Đỗ Thị Thu Hà tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ PHƯƠNG PHÁP THỜI GIAN ẢO GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER DỪNG ĐỖ THỊ THU HÀ*, LÊ THỊ THANH THỦY**, TRẦN LAN PHƯƠNG**, NGUYỄN NGỌC TY*** TÓM TẮT Bằng cách áp dụng phương pháp thời gian ảo cho số dạng khác dao động tử điều hòa phi điều hịa, chúng tơi thu lượng hàm sóng phương trình Schrưdinger dừng Việc so sánh kết với phương pháp lí thuyết nhiễu loạn phương pháp toán tử cho phép kết luận phương pháp thời gian ảo hiệu quả, cho kết xác cho việc giải số phương trình Schrưdinger dừng Từ khóa: phương pháp thời gian ảo, phương trình Schrưdinger, giải số ABSTRACT Imaginar time method for numerical solution of Schrödinger equation By applying the imaginary time method for some different forms of potential energy, say harmonic and anharmonic oscillation, we obtain the energy levels of Schrödinger equation Comparison with the perturbation theory and the operator method leads us to conclude that the imaginary time method gives exact solution solutions for Schrödinger equation Keywords: imaginary time method, Schrödinger equation, numerical solution Giới thiệu Trong học lượng tử, phương trình Schrưdinger đóng vai trị quan trọng tương đương phương trình động lực học định luật II Newton học cổ điển Việc giải phương trình Schrưdinger dừng cho tranh chung phổ lượng hệ xét Đây sở cho việc tìm tính chất mới, biểu giới lượng tử với kích thước vi mơ Hơn nữa, tốn hệ tương tác với trường bên ngồi thay đổi theo thời gian, việc xác định trạng thái hệ chưa * HVCH, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TPHCM ** Sinh viên, Trường Đại học Sư phạm TPHCM *** TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM tương tác (xem điều kiện ban đầu) đóng vai trị định Chính vậy, việc giải xác phương trình Schrưdinger dừng có ý nghĩa đặc biệt vật lí Tuy nhiên, việc giải xác nghiệm giải tích phương trình Schrưdinger dừng tiến hành với số trường hợp cụ thể tốn hố thế, dao động tử điều hịa, ngun tử hydro Với trường hợp khác cần sử dụng phương pháp gần phương pháp biến phân, phương pháp nhiễu loạn Việc sử dụng phương pháp gần này, phương pháp nhiễu loạn hạn chế áp dụng nhiễu loạn nhỏ so với lượng hệ chưa có nhiễu loạn Chính vậy, việc phát triển phương pháp số giúp giải xác phương trình Schrưdinger dừng quan tâm phát triển rộng rãi Một phương pháp giải số áp dụng rộng rãi gần phương pháp thời gian ảo [3-5] Trong cơng trình [3], tác giả giới thiệu phương pháp thời gian ảo kiểm chứng cho số tốn dừng có dạng đơn giản Tiếp sau đó, phương pháp ứng dụng rộng rãi cho toán nguyên tử phân tử tương tác với trường lade [4-6] Trong cơng trình này, tác giả sử dụng phương pháp thời gian ảo để giải phương trình Schrưdinger dừng cho hệ nguyên tử, phân tử cho hai điện tử, trước xét đến trình tương tác với trường Các tác giả nhận định việc áp dụng phương pháp cho kết lượng xác Trong báo này, giới thiệu phương pháp thời gian ảo giải số cho số tốn có dạng dao động tử điều hịa phi điều hịa Ngồi ra, chúng tơi giải tốn phương pháp nhiễu loạn ảo quy trình tính tốn để giải mức lượng trạng thái liên kết Sau đó, phần 3, chúng tơi trình bày kết cho số dạng cho phương trình Schrưdinger chúng tơi trình bày kết toán theo hướng tiếp cận gần với lí thuyết nhiễu loạn theo hướng tiếp cận phương pháp tốn tử; cuối cùng, chúng tơi tóm tắt lại kết việc giải số phương