1096 Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho ion.docx

Nguyễn Thị Hồng Lanh tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER CHO ION H +2 NGUYỄN THỊ HỒNG LANH*, CAO HỒ THANH XN**, HỒNG VĂN HƯNG***, HỒNG ĐỖ NGỌC TRẦM**** TĨM TẮT Phương pháp toán tử FK sử dụng để giải phương trình Schrưdinger cho ion phân tử hydro H + Kết thu 2các mức lượng trạng thái 1s trạng thái kích thích 2s + với sai số 0,03% Mặc dù tính tốn cụ thể thực cho H , ngun tắc quy trình tính tốn 2áp dụng cho ion phân tử tương tự khơng đối xứng Từ khóa: phương pháp tốn tử FK, phương trình Schrưdinger, lượng, ion phân + tử hydro H ABSTRACT The FK operator method for solving the Schrödinger equation of ion H 2+ The FK operator method is used for solving the Schrödinger equation of the hydrogen molecule + ion H We obtained energy for the ground state 1s and the first excited states 2s with error less than 0,03% Although in the paper, calculations are carried out for H similarly to other molecules without symmetry + , the method can be applied Keywords: operator method, Schrödinger equation, energy, hydrogen molecule ion + H Mở đầu H + phân tử đơn giản, tạo thành từ hai hạt nhân hydro Ion phân tử hydro electron Nó nghiên cứu vào ngày đầu học lượng tử [9, 10] nhận nhiều quan tâm đến [3, 4, 7] Việc xác định hàm sóng ion phân tử H + với độ xác cao cung cấp kiện đầu vào xác cho nghiên cứu phát xạ sóng điều hịa bậc cao, chụp ảnh nguyên tử, phân tử * HVCH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: honglanhsp@yahoo.com.vn ThS, Trường Cao đẳng Nông nghiệp Nam Bộ *** ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM *** TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ** xung laser [4] Ngồi việc mơ tả xác ion cung cấp thơng tin cần thiết nghiên cứu quang phổ neutron thiên văn học [8] Mặt khác, tốn dùng để kiểm tra tính hiệu phương pháp giải phương trình Schrưdinger cho toán hệ nguyên tử nhiều tâm đơn giản áp dụng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp GPS (generalized pseudospectral method) với độ xác 11 chữ số thập phân, phương pháp FC (free-complement method) với độ xác 18 chữ số thập phân [3, 4] Trong cơng trình này, chúng tơi áp dụng phương pháp tốn tử FK [5] để giải phương trình Schrưdinger cho ion phân tử hydro H + Phương pháp áp dụng thành cơng cho tốn ngun tử, phân tử, đặc biệt toán hệ nguyên tử hai chiều, cho phép thu lượng hàm sóng xác [6] Đối với tốn ba chiều, phương pháp áp dụng bước đầu để xác định nghiệm số cho tốn ngun tử hydro, có sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa tốn tử tọa độ thành phần tương tác Coulomb khỏi mẫu số, đưa Hamiltonian dạng thuận lợi cho biến đổi đại số, xây dựng hàm sóng sở cho toán hệ nguyên tử ba chiều [1, 2] Việc áp dụng phương pháp toán tử FK cho toán ion H + bước phát triển phương pháp bước đầu để nghiên cứu tốn phức tạp chưa có nghiệm với xác cao ion H + trường ngồi với cường độ Cấu trúc báo gồm có ba phần chính: phần thứ giới thiệu phương pháp toán tử FK áp dụng cho tốn ion H + ; phần thứ hai trình bày kết thu thảo luận; cuối phần kết luận dự kiến phát triển đề tài Phương pháp toán tử FK cho tốn ion H 2+ Phương trình Schrưdinger ion H 2+ xét đến gần Born-Oppenheimer hệ đơn vị nguyên tử: Hˆ Ψ = E Ψ , ˆ ∂2  2 ∂ ∂ + H=−  2  ∂x ∂y Z Z2 −  + + ∂z  Z1 Z2 , − x2 + y2 + (z − R ) x2 + y2 + (z + R )2 (1) R Z1, Z2 điện tích hạt nhân hạt nhân 2; R1, R2 khoảng cách electron với hai hạt nhân; R khoảng cách hai hạt nhân Ở đây, ta sử dụng hệ đơn vị nguyên tử: đơn vị lượng lượng Hartree EH = me4 / 4h 2ε 02 = 2Ry = 27.2 eV , đơn vị độ dài bán kính Bohr a = ε 2 / e2m = 0.53 A Tiếp theo, chúng tơi áp dụng phương pháp tốn tử FK kết hợp với phép biến đổi Laplace đưa [1, 2] Quy trình gồm bốn bước bản: (1) Sử dụng toán tử sinh hủy ba chiều phép biến đổi Laplace để viết lại phương trình Schrödinger biểu diễn đại số; (2) Tách Hamitonian thành hai phần lý thuyết nhiễu loạn, phần chứa tốn tử trung hịa (các tốn tử chứa số toán tử sinh số toán tử hủy), có nghiệm dao động tử điều hịa, phần lại xem nhiễu loạn; (3) Xây dựng hàm sóng sở nghiệm riêng chung dao động tử điều hịa tốn tử hình chiếu moment quỹ đạo lên trục z hệ vật lý có tính đối xứng trụ Từ đó, xác định nghiệm xác bậc khơng (nghiệm riêng phần chính) Chú ý tốn tử sinh-hủy, ta có đưa thêm tham số tự ω vào Hamiltonian tốn khơng phụ thuộc vào giá trị tham số này, có thành phần tách phụ thuộc vào ω Do việc chọn giá trị ω phù hợp giúp thu nghiệm xác bậc khơng với độ xác cao; (4) Sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn để tìm nghiệm số xác cho tốn Các kết cụ thể q trình tính tốn mơ tả đây: Hamiltonian biểu diễn đại số có dạng sau: ω Z Z +∞ −tα 2ω e ˆ + H = Mˆ − Nˆ + Mˆ + π ∑Zj ∫ 41 R − t dt − i +i i +i j =1,2 α ( ) j ∞ ∞ ∞  −t × ∑∑∑∑ j   i !i !i !i ! 2t +1  i1 =0 i2 =0 i3 =0 i4 =0  α 2ω = (−1) j 2R j j exp  2t +1  ( ∞  α 2t2   ˆ i (( Maˆˆ) ) 21 ( 2t +1 Nˆ = 2aˆ+aˆ ( j = 1, 2) j −N i + 3, j j ) i 12 ( aˆ )  (2) ( Mˆ ) + Mˆ = (aˆ + Mˆ = )2 , aˆ2 j , tổ j hợp toán tử sinh hủy ba chiều: aˆ j = ω  ∂  + ω ∂, x  x j j   ω  aˆ+ x j =j  − ∂ω ∂x   j , (3) với j = 1, 2, tương ứng với ba trục Ox, Oy, Oz; ω tham số thực dương đưa vào nhằm hiệu chỉnh tốc độ hội tụ toán Các toán tử thỏa hệ thức giao hoán:  aˆ , aˆ + j k  = jkδ  Do đó, Nˆ Mˆ , +, (4) Mˆ tạo thành đại số kín với hệ thức giao hoán:  Nˆ , M ˆ +    + ˆ = 4M ,  Mˆ , aˆ +  = 2aˆ ,   3  Mˆ , Mˆ +   Mˆ , Nˆ      ˆ ˆ = 2N , = 4M ,  aˆ , Mˆ +  = 2aˆ + ,  aˆ , Nˆ  = 2aˆ ,    Nˆ , aˆ+  = 2aˆ+ 3  3 3 Các biểu thức giao hốn (4) (6) sở cho tính tốn đại số (6)   Phần phần nhiễu loạn Hamiltonian có biểu thức sau: Z Z ω Hˆ = Nˆ + −tα i +i  α t2 ∞ ∞ ∞ e α R 2 +∞ 2ω −π Z dti ∑ 1) ∫ exp  t i=1,2 ×  −t 2i1 +i2 −i3 i    2t + (( aˆMˆ) ) 21 ( ×   2t + ) i !