiều giảm làm tăng tương tác Coulomb [30], nguồn gốc hiệu ứng exciton Hiệu ứng exciton lại tham gia nhiều trình hình thành sở lượng lớn thiết bị exciton kích thước nano hiệu ứng vật lý, ví dụ nguồn photon đơn (single photon sources), laser exciton (excitonic lasers), transistor quang điện tử (optoelectronic transistors),… [29] Phổ lượng exciton thơng tin để tìm hiểu trực tiếp tính chất vật lý chất bán dẫn Nó tảng để nhận biết hiệu ứng exciton thí nghiệm phổ quang học Vì việc nghiên cứu phổ lượng có ý nghĩa Khi số chiều hệ giảm tương tác điện tử lỗ trống tăng đáng kể nên phổ exciton 2D có cấu trúc rõ nét [16] Tuy nhiên, lượng exciton trạng thái kích thích cao khó đo thực nghiệm [21] Vì người ta thường tìm cách đặt trường ngồi bao gồm điện trường từ trường vào để dễ đo đạc phổ Ngoài ra, đặt điện trường song song có cường độ lớn vào vật liệu khác phương pháp hiệu để điều chỉnh tính chất quang học chúng Cụ thể ví dụ cơng trình [15] khảo sát phổ quang phát quang đơn lớp hai lớp WS2 trường hợp đặt điện trường song song, kết cho thấy tăng cường độ điện trường đơn lớp WS2 dẫn đến dập tắt quang phát quang (PL quenching) hai lớp WS2 làm tăng phát xạ quang phát quang; khám phá giúp ích nhiều việc phát triển hiệu các thiết bị quang điện tử dựa sở vật liệu 2D TMDs Trong số nghiên cứu, điện trường ngồi có cường độ lớn sử dụng để điều chỉnh lượng vùng cấm hai lớp graphene, hai lớp TMDs,… [25] Đặc biệt, điện trường đóng vai trị quan trọng q trình ion hóa TMDs Trong vật liệu có lượng liên kết exciton lớn TMDs, việc ion hóa nhiệt khơng hiệu nên thay vào người ta thường sử dụng điện trường mạnh [22] Ngồi ra, việc đặt điện trường ngồi vào giúp ta quan sát hiệu ứng vật lý quen thuộc hiệu ứng Stark [26] Từ đó, ta nói tốn exciton hai chiều điện trường với cường độ khác đóng vai trị quan trọng lý thuyết thực nghiệm Việc giải phương trình Schrưdinger để tìm phổ lượng cho tốn exciton điện trường số nhóm nghiên cứu thực Đối với trường hợp ba chiều (3D), số nhóm thực việc chuyển phương trình Schrưdinger thành cặp hai phương trình trị riêng chiều [9], [10] Cịn trường hợp 2D, số nhóm sử dụng phương tương tự, tác giả phân tích phương trình Schrưdinger thành hai phương trình trị riêng chiều dao động tuyến tính phi điều hịa có điểm khác nhau, cụ thể cơng trình [19] tác giả A J Linssen M J Gelten đề cập đến năm 1974 Cơng trình tính tốn ảnh hưởng điện trường đến mức lượng exciton Wannier hai chiều cách đưa phương trình Schrưdinger tọa độ parabol chứa tham số không thứ nguyên, sử dụng phương pháp tách biến, tách phương trình Schrưdinger thành hai phương trình Các trị riêng lượng exciton trạng thái liên kết tính gần phương pháp WKB Trong cơng trình [18] cơng bố Frank L Lederrnan and John D Dow năm 1976, phương trình Schrưdinger exciton hai chiều đặt điện trường chuyển tọa độ parabol nhiên định nghĩa khác với cơng trình Linssen tách thành hai phương trình; kết hợp với cơng thức Elliott hệ số hấp thụ exciton vật liệu phân lớp Nhờ phương trình Schrưdinger exciton hai chiều điện trường có cường độ tùy ý giải xác (bằng số) Vào năm 2001, S I Pokutnyi et al tìm cách để giải toán exciton Wannier-Mott hai chiều điện trường [24] Tương tự hai cơng trình trên, tác giả sử dụng tọa độ parabol định nghĩa tương tự cơng trình Linssen Cuối cùng, để giải phương trình Schrưdinger chiều thu tác giả sử dụng phương pháp số dựa công thức ma trận phương pháp Numerov đồng thời sử dụng phương pháp gần WKB để tính tốn hệ số xun ngầm Trong luận văn này, chúng tơi sử dụng phương pháp tốn tử FK để giải toán Phương pháp toán tử FK (viết tắt FK - OM) đưa nhóm nghiên cứu giáo sư Komarov Đại học Belarus vào năm 1982 [12] Phương pháp có ý tưởng dựa tư tưởng thuyết nhiễu loạn tách Hamiltonian thành hai thành phần: phần có nghiệm xác thành phần nhiễu loạn Tuy nhiên, khác so với phương pháp nhiễu loạn việc tách Hamiltonian không phụ thuộc vào yếu tố vật lý mà phụ thuộc vào hình thức tốn tử Hamiltonian Phương pháp FK-OM ứng dụng thành cơng cho tốn vật lý ngun tử, vật lý chất rắn toán lý thuyết trường [5], [6], [11], [13] Cụ thể phương pháp giải thành cơng cho tốn đặt từ trường ví như: nguyên tử hydro từ trường với cường độ [1], exciton hai chiều từ trường [2],… Vì kế thừa ý tưởng từ cơng trình trước, chúng tơi tiếp tục phát triển FK – OM cho trường hợp trường điện trường bước đầu áp dụng cho toán exciton hai chiều điện trường Mục tiêu nội dung nghiên cứu Mục tiêu đề tài phát triển phương pháp toán tử FK cho toán exciton 2D điện trường để xác định nghiệm xác số Mục tiêu thực thông qua nội dung nghiên cứu sau:  Tìm hiểu tổng quan  Thiết lập Hamiltonian hệ đưa dạng toán tử sinh hủy  Xây dựng hàm sóng sở tính tốn yếu tố ma trận  Sử dụng ngơn ngữ lập trình FORTRAN để tìm nghiệm số xác  Phân tích, so sánh, nhận xét kết Phương pháp nghiên cứu  Tính tốn lý thuyết sử dụng phương pháp tốn tử FK  Lập trình FORTRAN sử dụng gói LAPACK Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu kết luận luận văn bao gồm hai chương: Chương 1: Exciton hai chiều điện trường Trong chương này, giới thiệu phương pháp toán tử FK nguyên tắc phương pháp dựa vào cơng trình trước Phần xây dựng phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều điện trường đưa dạng khơng thứ ngun Sau đó, phép biến đổi Levi-Civita đưa phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều điện trường phương trình cho dao động tử phi điều hịa Cuối cùng, phương pháp tốn tử FK áp dụng cho toán exciton hai chiều để tìm yếu tố ma trận, sau chương trình tính tốn xây dựng dựa vào gói LAPACK toán trị riêng hàm riêng Chương 2: Kết phân tích Chương này, chúng tơi giới thiệu yếu tố cần quan tâm sử dụng chương trình tính tốn xây dựng để tìm nghiệm xác phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều điện trường ý phổ lượng exciton Chương trình tính tốn áp dụng cho hai trường hợp cụ thể: trường hợp điện trường khơng tức tốn trở thành exciton hai chiều, trường hợp điện trường “nhỏ” Đối với trường hợp khơng điện trường, chương trình tính tốn thu nghiệm xác đến mười ba chữ số sau dấu phẩy viết dạng chuẩn Còn trường hợp có điện trường, kết thu phổ lượng trạng thái số trạng thái kích thích giúp ta quan sát hiệu ứng Stark Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU Phần đầu chương trình bày cách tổng quan, ngắn gọn phương pháp toán tử FK quy trình áp dụng phương pháp vào tốn trình bày cơng trình [1], [2], [3], [17] bao gồm bốn bước :  Hamiltonian đưa dạng toán tử sinh hủy  Hamiltonian tách thành hai thành phần: thành phần có nghiệm xác thành phần nhiễu loạn  Ta tìm nghiệm xác bậc zero  Ta tìm nghiệm số xác Phần xây dựng phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều Trong phần này, chuyển động exciton thành tách hai chuyển động :  Chuyển động tương đối electron lỗ trống trường xuyên tâm Coulomb chịu tác dụng điện trường  Chuyển động hạt tự Sau đó, phương trình Schrưdinger mơ tả chuyển động tương đối lỗ trống electron đưa dạng không thứ ngun để thuận tiện cho việc tính tốn Hamiltonian phương trình thu có số hạng gây khó khăn có thành phần mẫu số, vấn đề giải áp dụng phép biến đổi Levi-Civita Cuối cùng, phương pháp toán tử FK áp dụng cho exciton hai chiều điện trường để tìm nghiệm số xác Đặc biệt, bước cuối quy trình áp dụng phương pháp ngồi việc sử dụng sơ đồ vịng lặp để tìm bổ bậc cao để thu nghiệm số xác, ta giải hệ phương trình tuyến tính trình bày phần sau 1.1 Phương pháp tốn tử FK Phương trình Schrưdinger phương trình động lực học lượng tử, đóng vai trị tương tự phương trình định luật II Newton học cổ điển Vì tốn chuyển động phi tương đối tính hệ vật lý giới vi mô dẫn tới việc giải phương trình Đây phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc theo thời gian bậc hai theo tọa độ, nhờ ta khảo sát biến đổi trạng thái hệ theo thời gian Trường hợp phương trình Schrưdinger có phân ly biến số thời gian tọa độ người ta gọi phương trình Schrưdinger dừng, trường hợp đặc biệt chiếm đa số hệ vật lý thực nghiên cứu Nghiệm hàm sóng mơ tả trạng thái trị riêng phương trình lượng hệ xét [14] Tuy nhiên, nghiệm giải tích xác phương trình xác định số trường hợp đơn giản tiêu biểu toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa, hạt chuyển động hố vng góc,… Cịn tốn phức tạp phải dùng đến phương pháp gần kể đến phương pháp nhiễu loạn biến phân mà phương pháp nhiễu loạn xem phương pháp kinh điển sử dụng học lượng tử Phương pháp toán tử FK đặt tên theo hai giáo sư Feranchuk Komarov thuộc nhóm nghiên cứu đại học Belarus xây dựng phương pháp vào năm 1980 cho toán dao động tử điều hòa bậc bốn [12] Phương pháp phát triển ứng dụng thành công cho nhiều toán vật lý khác toán vật lý chất rắn, lý thuyết trường, vật lý nguyên tử phân tử [5], [6], [11], [13] Phương pháp toán tử FK phương pháp tìm nghiệm số xác bao gồm hàm sóng lẫn lượng cho phương trình Schrưdinger Ý tưởng phương pháp tương tự thuyết nhiễu loạn tức tách thành phần Hamiltonian thành hai thành phần, thành phần có nghiệm