1100 Phương pháp toán tử FK cải tiến giải phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường đều.docx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC ISSN: 1859-3100 HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ Tập14, Số (2017): 129-139 NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY Vol 14, No (2017): 129-139 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER CHO EXCITON HAI CHIỀU TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Nguyễn Hồ Thanh Huyền1, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm2* Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG TPHCM Khoa Vật lí - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Ngày Tịa soạn nhận bài: 16-9-2016; ngày phản biện đánh giá: 10-10-2016; ngày chấp nhận đăng: 24-3-2017 TĨM TẮT Phương pháp tốn tử FK với phép biến đổi Laplace áp dụng để tìm lại nghiệm số cho toán exciton hai chiều từ trường nhằm thay phép biến đổi Levi-Civita vùng từ trường lớn phát triển cho hệ phức tạp Kết thu nghiệm số với độ xác tám chữ số thập phân cho trạng thái có số lượng tử đến hàng trăm Độ xác giảm từ trường nhỏ trạng thái có số lượng tử từ m = Như vậy, phép biến đổi Laplace không thay hoàn toàn cho phép biến đổi Levi-Civita xác định nghiệm số, có ý nghĩa cho phân tích giải tích thuận lợi để phát triển cho hệ phức tạp Từ khóa: exciton hai chiều, nghiệm số, phương pháp tốn tử, phương trình Schrưdinger, từ trường ABSTRACT The modified FK operator method for solving the Schrödinger equation of twodimensional exciton in a uniform magnetic field of arbitrary strength FK Operator Method combined with Laplace transformation is used to retrieve numerical solutions of the problem of 2D exciton in a uniform magnetic field (MF) in order to replace the Levi-Civita transformation in the case of high MF Numerical solutions with precision of eight decimal places are found for states with quantum number up to hundreds This presicion decreases for states with the magnetic quantum number m=0 and in weak MF Therefore, the Laplace transformation can not be replaced entirely for the Levi-Civita one to get numerical solutions but it is meaningful for analytical analysis and for complex systems Keywords: laplacetransformation, numerical solution, operator method, Schrödinger equation, twodimensional exciton * Email: tramhdn@hcmup.edu.vn TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số (2017): 129139 Mở đầu Exciton trạng thái liên kết điện tử lỗ trống tinh thể bán dẫn, đối tượng nghiên cứu quan trọng nghiên cứu ứng dụng quang điện tử [1] Đặc biệt, hệ bán dẫn hai chiều quan tâm TMDs (Transition Metal Dichacogenics), việc hình thành exciton hình thức chuyển dời quang học chủ yếu [2] Việc tìm phổ lượng exciton hướng nghiên cứu quan tâm phổ hấp thụ exciton có cấu trúc rõ nét, cho phép thực phân tích chi tiết mặt lí thuyết Tuy nhiên, lượng trạng thái kích thích exciton khó đo thực nghiệm [3] Vì vậy, người ta thường sử dụng trường nghiên cứu đo đạc phổ lượng exciton, đặc biệt từ trường Đối với hệ exciton, việc áp dụng từ trường vào hệ giam hãm exciton, làm tăng cường độ dao động khối lượng hiệu dụng exciton… Do đó, lượng liên kết exciton tăng lên [4], phổ lượng ứng với trạng thái kích thích exciton rõ nét Vì vậy, việc tìm phổ lượng exciton từ trường giúp ta nghiên cứu giải thích số hiệu ứng vật lí hiểu thêm tính chất quang hệ bán dẫn tác dụng từ trường Việc giải phương trình Schrưdinger để tìm phổ lượng hàm riêng exciton hai chiều từ trường nhiều nhóm nghiên cứu quan tâm [5-8] Phương pháp toán tử FK (FK-OM) [9] áp dụng để giải toán exciton từ trường với cường độ cách kết hợp với phép biến đổi Levi-Civita Kết thu nghiệm số xác (hàm sóng lượng) đến 20 chữ số thập phân cho trạng thái trạng thái kích thích với số lượng tử lên đến 150, kỉ lục hướng nghiên cứu [5, 6] Tuy nhiên, việc kết hợp phép biến đổi Levi-Civita với FKOM gặp số khó khăn áp dụng cho toán Thứ nhất, sử dụng FK-OM kết hợp với phép biến đổi Levi-Civita, hàm sóng sở hàm riêng toán nguyên tử tác dụng tương tác Coulomb Bộ hàm sóng làm việc tốt trường hợp từ trường nhỏ Trong trường hợp từ trường lớn, hiệu phương pháp giảm đi, thể qua giảm tốc độ hội tụ nghiệm xác thu hẹp miền hội tụ theo tham số tự dùng hiệu chỉnh tốc độ hội tụ Đồng thời, hàm sóng sở hàm Coulomb, việc xếp mức lượng miền từ trường mạnh không theo trật tự Thứ hai, việc kết hợp phép biến đổi Levi-Civita FKOM nhằm làm biến động lực mẫu số Tuy nhiên, điều hiệu trường hợp toán hạt, trường hợp toán hệ nhiều hạt, việc áp dụng phép biến đổi trở nên phức tạp Trong cơng trình [10] FK-OM với phép biến đổi Laplace thay cho phép biến đổi Levi-Civita để đưa biến động lực khỏi mẫu số toán nguyên tử Với phép biến đổi Laplace, hàm sóng sở có phần đóng góp lớn từ trường, nên kì vọng làm việc tốt miền từ trường lớn Ngoài ra, phép biến đổi mở rộng cho toán hệ nhiều hạt exciton âm [11] Trong cơng trình này, chúng tơi áp dụng FK-OM kết hợp với phép biến đổi Laplace cho exciton hai chiều từ trường để tìm lại nghiệm số xác cho tốn Từ kết thu được, đánh giá khả làm việc phương pháp miền từ trường khác nhau, miền từ trường lớn Từ đó, kết luận khả áp dụng toán cho việc giải phương trình Schrưdinger cho hệ ngun tử Đây bước việc hoàn chỉnh FK-OM cho toán hệ nguyên tử hai chiều từ trường Cấu trúc báo gồm ba phần: Phần thứ trình bày phương pháp, phần thứ hai trình bày kết thu thảo luận; cuối phần kết luận dự kiến phát triển đề tài Phương pháp toán tử FK cho exciton hai chiều từ trường Phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều từ trường có dạng [5]: HµY (x, EY(x, y) y )= ổỗ ả2 ig ảử ả g2 Z ổ ảử ữ ỗ ữ y + (x + y )- r , với H = ả xứữ + x ỗốả x2 ả y ỗố ả 2ữ ữ ữ y ứ đơn vị độ dài lượng định nghĩa cơng trình [5] (1) (2) Đối với phần tương tác Coulomb (2), sử dụng phép biến đổi Laplace [10] để đưa tọa độ mu s nh sau: 1 +Ơ L Uà =r = p t ò e- tr dt (3) Trong phần này, áp dụng FK-OM để giải phương trình Schrưdinger (1)-(3) với bốn bước [10]: Bước Viết lại Hamiltonian biểu diễn đại số toán tử sinh hủy hai chiều: aˆ+ (w) = wỉ ¶ ỉ ¶ w aˆ(w) x ,ữ ỗ x + ữ ỗ -ỗỗ è ÷, = ÷ ø bˆ(w) = w¶x 2è w ¶ xø w ỉ ¶ ả w (w) = ữ,ữ ổỗ ỗ y + ửữữ , b + ỗy ỗỗố wảy ốỗ w ả y ứữ ứữ (4) ú: w tham số tự đưa vào để tối ưu hóa q trình tính tốn; aµ, $b tốn tử hủy; $a+ , toán tử sinh Các toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán: $b + éaˆ, ù = 1,aˆ+ (5) é$ $+ ù ëê êb, b ú= úû ë û Các giao hốn tử khác khơng Mặt khác, hệ hai chiều, hình chiếu moment quỹ đạo lên trục z đại lượng bảo tồn, ta chọn toán tử sinh hủy cho Lˆ z có dạng chéo hóa: 1 + aˆ+ + ibˆ , uˆ = (aˆ - ibˆ), 2 1 + vˆ+ = aˆ+ - ibˆ , vˆ = aˆ + ibˆ 2 ( uˆ+ = ) ( ) ( (6) ) Các toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán biểu thức (5): é uˆ, êë uˆ+ ù = úû é vˆ, vˆ+ êë ù = úû (7) Khi tốn tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo viết lại sau: Lˆ = uˆ+ vˆ+ z uˆvˆ (8) Lúc này, Hamiltonian biểu diễn đại số có dạng sau: w gm g 2w + ¥ dt · + ảM + Nà+ M + - Z M + Mˆ - N ˆ + + ò ˆ H = ( ổ ỗƠ ổ t - ( ) ö 2i ˆ i ) pt 16w ˆ ¥ ¥ ỉ t - (9) ư i+ j ˆ i ˆ ÷ ø ÷ ´ çå )ç ÷ (M + (1+ 2t ) çè1+ èç i= ( 2ti !ø)÷ Mi+ Nˆ / å å i= (i¹ j) j= ç ÷ (M ) ç i! ø÷j !è 1+ 2t M j ÷ (1+ 2t )Nˆ / ÷ + Mˆ = 2uˆ+ vˆ+ , Nˆ = 2uˆ+ uˆ + 2vˆ+ Mˆ = 2uˆvˆ Các toán tử tạo vˆ + thành đại số kín với hệ thức giao hoán: éMˆ , Nˆ ù= éMˆ , Mˆ + ù= éNˆ , Mˆ + ù= 4Mˆ , 2Nˆ , 4Mˆ + úû ëê ëê ëê úû + (10) úû Các biểu thức giao hoán (10) sở cho tính tốn đại số Bước Tách Hamilton thành hai phần: phần gồm tốn tử trung hịa (có số tốn tử sinh hủy nhau), phần lại nhiễu lon: ổw g2 H Z = ỗ + gm ữN + ỗố 16wứữ 2w + Ơ dt å + - òt p i= 0 ổ w 2gử + V = ỗ- + ữ(M + M 2w )- Z p ốỗ +Ơ dt ũt Ơ )1 ổ ỗ - t ử2i ữ (M Ơ Ơ ồ i= (iạ j) 16wứữ j= ứữ ổ -t ỗ i M, (1+ 2t )N /2 (i!) ỗố1+ 2t ứữ i ửi+ữj + )i(M i! j!ỗố1+ 2t M j (11) (1+ 2t )Nˆ / Với cách tách trên, ta thấy hai thành phần phụ thuộc tham số tự w đưa vào Bước Sở dĩ tham số gọi Hamiltonian tồn phần khơng phụ thuộc giá trị Do đó, giá trị tham số w khơng làm ảnh hưởng đến nghiệm xác tốn Mặc dù vậy, tham số hiệu chỉnh tốc độ hội tụ lựa chọn giá trị phù hợp, phần Hamiltonian chiếm ưu so với thành phần nhiễu loạn – hay nói cách khác nghiệm gần bậc không gần với kết xác, tốn hội tụ nhanh Bước Chọn hàm sóng sở hàm riêng phần hình chiếu moment quỹ đạo lên trục z: k, m = k, m = với m 0(w) m ≥ , (12) 0(w) m ≤ , (13) (vˆ )k k !(k + m )! + k !(k + m )! )k+ m k = 0, 1, 2, ; không” (uˆ + )k + (uˆ )k (vˆ + + m = 0, ±1, ± 2, số lượng tử từ (trị riêng Lˆz ) trạng thái “chân 0(w) xác định phương trình: uˆ 0(w) = 0, vˆ 0(w) = 0, 0(w) 0(w) = Khi tác dụng toán tử (14) + Mˆ , Nˆ , Mˆ lên hàm sóng sở (12), (13), ta thu kết giống nhau: (k + 1)(k + m + 1) Mˆ + kM(k + m ) k,m = k, m = ˆ k1, m k + 1, m , Nˆ k, m (15) , = 2(2k + m + 1) k, m Bước Tìm nghiệm số xác tốn Hàm sóng xác dạng tổ hợp tuyến tính hàm sóng sở: Nmax Yk ,m (x) = Ck å k=0 k, m (16) Ở đây, ta giả sử hàm sóng hội tụ nghiệm xác k = N max Ta thay hàm sóng (16) vào phương trình (1) thực số tính tốn, ta có phương trình Schrưdinger dạng ma trận: N max å k=1 N max (17) Ck H k 'k = E å Ck , k=1 hay (H ) (C)= E (C) (18) với ma trận (H ) có thành phần Hk,k' ma trận (C)có thành phần C1, , Ck Các trị riêng E nghiệm mà ta cần tìm, nghiệm tiến tới giá trị xác lớn Trong đó, yếu tố ma trận (H ) xác định bởi: æg gm H = + k ,k +ỗ wử k + i= çwè16 4ø÷ wư ỉ ÷ ç g2 H k ,k + -= ỗố16w k !(k m )! m + 1)- Z w å ÷2(2k + (i! )2 (k - Nmax i)!(k + m i) ! I 2i , 2k + m + (k + 1)(k m + 1) 4÷ + ø÷ k !(k + m )!