Về tính giải Được của một lớp bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm

TOM TAT KET QUA NGHIEN CUU DE TAI KHOA HQC VA CONG NGHE CAP TRUONG me đề tài: Về tinh giải được của một lớp bài toán biên cho hệ phương trình.. cứu điều kiện đủ cho việc giải được của r

TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH KHOA TOÁN - TIN HỌC

ĐÈ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CÁP CƠ SỞ

MA SO: CS.2010-19-100

VE TINH GIAI DUQC CUA MOT LOP BAI TOAN BIEN CHO HE PHUONG TRINH VI PHAN HAM Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS NGUYÊN ANH TUẦN

THƯ VIỆN

THÀNH PHỐ HỖ CHÍ MINH

2011

NOI DUNG CUA BAO CAO,

TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC

TOM TAT KET QUA NGHIEN CUU

DE TAI KHOA HQC VA CONG NGHE CAP TRUONG

me đề tài: Về tinh giải được của một lớp bài toán biên cho hệ phương trình

MÃ abs CS 2010.19 100

Chủ nhiệm đề ti 'S.TS Nguyễn Anh Tuần

Co quan chủ trì dé tai: Trường Đại học Su phạm Tp TBH Minh,

Co quan va cá nhân phối hợp thực hiện: Tiên sỹ Martina Kuchynkova, bộ môn toán giải tích, khoa khoa học, trường Đại học tổng hợp Masaryk Cộng hòa Czech

'tháng 4/2010 đến tháng 4/201 1

cứu điều kiện đủ cho việc giải được của ri lóc là oán Ho cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với các điều kiện biên Khác nhau được xây dựng bằng phương pháp định giá tiến nghiện

2 Noi dung chin!

~ Trên đoạn ee b] chúng ta xây dựng các tiêu chuẩn hiệu quả cho viethn tổn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân đối số lệch tuyển

# Kết quả chính:

'Kết quả chính của đề tài thu nhận được gồm bài báo sau: Martinkova Kuchinkova, Nguyen Anh Tuan, On the solvability of the pantograph Southeast Asian Buniletin of Mathematics (2007)

31 1123-1136

Project Title: A class of boundary value problems for system functional differential equations

of Science, Masaryk University

Individuals attend the subject:

Martina Kuchynova, Ph.D., Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science, Masaryk University

Duration: From April, 2009 to April, 2010

1) Objectives:

- Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problems for system of ordinary differential equations with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates 2) Main contents:

= On the bounded interval I=[a, b] we construct an effective criteria for the solvability of the generalized equation of the pantograph

3;?0)(.())+70)

with the general linear boundary conditions

x()=u(s), veel, [x()2®(:)=€, 'Wherf/(t)e L(I,R”^) (i=1,2, ,m), f(t)e L(T,R*),r,:1 —> R are measurable functions, : R => R" is a continuous and bounded funefion,

©: R™ is a matrix function with bounded variation, and Cụ € R" 3) Results obtained:

Martinkova Kuchinkova, Nguyen Anh Tuan, On the solvability of some linear boundary value problem for generalized equations of the pantograph Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2007) 31 1123-1136

x'(

sm)

NOI DUNG CUA BAO CAO

ies cấi lay và tổng ae về đề tài:

Pe, một công 3 ae 3 i quydt cde bl tok vit, cơ họ Tuy nhiên fn nay

nổ ch phát in mệnh nh các ứng dụng rộng H và o lớn trong cáo nh vực khác nhau của cuộc sống như: vật lý, cơ học, kỹ thuật công nghệ, nông, nghiệp, sinh học và kinh tế

Song nghiên cứu và phát triển theo hướng này thực sự phát triển mạnh và Grudia và Cộng hòa Czech dưới sự dẫn dắt của giáo sư viện sỹ I.Kiguradze, viện trưởng viện toán học Tbi

Từ các kết quả của I Kiguradze và Bedrich Puza trong thời gian trên cho hệ ảnh vi phân hảm và mở rộng, Sie bế BÀ So pi trừng xi bài báo [1}, [2], 6], [7], [8], [9] ta được các kết quả của đề tài

IL oa dune chia ie đề tài

vết phương hệ phương trình vỉ phân tuyến tính đối số lech ‘sau:

trận hàm với biến phân bị chặn Cụ e Ñ” Trong (2) tích phân được hiểu

là tích phân Lebesgue- Stieljes

Nghiệm của bai todin (1).(2) 1a vée to ham x: J => #* liên tục tuyết đối và théa (1) hau khấp nơi trên Í và thỏa điều lện biên (2)