xác phần lại nhiễu loạn Tuy nhiên, việc phân chia Hamiltonian lý thuyết nhiễu loạn dựa vào yếu tố vật lý, phần nhiễu loạn thường liên quan đến tương tác trường phải đủ nhỏ áp dụng phương pháp Còn phương pháp toán tử việc phân chia hai thành phần dựa vào hình thức tốn tử Hamiltonian Ngồi ra, phương pháp tốn tử FK cịn đưa vào tham số tự  để hiệu chỉnh tương quan độ lớn thành phần nhiễu loạn nhằm thỏa mãn điều kiện lý thuyết nhiễu loạn Nhờ vậy, bán kính hội tụ chuỗi nhiễu loạn làm tăng, cho phép xác định nghiệm số xác số với độ xác tùy ý Trong số cơng trình trước [1], [3] việc áp dụng phương pháp để giải phương trình Schrưdinger thơng thường tuân theo bước sau: Bước một: Hamiltonian đưa biểu diễn đại số  d  Hˆ  x,   Hˆ aˆ , aˆ  ,   dx    (1.1) cách chuyển biến số động lực qua toán tử sinh hủy: aˆ   d  , x  dx  2 aˆ    d  , x  dx  2 (1.2)  tham số thực dương đưa vào để tối ưu q trình tính tốn Hệ thức giao hốn toán tử sinh hủy:  aˆ , aˆ    (1.3) cơng cụ q trình tính tốn Bước hai: Tách Hamiltonian thành hai thành phần:       Hˆ aˆ , aˆ  ,   Hˆ 0OM aˆ  aˆ ,  ,   Vˆ OM aˆ , aˆ  ,  ,  , (1.4) thành phần thứ Hˆ 0OM  aˆ  aˆ ,  ,   chứa toán tử trung hịa, thành phần có nghiệm xác, thành phần lại Vˆ OM  aˆ , aˆ  ,  ,   coi thành phần nhiễu loạn Như vậy, tương tự phương pháp nhiễu loạn, phương pháp toán tử FK, Hamiltonian tách thành hai thành phần: thành phần Hˆ 0OM  aˆ  aˆ ,  ,   có nghiệm xác thành phần Vˆ OM  aˆ , aˆ  ,  ,   đóng vai trị thành phần nhiễu loạn Tuy nhiên, việc phân chia lúc dựa vào hình thức số hạng Hamiltonian Hệ số phi điều hòa  có mặt hai thành phần Hamiltonian nên tham số tự  phải đưa vào; tham số khơng có mặt Hamiltonian tồn phần Hˆ  aˆ , aˆ  ,   xuất hai thành phần Ta thay đổi giá trị  để làm cho thành phần Vˆ OM  aˆ , aˆ  ,  ,   thực nhỏ nhằm thỏa mãn điều kiện thuyết nhiễu loạn với độ lớn trường ngồi Bước ba: Tìm nghiệm xác bậc zero cách giải phương trình:   Hˆ 0OM aˆ  aˆ,  ,    0  E  0  0 (1.5) Ta thấy toán tử Hˆ 0OM  aˆ  aˆ ,  ,   giao hoán với toán tử aˆ  aˆ cho nghiệm riêng là: với Z  , phương trình Schrưdinger exciton hai chiều điện trường dạng không thứ nguyên:   2  2  Z  1 x   y   x, y   E  x, y       x y  x2  y    (A2.7) 37 Phụ lục 3: Phép biến đổi Levi-Civita Phương trình Schrưdinger khơng thứ ngun khơng gian ( x, y) có dạng sau: Hˆ  x, y   E  x, y  , (A3.1)   2  2   1 x   y  Hˆ          x y   x2  y (A3.2) đó: Tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz hệ đơn vị nguyên tử:     Lˆz  i  x  y  x   y (A3.3) Phép biến đổi Levi – Civita định nghĩa sau:  x  u  v2 ,   y  2uv, (A3.4) cho phép chuyển từ không gian hai chiều  x, y  không gian hai chiều  u, v  Trong khoảng cách khơng gian  x, y  có mối liên hệ với bình phương khoảng cách không gian  u, v  : r x2  y  u  v2 x Thành phần Jacobien: J  det J  u y u (A3.5) x v 2u 2v   u  v2 y 2v 2u v   Thành phần đóng vai trị quan trọng việc chuyển phương trình Schrưdinger từ khơng gian  x, y  không gian  u, v  Bởi tích vơ hướng vector trạng thái khơng gian  x, y  liên quan đến tích vơ hướng vector trạng thái không gian  u, v  thông qua biểu thức sau: 38   x, y    x, y     u , v   u  v    u , v  (A3.6) Do để đảm tính hermit Hamiltonian qua phép biến đổi phương trình Schrưdinger viết dạng sau:   H  u, v   với H  r Hˆ  E (A3.7) Ngoài ra, ta có số cơng thức biến đổi sau:   x  y      2u  2v , u x u y u x y   x  y      2v  2u , v x v y v x y 2 2     2     2u  2v   4u  8uv  4v , u  x y  x xy y (A3.8) 2 2     2         v u v uv u ,   v  x y  x xy y v     2uv  2v , u x y u (A3.9)     2uv  2u , v x y (A3.10)         v  u  v2  4uv   x  y  v u y x x   y (A3.11)  u  Thay thành phần vào (A3.7) ta thu Hamiltonian: 2   2 H       1 u  v  2 2uv u  v  E u  v   u v        (A3.11) Trong không gian (u, v) tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz trở thành:   i  Lˆz    u  v   v u  (A3.12) 39 Phụ lục 4: Tính giao hốn tử Hamiltonian Lˆ z Tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo Hamiltonian có dạng sau : i    Lˆz    u  v  , u   v (A4.1)  2 2  H       1 u  v   2uv u  v  E u  v  u v        (A.4.2) Tính giao hốn tử hai toán tử:      H , Lˆz          1 u  v  2 2uv u  v  E u  v ,  i  u   v    ,    v u     u v        Suy ra:    H , Lˆz   i     , u   v    i 1 u  v , u   v     16 u v v u   v u      iE       i  uv u  v , u  v   u  v , u  v  v u   v u     (A4.3) Trong đó:  2 2     ,u  v   2 v v u   u  2    2    2    2     ,u    ,v    ,u    ,v  v   u u   v v   v u   u (A4.4)  2    2     , u    , v  u  v  v  u  0,    4  u  v , u v  v u             u , u    u , v    v , u    v , v  v   u   v   u   (A4.5)        v u ,   u  v ,   u   v     4uv u  v , 40    2  u  v , u v  v u             u , u    v , u   u , v    v , v  v   v   u   u    0, (A4.6)     2 uv  u  v  , u v  v u           uv  u  v  , u  v   uv, u  v   u  v  v u   v u         uv, u   u  v   uv, v   u  v  v  u    (A4.7)  u  u  v   v  u  v   v4  u , Suy ra:          H , Lˆz   2i1uv u  v2  i2 v4  u  i u  v 21uv  2 v  u       (A4.8) 41 Phụ lục 5: Tính hệ thức giao hốn aˆ, aˆ   , bˆ, bˆ  Các toán tử sinh hủy aˆ, aˆ  , bˆ, bˆ định nghĩa sau:    1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   ivˆ    ,  2    1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   i vˆ    , aˆ    2    1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   ivˆ    , bˆ   2     1 uˆ  i vˆ     1  uˆ   i vˆ    b   2  aˆ  (A5.1) Các thành phần aˆ, aˆ  , bˆ, bˆ thỏa mãn hệ thực giao hoán bảng bên Bảng hệ thức giao hoán [cột, hàng]: uˆ  ivˆ 0 uˆ  ivˆ uˆ   ivˆ  uˆ  ivˆ uˆ   ivˆ  uˆ   ivˆ  -2 0 uˆ  ivˆ 0 uˆ   ivˆ  0 -2 Tính aˆ, aˆ   , bˆ, bˆ  :       aˆ , aˆ       1 uˆ  ivˆ     1 uˆ   ivˆ ,   1 uˆ  ivˆ     1 uˆ   i vˆ   8    1    1  uˆ  ivˆ, uˆ  i vˆ   8    1    1   uˆ   ivˆ  , uˆ  ivˆ  8 (A5.2) 4 1     b, b      1 uˆ  ivˆ     1 uˆ   ivˆ  ,   1 uˆ  i vˆ     1 uˆ   i vˆ      8    1  uˆ  ivˆ, uˆ   i vˆ    8   1    1    1 8 uˆ   ivˆ  , uˆ  i vˆ  (A5.3) 4 1 Ngoài ra, tương tự ta tính số cơng