Áp dụng phương pháp Đại số cho bài toán exciton trong Đơn lớp tmd Đặt trong từ trường Đều

2.Mục của luận văn là áp dụng phương pháp toán từ EK để tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton hai chiều trong đơn lớp TMDs đặt trong từ trường đều.. Trong 46, chúng tôi sẽ trình b

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TAO

‘TRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

AP DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ CHO BÀI TOÁN EXCITON

'TRONG ĐƠN LỚP TMD ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG DEU

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HOC

TS LY DUY NHAT

‘TP Hd Chi Minh — thing 4 nim 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

‘TRUONG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

KHOA VAT LY

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

AP DUNG PHƯƠNG PHAP DAI SO CHO BAI TOAN EXCITON TRONG DON LOP TMD DAT TRONG TU TRUONG DEU

‘Tp Hb Chí Minh, ngày 9 thắng 5 nam 2024

"Xác nhận của Giảng viên hướng dẫn

TS Lý Duy Nhất

Tp Hỗ Chí Minh, ngày 9 thắng 5 năm 2024

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng

TS Phan Ngọc Hưng

Để thực hiện và hoàn thành khóa luận này, bên cạnh sự cỗ gắng và nỗ lực của

bản thân thì còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô cũng như gia đình và

‘em có thể thực hiện khóa luận tốt nghiệp, qua đó bản thân trau dồi thêm những kỹ phát triển phía trước

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến thầy Lý Duy Nhất, người hướng dẫn khoa học của em Thầy đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho

em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này Những sự hướng dẫn quý bảu về kiến

ng thực hiện khóa luận, cùng với những góp ý, phản hồi và định

nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi thiểu sót Kính mong nhận được sự góp ý

và phê bình từ phía thầy cô, bạn bè

Em xin chân thành cảm ơn

TP Hé Chi Minh, thing 4 nam 2024

1.1.3 Phân loại ren)

1.4 Lý thuyết nhiễu loạn không suy biến TŠ

Chương2 BÀI TOÁN EXCITON TRUNG HOA TRONG DON

trường đều nnrrrrririrrirririrririrrirriroroo 3S

KET LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRI

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHY LUC 1: TOAN TỪ SINH HUY MOT CHIEU

PHU LỤC 2: TOÁN TỬ SINH HỦY HAI CHIỀU 46

PHY LUC 3: BIEN DOI DAI SO BIEU THUC THE NANG KELDYSH

PHY LUC 4: TRUONG HOP HAM E MU CUA CAC TOAN TU SINH, HUY: % Ô SD

PHY LUC 5: TÍNH TOÁN CÁC TÁC DỰNG

PHU LUC 6: YEU TO MA TRAN CUA TOAN TU Ê và , (r,ø) 52

PHY LUC 7: CONG THUC TRUY HOI CUA TICH PHAN J(p.c.0)

57

Hình 1 Phố quang học của exeiton trong tỉnh thể đồng oxit được Gross tim

Hình 2 Mô hình Frenkel exciton (a) vi Mott-Wannier exciton (b) 8 Hình 3 Minh họa cấu trúc điển hình của dòng vật liệu TMDs 10

Hình 4 Năng lượng liên kết E, của exciton duge tinh toán ở các trạng thái

Is, 2s và 3s được so sánh với dữ liệu thực nghiệm 39

DANH MỤC BẰNG BIEU Băng 1 Năng lượng liên kết exciton (eV) trang thai Is,2s va 3s khi không

Bảng 2 Năng lượng liên kết của exciton (eV) ở trạng thái Is khi có từ

`” ` Bảng 3 Năng lượng liên kết của exeiton (eV) ở trang thái 2s khi có từ

Bảng “4 Năng lượng liên kết của exciton (eV) ở trạng thái 3s khi có từ

1 Phương trình Sehrödinger được xem như phương trình động lực học cho thế giới vi mô trong cơ học lượng tử Phương trình này là một phương trình vỉ

phân tuyển tính với các đạo hàm riêng phẩn và các hệ số biến đôi Số nghiệm

dụ như: bài toán nguyén tir hydro, dao động tử điều hòa Đa số các bài toán cơ

học lượng tử đều đưa chúng ta đến những phương trình phức tạp về mặt toán

học và khó có thể tìm ra nghiệm một cách chính xác, do đó thường phải sử dụng

c phương pháp gan đúng dé giái bài toán hay nói cách khác là tìm trị riêng

va him riêng của nó một cách gần đúng Một số phương pháp đã được đưa ra loạn, phương pháp biến phân [1], [2] Tuy nhiên mỗi phương pháp đều có phần nhiễu loạn đủ nhỏ so với phần chính hay phương pháp biến phân phải sử