trình Schrưdinger dừng phương pháp thời gian ảo Phương pháp thời gian ảo Phương pháp thời gian ảo xuất phát từ phương trình Schrưdinger phụ thuộc thời gian mơ tả phương trình ∂Ψ i = (1) µ H Ψ, ∂ t Hµ tốn tử Hamilton, Ψ hàm sóng Trong báo này, sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = e = me = Điểm mấu chốt phương pháp thời gian ảo phép đổi biến số τ = it phương trình (1) Với phép biển đổi này, phương trình (1) được viết lại ∂ Ψ( τ ) (2) = −HµΨ (τ) ∂τ phương pháp toán tử [1, 2] Việc so sánh phương pháp cho phép kết luận phương pháp thời gian ảo giúp cho việc giải số phương trình Nghiệm phương trình (2) viết dạng Ψ( τ ) ( 0) , τ = e−Hµ Ψ (3) Schrödinger dừng hiệu cho kết Ψ hàm sóng lúc đầu ( 0) xác Bố cục báo chia làm ba phần Phần đây, chúng tơi mơ tả phương pháp tính thời gian τ = Gọi ψ n hệ hàm riêng phương trình Schrưdinger dừng cần giải H n=Eψ , (4) n n µ ψ với En mức lượng riêng toán tử Hamilton Khai triển Ψ ( 0) theo tổ hợp tuyến tính Ψ( ) = hệ hàm ∑Cnψn đầy đủ thay vào phương trình (3), ta Ψ( τ ) ψn , (5) = ∑Cn e− E ψ nτ , phương trình (4) sử dụng Để ý thấy dù hàm sóng ban đầu Ψ ( ) chuẩn hóa sau thời gian τ , tính chuẩn hóa giảm với ψ , E0 hàm sóng lượng trạng thái phương trình (4) Vì nên En − E0 > − En −E0 τ τ →∞ , trình tìm trạng thái kích thích thứ bắt (7) đầu biểu thức τ Ψ ( τ ) = ( − P ) e−Hµ Ψ( 0) , Với P0 = ψ ψ Vì để giải phương trình (4), ta xuất phát từ trạng thái ban đầu mật độ trạng thái không gian Hilbert Tương tự cho trạng thái cao hơn, ta trừ trạng thái bản, kích thích thứ nhất,… kích thích thứ (n-1) thu hàm sóng lượng cho trạng thái thứ n, Ψ( τ ) = ( 1− P − P − P τ xuất thừa số e − En Hàm sóng (5) sau chuẩn hóa viết lại sau C ψ0 + ∑ n −( En −E0 C) τ e ≠ n 0 Ψ( τ ) = (6) C 2 1 n e2En E0 τ n0 C0 ( ) e → Ψ ( τ →∞) = ψ trạng thái kích thích thứ Quy với P = ψ n ψ n ) e−Hµτ Ψ( 0) , n−1 (8) mật độ trạng n thái thứ n Kết Trong phần này, trình bày kết áp dụng phương pháp thời gian ảo để giải phương trình Schrưdinger dừng với dạng khác bao gồm dao động tử điều hòa dao động tử phi điều hòa Chúng tơi giới hạn xét tốn khơng gian chiều 3.1 Dao động tử điều hịa Thế dao động tử điều hịa có dạng V = , ω 2x2 (9) Ψ ( 0) tác dụng số hạng e− cho mức lượng giải H µτ τ →∞ , ta thu hàm sóng mức lượng trạng thái Để thu trạng thái kích thích thứ nhất, ta tiến hành tương tự Tuy nhiên ta cần phải loại bỏ trạng thái biểu thức (3), trạng thái có lượng thấp chính xác là E = n + (10) ω n 2 Kết áp dụng phương pháp thời gian ảo chúng tơi thể hình so sánh với kết xác Trong hình 2, chúng tơi trình bày kết tính mức lượng cho dao động tử phi điều hòa với số hạng phi điều hòa λ x ứng với λ = 0.01 Hình Năng lượng dao động tử điều hòa với ω = 1cho mức lượng từ đến kích thích thứ 30 Đường liền nét kết tính tốn xác.Chấm trịn kết tính tốn phương pháp thời gian ảo Kết tính tốn lượng cho dao động tử chúng tơi cho thấy có phù hợp với kết tính tốn xác Kết chúng tơi xác đến chữ số sau dấu phẩy độ xác hồn tồn tăng lên Chúng tơi tiếp tục tính tốn cho trường hợp dao động tử điều hịa với tần số ω khác Tính tốn cho thấy phương pháp thời gian cho kết số xác tới chữ số sau dấy phẩy 3.2 Dao động tử phi điều hòa Trong phần này, tiếp tục áp dụng phương pháp thời gian ảo để giải toán dao động tử phi điều hịa Trong phần chúng tơi xét số hạng phi điều hòa λ x Với dạng phi điều hịa này, ngồi sử dụng phương pháp thời gian