thức giao hoán sau: 42      aˆ , bˆ      1 uˆ  ivˆ     1 uˆ   ivˆ  ,   1 uˆ  ivˆ     1 uˆ   ivˆ      8       uˆ  ivˆ, uˆ 1 8  1 4        ivˆ    8   uˆ 1    ivˆ  , uˆ  ivˆ  (A.5.4) 1 4 0      aˆ  , bˆ      1 uˆ  ivˆ     1 uˆ   i vˆ  ,   1 uˆ  i vˆ     1 uˆ   i vˆ      8    1 uˆ  ivˆ, uˆ   i vˆ    uˆ   i vˆ  , uˆ  i vˆ  8    (A5.5) 0      aˆ , bˆ       1 uˆ  ivˆ     1 uˆ   ivˆ  ,   1 uˆ  i vˆ     1 uˆ   i vˆ      8     1    1  2 (A.5.6) uˆ  ivˆ, uˆ  i vˆ    8       aˆ  , bˆ     1 uˆ  ivˆ     1 uˆ   i vˆ  ,   1 uˆ  ivˆ     1 uˆ   ivˆ      8    1    1  8 uˆ   i vˆ  , uˆ  ivˆ  (A5.7) 0 43 Phụ lục 6: Biểu diễn H , Lˆz theo toán tử aˆ, aˆ  , bˆ, bˆ Dựa vào định nghĩa toán tử sinh hủy:    1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   ivˆ    ,  2    1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   i vˆ    , aˆ    2    1 uˆ  ivˆ     1  uˆ   ivˆ    , bˆ   2     1 uˆ  i vˆ     1  uˆ   i vˆ    b   2  aˆ  (A6.1) Ta thực biến đổi thu được:   (A6.2) i vˆ  vˆ   aˆ  aˆ   bˆ  bˆ , 2    (A6.3)    uˆ  uˆ   aˆ  aˆ   bˆ  bˆ  , u 2 (A6.4)   vˆ  vˆ   i aˆ  aˆ   bˆ  bˆ   v 2 (A6.5)   u 1 uˆ  uˆ   aˆ  aˆ   bˆ  bˆ , 2  v           Hamiltonian ta thu sau phép biến đổi Levi-Civita:  2 2  H       1 u  v  2 2uv u  v  E u  v   u v        (A6.6) Các thành phần Hamiltonian biểu diễn theo toán tử sinh hủy sau:     2 2     aˆ  aˆ   bˆ  bˆ     i aˆ  aˆ   bˆ  bˆ  2 u v         aˆ  bˆ    aˆ  bˆ     aˆ  bˆ    aˆ   4 4      aˆ  bˆ  aˆ  bˆ    aˆ  bˆ  aˆ  bˆ  2             bˆ   2 (A6.7)  ˆ ˆ  aˆ bˆ   ,    aˆ  aˆ  bˆ  bˆ   ab   44 u    v2         1 aˆ  aˆ   bˆ  bˆ   aˆ  aˆ   bˆ  bˆ  4 4  aˆ  bˆ  aˆ   bˆ  aˆ   bˆ aˆ  bˆ      2  ˆ ˆ  aˆ  bˆ   , aˆ aˆ  bˆ  bˆ  ab            1 aˆ  aˆ   bˆ  bˆ   aˆ  aˆ   bˆ  bˆ 4 4 2  aˆ  bˆ  aˆ   bˆ    2  ˆ2 ˆ ˆ   2aˆ bˆ , aˆ  b  aˆ   bˆ   2ab  2 u  v2    (A6.8)   (A6.9)      i    uv   aˆ  aˆ   bˆ  bˆ     aˆ  aˆ   bˆ  bˆ   2     i ˆ ˆ   2aˆ  bˆ  bˆ  bˆ   aˆ  aˆ   2ab 4  (A6.10)  Ta sử dụng toán tử định nghĩa sau: ˆ ˆ, Mˆ  ab Mˆ   aˆ bˆ ,   Nˆ  aˆ  aˆ  bˆbˆ  (A6.11) Lúc thành phần Hamiltonian biểu diễn lại sau: 2 2     Nˆ  Mˆ  Mˆ   , 2 u v ˆ ˆ u  v2  N  M  Mˆ  ,       (A6.12)  ˆ2 ˆ ˆ  2aˆ bˆ , u v  aˆ  b  aˆ   bˆ  2ab 2 i ˆ ˆ  2aˆ bˆ  bˆ2  bˆ uv   aˆ  aˆ   2ab 4 2   Thay thành phần vào Hamiltonian ta được: H  H R  ER (A6.13) với HR     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  2aˆ bˆ N  M  M  12 Nˆ  Mˆ  Mˆ  aˆ  aˆ   bˆ2  bˆ  2ab 2      i2 ˆ ˆ ˆ ˆ   2aˆ bˆ  1, N  M  Mˆ  aˆ  aˆ   bˆ2  bˆ   2ab 2    45   ˆ ˆ Rˆ  N  M  Mˆ   Toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo trục Oz : i    Lˆz    u  v  u   v (A6.14) Các thành phần tốn tử hình chiếu moment động lượng: u     aˆ  aˆ   bˆ  bˆ   i aˆ  aˆ   bˆ  bˆ    v    i   aˆ  bˆ   aˆ   bˆ aˆ  bˆ   aˆ   bˆ (A6.15) i    aˆ  bˆ aˆ  bˆ  aˆ  bˆ aˆ   b  aˆ   b aˆ  bˆ  aˆ   bˆ aˆ   bˆ  ,  4     v                  i     aˆ  aˆ   bˆ  bˆ   aˆ  aˆ   bˆ  bˆ  u    i (A6.16)    aˆ  bˆ   aˆ   bˆ   aˆ  bˆ   aˆ   bˆ    4 i    aˆ  bˆ  aˆ  bˆ   