“Các trường hợp đặc biệt của điều kiện biên (2) là: -Điều kiện Cauchy

Nếu ®(2)=(L~ Z„„(£))E, khi te7 và „e1

$

x(t) =u(1),khi tel, x(b)~ x(a)=€, @) Nếu ®(/)=(I~ z,„„,(£))E, khi r7

~ _ Điễu kiện biên nhiều điểm:

~ _ Điều kiện dạng tích phân:

x(t)=w(/),kii tế, [A(9x()&=€,

Nếu @(2)= [A(s)asr=[aö], A(t) €£(fa.5], R™),

Trước hết ta nhắc lại một kết quả quan trọng của I.Kiguradze và B.Puza trong _cho hệ phương trình vi phn hàm tuyển tinh:

Xét lệ phương trình vi phân hàm tuyến tính:

ít

'Với điều kiện biên:

Trong 46 p: C(1,R™)—> L(7,R*) la todn ti tuyén tinh bj chặn mạnh( tức

là p là một toán tử tuyến tính và tồn tại một hàm khả tích r7 :/ —> / sao cho:

|o(*)(|<(0)lk|.Y+< xe C(1,RP) ), EC(1,R*)—> R*) là toán tử tuyến tính liên tục, Cạ e R”

'Củng với hệ trên ta xét hệ thuần nhất tương ứng là:

Từ định lý 1 ta nhận được ngay bệ quả ‘sau:

'Hệ quả 2: Bài toán (1), (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán thuần tương ứng:

3 =ŠIxts)#| +|š|ŠŠ*Š14lj 0s), ay

Khi đó bài toán (1), (2) có nghiệm duy nhất `

Định lý 4: Đặt ¿, = min{r, : k=1,2, v} ,siả sử hoặc ma trận A, = Д 4, là

Sif Excerel See fa

Hoặc A, = la trận A, cho bởi biểu thức (10) là không suy biến và r(S,)<1

s-Excve] EE] WiEEBalncne 65 ‹ La mtg

Khi đó bài toán (1), (5) có duy nhất một nghiệm

Hệ quả 5: Giả sử r(S) <1 với

La ma trận không sy biến và r(S)<1 với

sil faolf Ex cconace] SEC fe

Hoặc A, =Ø và A; được đỉnh nghĩa bởi (19 ) là ma trận không suy biển và r(S,)<1, với

s= Ed (a), +143" SS Moora, sds +

[Excl SSL Jo EE Paola spe

Khi đó bài toán (1), (6) có một nghiệm duy nhất

'Để chứng minh các định lý trên ta dùng định lý 1 và bổ để 9

Bỗ đề 9: Giả sử các bắt đẳng thức sau thỏa với mọi z e (1, R*) và mọi

tel:

|Šz(s@0)2605(z(0]<Š z ((9)00)hL @)

Nếu x(Q là nghiệm của bài toán thuần nhất (1,) thì hầu khắp nơi trén 1, ta

EE$z6ols6s(s|: [Šz 66)20|-ŠŸn0]4, œ5

[1] Cermak, J, Linear differential equations with several unbounded delays, Archiv Math, 36 426-427, (2000)

[2] Cermak, J, Kundrad, P Linear differential equations with unbor delays and forcing term, Absiract and Appl Analysis 4,337 345 C008) [3] Kiguradze, 1, Boundary Value Problems for Systems of Linear Ordinary Differential Equtions (in Czech), Masaryk university, Bmo, 1997 14) Kiguedas |, Pasa B, Bowndiry Vale Problems for Sytems of Linear Ordinary Differential Equations, Folia Fac Sci Mat Masarykian Brunensis, Mathematica 12,2003

[5] Kuchynkova, M, Non-loca! linear boundary value problems for systems (2003)

[6] Kundrit, P, On asymptotic propertics of solutions of the difference

‘Bro, to appaer

17] Lenhninger, H, Liu, Y: The functional differental equations

xí = Ay(t)+ By(qt)+ f(t), European J, App, Math 9, 81-91 (1998) [8] Lim, E, B, Asymptotic behaviour of solutions of the fianctional differential equations x’ (1) = Ax(At) + Bx(1), A>0,4, Math, Anal, App, 55, 794-808 (1976)

[9] Ockendon, J, R, Tayler, A, B, The dynamics of a current collection (đơn)

Department of Mathematics, Masaryk University, JanáÊkơo nắm 2a, 662 95 Brno, Caech Republic

Nguyen Anh Tuan errant of Matec, Collegeof Beton, 30 Deoog Vong, He CA Mla City, View

‘This frt of boundary condones cover the tai moi im andl pride boundary conditions

Keywords: Generalized equation of the pantograph; ESective criteria ofthe solvability,

‘Multi-point boundary value problem; Integral boundary value proble

1, Statement of the Problem

On the bounded interval 1

equation with deviating argun nts | we consider the following linear differential

satisfying the general linear boundary condition

wince Re tụ, Rn") fe ee me n a — Rare Theneg nhào functions,

ion, B= J = RY" is a matrix

theen), They se the elo ote ssn Bn

tf a slution ofthe Cauchy pr

layed argument and linear system ot feniont! Sieenial equations (in gener meaning) are published in (5),

Dy special ic oft eth 9b on (7) ta twig nd:

y conditio

in ‘condition

x(t) = ult) fort ¢ 1, #z(fo) = cọ (3)

if9(0) = (1~ xjesg ODE for t€ 1, where fo € 1,

~ periodic condition

2(t) = ult) fort gi, z(B) ~ x(a) =e (a)

HO) = (1~ yan (Q)E for be 1,

multi-point condition

z(t) = u(t) fort ¢ 1, So Anz(tk) = co (6)

ny Ae ay(t) for tty € Land Ay © R™ (k 1 integral condition

f(t) = ff A(s)ds for Ce T and Alt) € L(T,R™™),

Izy RY and X.Y €R™™, then >0(0,k= Lec om)hs +SwWesy-reRI, X<YeY-XERP fa|=(eDPea- 1X1 = (eal ens

‘We now let X~! be the inverse matrix to the matrix X € R™"; r(X) be the spectral radius of the matrix X € R"™*";

E the unit matrix;

@ the trix;

) be the space of continuous vector functions z : ƒ =+ R* with

llrlc = me(llz(9||:££ Ms

Ihr (xy), € CUR"), then

le = (llrilc)?-:

Also, we denote Cf,RR") the space of absolutely continuous vector fu + -1 —+ R°; C(I,R***) the set of continuous matrix functions X ; ƒ ~+ R’ TEX = (eater €CULR™"), then

[Xe = (izle Means

w(t) <a

= „9 Tà nộ ca n) >b Proposition 1 The problem (1), (2) i uniquely solvable if and only if the corre-

‘sponding homogeneous problem

For the sake of transparentness, for any #,( € ƒ, and Í,j = 1, ,tm, ve set

20)

PalG.t) = xucraeniReolf xr(r;(s))|P,(s)|ds|,- Pạ(t) = Pas(t,t)

‘Theorem 1 Let to = min{t :k=1,2, ,¥} Suppose that either the matrix

is nonsingular and r(S;) < 1, where

si = Sherrie aro Soa x(n())|IP(Đld,— ŒÙ)

ør Ai =9, là tùng _

each sail) 2A ska

Si= x lun), + An = Sia" Pultotdae (6)

ent ritn Q li la sedgesdel

‘The other criteria of the solvability of the multi-point boundary value problem can be derived by using the characteristic of delayed

ym 2 Let to = min{ty : k = +v)- Suppose that either the matrix

‘My given by (7) is Sung end (Sc ‘1s there

j= |Èxenn| + >

+! [ˆ [Een ŸÊnn|a |

or Ay = @, the matrix Az given by (8) is nonsingular and r(Sz) <1, where

s= Sue | ES ime ease S Sal f Paltost) at

(8)

‘Then the problem (1), (5) has a unique solution

Corollary 1 Let r(S) <1, where either

be a nonsingular matrix and let r(S) <1, where either

$= DV baldPle t NOY Pyle dle For jet

s [Euroa +ES ire WS Rae 3w

“hen the problem (1), (4) has a unique solution

be nonstngdlar matriz and r(S\) < 1, teherr

$ì =3 lxu(n)Rlu + lÁi 1S [ae

or Ay = 0,

xa(n(s))1Pi(s)\ ds dt,

be nonsingular matriz and r(Š) < 1, where

%=Š}Š I0 + II fac) fry los) dears fice ered ON,

lAz'| 2 Ly Ệ | lA(9)I ͈ Pạ(a.s)dsdt ƒ (6.3)