( i + − i i !i !i i i1 =0 i2 =0 i3 =0 − Nˆ ) ( Mˆ ) ( aˆ 3 i +i −i i 12 )! , ) ∫π i i =1,2 −  ( ∑∑∑  i ( 2t + i ω + Vˆ = − Mˆ + Mˆ +∞ 2ω −tα e − ∑Z dt  t i1 +i4 i    2t + t 2 exp  αi t  ( 2t + 1)   =0 (( aMˆˆ) ) 21 ( i ∞ ) ) 12 ( aˆ ∞ ∞ i1 =0 i2 =0 i3 − Nˆ 2t + ∑∑∑ ∑ i ∞ i4 =0 i4 ≠i1 +i2 −i3 ( Mˆ ) i i2 +i3 αi i !i !i !i ! (7) Bộ hàm sóng sở xây dựng có dạng: n, j, m = n  j  m ! j!( j  m )! (uˆ + ) m j+ m (uˆ + ) j (uˆ + ) n−2 j− (8) , với n số lượng tử ( n = 0,1, 2, ), m số lượng tử từ ( m = 0, ±1, ±2, , ±n ), j  n− m số tự nhiên ( j = 0,1, 2, , ), toán ˆ ˆ u tổ hợp toán tử sinh ,uˆ,u tử     hủy (3), đưa ∂ ra để chéo hóa hình chiếu moment động lượng lên trục Oz: =i − aˆ+ aˆ ) : L i x ∂ − y ˆ =  + aˆ aˆ ( z − ∂y ∂x 1   1 uˆ = (aˆ − iaˆ ), uˆ+ = (aˆ+ + iaˆ+ ), 21 uˆ = (aˆ + iaˆ ), (aˆ + − iaˆ + ), uˆ+ = (9) 2 uˆ = aˆ , 2 uˆ + = aˆ + 3 Khi đó, ta thu lượng gần bậc khơng nghiệm phương trình: Hˆ ψ ( 0) sau: ( 0) =E ψ ( 0) , ω ( 0) n, j ,m − E ( 2n + 3) + Min × R =1,2 n − j − m − q, ( n −2 j −m−2 ) p Z1Z2 ∑Z ∑ i 2ω π i h=0 ( ( n− j − m ) / ( n− j − m) / ∑ r =0 ∑ ∑ p=0 q =0 ( j + m)! j! 2j −2h j ( − 1) j − h) !( j − h) ! (h + m)!h! p +q (α ) 2n− j −2 q− p− m−2i ( n − j − m) ! i p!q!r !( n − j − m − p − r ) !( n − j − m − 2q − r ) !  − α t  t n−2 j −q − p −2m−2 h−2 r −1/ dt exp  n−2 j − p −q −m−r +3/   ( 2t +1)  ( 2t +1) yếu tố ma trận Hamiltonian: ω  ( j + m + 1)( j + 1)δn,n '−2δ j+1, (n − j − m + 1)(n − j − m + 2)δ ˆj ' + n+2,n 'δ Hn,n' =   − +∞ 2 i ∫ ×  +2 ( j + m) jδ n,n '+2δ  + ZZ   ω j−1, j ' + ( 2n + 3) + 2n,n' δ j, j ' δ  j+ j '−2h j+ j R   Min( j, j ')  ( −1) '−2h 2ω −π ∑ ∑ ( j '− h) !( j − h=0 Zi h) ! j, j ' ( × i=1,2 n−2 j−m−2q, Min n '−2 j '−m−2 p '−2 p−2m−2r ∑ ∑ ∑ p=0 q=0 +∞ ∫  j, j '   ( j '+ m)! j '!( j + m)! j! (h + m)!h! ) ( n'−2 j '−m) /2 ( n'−2 j '−m) /2 ( − 1) p+q ( α ) n−2 j−2q+n '−2 j r=0 × ( n − j − m) (n − j − m −1)δn−2,n 'δ j, j ' (10) ( n'− j '− m) !( n − j − m) ! p!q!r!( n'− j '− m − 2p − r) !( n − j − m − 2q −r) !  − α t2  tn− j−q+n'− j '− p−2m−2h−2r−1/2 dt exp i n− j− p+n'− j '−q−m−r+3/2   4( 2t +1)  ( 2t +1) (11) Để xác định nghiệm số xác, ta sử dụng sơ đồ tính bổ bậc cao phương pháp lý thuyết nhiễu loạn Hàm sóng gần vòng lặp thứ (s) xác định sau: n +s j +s (s) nj Ψ = nj + ∑∑ C (s ) n'j ' n'j' , ( nj ≠ n' j' ) n '=0 j '=0 n '≠n j '≠ j sơ đồ vòng lặp sử dụng để tìm nghiệm xác có biểu thức là: (12)  (s)  En = H nj + n +s j + s ∑∑C n '=0 j '=0 (s ) n'j' j  +s n+s j (s ) Vnn " + ∑∑Cn ' j 'Vnn '  jj jj ' n '=0 j  C( s +1) " '=0 = n'j' Enj( s ) − n ' j '   H Kết phân tích ( nj ≠ n ' j ' n'' '' j ≠ n ' j ' ;Cnj = , 1) (13) Sơ đồ vịng lặp ngơn ngữ lập trình FORTRAN 90 sử dụng, ta thu mức lượng hàm sóng ion H 2+ Tham số tự ω xác định theo điều kiện ∂ E(0) ∂ ω = thảo luận [6] Tuy nhiên, sử dụng ω0 từ điều kiện tốc độ hội tụ toán chưa cao, giá trị ω thay đổi quanh ω0 cho tốc độ hội tụ toán tối ưu Trong báo này, để tiện lợi q trình so sánh kết với cơng trình trước đây, khoảng cách liên hạt nhân chọn có giá trị R = a.u Quy trình tìm nghiệm cho toán H 2+ phương ion pháp tốn tử FK khơng phụ thuộc vào giá trị cụ thể Z1, Z2 khoảng cách liên hạt nhân R Do đó, tính tốn báo sử dụng để giải tốn điện tử liên kết với hai hạt nhân không đối xứng Z1 ≠ Z2 Năng lượng ion H + trạng thái khác trình bày bảng Ngồi ra, phương pháp tốn tử FK cịn cho phép thu hàm sóng hệ thông qua hệ số khai triển C (s) k j + Bảng Năng lượng H trạng thái 1s với ω = 3.0 ion trạng thái kích thích thứ 2s với ω = 1.5 ứng với vòng lặp khác Trạng thái Cơ Kích thích thứ 30 -1.102109360407 -0.666536876883 40 -1.102377865935 -0.667017728455 50 -1.102462856339 -0.667131242217 60 -1.102514363103 -0.667238892288 70 -1.102535250406 -0.667308997383 80 -1.102554817426 -0.667331211756 90 -1.102568081645 -0.667368812417 Cơng trình [4] -1.102634214495 -0.667534392202 Sai số 0.000059977 0.000248047 Vòng lặp (s) Kết lượng trạng thái kích thích thứ trùng ba chữ số thập phân có sai số nhỏ 0,03% so với kết đưa cơng trình [4] Kết cho trạng thái kích thích cao có sai số lớn tốc độ hội tụ chậm Ví dụ, lượng thu cho trạng thái thích thứ hai (n = j = 0, m = 1) vòng lặp thứ 60 -0.428349675112, sai số so với kết cơng trình [4] 0,1% Độ xác chưa cao so với phương pháp khác Có thể xác định nguyên nhân hàm sóng sở sử dụng nghiệm dao động tử điều hòa tốn cho ngun tử Do đó, bước phát triển tiếp theo, cần có cải tiến để thu nghiệm xác 4 Kết luận Trong báo này, phương pháp toán tử FK kết hợp với phép biến đổi Laplace áp dụng để tìm nghiệm phương trình Schrưdinger cho tốn ion H + Kết thu lượng hàm sóng cho ion H + với sai số 0,03% Điều chứng tỏ phương pháp toán tử FK với phép biến đổi Laplace áp dụng cho tốn hệ nhiều tâm Tuy nhiên, để khai thác hết tiềm phương pháp thu kết có ý nghĩa độ xác trường hợp tốn exciton trung hịa cần có cải tiến Chúng tơi nhận thấy việc sử dụng hàm sóng sở hàm sóng dao động điều hịa phương trình Schrưdinger giải phương trình cho ngun tử hạn chế, chúng tơi đề xuất hướng cải tiến cách đưa thành phần tiệm cận e mũ hàm sóng nguyên tử hydro vào hàm sóng ion H + Ghi chú: Nghiên cứu tài trợ Quỹ phát triển khoa học công nghệ quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 103.01-2013.38 Trường Đại học Sư phạm TPHCM đề tài cấp sở năm 2015, mã số CS2015.19.69 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Nguyễn Ngọc Thúy, Nguyễn Đình Luật, Nguyễn Văn Hoa, Cao Hồ Thanh Xuân, Lê Văn Hoàng (2012), “Phương pháp tốn tử FK giải phương trình Schrodinger cho ngun tử hydro”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, (36), tr.103111 Lý Duy Nhất, Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc, Nguyễn Văn Hoa, Nguyễn Phương Duy Anh, Lê Văn Hồng (2012), “Phương pháp tốn tử FK cho tốn nguyên tử hydro từ trường”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, (40), tr 5662 Atsushi I., Hiroyuki N., Hiroshi N (2012), “Accurate solutions of the Schrödinger and Dirac equations of H 2+ , HD+ and HT + :With and without Born–Oppenheimer approximation and under magnetic field”, Chem Phys 401, p 62-72 Dmitry A T., Shih-I Ch (2007), “Ab initio study of the orientation effects in multiphoton ionization and high-order harmonic generation from the ground and excited electronic states of H +2 ”, Phys Rev A 76, p 043412 Feranchuk I D., Komarov L I (1982), “The operator method of approximate solution of the Schrödinger equation”, Phys Lett A 88, p 212-214 Hoang-Do Ngoc-Tram, Dang-Lan Pham, Van-Hoang Le (2013), “Exact numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica B 423, p 31-37 7 Hua L., Jun W., Bing-Lu Z., Jiong-Ming Z and Zong-Chao Y (2007), “Calculations of energies of the hydrogen molecular ion”, Phys Rev A 75, p 012504 Khersonskii V K (1984), “Hydrogen molecular ion in the magnetic field of a neutron star”, Astrophys Space Sci 98, p 255-268 Pauling L., Wilson E B (1935), “Introduction to quantum mechanics”, McGrawHill book company, New York, p 326-340 10 Zhang Y P., Cheng C H., Kim J T., Stanojevic J., Eyler E E (2004), “Dissociation energies of molecular hydrogen and the hydrogen molecular ion”, Phys Rev Lett 92, 203003 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 28-9-2015; ngày phản biện đánh giá: 29-10-2015; ngày chấp nhận đăng: 22-12-2015) ... thiệu phương pháp toán tử FK áp dụng cho toán ion H + ; phần thứ hai trình bày kết thu thảo luận; cuối phần kết luận dự kiến phát triển đề tài Phương pháp toán tử FK cho toán ion H 2+ Phương trình. .. học [8] Mặt khác, toán dùng để kiểm tra tính hiệu phương pháp giải phương trình Schrưdinger cho toán hệ nguyên tử nhiều tâm đơn giản áp dụng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp GPS (generalized... ion phân tử hydro H + Phương pháp áp dụng thành cơng cho tốn ngun tử, phân tử, đặc biệt toán hệ nguyên tử hai chiều, cho phép thu lượng hàm sóng xác [6] Đối với toán ba chiều, phương pháp áp