aˆ  bˆ  aˆ   b  aˆ   b aˆ  bˆ   aˆ   bˆ aˆ   bˆ  ,  4                          Thay (A6.15) (A6.16) vào (A6.14) ta thu được:   Lˆz   aˆ  aˆ  bˆbˆ (A6.17) 46 Phụ lục 7: Các cơng thức tác dụng tìm yếu tố ma trận H R Bộ hàm sóng sở: n1 , n2     bˆ  aˆ  n1 !n2 ! n1  n2   , (A7.1) với n1 , n2 số ngun khơng âm Ta có cơng thức tác dụng sau: aˆ n1 , n2  n1 n1  1, n2 , bˆ n1 , n2  n2 n1 , n2  , aˆ  n1 , n2  n1  n1  1, n2 , bˆ  n1 , n2  n2  n1 , n2  , aˆ  aˆ n1 , n2  n1 n1 , n2 , bˆ bˆ n1 , n2  n2 n1 , n2 (A7.2) Dựa vào công thức tác dụng ta chứng minh số công thức sau: aˆ n1 , n2  n1  n1  1 n1  2, n2 , bˆ n1 , n2  n2  n2  1 n1 , n2  , aˆ  n1 , n2   n1  1 n1   n1  2, n2 , bˆ  n1 , n2   n2  1 n2   n1 , n2  , ˆ ˆ  n1 , n2  n1  n2  1 n1  1, n2  , ab aˆ  bˆ n1 , n2   n1  1 n2 n1  1, n2  , Mˆ n1 , n2  ab n1 , n2  n1n2 n1 , n2 ,   Mˆ  n1 , n2  a b n1 , n2       n1  1 n2  1 n1  1, n2  , Nˆ n1 , n2  a a  b b  n1 , n2   n1  n2  1 n1 , n2 Ngồi ra, ta có số cơng thức dùng để tính tốn yếu tố ma trận:  Nˆ  Mˆ  Mˆ  n , n  1   Nˆ  Mˆ  Mˆ  n , n    n1  n2  1 n1 , n2  n1n2 n1  1, n2  1  n1  1 n2  1 n1  1, n2  ,   n1  n2  1 n1 , n2  n1n2 n1  1, n2    n1  1 n2  1 n1  1, n2  , (A7.3) (A7.4) 47  aˆ   ˆ ˆ   2aˆ  bˆ Nˆ  Mˆ  Mˆ  n1 , n2  aˆ   bˆ2  bˆ   2ab   ˆ ˆ  2aˆ  bˆ n1 , n2   n1  n2  1 aˆ  aˆ   bˆ2  bˆ  2ab   ˆ ˆ  2aˆ  bˆ n1  1, n2   n1n2 aˆ  aˆ   bˆ2  bˆ  2ab  ˆ ˆ   2aˆ  bˆ  n1  1, n2  ,  n1  1 n2  1  aˆ  aˆ   bˆ2  bˆ  2ab đó:  aˆ  ˆ ˆ   2aˆ bˆ n1 , n2  aˆ   bˆ  bˆ   2ab  n1  n1  1 n1  2, n2    aˆ  n2  1 n2   n1 , n2   n1  n2  1 n1  1, n2   2  n1  1 n2 n1  1, n2  ,  n1  3, n2   n1  n1  1 n1  1, n2    n2  n2  1 n1  1, n2    aˆ n1  2, n2  n2  n2  1 n1 , n2  ˆ ˆ   2aˆ  bˆ n1  1, n2   aˆ   bˆ  bˆ   2ab  n1  1 n1     n1  1 n1    n1  1 n2  n2  1 n2   n1  1, n2  n1  2, n2  n1  n2  1 n1 , n2  ,  ˆ ˆ   2aˆ  bˆ n1  1, n2   aˆ   bˆ  bˆ   2ab   n1  1 n1   n2   n2  3 n1  1, n2    n1   n1  3 n1  1, n2   n1  3, n2    n1  1 n2    n2  1 n2 n1 , n2   n1  1, n2   n1   n2  1 n1  2, n2 , Suy ra:  aˆ   ˆ ˆ   2aˆ bˆ Nˆ  Mˆ  Mˆ  n1 , n2  aˆ   bˆ  bˆ   2ab   n1  3n2  1 n1  n1  1 n1  2, n2   n1  3n2  3   3n1  n2  1 n2  n2  1 n1 , n2    3n1  n2  3  n1  1 n1    n2  1 n2     n1  n2  1 n1  n2  1 n1  1, n2    n1  n2  1   n1 ! n n  3, n2    n1  3!  n1  3! n1 !  n2  1 n1  2, n2  n1  1 n2 n1 , n2  n1  1, n2  (A7.5) n2 ! n n  1, n2   n2  3! 1 n1  3, n2    n2  3! n2 !  n1  1 n1  1, n2  48  aˆ   ˆ ˆ   2aˆ bˆ Nˆ  Mˆ  Mˆ  n1 , n2  aˆ   bˆ2  bˆ   2ab   ˆ ˆ  2aˆ bˆ n1 , n2   n1  n2  1 aˆ  aˆ   bˆ2  bˆ  2ab   ˆ ˆ   2aˆ bˆ n1  1, n2   n1n2 aˆ  aˆ   bˆ  bˆ   2ab  ˆ ˆ   2aˆ bˆ  n1  1, n2  ,  n1  1 n2  1  aˆ  aˆ   bˆ2  bˆ  2ab đó:  aˆ  ˆ ˆ   2aˆ  bˆ n1 , n2  aˆ   bˆ  bˆ   2ab  n1  n1  1 n1  2, n2    aˆ  n2  1 n2   n1 , n2   n1  n2  1 n1  1, n2   n1  3, n2   n1  n1  1 n1  1, n2    n2  n2  1 n1  1, n2   n1  1, n2  ,  n1  1 n2  n2  1 n2   n1  1, n2  n1  2, n2  n1  n2  1 n1 , n2  ,  ˆ ˆ   2aˆ bˆ n1  1, n2   aˆ   bˆ  bˆ   2ab  n1  1 n1   n1  1 n2   n1  1 n1    aˆ n1  