dụng quá nhiều tham số cũng khiến bài toán cũng trở nên phúc tạp Nghiệm

trong thế giới vi mô, từ đó đặt nên tăng cho những nghiên cứu mới của việc

phát triển những ứng dụng và công nghệ mới

Ngành vật lý vật liệu luôn là ngành được chú trọng phát triển với nhiệm

vụ phát hiện ra những tính chất đặc điểm đặc biệt của các loại nguyên vật liệu

khác nhau bởi đặc tính thành phần và cấu trúc của nó Tuy nhiên, với cùng cấu

thay đổi (từ sang hai chiều, một chiều hay không chiều) cũng làm cho tính chất

trúc nguyên tử, phân tử nhưng khi số chiều không gian của vật

ba cl

của vật liệu thay đổi khá rõ rột [3], [4] Việc phát hiện ra graphene tồn tại ở

dạng đơn lớp có những tính chất vượt trội so với những vật liệu thông thường,

một cột mốc quan trọng của ngành vật lý vật liệu lúc bấy giờ và nó cũng là

mình chứng cho việc sổ chiều không gian ảnh hưởng đến tính chắt của vật liệu

{5}

"Ngày nay, vật liệu bán dẫn đóng vai trò vô cùng quan trong và chiến lược trong nhiều lĩnh vực công nghiệp, công nghệ và nghiên cứu khoa học Tiếp nỗi thé hệ vật liêu hai chiều graphene, dong vat lig đơn lớp TMDs (Transiion Metal Dichalcogenides) có vùng cắm năng lượng cỡ 1-3 eV [6] TMDs hứa hẹn

“TMDs, một hệ lượng tử đã được phát hiện ra gồm một lỗ trống và một electron

cứu tính chất của hệ lượng tử này là chủ đề

được gọi là cilon Việc nghỉ

được quan tâm nhiều thời gian gần đây Năng lượng của các trạng thái kích dụng trường ngoài trong các nghiên cứu đo đạc phổ năng lượng của exciton, đặc biệt là từ trường [7] Vì thế, phố năng lượng của các exciton trong các đơn

thuyết lẫn thực nghiệm trong gần đây [8], [9]

Cuối cùng, ta phải quay lại giải phương trình Sehrödinger để hi hchất

exciton trong don lớp TMDs và đặc biệt hơn khi nó được đặt trong từ trường

đều Việc đưa ra các phương pháp giải tối ưu nhất, nhanh gọn và tốn ít tài

nguyên luôn là công việc mã các nhà khoa học luôn tìm kiếm Trong đó, phương Đại học Belarus vào năm 1982 đã giúp quá trình giải phương trình trở nên đơn

để giải phương trình Schrodinger cho bài toán exeiton là một phương pháp rất tốt để cho ra nghiệm rất chính xác mả ít tốn thời gian, nguyên liệu Khi đó ta sẽ

tạp Vĩ các lí do trên, tôi sẽ nghiên cứu:

trong từ trường

2.Mục của luận văn là áp dụng phương pháp toán từ EK để tìm nghiệm

số chính xác cho bài toán exciton hai chiều trong đơn lớp TMDs đặt trong từ

trường đều Căn cứ vào mục tiêu đã đề ra, luận văn gồm có những noi dung co bản sau:

~ Tìm hiểu chung về đối tượng exciton và đơn lớp TMDs,

~ Tìm hiểu về toán exciton 2D trong từ trường đều

~ Giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều bằng phương pháp toán tử

Để thực hiện luận văn, tôi đã sử dụng phương pháp nghiên cứu:

~ Xây dựng phương trình Schrödinger cho exciton trung hỏa 2D trong từ trường

đều,

- Đưa phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong TMDs về dạng không thứ nguyên, đạng toán tử sinh hủy 2 ch và về dạng chuẩn trong hai trường

hợp TMDs đặt trong từ trường và không đặt trong từ trường

~ Ấp dụng phép biển đổi Fourier cho him thé ning Keldysh và chuyển về dạng chuẩn của toán tử sinh hủy 2 chiều

- Thực hi (oán các tác dụng của toán tử Hamiltonian lên hàm sông cơ sở

để xác định năng lượng bậc không của exciton

~ Tính toán các yếu tổ ma trận của toán tử động năng va thé năng để làm cơ sở cho việc tìm nghiệm chính xác sau này

~ So sánh năng lượng liên kết của exciton tính toán được từ lý thuyết và so sánh với giá trị thực nghiệm để đánh giá mức độ chính xác

Ngoài ph mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương: Chương 1: Tổng quan và cơ sở lý thuyết

3

dung luận văn Đầu tiên là về đối tượng chính của bải toán: exciton Trong 46,

chúng tôi sẽ trình bay khái niệm, cách phân loại cũng như điểm sơ qua những quan, những tu điểm ở trạng thái đơn lớp của nó so với trạng thái khối (ba

pháp mà chúng tôi áp dụng để giải quyết bài toán, phương pháp toán tử FK và

lí thuyết nhiễu loạn Chúng tôi sẽ trình bảy về ý tưởng, nội dung của phương

pháp

Chương 2: Bài toán exciton trung hòa trong đơn lớp TMDs

Ở chương này, chúng tôi trình bảy các thông số của một đơn lớp TMDs bat

ki và giới thiệu biều thức thế năng Keldysh cho tương tác giữa lỗ trống và điện nghiệm Tiếp theo, chúng tôi sử dụng phép biến đổi Fourier cho biểu thức thể

năng Keldysh để có thể chuyển biểu thức về các toán từ sinh hủy được định

nghĩa Cuối cùng, chúng tôi tiền hành tính toán đại số phương trình Schrödinger

cho exciton trong đơn lớp TMDs đặt trong từ trường đều thông qua việc đặt các

toán tử và tính toán các tác dụng cũng như các yếu tố ma trận Chương 3: Kết quả tính toán

ÔỞ chương cuối cùng này, chúng tôi trình bảy các kết quả tính toán được của

năng lượng exciton trong đơn lớp TMDs tong trường hợp có từ trường tác

so sánh kết quả lí thuyết tính toán được so với dữ liệu thực nghiệm được trong công trình [H1] cho

lệch

ing từ trường tử 0 đến 60 Tesla nhằm đánh giá mức độ sai

Trong chương 1 mở đầu này, tôi giới thiệu vẻ quá trình phát hiện ra exciton, khái niệm, phân loại và tính chất của exciton Tiếp theo đó là giới thiệu tổng

quan về TMDs, bán dẫn TMDs và ứng dụng của bán dẫn đơn lớp TMDs Cuối

cùng, tôi giới thiệu phương pháp toán tử FK và áp dụng phương pháp toán tử:

cho thấy sự xuất hiện của các đỉnh lạ trong phổ hắp thụ

Yakov Frenkel la người đầu tiên đưa ra khái niệm exciton để giải thích điều

này vào năm 1931, khi ông mô tả sự kích thích của các nguyên tử trong một

mạng tỉnh thể của chất cách điện Ông đưa ra ý tưởng rằng trạng thái kích thích

này có thể dĩ chuyển theo cách giống như một hạt trong mạng tỉnh thể mà không

bị dịch chuyển điện tích

Năm 1937, một mô hình exciton khác được đề xuất bởi hai nhà khoa học

Nevill Francis Mott và Gregory Wamnier, được gọi là exciton Mott-Wannier Exciton này giống như nguyên tử hydro và tổn tại trong chất bán dẫn

Năm 1951, lần đầu tiền Gross đã phát hiện một quang phổ giống hydro bao gồm các vạch hắp thụ hẹp khi nghiên cứu tỉnh thể đồng (1) oxit (hình 1.1) Gross

năng phát quang và quang dẫn [13]

điện tử được liên kết với một lỗ trống Đền những năm 1990 thì thực nghiệm

khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử và lỗ trồng rit lớn [14]

Các quan sát cho thấy có nhiều dang exciton: khi sự kết hợp xảy ra giữa

một điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa, khi hai điện tử kết hợp với

một lỗ trống thi exciton tich dign am (exciton am), và cũng có trường hợp khỉ luận văn này chỉ đề cập đến trường hop exciton trung hòa 1.1.2 Khái niệm

Theo lý thuyết vùng năng lượng, trong bán dẫn thông thường tồn tại 3 ving

lần lượt gồm ving hóa trị, vùng cắm và vùng dẫn Trong đó độ rộng vùng cắm

E, vào khoảng năng lượng từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả kiến

hạt, cặp điện tử - lỗ trống được coi như một giả hạt tự do gọi la exciton

Như vậy, exciton là trạng thái liên kết giữa một điện tử và một lỗ trồng thông qua tương tác tĩnh điện Coulomb trong chất bán dẫn hoặc điện môi Tuy

nhiên, hiện nay thế Keldysh cho thấy sự đúng đắn hơn trong việc giải thích giá

trị thực nghiệm mã chúng tôi sẽ trình bảy rõ hơn ở chương 2 Trạng thái này là lan truyền điện tích

exciton mỗi loại sẽ được niêu rõ

'Theo điện tích VỀ mặt điện tích exciton có thé phân thành: exciton trung hoa, exciton dm va exciton dương