(k + 1)!(k + 1+ m )! 2i- k+ 1 I 2k + m + 2, - Z w å i!(i - 1)! (k - i + 1)!(k + m - i + 1)! (19) i= k+s Hk + s,k = Z (s> 1) k !(k + m )!(k + s)!(k + s + m )! w å i!(i - s)!(k - i +ỉs)!(k + m1 -ưi + s)ổ! q i= s ỗ ữ ỗ ÷ 2i- s I2k + s+ m + 1, q I p +¥ (- t2 ) (- với ( ) q = p p> q³ p , qỴ Z = 1) G p ỗ G q+ ữ ỗ ÷ qdt ò (1+ t2 ) p è 2ø3 è2ø p G(p) (20) Kết thảo luận Từ kết tính tốn, chúng tơi xây dựng chương trình tính tốn tự động dựa ngơn ngữ FORTRAN Trong chương trình có sử dụng gói LAPACK tìm nghiệm cho tốn hàm riêng trị riêng thư viện Intel Math Kernel Kết thu nghiệm số cho trạng thái ứng với số lượng tử k lên đến hàng trăm số lượng tử từ m ¹ với độ xác ổn định khoảng tám chữ số thập phân kết viết dạng chuẩn Để minh họa, Bảng 1-4, chúng tơi trình bày kết cho số trạng thái so sánh với kết cơng trình [5] số kết mở rộng khác Để dễ so sánh, cường độ từ trường thể qua đại lượng g ' = g / (g + 1) Năng lượng trạng thái có m dương suy từ trạng thái có m âm dựa vào mối quan hệ: E k ,m = Ek ,- m + mg Kết cho thấy FK-OM cải tiến cho phép thu nghiệm số cho toán Kết khơng có độ xác cao cơng trình [5] sử dụng phép biến đổi Levi-Civita (20 chữ số thập phân) Một lí cơng trình [5], chương trình tính tốn sử dụng gói hỗ trợ cho phép liệu đạt đến độ xác 50 chữ số thập phân, cơng trình này, mặc định gói LAPACK, liệu đạt đến độ xác tối đa 15 chữ số thập phân Việc phát triển code để thu kết xác cần nghiên cứu tiếp Tuy nhiên, kết đạt đủ cho phân tích giải tích để tìm hiểu chất hệ vật lí Mặt khác, từ số liệu thu được, ta thấy FK-OM cải tiến không hiệu cho miền từ trường nhỏ Trong trình chạy chương trình tìm lượng xác cho trạng thái k = 0, m = −4 tới k = 168, m = −9, thấy với trường hợp từ trường mạnh ( γ 'cỡ 0.65 trở lên) vùng lựa chọn tham số tự để nghiệm hội tụ nghiệm xác rộng so với vùng lựa chọn tham số tự vùng từ trường yếu ( γ 'cỡ 0.35 trở xuống) Cụ thể, trạng thái có k = 8, m = −9 từ trường yếu : γ ' = 0.15 có vùng lựa chọn tham số ω để có nghiệm xác 10 chữ số thập phân nằm khoảng (0.25, 0.50); từ trường mạnh γ ' = 0.85 có vùng lựa chọn tham số ω để nghiệm xác 10 chữ số thập phân nằm khoảng (1.25, 6.00) Điều phù hợp với dự đoán ban đầu, vùng lựa chọn tham số ω để nghiệm hội tụ xác rộng vùng từ trường mạnh Điều giải thích kết hợp phép biến đổi Laplace vào phương pháp toán tử FK để tìm lượng xác, phần tương tác từ trường phần phần tương tác Coulomb phần nhiễu loạn Mặt khác, từ Bảng 4, ta thấy khó xác định giá trị lượng trạng thái kích thích cao vùng từ trường yếu Trong vùng từ trường yếu ( γ ' = 0.05 tới γ ' = 0.35 ), ta khơng tìm giá trị tham số ω để xác định nghiệm số xác số trạng thái kích thích cao Từ đó, ta kết luận vùng từ trường mạnh, FK-OM kết hợp với phép biến đổi Laplace tìm lượng xác có phần dễ dàng so với vùng từ trường yếu Ngoài ra, Bảng ta thấy độ xác kết ứng với trạng thái có số số lượng tử từ m = bị giảm ba chữ số thập phân Điều giải thích trường hợp m= 0, đóng góp từ trường phần Hamiltonian bị giảm đáng kể, dẫn đến việc hội tụ chậm Như nói, việc kết hợp phép biến đổi Laplace FK-OM khơng thể thay hồn tồn phép biến đổi Levi-Civita việc tìm nghiệm số xác Tuy nhiên, với khả áp dụng FK-OM