Khóa luận vai trò của tham số tự do trong phương pháp toán tử qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa

LỜI MỞ ĐẦU Nhân loại bước vào kỷ XXI với thành tựu vĩ đại khoa học công nghệ, phải kể đến bước tiến lớn lĩnh vực tiến công vào giới vi mô Trong thời gian gần đây, hoạt động nghiên cứu ứng dụng công nghệ cấp độ nguyên tử hạ nguyên tử ngày phát triển mạnh, điều địi hỏi phải có cơng cụ đủ mạnh để giải toán hệ lượng tử với độ xác ngày cao Như biết, việc giải phương trình Schrưdinger nhiệm vụ quan trọng toán hệ lượng tử Tuy nhiên đa số trường hợp, việc tìm nghiệm xác khơng thể ta phải tìm nghiệm phương trình Schrưdinger phương pháp gần Một phương pháp gần mạnh biết đến nhiều phương pháp lý thuyết nhiễu loạn Ý tưởng phương pháp tách toán tử Hamilton toán thành hai thành phần: thành phần tìm nghiệm xác, thành phần lại gọi nhiễu loạn Điều kiện để áp dụng phương pháp thành phần nhiễu loạn phải “nhỏ” so với thành phần tìm nghiệm xác Đây hạn chế lớn phương pháp này, thực tế có nhiều tốn thành phần tách lại không đủ “nhỏ” để xem thành phần nhiễu loạn Do đó, phương pháp áp dụng cho số tốn Vì vậy, việc tìm phương pháp để giải toán phi nhiễu loạn cần thiết Trong luận văn này, sử dụng phương pháp toán tử (Operator Method) phương pháp mạnh để giải toán phi nhiễu loạn nêu [6],[8] Phương pháp toán tử nhóm nghiên cứu giáo sư Komarov L.I đại học tổng hợp Belarus xây dựng vào năm 80 [6] ứng dụng thành công cho loạt toán khác vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn toán lý thuyết trường [2] Qua toán giải quyết, phương pháp toán tử cho thấy điểm ưu việt hiệu so với phương pháp nhiễu loạn phương pháp tính gần biết khác như: - Đơn giản hóa việc tính tốn suốt q trình tính tốn sử dụng phép tính đại số Vì vậy, ta sử dụng chương trình lập trình tính tốn Matlab, Mathematica, Fortran,… để tự động hóa q trình tính tốn - Cho phép tính tốn hệ lượng tử với trường ngồi có cường độ - Cho phép xác định giá trị lượng hàm sóng hệ toàn miền thay đổi tham số trường Ý tưởng phương pháp tốn tử nằm bốn bước sau: - Biểu diễn toán tử Hamilton qua toán tử sinh hủy Dirac H ( x, p) → H (aˆ , aˆ + , ω ) ; - Tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: trung hòa H (aˆ + aˆ , ω ) khơng trung hịa V (aˆ + , aˆ , ω ) ; - Chọn tham số ω cho thành phần trung hịa thành phần tốn tử Hamilton nghiệm riêng H (aˆ + aˆ , ω ) lượng gần bậc khơng tốn; - Xem thành phần khơng trung hòa V (aˆ + , aˆ , ω ) thành phần “nhiễu loạn” tính bổ bậc cao tốn sơ đồ thích hợp Một ưu điểm phương pháp toán tử chọn tham số ω để điều chỉnh tốc độ hội tụ tốn Trong cơng trình trước [6], [8], [9], chúng tơi sử dụng điều kiện () cực tiểu hóa lượng, tức xác định ω thông qua điều kiện ∂En = Cách chọn cho thấy ∂ω hiệu số toán [6], nhiên cho thấy hạn chế số trường hợp phức tạp [8] Do đó, luận văn tiến hành khảo sát riêng tham số ω để tìm cách chọn ω tốt nhằm tối ưu hóa tốc độ tính tốn Mục tiêu luận văn là: - Tìm hiểu phương pháp nhiễu loạn phương pháp toán tử, so sánh hai phương pháp thơng qua ví dụ tốn dao động tử phi điều hòa; - Khảo sát hội tụ tốn dao động tử phi điều hịa theo tham số ω, từ kiểm tra phương pháp để chọn tham số tự ω dựa vào thay đổi biểu thức Vnn2 H nn2 , tức dựa vào mối quan hệ V nn H nn R R R R Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng Giới thiệu ý tưởng phương pháp nhiễu loạn dừng thơng qua sơ đồ RayleighSchrưdinger Áp dụng sơ đồ để giải toán dao động tử phi điều hòa, từ kết thu tác giả phân tích điểm cịn hạn chế phương pháp Mặc dù nhiều hạn chế ý tưởng phương pháp nhiễu loạn tảng quan trọng để xây dựng nên phương pháp toán tử sử dụng luận văn Chương 2: Phương pháp toán tử toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn Chương giới thiệu cách tổng quát phương pháp toán tử: hình thành, ý tưởng chính, ưu điểm nhược điểm Ngoài ra, tác giả áp dụng phương pháp toán tử cho toán cụ thể tốn dao động tử phi điều hịa bậc bốn để thấy ưu điểm phương pháp so với phương pháp nhiễu loạn nêu Chương 3: Vai trò tham số ω phương pháp tốn tử qua ví dụ tốn dao động tử phi điều hòa bậc bốn Chương phân tích cụ thể vai trị tham số ω việc tối ưu hóa q trình tính tốn dựa kết tốn cụ thể tốn dao động tử phi điều hịa bậc bốn Ngoài ra, tác giả đề xuất kiểm tra phương pháp để chọn tham số ω phương pháp dựa vào tỉ số Vnn2 Với kết so sánh, tác giả phân tích trường hợp đáp ứng tốt H nn2 chưa tốt phương pháp để từ đưa kết luận, đề xuất cải tiến phương pháp cho hiệu Phần kết luận hướng phát triển đề tài: Phương pháp khảo sát dựa vào tỉ số Vnn2 áp dụng tốt cho trường hợp trạng thái kích H nn2 thích Riêng với trạng thái bản, phương pháp đáp ứng tốt hệ số phi điều hòa bé Do đó, tác giả đề xuất cần khảo sát kỹ trường hợp với hàm sóng bậc cao Ngồi ra, để khơng tính tổng qt, cần áp dụng kết có luận văn để khảo sát toán khác phức tạp toán exciton, toán nguyên tử Hidro Chương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG Trong chương này, tác giả giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn thơng qua sơ đồ RayleighSchrưdinger, sơ đồ thơng dụng trình bày phần lớn sách giáo khoa Cơ học lượng tử Ngoài ra, tác giả giới thiệu phân tích kết cụ thể phương pháp nhiễu loạn toán dao động tử phi điều hòa bậc thấy điểm hạn chế phương pháp 1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrödinger phương pháp nhiễu loạn dừng: Như biết, phương trình Schrưdinger phương trình động học Cơ học lượng tử việc giải tốn giới vi mơ dẫn đến việc giải phương trình Tuy nhiên, phương trình Schrưdinger lại phương trình phức tạp mà ta tìm nghiệm xác số trường hợp đơn giản toán nguyên tử Hidro, toán dao động tử điều hịa, chuyển động hạt vi mơ hố vng góc,…Do đó, xét đến hệ lượng tử thực với độ phức tạp cao việc tìm nghiệm xác điều khơng thể ta phải dùng đến phương pháp gần để tìm hàm riêng trị riêng Mặc dù nhiều hạn chế phương pháp nhiễu loạn phương pháp tính gần quan trọng Cơ học lượng tử Trong phần này, giới thiệu phương pháp nhiễu loạn dừng dựa sơ đồ sử dụng thông dụng phương pháp sơ đồ Rayleigh-Schrưdinger Xét phương trình Schrưdinger: Hˆ Ψ ( x) =E Ψ ( x) (1.1) Ý tưởng phương pháp nhiễu loạn ta tách toán tử Hamilton toán thành hai thành phần: ˆ Hˆ + βVˆ ; H = (1.2) thành phần Hˆ tốn tử Hamilton có nghiệm riêng xác: Hˆ 0ψ n = ε nψ n , (1.3) thành phần Vˆ lại gọi thành phần nhiễu loạn, điều kiện để xem nhiễu loạn ta xét trường hợp cụ thể sau Tuy nhiên nhìn chung điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ , Vˆ = Hˆ Khi đó, nghiệm phương trình (1.3) gần với nghiệm phương trình (1.1) Lúc xem ε n ψ n nghiệm gần bậc zero (1.1), nghiệm gần bậc cao tính cách xét đến ảnh hưởng Vˆ thơng qua bổ lượng hàm sóng Ở ta đưa vào tham số nhiễu loạn β để mặc định thành phần nhiễu loạn nhỏ dễ dàng nhìn thấy bậc nhiễu loạn sơ đồ tính tốn qua số mũ β Giả thiết trị riêng Hˆ khơng suy biến có phổ gián đoạn, hệ hàm riêng ψ n Hˆ đầy đủ trực giao ứng với lượng ε n , với n = 0,1, 2, Khi đó, tìm nghiệm +∞ (1.1) dạng khai triển theo hàm riêng Hˆ sau: Ψ ( x) = ∑ Ck ψ k ( x) Không k =0 tính tổng qt ta giả thuyết hàm sóng cho trạng thái n sau: Ψ n ( x )= ψ n ( x ) + +∞ ∑C k =0 (k ≠n) k ψ k ( x) (1.4) Thế vào phương trình (1.1) ta có: +∞ +∞     ( Hˆ + β Vˆ ) ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  = En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  (1.5) k= 0, k ≠ n k= 0, k ≠ n     Nhân hai vế (1.5) với ψ n* ( x) tích phân theo tồn miền biến số x ta được: H nn + β Vnn + β +∞ ∑ = k (k ≠n) Ck Vnk = En (1.6) Bây làm tương tự cho ψ j * ( x), j ≠ n ta có: C j H jj + β V jn + β +∞ ∑ = k (k ≠n) Ck V jk = En C j (1.7) Ta viết (1.6) (1.7) lại sau: En =H nn + β Vnn + β +∞ ∑ = k 0, k ≠ n CkVnk , (1.8) +∞ ( En − H jj )C j =β V jn + β ∑ CkV jk , ( j ≠ n ) (1.9) k =0 k ≠n với ký hiệu yếu tố ma trận: +∞ H kk = ∫ ψ k * ( x) Hˆ ψ k ( x)dx , +∞ V jk = ∫ ψ j * ( x) Vˆ ψ k ( x) dx −∞ −∞ (1.10) Hệ phương trình đại số (1.8) - (1.9) xem tương đương với phương trình Schrưdinger (1.1) Giải hệ phương trình ta thu lượng En hệ số C j , nghĩa tìm hàm sóng Ψ n ( x) qua cơng thức (1.4) Ta sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình cách phân tích theo tham số nhiễu loạn sau: En = En C j =C j +∞ (0) + ∑ β s ∆E ( s ) , (1.11) s =1 +∞ (0) + ∑ β s ∆C j ( s ) , j ≠ n (1.12) s =1 Ở ta ký hiệu En (0) , C j (0) lượng hệ số gần bậc zero, ∆En ( s ) , ∆C j ( s ) , s ≥ bổ vào lượng hệ số hàm sóng Đem (1.11) (1.12) vào (1.9), (1.10) sau đồng hai vế theo bậc s ta được: (0) = En (0) H= 0, nn , C j V jn ∆En (1) = Vnn , ∆C j (1) = s ≥ 2: ∆En ( s ) = En (0) − H jj +∞ ∑V k =0 k ≠n nk ( j ≠ n) ; ∆Ck ( s −1) ,  +∞  s −1 ( s −1) ( s −t ) (t )   = ∆C j ∑V jk ∆Ck −∑ ∆En ∆C j  ( j ≠ n) En (0) − H jj  k 0=t =   k ≠n  (s) Đây sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn mà ta sử dụng phần sau 1.2 Bài toán dao động tử phi điều hòa: (1.13) Ta xét tốn dao động tử phi điều hịa chiều với tốn tử Hamilton có dạng sau: d2 ˆ H= − + x + λ x4 2 dx (1.14) với hệ số phi điều hòa λ > Bài tốn có dạng chuyển động hố có mức lượng gián đoạn Phương pháp nhiễu loạn sử dụng cho toán hầu hết sách giáo khoa học lượng tử [1],[5] Ta chia toán tử Hamilton thành hai phần sau: d2 Hˆ = − + x , dx 2 Vˆ = λ x (1.15) Cách chia phù hợp với lý thuyết nhiễu loạn toán tử Hamilton gần Hˆ có nghiệm riêng xác hàm sóng dao động tử điều hịa:  x2 ψ n An exp  − =    Hn ( x) ,  (1.16) với H n ( x ) đa thức Hermit định nghĩa sau: d n − x2 H n ( x ) = (−1) e e ; dx n n x2 hàm sóng ứng với trị riêng lượng gần bậc zero ε n= n + 1/ Các yếu tố ma trận toán tử Hˆ Vˆ ứng với hàm số (1.16) tính sau: H nn= n + , Vn ,n+4 = λ Vn ,n+2 = (n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1) , λ (2n + 3) (n + 2)(n + 1) , λ (6n + 6n + 3) V= nn (1.17) Các yếu tố ma trận khác khơng khác thu từ tính đối xứng: Vkm = Vmk Kết quả: Trong bảng sau tác giả đưa số liệu thu cho trường hợp trạng thái n = trạng thái kích thích n = Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn µ0 ψ lúc trở thành: ψ n Vµ ψ n = ψ n H n λ= ( 2n + 1) 6n + 6n + (1.18) - Ứng với trạng thái là: λ = 0.67 , ta xét bốn trường hợp λ = 0.01 , λ = 0.05 , λ = 0.1 λ = 0.3 - Tương tự cho trạng thái kích thích n = điều kiện (1.18) trở thành λ = 0.146 ta xét bốn trường hợp λ = 0.01 , λ = 0.03 , λ = 0.06 λ = 0.1 Bảng.1.1: Trạng thái n = λ = 0.01 λ = 0.05 λ = 0.1 E0(0) 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 E0(1) 0.5075000000 0.5375000000 0.5750000000 0.7250000000 E0(2) 0.5072375000 0.5309375002 0.5487500013 4.8875000929 E0(3) 0.5072583125 0.5335390626 0.5695624993 1.0506874797 E0( 4) 0.5072558996 0.5320310060 0.5454335949 -0.9037538228 E0(5) 0.5072562577 0.5331500624 0.5812433983 7.7980283886 E0( 6) 0.5072561937 0.5321503309 0.5172605857 -38.8454419856 E0( 0.5072562070 0.5331891854 0.6502339597 251.9673269259 E0(8) 0.5072562038 0.5319607395 0.3357518043 -1811.3500941848 E0(9) 0.5072562047 0.5335887505 1.1692934364 14595.2498498883 E0( 0.5072562044 0.5311982288 -1.2786007173 -129950.4520395805 7) 10 ) λ = 0.3 Bảng.1.2: Trạng thái kích thích n = : λ = 0.01 λ = 0.03 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 E4( ) 4.8075000000 5.4225000000 6.3450000000 7.5750000000 E4(2) 4.7668874959 5.0569874638 4.8829498552 3.5137495980 E4(3) 4.7775845596 5.3458081837 7.1935156144 14.2108132978 E4( 4) 4.7738544635 5.0436703988 2.3593110572 -23.0901477918 E4(5) 4.7753851516 5.4156275988 14.2619414562 129.9786587800 E4( 6) 4.7746833968 4.9040483689 -18.4791292566 -571.7761147298 E4( 4.7750329077 5.6684285196 79.3615300321 2923.3320274444 E4(8) 4.7748469756 4.4448528730 -232.9328160495 -15669.8670185477 E4(9) 4.7749514618 6.5051300165 820.0470425212 888816.3030916408 E4( 4.7748899061 2.8703274765 E4( 0) 7) 10 ) λ = 0.06 λ = 0.1 -2901.9907584706 -526740.6987256789 Với kết thu được, ta thấy trạng thái bản, phương pháp nhiễu loạn cho kết tốt trường hợp hệ số phi điều hòa bé so với giá trị giới hạn (0.01) Tuy nhiên, với giá trị cịn nhỏ λ, độ xác giảm xuống đáng kể (chỉ xác đến hàng phần trăm) xuất dấu hiệu phân kỳ Với giá trị λ=0.1, nhỏ giá trị giới hạn, phân kỳ xuất rõ sử dụng đến bổ bậc 5, bổ lớn khơng cịn mang ý nghĩa vật lý Với λ ≥ 0.3 trở đi, phương pháp nhiễu loạn khơng cịn áp dụng Tương tự với trạng thái kích thích, phương pháp nhiễu loạn áp dụng µ0 ψ trường hợp giá trị λ thỏa mãn điều kiện ψ n Vµ ψ n = ψ n H n sử dụng bổ bậc thấp, bổ bậc cao khơng có ý nghĩa Từ kết trên, ta nhận thấy phương pháp nhiễu loạn có độ hội tụ khơng cao, áp dụng trường hợp λ bé trạng thái kích thích cao miền áp dụng lại bị thu hẹp lại Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ VÀ BÀI TỐN ĐIỀU HỊA BẬC BỐN DAO ĐỘNG TỬ PHI Chương trình bày ý tưởng phương pháp tốn tử, đồng thời áp dụng để giải lại tốn dao động tử phi điều hịa nhắc tới chương trước Từ kết thu được, tác