Excilon trung hòa được cấu thành từ một electron và một lỗ trồng liên kết với nhau, trạng thái liên kết này có dạng giống với hệ nguyên tử hydro tuy nhiên

lượng hạt nhân nguyên tử hydro, nên khối lượng rút gọn của exciton lúc này

nhỏ hơn nhiều so với khối lượng rút gon của hệ nguyên tir hydro

Exciton đương được cấu thành từ một electron liên kết với hai lỗ trồng,

trạng thái liên kị giống với các ion dương dạng tự như #f; Tương tự như trường hợp excilon trung hòa thì khối lượng rút gọn của hệ exeiton dương cũng

nhỏ hơn nhiều so với hệ các ion dương tựa ;f;

Exeiton âm được cấu thành từ hai lectron liên kết với một lỗ trồng, trạng thái liên kết này giống với nguyên tit heli Khối lượng rút gọn của exeiton âm

cũng nhỏ hơn nhiều so với nguyên tử heli

trên mà các bài toán về exciton có thể giải quyết dựa trên sự tương đồng với

các bài toán đã giải cho hệ nguyên tử hydro hay các ion va nguyên tử dạng lựa nguyén tit hydro

Theo vat Cho dén hign tai thi exciton da duge phat hign trong hau các bán dẫn, điện môi Thực tế cho thấy có mồi liên hệ giữa các mô hình exciton

Mô hình exciton Frenkel gidi thích tốt cho các exciton trong các vật liệu

hữu cơ (tinh thể phân tử) và các tinh thẻ khí hiểm Năng lượng liên kết lớn (vào

cỡ bậc eV) và bán kính tương tác nhỏ giữa electron va 18 tréng (cỡ 10Á ) là

Frenkel bao gém các nhóm exciton thỏa tính chất được nêu trên

Mô hình exciton Mott-Wannier cho phép giải thích tốt cho các exciton trong bán dẫn Các exeiton này có chung tính chất bao gồm năng lượng liên kết nhỏ

(vào cỡ 100 meV), bán kính tương tác giữa electron và lỗ trồng lớn (cỡ 100Â ) nguyên tử hydro hay exiton Mott — Wannier là các thuật ngữ được sử dụng để

chỉ nhóm các exeiton thỏa tinh chất nói trên

8

khóa luận là exciton Mott-Wannier trung hòa trong vật liệu WSe;

1.1.4 Tính chất

Excilon có các tính chất chính như sau:

+ Chi cé mat trong bin din hoặc điện môi

+ VỀ mặt cấu trúc exciton trung hòa giống nguyên tử hydro, tuy nhiên nó

có bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn (Tương tự, các exciton dương hay âm cho ta hình ảnh ion phần tử /f‡ hay nguyên tir Heli) + Việc tạo ra các mức exciton trong vùng cắm (exciton Mott-Wannier) rat

giống với việc tạo ra các mức tạp trong bán dẫn

mt dai cde mite exciton

+ Không phải chỉ có một mức exciton mà có

gián đoạn Phô hấp thụ exeiton là phổ gián đoạn, gồm một dải các vạch như

phổ hấp thụ của hydro

Trong thực tế khi đo năng lượng liên kết exciton, người ta thường dùng từ

trường áp vào hệ đo Nguyên nhân là khi có mặt của tử trường thì năng lượng quan sắt hơn trong thực nghiệm Ngoài từ trường thì điện trường cũng được sử dụng với và trò tương tự

1.2 Transition metal dichalcogenides — TMDs

Các vật liệu hai chiều (2D) ching han nhu transition metal dichalcogenides

(TMDs),hexagonal boronnitride (h-BN), đã được phát hiện kể từ sau sự lại có năng lượng vùng cắm bằng không đã làm hạn chế đi những ứng dụng của chúng Sau đó, sự khám phá ra đơn lớp TMDs với năng lượng vùng cắm trực

tiếp nằm khoảng trong vùng gần hồng ngoại đến khả kiến, đã thu hút được rất

nhiều sự chú ý: Vi thể, nghiên cứu vŠ TMDs ngây cảng tăng và chiếm một phần

9

khá cao trong tổng số lượng công trình nghiên cia vé vt iệu hai chiều (2D)

Nó cũng hứa hẹn là một ứng cử viên sáng giá trong việc phát triển công nghệ

1.2.1 Tong quan vé TMDs

Các đơn lớp TMDs có cầu trúc phân tử được hình thành từ một nguyên tử kim loại chuyển tiếp M liên kết mạnh với hai nguyên tử chalcogen X thông qua

Tiên kết cộng hóa trị, trong đó M thường là các nguyên tử: W, Mo, Tỉ, Hf, Re,

với nhau thông qua lực Van Der Waals tạo nên cấu trúc TMDs hoàn chỉnh

ống nano (nanotubes), các đải nano (nanoribbons) hay các dai nano (nanobelts),

thậm chí là không chiều (các chấm lượng tử - quantum dots)