ảo, chúng tơi tính tốn mức lượng theo hướng tiếp cận lí thuyết nhiễu loạn Ngồi ra, chúng tơi cịn tính tốn thêm với phương pháp tốn tử để có kết so sánh Hình Năng lượng dao động tử phi điều hòa với λ = 0.01 Đường liền nét kết phương pháp toán tử, đường đứt nét kết phương pháp nhiễu loạn, chấm tròn kết phương pháp thời gian ảo Trong hình 2, ứng với mức lượng thấp n < , ba hướng tiếp cận cho kết trùng Tuy nhiên, với mức lượng cao hai phương pháp toán tử phương pháp thời gian ảo cho kết Trong đó, phương pháp lí thuyết nhiễu loạn lại cho kết sai lệch Với giá trị λ lớn hơn, kết cho thấy có trùng khớp hai phương pháp toán tử thời gian ảo sai lệch phương pháp lí thuyết nhiễu loạn Ứng với giá trị λ lớn phần trùng hợp phương pháp nhiễu loạn hai phương pháp Điều λ lớn miền áp dụng cho trạng thái hẹp Điều kiện thể qua mối liên hệ λ n sau [6] ( n + 1) λ= 6n2 + 6n + (11) Ứng với λ = 0.01, ta tính giới hạn số trạng thái n = Điều thể hình Chính ta thấy với toán dao động tử phi điều hòa, λ lớn, phương pháp thời gian ảo cho kết xác so sánh với phương pháp tốn tử, lí thuyết nhiễu loạn lại thể hạn chế tính tốn lượng hệ Kết luận Chúng áp dụng phương pháp thời gian ảo để khảo sát tốn dao động tử điều hịa dao động tử phi điều hòa Đối với dao động tử điều hịa, tốn có kết xác phương pháp giải tích, phương pháp thời gian ảo cho kết xác đến tám chữ số sau dấu phẩy Đối với dao động tử phi điều hòa, phương pháp thời gian ảo tiếp tục thể ưu điểm cho kết xác, phù hợp với phương pháp tốn tử, phương pháp nhiễu loạn lại thể kết xác Với kết đó, phương pháp thời gian ảo cho thấy phương pháp giải số phương trình Schrưdinger dừng hiệu quả, xác 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Ðỗ Ngọc Trầm, Lê Văn Hoàng (2012), “Tham số tự với hội tụ phương pháp tốn tử FK”, Tạp chí Khoa học ÐHSP TPHCM, 33 (67), tr 94-106 Feranchuk I D and Komarov L I (1982), “The Operator Method of Approximate Solution of the Schrödinger Equation”, Phys Lett A, 88, pp 212-214 Kosloff R (1986), “A direct relaxation method for calculating eigenfunctions and eigenvalues of the Schrödinger equation on a grid”, Chemical Physics Letters, 127, pp 223-230 Lappas D.G and Marangos J.P (2000), “Orientation dependence of high-order harmonic generation in hydrogen molecular ions”, J Phys B: At Mol Opt Phys., 33, pp 4679-4689 Lein M., Hay N., Velotta R., Marangos J P., and Knight P L (2002), “Role of the Intramolecular Phase in High-Harmonic Generation”, Phys Rev Lett., 88, 183903.3 Takemoto Norio and Becker Andreas (2011), “Time-resolved view on chargeresonance-enhanced ionization”, Phys Rev A, 84, 023401 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 11-01-2013; ngày phản biện đánh giá: 28-01-2013; ngày chấp nhận đăng: 18-02-2013) ... cận phương pháp tốn tử; cuối cùng, chúng tơi tóm tắt lại kết việc giải số phương trình Schrưdinger dừng phương pháp thời gian ảo Phương pháp thời gian ảo Phương pháp thời gian ảo xuất phát từ phương. .. phát triển phương pháp số giúp giải xác phương trình Schrưdinger dừng quan tâm phát triển rộng rãi Một phương pháp giải số áp dụng rộng rãi gần phương pháp thời gian ảo [3-5] Trong cơng trình [3],... với phương pháp tốn tử, phương pháp nhiễu loạn lại thể kết xác Với kết đó, phương pháp thời gian ảo cho thấy phương pháp giải số phương trình Schrưdinger dừng hiệu quả, xác 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO