1097 Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho ion H2 hai chiều.docx

Nguyễn Thị Hồng Lanh tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER CHO ION H+2 HAI CHIỀU NGUYỄN THỊ HỒNG LANH*, HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM** TĨM TẮT Phương pháp tốn tử FK sử dụng để xác định nghiệm phương trình + Schrödinger cho ion H hai chiều Đã thu lượng trạng thái trạng thái kích thích thấp ứng với khoảng cách liên hạt nhân khác với độ xác hai chữ số thập phân Kết cần thiết cho phân tích để phát triển phương pháp Từ khóa: phương pháp tốn tử FK, phương trình Schrưdinger, lượng, ion phân tử hydro, hai chiều ABSTRACT The FK operator method for solving the Schrödinger equation of twodimensional molecular ion H+ The FK operator method is applied to the Schrödinger equation of the two- dimensional + hydrogen molecule ion H We obtained the2 energies with the precision of two decimal places for the ground state and low excited states corresponding to various intermolecular distances The result is essential for analysis to develop the method Keywords: operator method, Schrödinger equation, energy, hydrogen molecule ion, twodimension Mở đầu + Với cấu trúc gồm hai hạt nhân electron, ion phân tử hydro phân tử đơn giản nhất, đối tượng quan tâm khởi đầu nghiên cứu H2 phân tử [3] Tuy nghiên cứu từ nhiều thập kỉ trước, ion phân tử + tiếp tục quan tâm cần phát triển phương pháp tính cho phân tử Mặt khác, nghiên cứu phát xạ sóng điều hịa bậc cao, chụp ảnh ngun tử, phân tử xung laser hướng nghiên cứu thú vị thời gian gần Để áp dụng hiệu phương pháp liệu đưa vào hàm sóng ban đầu nguyên tử, phân tử phải có độ xác cao Trong hướng nghiên cứu này, hệ nhiều tâm đối tượng để áp dụng phương pháp, + H khởi đầu cho phân tử phức tạp sau * ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: honglanhsp@yahoo.com.vn * TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: tramhdn@hcmup.edu.vn H [7, 9] Do đó, việc phát triển phương pháp để tìm phổ lượng hàm sóng có độ xác cao cần thiết Việc giải tốn ion phân tử H+2 ba chiều khơng đơn giản số bậc tự lớn ; vậy, nghiên cứu ion phân tử này, nghiên cứu trực tiếp với hệ ba chiều, nhiều mơ hình đơn giản hóa sử dụng, phổ biến mơ hình ion phân tử H +2 phẳng không gian hai chiều [8] Mặt khác, hệ lượng tử hai chiều chủ đề quan tâm vật lí chất rắn hiệu ứng đặc biệt giảm số chiều Đặc biệt, thành công việc tạo hệ bán dẫn hai chiều thực tế hệ bán dẫn đơn lớp TMDs (Transition Metal Dichacolgenides) thu hút ý nhà khoa học hệ hai chiều [6, 11] Ngoài ra, bán dẫn hai chiều tồn liên kết electron lỗ trống hình thành giả hạt exciton dương (một electron liên kết với hai lỗ trống) có cấu trúc tương tự ion H+2 [10] Phương pháp toán tử FK [2] phương pháp tìm nghiệm số xác, bao gồm gồm hàm sóng lẫn lượng, cho phương trình Schrưdinger Phương pháp phát triển thu kết khả quan cho hệ nguyên tử hai chiều [4, 5] Đối với toán ion phân tử H+2 ba chiều, phương pháp sử dụng để tìm nghiệm số [1] Trong cơng trình này, chúng tơi áp dụng phương pháp tốn tử FK để tìm nghiệm số cho toán ion phân tử H +2 hai chiều Mặc dù, toán với số chiều nhiều giải, qua phân tích cho thấy tốn ba chiều xét cơng trình [1], tính đối xứng trụ, tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục đối xứng bảo toàn, làm giảm số bậc tự hệ Đối với tốn hai chiều phẳng, tính chất khơng đảm bảo nên toán hai chiều xét khơng phải trường hợp đơn giản hóa hệ ba chiều giải Đồng thời với ứng dụng vật lí hệ hai chiều nêu trên, việc khảo sát toán ion phân tử H +2 hai chiều có ý nghĩa Tương tự cơng trình [1], phương pháp tốn tử FK kết hợp với phép biến đổi Laplace để đưa toán tử tọa độ thành phần tương tác Coulomb khỏi mẫu số, đưa Hamiltonian dạng thuận lợi cho biến đổi đại số Việc phát triển phương pháp cho toán H +2 hai chiều bước đệm cần thiết cho nghiên cứu hệ phức tạp trường hợp có trường Ngoài phần mở đầu, cấu trúc báo gồm ba phần chính: Phần đầu giới thiệu phương pháp tốn tử FK áp dụng cho toán ion H +2 hai chiều; phần thứ hai trình bày kết thu thảo luận; cuối phần kết luận dự kiến phát triển đề tài 2 Phương pháp toán tử FK cho toán ion H+2 hai chiều Phương trình Schrưdinger ion H +2 phẳng hai chiều xét đến gần Born-Oppenheimer hệ đơn vị nguyên tử: Hˆ Ψ = E Ψ , 1  ∂ Hˆ = − Z ∂2   − + Z − ZZ + , (1) y2  (x  R / 2)2  ∂ x2 ∂ y2  y2  (x  R / 2)2 R đó, Z1, Z2 điện tích hạt nhân hạt nhân 2; hai hạt nhân nằm trục Ox với tọa độ ( −R / 2, 0) ( R / 2, 0) , R khoảng cách hai hạt nhân; tọa độ electron là ( x, y ) Ở đây, ta sử dụng hệ đơn vị nguyên tử: đơn vị lượng lượng Hartree EH = me / 4h2ε 02 = 2Ry = 27.2 eV , đơn vị độ dài bán kính Bohr a = ε 2 / e2m = 0.53 A Trong tính tốn cụ thể cho ion H+2 , ta chọn Z = Z2 = Thành phần tương tác Coulomb Hamiltonian (1) chứa biến số tọa độ mẫu Để thuận tiện cho việc đưa toán tử dạng chuẩn, ta dùng phép biến đổi Laplace: 1 = r π +∞ ∫t (2) − tr e dt Trong phần này, ta sử dụng phương pháp toán tử FK với bốn bước tương tự cơng trình [1] để tìm nghiệm cho phương trình (1), trình bày cụ thể Bước Đưa phương trình Schrưdinger biểu diễn đại số tốn tử sinh hủy hai chiều ∂  ∂  aˆ = x+ , aˆ+ ω  x− , ω = 2     1  ω ∂x  ω ∂x  (3)  ∂   aˆ =ω y+ , aˆ+ ∂  =  , ω  y−   ω ∂y ω ∂ y    đó, ω tham số thực dương đưa vào để điều chỉnh tốc độ hội tụ toán Các toán tử (3) thỏa hệ thức giao hoán:  aˆ , aˆ +  = δ ,  + , aˆ +  = 0,    aˆ , aˆ  = 0aˆ  (4) j k  j k jk j k Để tiện lợi tính tốn biểu diễn Hamiltonian hệ dạng chuẩn (toán tử sinh đứng trước toán tử hủy), ta sử dụng toán tử Nˆ , Mˆ + , Mˆ : + Nˆ = 2aˆ+ aˆ + 2aˆ+ aˆ + 2, Mˆ = (aˆ+ 2 ) + (aˆ + ) , Mˆ = aˆ2 + aˆ2 1 2 2 (5) Các toán tử (5) aˆ ,1aˆ+1 tạo thành đại số kín (giao hốn tử hai tốn tử biểu diễn theo toán tử khơng) với biểu thức giao hốn:  Nˆ , Mˆ +    + ˆ = 4M ,  Nˆ , aˆ+    , = 2aˆ+  Mˆ , Mˆ +    ˆ = 2N ,  Mˆ1 , aˆ+   = 2aˆ ,   aˆ , Mˆ +  = 2aˆ+ ,    M ˆ , Nˆ   = 4Mˆ  , (6)  aˆ1 , Nˆ    = 2aˆ1  aˆ + , Mˆ +  =0,  = aˆ ,, aˆ +   1  ,  aˆ , Mˆ  =    Khi Hamiltonian biểu diễn dạng toán tử sinh hủy sau: Hˆ = − ω ( Mˆ 2ω Z − ∑ i + − Nˆ + Mˆ +∞ e −tα t π )  exp exp −t α 2t2 i    αt ˆ M aˆ+  exp  +  i (7) ∫ i =1,2   2t +  ( 2t +1)   2t + ZZ  α it     −t  × 2t +  Nˆ exp aˆ 2texp MRˆ dt + , 2t +1 +1 = (−1)i     i 2R 2ω với α (i = 1, 2) (  ) Bước Tách Hamiltonian thành hai thành phần Phần chứa tốn tử trung hịa, có nghiệm dao động tử điều hịa: ω Z Z +∞ −tα 2   ˆ H = Nˆ + − Z i 2ω e exp  αi t  ∑ t ∫ R ∞ × ∞ i =1,2 ∞ ∞ π  ( 2t +1)  (−2i −41) 2i1 +i2 +i4 (α ) 2i2 + 2i3  i t i !i1 !i2 !i3 !(2i2 + i3 − 2i4 )!i4 ! 2t =0 i =0 i =0 i =0 +1  ×(aˆ+ ) 2i (aˆ+ ) 2i 2 +i ( ) i  2i1 + 3i2 +2i3 −i4 (8) 2t +  Nˆ aˆ2i +i aˆ2i dt (2i2 + i3 − 2i4 ≥ 0), phần lại Vˆ xem phần nhiễu loạn Việc tách Hamiltonian hệ dựa vào hình thức tốn tử, mà khơng dựa vào tính chất vật lí tốn phương pháp lí thuyết nhiễu loạn Vì vậy, phương pháp tốn tử FK áp dụng cho toán phi nhiễu loạn Việc điều chỉnh tham số tự toán tử sinh hủy làm thay đổi giá trị phần phần nhiễu loạn, khơng làm thay đổi Hamiltonian tồn phần hệ Từ đó, việc lựa chọn giá trị ω giúp điều chỉnh tốc độ hội tụ toán Bước Tìm nghiệm gần bậc khơng Nghiệm gần bậc khơng nghiệm phần ∑∑∑∑  Hˆ : Hˆ0 ψ ( 0) , ψ =E ( 0) ( 0) (9) nghiệm dao động tử điều hòa hai chiều: n,n , ( aˆ ) n1 ( aˆ ) n2 + (10) + = 1 n1 !n2 ! 2 đó, hàm chân khơng định nghĩa: aˆ1 = aˆ2 = , 0 = 1; (11) n1, n2 số lượng tử n1, n2 ∈ □ Ta tính lượng gần bậc không: (0) ω = E (n1 + n2 +1) + ZZ Z 2ω 2 R −∑ n2 / n1 / n1 / ∑∑ ∑ i π n1 −2i2 ∑ i1 =0 i2 =0 i3 =0 i4 =Max(0,2i3 −2i2 ) i=1,2 ( − 1) − 2i3 2i1 +i2 +i3 (α ) 2i2 + 2i4 n !n ! i × i1 !i1 !i2 !i4 !i3 !(2i2 + i4 − 2i3 )! (n2 − 2i1 )!(n1 − 2i2 − i4 )! +∞ 2i +3i + 2i −i −1/  α i2t t  dt × ∫ exp n +n +i +i −i +1  (2t + 1) 2  ( 2t + 1)  (12) Bước Tính bổ cho hàm sóng lượng để xác định nghiệm số Ta viết lại hàm sóng dạng khai triển theo hàm sóng sở (10): ∞ Ψn ,n = ψ n ,n + ∞ ∑∑C k1 ,k2 ψk ,k2 , k2 =0 k1 =0 k1 , k2 ≠ n1 , n2 (13) Ta định nghĩa hàm sóng hội tụ đến giá trị xác ứng với bậc bổ (s) sau: Ψ (n1s ,) n2 = ψ n1 ,n2 + n2 + s n1 + s ∑∑ C k2 =0 k1 =0 (s) k1 , k2 ψk ,k2 , k1 , k2 ≠ n1 , n2 (14) Sơ đồ vòng lặp xác định lượng hàm sóng bậc bổ (s) xây dựng: (s ) n +s n +s  H j1 , j2 ,n1 ,n2 + ∑ ∑ Ck1 ,k2V j1 , j2 ,k1 ,k2  k2 = k1 = (s +1) C ,  j1 , j2 = (s) − H j , j , j , j 2  n1 ,n2 E  n +sn+s  E (s ) = E(0) + C( s ) V (   n1 ,n2 n1 , n2 ) ∑∑ k2 =0 k1 =0 k1 , k2 n1 ,n2 ,k1 ,k2 (15) đó, C (0) j1 , = δ j1 ,n1 j2 Cn(1s,) = Các phần tử ma trận xác định biến n2 j2 ,n2 đổi đại số sau: H n1n2 = n1n2 n n H n1 ', n2 ' Vˆ = (16) Hˆ n1 , n2 , n1 , n2 n1 , n2 n1 'n2 ' Sau tính tốn, ta thu phần tử ma trận: ω ZZ H = (n + n +1) + n1n2 n1n2 2 R Z 2ω n2 / n1 / n1 / −∑ i ∑∑ ∑ π i=1,2 n1 −2i2 ∑ i1 =0 i2 =0 i3 =0 i4 =Max(0,2i3 −2i2 ) n !n ! +∞ ( − 1) 2i1 +i2 +i3 (α ) i 2i2 + 2i4 −2i3 i1 !i1 !i2 !i4 !i3 !(2i2 + i4 − 2i3 ) α 2t t 2i1 +3i2 + 2i4 −i3 −1/   i n +n (n2 − 2i1)!(n1 − 2i2 − i4 )! ( × +1) ∫0 exp  − 2t  (2t + 1)   (−1) sn2 +  Hn ,n = × 2 n1 +sn1 ,n2   +sn2  (n + 1)(n + 2)δ (n2 + 1)(n2 + 2)δ n ',n 1 n ',n + +  ω 1 1 +2  − n1 ',n1 n2 ',n2 n2 ',n2  n1 (n1 n2 ',n2 −2 4   +  − 1)δ   n2 (n2 1)δ n1 ',n1 −2  n2 ',n2   (n +sn )/ n / n −2i n /2 Z 2ω 1 1 2 ∑ ∑ ∑ +i +i −i +1 ∑ i  − ∑ i i =0 i =0 i =Max(0,− sn +2i −2i ) i =Max (0,− sn / π 2) =1,2 1  sn24/ 22i 2i isn 2i 2i 2i1 23 (n  sn ( α ) 1) ( 221112 )!(n   sn )!n !n ! i   i !i !i !i !(sn / + i )!(sn − 2i + 2i + i )! (n − 2i − i )!(n − 2i )! 1 3  1+∞3 α2 2t sn2 / 2+sn1 −i1 +2i3 +3i2 +2i4 −1/  t i dt  × n +n +sn / 2+ sn −i +i +i +1 ∫ exp  −  dt,              (17)   ( 2t + 1)  (2t + 1) 2 1  Các phần tử ma trận thỏa tính chất đối xứng: Vn ,n Kết phân tích = Vn ',n ' = Vn ,n ' = Vn ',n n1 ',n2 ' n1 , n2 n1 ',n2 2 n1 ,n2 ' Chúng xây dựng chương trình tính tốn dựa ngơn ngữ FORTRAN 90, kết thu lượng gần ion phân tử H+ hai chiều trạng thái trạng thái kích thích thấp Bảng thể kết lượng liên kết electron ion phân tử H+ , không kể số hạng Z1Z2 / R để tiện so sánh với kết cơng trình [7] Kết cho thấy, có trùng khớp với kết thu cơng trình [7], chứng tỏ phương pháp tốn tử FK sử dụng cho toán Tuy nhiên, ta thấy độ xác nghiệm thu từ đến hai chữ số thập phân không cao Qua kết này, ta số nguyên nhân để từ phát triển phương pháp Thứ nhất, kết thu tương ứng với số vòng lặp s = 60 , dựa vào bảng ta thấy nghiệm hội tụ dần kết xác theo cơng trình [7], dự đốn tăng số vịng lặp kết có độ xác cao Tuy nhiên, để tăng số vịng lặp, cần có nhiều cải tiến chương trình tính tốn để tiết kiệm tài nguyên Thứ hai, mặt phương pháp, ta thấy toán xét toán nguyên tử hàm sóng khai triển theo hàm sóng dao động tử điều hịa Để khắc phục điều này, có hai hướng cải tiến sử dụng nhân thêm thành phần e mũ hàm sóng nguyên tử vào hàm sóng xét, sử dụng phép biến đổi Levi-Civita để đưa toán dạng dao động tử phi điều hòa – hàm sóng sở hình thức hàm riêng dao động tử điều hòa chất hàm Coulomb Mặt khác, phương pháp toán tử FK cho phép thu hàm sóng hệ thông qua hệ số khai triển C (s) từ hệ thức (15) Việc áp dụng j 1j phương pháp toán tử FK cho toán ion phân tử H + không phụ thuộc vào giá trị Z1, Z2 khoảng cách liên hạt nhân R nên sử dụng cho tốn điện tử liên kết với hai hạt nhân không đối xứng Z 1≠ Z ,2 ví dụ tốn ion HeH2+ Bảng Năng lượng liên kết electron ion phân tử H +2 hai chiều ứng với trạng thái n1 = n2 = trạng thái kích thích n1 = 1, n2 = với khoảng cách liên hạt nhân khác Vòng lặp 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Cơng trình [7] n1 = n2 = R = 0.1 a.u -5.452496152182728 -6.869079842360637 -7.134582035025815 -7.189032289991462 -7.219042792430178 -7.226687893779113 -7.233582871263082 -7.237053372924140 -7.241234581744969 -7.243592634526935 -7.246763509163307 -7.248707469103446 -7.251413298210454 7.292183886382096 n1 = n2 = R = 1.0 a.u -0.133643042677192 -3.183731241571831 -3.446164782158334 -3.483209486651852 -3.505930141330892 -3.512076507084016 -3.515815245345216 -3.519490795890641 -3.522933314005299 -3.523733802423030 -3.525308987475544 -3.526747481681508 -3.528270990171724 3.543666987253950 n1 = 1, n2 = R = 0.1 a.u -0.786171718401323 -0.849820569086812 -0.875794523843851 -0.883323233366193 -0.888999572608477 -0.891117809601075 -0.893156489904430 -0.894075097064164 -0.895063480529541 -0.895550120251380 -0.896110790324210 -0.896403574758659 -0.896748417640714 0.899094129617362 Kết luận Trong báo này, phương pháp toán tử FK kết hợp với phép biến đổi Laplace sử dụng để tìm nghiệm số cho toán ion phân tử H +2 hai chiều Chúng thu lượng cho trạng thái kích thích thấp với độ xác hai chữ số thập phân Kết cho thấy phương pháp tốn tử FK áp dụng cho toán hệ nhiều tâm; nhiên, để nghiệm thu có độ xác cao hơn, cần có cải tiến Các kết sở phân tích để phát triển phương pháp tốn tử FK Chúng tơi nhận thấy rằng, việc sử dụng hàm sóng sở hàm sóng dao động điều hịa phương trình Schrưdinger giải phương trình cho ngun tử hạn chế Do đó, chúng tơi đề xuất hướng cải tiến cách xét thành phần tiệm cận e mũ hàm sóng nguyên tử hydro sử dụng phép biến đổi Levi-Civita để đưa toán toán dao động tử phi điều hòa Ghi chú: Nghiên cứu tài trợ Quỹ phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 103.01-2014.44 Trường Đại học Sư phạm TPHCM đề tài cấp sở năm 2015, mã số CS2015.19.69 