Voi các công nghệ, kĩ thuật chế tạo vật liệu ngày cảng tính xảo và hiện đại như: phương pháp tách cơ học (mechanical cleavage method) phương pháp ăn

10

annealing method), dong vật liệu TMDs được chế tạo ngày cảng tỉnh vi hon,

với những tính chất đặc biệt hơn và khai thác được tối đa tiềm năng của nó TMDs được kì vọng sẽ hiện thực hóa mong muốn của các nhà khoa học là tạo

ra những vật liệu với tỉnh chất định sẵn [4]

1.3.2 Bán dẫn đơn lớp TMDs

Trạng thái đơn lớp TMDs trở nên đặc biệt khi bề dày của vật liệu giảm dẫn

từ vật liệu truyền thống ba chiều ban đầu sang hai chiều làm xuất hiện những

ron và lỗ trồng bị giới han trong vùng không gian hai chiều đẫn đến các hiệu ứng đặc biệt như tương tác điện từ Coulomb của exciton có cường độ mạnh

hơn giúp exciton trong không gian hai chiều có mật độ cao, thời gian sống lâu

hơn, độ ổn định cao hơn so với exciton tôn tại trong vật liệu bán dẫn ba chiều Chính vì thế mà hình thức chuyển đời quang học chủ yếu trong đơn lớp TMDs

các tính chất của vật liệu Từ đó, TMDs được ứng dụng trong nhiễu lĩnh vực trong cuộc sống ngày nay mà chúng tôi sẽ trình bảy ở dưới

1.2.3 Ứng dụng TMDs

Linh kiện điện tử

Nhu cầu tăng số lượng các transistor tích hợp trong chip bán dẫn hiện đại

dẫn đến hệ quả là bề dày vật liệu phải giảm xuống dưới 2am [17] Trong khi

vật liệu bán dẫn truyền thống hàng đầu silic gặp vấn đề về độ linh động của các

hạt tải khi b đây vật liệu giảm, thì với các trạng thái đơn lớp hay các Ống nano

của TMDs lại khắc phục được điều này mở ra hướng mới trong thiết kế các

transistor, FET (Field-effect transistor ~ Transistor higu ứng trường) Bên cạnh đó với các hệ số hấp thụ cao và việc hình thinh exciton chiém wu

thể các đơn lớp TMDs với khe cắm năng lượng vào khoảng 1~3eV of tiém

u

(photodectector), thiét bi ngất quang hoc (photoswitching), cic diode di hợp (heterojunction diode) [17]

Phát triển năng lượng sạch

Sản phẩm của quá trình xúc tác hydro, còn được gọi là hydrogen eleetrocatalytic hydrogen, được coi lä một trong những phương pháp hiệu quả

nhất để sản xuất năng lượng hydro sạch để thay thế cho các nguồn năng lượng

hóa thạch gây ô nhiễm hiện này Tuy nhiên, để thúc đẩy quá trình này cần có hạn chế sự phát t n của hướng đi này vì ải nguyên hạn chế và lợi nhuận về

mặt kinh tế, Sau đó, vật liệu MoS; đã từng được sử dụng vào những năm 1970

để thay thể cho Pt tuy nhiên không đáp ứng được mong đợi Nhưng vào năm TMDs lại được nhóm Norskov cùng các tác giả khác nghiên cứu chứng minh

là ứng cử viên sắng giá cho việc thay thé Pt trong quá trình điện xúc tác hydro Ứng dụng sinh học

Việc dò tìm các phân tử sinh học giữ vai trò quan trọng trong chuẩn đoán y khoa, điều chế thuốc, an toàn thực phẩm Các đơn lớp MoS; với vai trò như

sự tương tác giữa MoS; và các nucleobase trong DNA đã được thực nghiệm thành công [18]

Các đơn lớp TMDs có tiềm năng trong các ứng dụng về được khi mà nó có thể đưa thuốc đến vị trí chính xác vị trí cần điều trị trong cơ thể Ngoài ra,

“TMDs còn có triển vọng chữa trị cũng như loại bỏ các tế bảo bị tôn bại bên

trong cơ thé

Trong phần này, chúng tôi trình bảy tổng quan phương pháp toán tử FK về

lich sử hình thành, ý tưởng chính cũng như nội dung của phương pháp theo các hướng tiếp cận khác nhau và hướng giải quyết bài toán mới khi áp dụng phương pháp toán từ FK

Bài toán về các hệ lượng tử trong thực tế là các bài toán khó đối với các số

hạng trong phương trình Schrödinger khá lớn và biểu thức cũng khá phúc tạp,

cận và giải gần đúng bài toán được đưa ra để giải quyết vấn đề này Phương

pháp nhiễu loạn và nguyên lý biến phân là hai cách tiếp cận phổ biến nhất và được trình bày khá rõ ràng vả chỉ tiết trong các giáo trình cơ học lượng tử

"Phương pháp nhiễu loạn lấy ý tưởng chỉnh là chia Hamilton của bải toán ra lâm

hai thành phần: phẩn chính là phần đã biết được nghiệm giải tích chính xác và

toán đang xét được biểu diễn gần đúng qua nghiệm của thành phần chính và các bổ chính ở các bậc cao hơn tủy thuộc vào yêu cẩu độ chính xác bài toán

Phương pháp nhiễu loạn thành công trong việc giải các bài toán có thành phần nhiễu loạn rất nhỏ so với thành phần chính Tuy nhiên đây cũng là hạn chế của

đó Phương pháp biển phân là một trong những hướng giải quyết gần đúng hiệu

quả đối với các bài toán mả phương pháp nhiễu loạn hạn gặp hạn chế Phương

chọn một hảm sóng và đưa vào đó các tham số củng những điều kiện để xác bán của hệ đang xét, Trạng thái cơ bản và các trạng thái kích thích bậc thấp thu

được kết quả tốt khi áp dụng phương pháp biếi phân, tuy nhiên với các trang thái kích thích bậc cao hơn thì phương pháp này gap vin đề Bên cạnh đó việc

đưa vào cũng khiến cho phương pháp gặp hạn chế về mặt ứng dụng

Nhằm thừa kế những ưu điểm cũng như khắc phục những hạn chế gặp phải

trong phương pháp nhiễu loạn và phương pháp biến phân, năm 1982 hai tác giả phương pháp được thể hiện qua 4 bước chính sau

Bước 1: Đưa các số hạng trong phương trình Schrödinger về dạng toán tử

thông qua các toán tử sinh hủy được định nghĩa

aly

Toán tử đ và đ* thỏa hệ thức giao hoán [â,â Trong định nghĩa ta thấy

sự xuất hiện của tham số øø, đây là ý tưởng kế thừa được từ phương pháp biẾn

tác giả ra để minh họa cho bài toán dao động tử phí điều hỏa một chiều trong

không gian tọa độ + trong công trình của mình, trong quá trình sử dụng cho thể khác nhau phù hợp với nội dung bài toán

Bước 2: Chia Hamilton bài toán thành hai phần

AG’ ,,0)= F(a 4,0) +V@ â,ø) (2) Trong đó, 17(4°,4,@) là toán tử Hamilton; 17,(4' ø) là thành phần chính

nó chỉ chứa các số hạng trung hòa ả'ả; Ứ(ä',đ,ø) được xem là thành phần

nhiễu loạn Ở bước 2 ta thấy được sự kế thừa của phương pháp nhiễu loạn trong

phương pháp toán tử FK Tuy nhiên trong phương pháp nhiễu loạn việc chia

14

số hạng trong bải Hạn chế của phương pháp nhiễu loạn là ở việc chỉ áp dụng

cho bài toán có thành phần chính lớn so với phần nhiễu loạn, phương pháp FK

số này có tác dụng điều chỉnh đẻ phần chính /?,(â`,â.œ) luôn lớn hơn nhiều

so với thành phần nhiễu loạn Ý(4” ,đ,ø) qua đó bài toán luôn có ttheer được giải quyết theo ý tưởng của lý thuyết nhiễu loạn ứng với giá trị tham số ø thích

hợp

Bước 3: Xác định bộ hàm sóng cơ sở Trong bước 2 7ï,(4',,.ø) được chọn 1à phần chính nên nghiệm riêng của nó chính là bộ đao động tử điều hoà, Như

vậy bộ hàm cơ sở trong phương pháp toán tử FK phù hợp nhất chính là bộ dao

động tử điều hòa, hàm sóng cằn tìm lúc này sẽ được trên khai dưới dạng tổ hợp

ia bộ hàm cơ sở Điểm đặc biệt và linh động của bộ hàm cơ sở trong phương

điều chỉnh

pháp toán tử FK là ở chỗ nó có thể thay đổi giá trị thông qua vi

tham số @ dé t6i ưu hóa quá trình tính toán nghiệm chính xác

Bước 4: Giải bài toán và tìm nghiệm chính xác Sau khi có được bộ hàm cơ

sở, để xác định nghiệm bài toán lúc này ta sẽ quy về giải hệ phương trình tuyến tính

1.4 Lý thuyết nhiễu loạn không suy biến

“Trong cơ học lượng tử, việc giải các bài toán cho phương trình Schrédinger

loạn Trong phẩn này, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp lý thuyết nhiễu loạn

không suy biến để phục vụ cho nhu cầu giải năng lượng của exciton trong đơn

lớp TMDs khi có mặt của từ trường và không có từ trường Dựa vao cu

15

toán nguyên tử hydro đừng tổng quát

Ta có phương trình Sehrödinger cho nguyên tir hydro dừng tổng quit

Với giả định rằng nghiệm giải tích của nó không chính xác tuyệt đối nên

in ding phuong phip

thinh phan đúng Toán tử Hamiltonian có thể được viết lại thành h

ñ=ñ,xố 44)

trong đó, H, có nghiệm riêng chính xác, được xem là thành phần chính của

Hamiltonian Thinh phin V duge xem là yếu tố nhiễu loạn vì có thể coi Ú rất

bé so với lổ, Mặt khác, khi xét đến thành phần fl, và Ủ thì chúng đều phải

là toán từ Hermite Với các điều kiện trên, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn

xây dựng nghiệm riềng gần đúng cho Hamiltonian A được trinh bảy như sau

Đầu tiên, ta thêm tham số nhiễu loạn /ÿ vào (1.4) để chứng tỏ toán tử Ứ có

độ lớn bé hơn /?, một bậc Sự xuất hiện của tham số này có vai trò quan trong trong việc so sánh và lược bỏ những số hạng nhỏ ra khỏi phương trình Khi bai toán được giải trọn vẹn, ta chỉ việc cho tham số này bằng 1

hạng AW"”;AE°” lẫn lượt được xem là các bổ chính bậc s (s=1,2, ) vào hàm sông và năng lượng

~ Đối với gần đúng bậc không, ta có

‘Véi todn tir H,, 06 nghigm riéng chinh xéc tuong tng véi cdc him riéng g, và

các trị riêng 2, tương ứng (ø =1,2,3 NV) Từ đồ ta có được hàm sống và năng lượng bổ chính bậc không

“Thế (1.9) vào phương trình Sehrödinger (1.4) kết hợp khai triển ta thu được

ƒwt(8,-£° sa fave (ae wae

- = [a (d,-e ta =o ừ (1.13) Như vậy, bổ chính năng lượng bậc một có biểu thức

Age =F wO'VAW ae =(0,\V]0,)=Vor (114)

và có bổ chính bậc một của hàm sóng có thể được khai triển theo bộ hàm cơ sở

ly + BÑ,A +P AAV + BOW” + "AM + pV AV

= BOW + PEOAY + PEMA”

$ PAE 4 PAE AY + BAB AB

$B MEO AV + AEPIAWP + g!AEOIAWP

q19)

Trong hệ thức (1.19), các thành phần có bậc cao hơn hai và các thành phần có

gần đúng bậc không, bậc mội ẽ được loại bỏ Cuối cùng phương trình ta thụ được có dạng

,—E°)Aw°'+(

AE AV" = AE, (1.20) Nhân "cho hai về (1.20), sau đó lấy tích phân toàn miền không gian ta được

AE! = [0P (ñ,— EP A®lax+ [ ÉP? (ý =AE®" Vay (121)

“Thành phần thứ nhất của công thức (1.21) tương tự như công thức (1.13) Kết

quả dẫn đến thành phần này bằng không Đồi với thành phần thứ hai, áp dụng

hệ quả thu được từ (1.14) và (1.17) dẫn đến biểu thức bổ chính bậc bai của năng lượng

(1.25)

Ở mục này, trạng thái năng lượng gián đoạn và hàm sóng được chúng tôi trình bảy qua phương pháp lý thuyết nhiễu loạn cho trường hợp không suy biển

Đây là những cơ sở lý thuyết cẳn cho các lập trình và tính toán ở các phần bên

dưới Thông qua phương pháp

chúng tôi hỉ vọng việc khảo sát năng lượng

ctia exciton trong đơn lớp TMDs có thể đạt được độ chính xác cao nhằm cho việc đối chiều với các kết quả thực nghiệm sau nảy

LỚP TMDS

Trong chương trước, chúng tôi đã trình bảy một cách tông quan về phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger, trong đó nhấn mạnh đến thế

mạnh của phương pháp toán tử FK khi tìm nghiệm chính xác bằng số Trong

trong đơn lớp TMDs đặt trong từ trường nhưng chỉ tính toán năng lượng liên kết cho trường hợp từ trường bằng không

2.1 Phương trình Schrödinger

Vi exciton có cấu trúc tương tự nguyên tử hydro nên các nhóm nghiên cứu

sử dụng mô hình nguyên tử hydro với tương tác Coulomb để phân tích kết quả

của vật liệu TMDs, thế tương tác giữa electron và lỗ trống không cỏn là thuần

thể Coulomb nữa, điều này đã được khảo sát bằng lý thuyết và có thực nghiệm

đều đồng ý rằng thể tương tác Keldysh đã được nghiên cứu cho mảng mỏng là

phủ hợp để mô tả tương tác của điện tử và lỗ trồng trong trường hợp này [15]