2, n2  n2  n2  1 n1 , n2  ˆ ˆ   2aˆ  bˆ n1  1, n2   aˆ   bˆ  bˆ   2ab   n1  1 n1    n1  1, n2    n2   n2  3  n1   n1  3 n1  1, n2   n1  3, n2    n1  1 n2    n2  1 n2 n1 , n2   n1  1, n2   n1   n2  1 n1  2, n2 , Suy ra:  aˆ   ˆ ˆ   2aˆ  bˆ Nˆ  Mˆ  Mˆ  n1 , n2  aˆ   bˆ2  bˆ   2ab   n1  3n2  1 n1  n1  1 n1  2, n2   n1  3n2  3   3n1  n2  3  n2  1 n2    n1  1 n1   n1 , n2    3n1  n2  1 n2  n2  1 n1 , n2    n1  n2  1 n1  n2  1 n1  1, n2    n1  n2  1  n1 ! n n  3, n2    n1  3!  n2 ! n n  1, n2    n2  3! 1 n1  2, n2  n2  3! n2 !  n1  3! n1 !  n1  1 n2  n1  1 n1  1, n2   n2  1 n1  3, n2  n1  1, n2  (A7.6) Mặt khác ta chứng minh Hamiltonian có dạng sau: H  H R  ER (A7.7) 49 với   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  2aˆ bˆ N  M  M  12 Nˆ  Mˆ  Mˆ  aˆ  aˆ   bˆ2  bˆ  2ab 2  HR       i2 ˆ ˆ ˆ ˆ   2aˆ bˆ  1, N  M  Mˆ  aˆ  aˆ   bˆ2  bˆ   2ab 2 R      ˆ ˆ N  M  Mˆ   Áp dụng cơng thức tác dụng tính vào R ta thu được: 1  n  n  1 n1 , n2  n1n2 n1  1, n2    n1  1 n2  1 n1  1, n2    1   n1  n2  1 n1 , n2  n1n2 n1  1, n2    n1  1 n2  1 n1  1, n2  R n1 , n2     Các yếu tố ma trận R : Rn1 ,n1  n2 , n2  Rn1 ,n1 1  n2 , n2 1  n1  n2  1 ,   n1  1 n2  1 Các yếu tố ma trận cịn lại xác định cơng thức Rn ,n   Rn  ,n 1 n2 , n2 1 n2 , n2 Tương tự công thức tác dụng áp dụng vào Hˆ R ta được: Hˆ R n1 , n2       n1  n2  1  1 n1 , n2  8    1   2i   n1  3n2  1 2   1   2i   n1  3n2  3 2   1   2i   3n1  n2  1 2   1   2i   3n1  n2  3 2   1   2i   n1  n2  1 2   1   2i   n1  n2  1 2 n1n2 n1  1, n2     n1  1 n2  1 n1  1, n2  n1  n1  1 n1  2, n2  n1  1 n1   n1  2, n2 n2  n2  1 n1 , n2   n2  1 n2   n1 , n2  n1  n2  1 n1  1, n2   n1  1 n2 n1  1, n2  50   1   2i    1   2i    1   2i    1   2i  2  n1  3! 2 2 n1 !  n2  1 n1  3, n2  n2 ! n n  1, n2   n2  3! 1  n2  3! 2 n1 ! n n  3, n2   n1  3! 2 n2 !  n1  1 n1  1, n2  Các yếu tố ma trận Hˆ R H R n1 ,n1  n2 , n2   n1  n2  1  1, H R n1 ,n1 1   n2 , n2 1   n1  1 n2  1 , H R n1 ,n1 1   1   2i  n2 , n2 1 H R n1 ,n1    1   2i  n2 , n2 H R n1 ,n1 n2 , n2  2  n1  n2  1  n1  3n2  3 2   1   2i   3n1  n2  3 2 H R n1 ,n1 3   1   2i  n2 , n2 1 H R n1 ,n1 1   1   2i  n2 , n2   n1  3! 2  n2  3! 2 n1 ! n2 ! n1  n2  1 ,  n1  1 n1   ,  n2  1 n2   ,  n2  1 ,  n1  1 * Các yếu tố ma trận cịn lại xác định cơng thức H R n ,n  1 n2 , n2   R   H n  ,n   n1  ,n1  2   51 ... Levi-Civita đưa phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều điện trường phương trình cho dao động tử phi điều hịa Cuối cùng, phương pháp toán tử FK áp dụng cho tốn exciton hai chiều để tìm yếu... xác phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều điện trường ý phổ lượng exciton Chương trình tính tốn áp dụng cho hai trường hợp cụ thể: trường hợp điện trường không tức toán trở thành exciton. .. Stark Chương 1: EXCITON HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU Phần đầu chương trình bày cách tổng quan, ngắn gọn phương pháp tốn tử FK quy trình áp dụng phương pháp vào tốn trình bày cơng trình [1], [2],