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Hồng Lanh, Cao Hồ Thanh Xuân, Hoàng Văn Hưng, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2015), “Phương pháp tốn tử FK giải phương trình Schrưdinger cho ion H+2 ”, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP TPHCM, Số 12, tr 67-74 Feranchuk, I D., Ivanov, A., Le, Van-Hoang & Ulyanhenkov, A (2015), NonPerturbative Description of Quantum Systems, Springer – Switzerland Hai-Xiang He, Rui-Feng Lu, Pei-Yu Zhang, Ke-Li Han & Guo-Zhong He (2012), H +2 in intense laser field: “Dissociation and ionization competing processes for Which one is larger?”, J Chem Phys 136, pp 024311-6 Hoang-Do Ngoc-Tram, Hoang Van-Hung and Le Van-Hoang (2013), “Analytical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in magnetic field of arbitrary strength”, J Math Phys 54, pp 052105-10 Hoang-Do Ngoc-Tram, Pham Dang-Lan and Le Van-Hoang (2013), “Exact numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica B 423, pp 31-37 Mak, K F & Shan, J (2016), “Photonics and optoelectrics of 2D semiconductor transition metal dichalcogenides”, Nature Photonics 10, pp 216-226 Ning Qi-Cheng, Peng Liang-You, Hou Xue-Feng, Xu Zhen & Gong Qihuang (2012), + Application of discrete variable representation to planar H in strong xuv laser fields, J Chem Phys 137, pp 094101-11 8 Patil, S H (2003), “Hydrogen molecular ion and molecule in two dimensions”, J Chem Phys 118, pp 2197-2205 Picón, A., Bahabad, A., Kapteyn, H C., Murnane, M M., & Becker A (2011), “Two-center interferences in photoionization of a dissociating H 2+ molecule”, Phys Rev A 83, pp 013414-9 10 Singh, A et al (2016), “Trion formation dynamics in monolayer transition metal dichalcogenides”, Phys Rev B 93, pp 041401-5 11 Xia F., Wang H., Xiao D., Dubey M., and Ramasubramaniam A (2014), "Twodimensional material nanophotonics", Nature Photonics 8, pp 899-907 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 11-10-2016; ngày phản biện đánh giá: 27-10-2016; ngày chấp nhận đăng: 16-12-2016) ... thiệu phương pháp tốn tử FK áp dụng cho toán ion H +2 hai chiều; phần thứ hai trình bày kết thu thảo luận; cuối phần kết luận dự kiến phát triển đề tài 2 Phương pháp toán tử FK cho toán ion H+2 hai. .. tự ion H+2 [10] Phương pháp toán tử FK [2] phương pháp tìm nghiệm số xác, bao gồm gồm hàm sóng lẫn lượng, cho phương trình Schrưdinger Phương pháp phát triển thu kết khả quan cho hệ nguyên tử hai. .. Đối với toán ion phân tử H+2 ba chiều, phương pháp sử dụng để tìm nghiệm số [1] Trong cơng trình này, chúng tơi áp dụng phương pháp tốn tử FK để tìm nghiệm số cho toán ion phân tử H +2 hai chiều