‘Thé Keldysh duge thé hiện dưới biểu thức

trường xung quanh «=

Xét mt exciton trong đơn lớp TMDs hai chiều chuyển động trong mặt phẳng Oxy với thế năng tương tác giữa điện tử và lỗ trống là thế Keldysh Phương

trình Sehrödinger cho chuyển động tương đối giữa lỗ trống và điện tử tương

ứng cho bài toán đã được thiết lập trong công trình [15] với các phép biển đồi

rút gọn được đưa ra như sau

kính Bohr hiệu dụng j=“, khdi lượng hiệu dụng của cxcilon

mm’ = va don vi năng lượng bằng hai lin hing sé Ry 2° m, +m,

m

„ cường độ tử trường không thứ nguyên Z = 7 x eh

"Ngoài ra, thế năng Keldysh rút gọn còn có thể được vi

biến đổi Fourier theo công trình [15] dưới dang

Voi g,.g, là cde toa dé phite va g xử là tham số không

thứ nguyên của chiều dài màn chắn

Bây giờ, chúng tôi sẽ giải phương trình Schrödinger (2.3) theo phương pháp, toán tử FK như đã trình bảy ở chương 1 Đầu tiên, để đưa phương trình

Schrödinger về dạng đại số, chúng tôi định nghĩa các toán tử sinh hủy Dirac

Pl lê) xe] 2°" war}

các giao hoán tử còn lại bằng 0 Với tham số tự do œ được sử dụng trong

phương pháp toán tử FK nhằm điều chỉnh tốc độ hội tụ trong việc giải số và

việc tham số @ không xuất hiện trong Hamiltonian toàn phần mà chỉ xuất hiện

trong thành phần chính và thành phần nhiễu loạn

Khi sử dụng phương pháp toán tử FK người ta thường quan tâm đến tính

đối xứng của bài toán Trong các bài toán exciton hai chiều, exeiton hai chiều

trong từ trường vuông góc thì hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên

trục Ø, bảo toàn, nghĩa là toán tử Hamiltonian và toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Ø, (Í,) giao hoán với nhau Vi thé ta sẽ sử dụng

bộ hàm sông cơ ở à các hàm riêng của toán tử Í Cách đơn giãn nhất để thực

2

toán tử sinh hủy cũ sao cho Í, có dạng trung hòa Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy mới nhằm chéo hóa Í, dưới dạng

G7) G8)

toán tử sinh hủy (2.7) Tại đây, chúng tôi tiến hành đặt thêm các toán tử sinh

Khi đó, thành phần toán từ thể năng Keldysh được chuyển về

sinh hủy (2.11) như sau (theo phụ lục 3)

i ỉ dq.dq,

1x n2)== 2c] Ì a0xag)

se[n(Ä+.Ã')]»s|(8+8]|@)

Với =2 fe Tay nig, thành phẫn sp n(Â+ Â )]>[z(8+8 )} trong

toán tử thế năng (2.13) cần phải được đưa về dạng chuẩn (toán tử sinh nằm bên trái, toán tử trung hòa ở giữa, toán tử hủy nằm bên phải)

§(wÂ')x§ (u8,Ê*

trong đ6 Š(ø,Â.Ã')=ew[s(Â+Â')|

và Š („8,8 )=eels(8+B )Ì Theo các bước tiến hành sau để chuyển Š'

về dạng chuẩn đối với hàm e mũ trình bảy trong phụ lục 4 Ta giả sử Ÿ, có thể viết dưới dạng tích của các hàm e mũ thành phần có dạng,

bước lần lượt như sau;

+ Lily dgo hàm hai về của phương trình (2.14) theo 7 ta thu duge

(2.16)

(ã'+3)=r[z(

Tiếp theo, ta xác định biểu thức của toán tử nghịch đảo S$,"

exp[~ƒ 00]exp =hú)Ä ]exp| g(a’ |

2.17)

'Và nhân toán tử nghịch đảo Š, ` cho hai về của phương trình (2.16), ta thu được

A+d=s(n)

+# (m)ep[7(n)]Ã'sg[s(n)Ä' Jexp) (nA Jexp| ~n(7)Jexpl -e(7)A" Jexo[-F(n)]

+M'(w)exp[/(n)]exp[s(n)Â' |Âeø[n(y)Ä]exp[=n(n)Ä Jexp[ -e(7)4” }exp[~/(n)]

(2.18)

Sau khi rút gọn (2.18), ta thu được

Â* +Â=ƒ(n)+#'0)Ä' +n)ep|s(n)Â JAcxp| 8 (0) 4" |