giả phân tích ưu điểm phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn Mặc dù cịn nhiều hạn chế, thấy phương pháp nhiễu loạn góp phần đưa ý tưởng cho phương pháp toán tử 2.1 Phương pháp toán tử tốn dao động tử phi điều hịa bậc bốn: Những ý tưởng phương pháp toán tử xuất vào năm 1979 [9] Tuy nhiên, phương pháp toán tử (Operator Method) đưa vào năm 1982 nhóm giáo sư trường Đại học Belarus ứng dụng thành công nhóm rộng rãi tốn vật lý chất rắn, toán tương tác hệ boson lý thuyết trường, toán nguyên tử, phân tử trường điện từ [3],[4],[7] Ta trình bày điểm phương pháp tốn tử sở ví dụ tốn dao động tử phi điều hịa chiều Kết thu so sánh với phương pháp nhiễu loạn phần 1.2 Xét phương trình Schrưdinger (1.1) cho dao động tử phi điều hịa với tốn tử Hamilton khơng thứ ngun (1.14) Ta giải phương trình phương pháp toán tử với bốn bước sau: Bước một: Chuyển toán tử Hamilton biểu diễn toán tử sinh - hủy cách đặt biến số động lực (tọa độ toán tử đạo hàm) thơng qua tốn tử sau: aˆ = aˆ + = ω i  xˆ + pˆ  =  2 ω  ω  xˆ − pˆ  =  2 ω  i ω d  x+ ;  2 ω dx  ω d  x−  2 ω dx  (2.1) Ở toán tử aˆ gọi “toán tử hủy” aˆ + gọi “toán tử sinh” (xem [1],[5]); ω tham số thực dương đưa thêm vào để tối ưu q trình tính tốn, ta nói rõ tham số bước ba phần sau luận văn Ta dễ dàng thu hệ thức giao hoán:  aˆ , aˆ +  =   (2.2) Hình 3.12:= n 1,= λ 1.5 Hình 3.13:= n 3,= λ 0.01 Hình 3.14:= n 3,= λ 0.1 Hình 3.15:= n 3,= λ 0.5 Hình 3.16:= n 3,= λ 1.5 Nhận xét: Vnn2 Như điều kiện bé áp dụng tốt cho trạng thái kích thích Riêng trạng thái bản, H nn điều kiện có ý nghĩa trường hợp hệ số phi điều hòa λ bé, trường hợp λ lớn cần có khảo sát chi tiết KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI Các kết đưa luận văn liệt kê sau: - Chứng minh ưu điểm phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn truyền thống - Chứng minh dùng tham số tự ω để điều chỉnh tốc độ hội tụ tốn (kết tốn khơng phụ thuộc vào giá trị tham số ω có vùng giá trị ω mà tốc độ hội tụ toán cao) - Khảo sát tốc độ hội tụ toán dao động tử phi điều hòa theo điều kiện lý thuyết nhiễu loạn Vnn =1), Ck(j+1,s>=2) js=2,Nsmax-1 sum=e0 k=1,n+5 !n+s+1 if (k.ne.(n+1))then sum=sum+Ck(k,js-1)*hh(n+1,k) end if end en(js)=sum c write (*,*) js, en(js+1) j=1,Nmax-4 if (j.ne.(n+1)) then tmau=en(js)-hh(j,j) ttu=hh(n+1,j) k=1,j+4 !n+s+1 if (k.ne.(n+1)) then if (k.ne.j) then ttu=ttu+Ck(k,js-1)*hh(j,k) end if end if end Ck(j,js)=ttu/tmau end if end end Open (11, file='Energy Loop') i=1,Nsmax Write(11,11)i,en(i) end Close(11) 11 format (i5,e30.15) return end ... hiểu phương pháp nhiễu loạn phương pháp toán tử, so sánh hai phương pháp thơng qua ví dụ tốn dao động tử phi điều hòa; - Khảo sát hội tụ tốn dao động tử phi điều hịa theo tham số ω, từ kiểm tra phương. .. ý tưởng cho phương pháp toán tử 2.1 Phương pháp toán tử toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn: Những ý tưởng phương pháp toán tử xuất vào năm 1979 [9] Tuy nhiên, phương pháp toán tử (Operator... áp dụng cho nhóm rộng rãi tốn Chương 3: VAI TRỊ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TỐN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HỊA BẬC BỐN Trong chương này, sâu vào tìm hiểu khó khăn mà phương