cải tiến vùng từ trường lớn, hai hướng phát triển FK-OM bổ khuyết cho tìm nghiệm cho toán hệ nguyên tử hai chiều Hơn nữa, việc phát triển FK-OM với phép biến đổi Laplace cần thiết cho mở rộng sang hệ nguyên tử phức tạp Bảng Năng lượng ứng với trạng thái 2p-, 3p-, 4p- ( m = −1) Kết so sánh với nghiệm số xác thu FK-OM kết hợp với phép biến đổi Levi-Civita cơng trình [5] Kết cho thấy nghiệm có độ xác ổn định tám chữ số thập phân − − − g' p (k = 0, m = −1) p (k = 1, m = −1) p (k = 2, m = −1) 0.05 -0.24474134 -0.08036721 0.00090050 0.15 -0.27410756 0.00108637 0.21323373 0.25 -0.28409801 0.14986742 0.52606940 0.35 -0.27398063 0.37170668 0.96036057 0.45 -0.23736745 0.69769322 1.57415466 0.55 -0.15849200 1.19360373 2.48370977 0.65 0.00008428 2.00503229 3.94243430 0.75 0.34214588 3.51694576 6.61507130 0.85 1.27112332 7.16153917 12.95785147 0.95 6.70030514 26.07692664 45.30314463 Bảng Năng lượng ứng với trạng thái 3d − , 4d − , 5d − ( m = −2) , so sánh với nghiệm số xác thu FK-OM kết hợp với phép biến đổi Levi-Civita cơng trình [5] Kết cho thấy nghiệm có độ xác ổn định tám chữ số thập phân − − − g' 3d (k = 0, m = −2) 4d (k = 1, m = −2) 5d (k = 2, m = −2) 0.05 -0.11440510 -0.03603819 0.02905749 0.15 -0.13674173 0.06842568 0.26190026 0.25 -0.13064401 0.23628341 0.59077510 0.35 -0.10076026 0.47676457 1.04063336 0.45 -0.04057485 0.82292516 1.67121288 0.55 0.06740516 1.34249561 2.60039856 0.65 0.26432778 2.18414967 4.08414376 0.75 0.66251797 3.73942662 6.79260902 0.85 1.69141167 7.46015607 13.19819451 0.95 7.42860734 26.60790678 45.73489523 Bảng Năng lượng ứng với trạng thái 1s, 2s, 3s Hiệu FK-OM cải tiến giảm m = 0, độ xác nghiệm thu đạt đến ba chữ số thập phân g' 1s (k = 0, m = 0) s (k = 1, m = 0) 3s (k = 2, m = 0) 0.05 -1.999 -0.244 -0.114 0.15 -1.998 -0.274 -0.136 0.25 -1.994 -0.284 -0.130 0.35 -1.986 -0.273 -0.100 0.45 -1.969 -0.237 -0.040 0.55 -1.934 -0.158 0.067 0.65 -1.856 0.000 0.264 0.75 -1.665 0.342 0.662 0.85 -1.059 1.271 1.691 0.95 3.231 6.700 7.428 Bảng Năng lượng cho số trạng thái kích thích cao Hiệu FK-OM cải tiến giảm vùng từ trường nhỏ k = 159, m = −7 k = 133, m = −7 k = 164, m = −9 0.45 130.40557544 109.127292561 134.50154056 0.55 194.829041501 163.044475049 200.94633148 0.65 294.214603648 247.777955911 305.36536685 0.75 475.318841822 400.308578818 493.32888931 0.85 903.584870478 756.236927551 931.93150450 0.95 3030.04505702 2536.01831107 3125.0694106 g' 0.05 0.15 0.25 0.35 Kết luận Trong báo này, FK-OM kết hợp phép biến đổi Laplace áp dụng để tìm nghiệm số xác phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều từ trường Chúng xây dựng chương trình tính tốn tự động dựa ngơn ngữ FORTRAN cho phép xác định lượng trạng thái với số lượng tử lên đến hàng trăm Đối với trạng thái ứng với số lượng tử từ m ¹ , độ xác đến tám chữ số thập phân Đối với trạng thái ứng với số lượng tử từ m = , độ xác giảm cịn ba chữ số thập phân Thêm vào đó, vùng từ trường yếu ta khó xác định nghiệm cho trạng thái kích thích cao Như nói, việc kết hợp phép biến đổi Laplace FK-OM khơng thể thay hồn tồn phép biến đổi Levi-Civita việc tìm nghiệm số xác Tuy nhiên, với hiệu FK-OM cải tiến vùng từ trường lớn, hai phép biến đổi kết hợp với FK-OM để bổ khuyết cho tìm nghiệm cho toán hệ nguyên tử hai chiều Hơn nữa, việc phát triển FK-OM với phép biến đổi Laplace cần thiết cho phát triển sang hệ nguyên tử phức tạp Lời cảm ơn: Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 103.01-2014.44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Mak K F and Shan J., “Photonics and optoelectrics of 2D semiconductor transition metal dichalcogenides,” Nature Photonics 10, pp 216-226, 2016 [2] Hao K et al., “Direct measurement of exciton valley coherence in monolayer WSe2,” Nature Phys 12, pp 1-7, 2016 [3] Miller R C., Kleinman D A., Tsang W T and Grossard A C., “Observation of the excited level of excitons in GaAs quantum wells,”, Physical Review B 24, 2, pp 1134-1136, 1981 [4] Branis S V., Cen J and Bajaj K K., “Effect of magnetic fields on exciton binding energies in type-II GaAs-AlAs quantum-well structures,” Physical Review B 44, 20, pp 196-202, 1991 [5] Hoang-Do Ngoc-Tram, Pham Dang-Lan and Le Van-Hoang, “Exact numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a homogeneous magnetic field of arbitrary strength,” Physica B 423, pp 31-37, 2013 [6] Hoang D Ngoc-Tram, Nguyen P Duy-Anh, Hoang Van-Hung and Le Van-Hoang, “Highly accurate analytical energy of a two-dimensional exciton in a constant magnetic field,” Physica B 495, pp 16-20, 2016 [7] Pino R and Villalba V M., “Scaled variational computation of the energy spectrum of a two-dimensional hydrogenic donor in a magnetic field of arbitrary strength,” Revista Mexicana de Fisica 47, 2, pp 24-29, 2001 [8] Soylu A and Boztosun I (2008), “Asymptotic iteration method solution of the energy spectrum of two-dimensional screened donor in a magnetic field,” Physica E 40, 3, pp 443448 [9] Feranchuk I D and Komaro L I., “The operator method of the approximate solution of the Schrödinger equation,” Physics Letters A 88, 5, pp 211-214, 1982 [10] Lý Duy Nhất, Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc, Nguyễn Văn Hoa, Nguyễn Phương Duy Anh Lê Văn Hồng, “Phương pháp tốn tử FK cho toán nguyên tử hydro từ trường với cường độ bất kì,” Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 40(74) (Khoa học tự nhiên & công nghệ), tr 56-62, 2012 [11] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Lê Quý Giang, Nguyễn Thị Mận Lê Văn Hoàng, “Phương pháp đại số cho toán exciton âm bán dẫn hai chiều,” Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Sư phạm TPHCM ,43(77) (Khoa học tự nhiên & công nghệ), tr 24-32, 2013  ... thứ hai trình bày kết thu thảo luận; cuối phần kết luận dự kiến phát triển đề tài Phương pháp toán tử FK cho exciton hai chiều từ trường Phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều từ trường. .. dụng tốn cho việc giải phương trình Schrưdinger cho hệ nguyên tử Đây bước việc hồn chỉnh FK- OM cho tốn hệ ngun tử hai chiều từ trường Cấu trúc báo gồm ba phần: Phần thứ trình bày phương pháp, phần... Schrưdinger để tìm phổ lượng hàm riêng exciton hai chiều từ trường nhiều nhóm nghiên cứu quan tâm [5-8] Phương pháp toán tử FK (FK- OM) [9] áp dụng để giải toán exciton từ trường với cường độ cách kết hợp