‘Then the problem (1), (6) has a unique solution

Ieorem 4 Suppose that either the matrar Ay giwen by (9) is nonsingular matriz and r(Sy) <1, where

S= Is son Eh

+A) LEA] ae

or Ay =©, the matrix Az given by (10) is nonsingular and r(S2) <1, where

=SY Flere HIS [aco [Pata aaee S2 wun0n| + Ÿ 2Š list f 1a0o1 f’ Py ta.sddsae

‘Theorems given in this paper for linear systems of differential equation ent ng to Corollary 133 and Corollary 13 hin hị the case when the matrix Ay is nonsingular The results with Ay = @ noraegular Ay hove been publed only fra period bursary vale problom

tc 1, where a(t) = $2”, ||xz(f(9))P,()|| Mt is also clear that @ © L(,R,)

refore p isa strongly bounded operator Concurrently, t: CLR") — R™

defined by U(x) = J2 x(t) 46(4) is a linear bounded functional Consequently, the problem (1), (2) ean be rewritten inthe form

HO ayn +410,

[080-0

and Proposition 1 is valid (see [4 Theorem 1.1.1)

Lemma 1 The following inequalities are valid for any x C C(I,R*) and almost every (eT

iy xrfx(0)P(9zs800) <3 xi((0)|8(9blc (12)

7 xl (s))Py(s)z(79 (5) a

(13) Ife 18.0 solution of the homogeneous equation (lạ), then

» xrfx())f9z4s2()) < (= ruirc ra + EEA le (14)

for almost every t€ 1

Proof of Lemma 1 Let x € C(U,R") Then

WF € GU.R") ism solution of equation (1a), then

| seinozetel| =

= | xr(n(9)ñ49z()) = z() + x ‹

lÈxuseoPtorto|+ |Š> (0069166800) ~z6)|< ei Irlc + Yume ƒ 2U gái

Proof of Theorem 1 According to Proposition |, it sufficies to show that if

+ isa solution of equation (Ip) satisfying boundary condition

and, by iteration in (15,), we get

where ¢ = 2(to) and

p(E)(s) = 3” xi(m(s))P(s),

( f mevcerae) LY meine f’ aul) Pssdatr9ta)) ds

First wesuppose that the matrix Aj given by (7) is nonsingular and r(S) << vhec the mate; dnd by (71) Then, by viv of a), (81) and (7)

“Eafe p(E)s)ds yal’ of [ aenerae) (a=

=ac+S SA [ r([ e6 4)(00

xa Ẽ\[gđẹs) and thus

ỔTherefore (151) yields

Hence, on account of (12) and (13), we get

XE Ế Sai [Ẽ nga 0a]lc

[Errore +145"

brịc

Whence, together with the assumption r(S3) < 1, we get 2(t) = 0

Proof of Theorem 2 According to Proposition 1, it suffices to show that if ris a solution of the problem (19), (5p) then x(t) = 0 Let z be such a solution and let ặ Ạ J be an arbitrary point

First suppose that the matrix given by (7) is nonsingular and r(Si) < 1,

where the matrix S; is defined by (72) Analogously to the proof of Theorem 1,

Ổwe get equation (16) Then the relation (16), in view of (14), implies

"` ỔSif Ip(z)()ldt<

< Êveon|, +SEE kt

tint So iau Ẽ + ẾẾ n0) ai] lzle < Silzle

Since we suppese that r(S,) < 1, we get z() Z 0

Now suppose that A, = @, the matrix Az given by (8) is nonsingular, and 1464) <b where the matrix 5, i defined by (Ee) Anahogounly t the proot of dorem i, we derive the equaly (16,) Then, the relation {16y) in slew of

Mã given by (7) is the unit matrix

Proof of Corollary 3; The yell ofthe ere lows ete from Theo Ia ely ey ele A GocAg Gite WG a ah tanec mấy ith v = 2,4) =

o= aw [e+ [ wereoaa] dt where ¢= 2(a), ie,

te Sohablig f Sone Live Bonnday Vae Prhltme ng

‘Therefore, by virtue of (12), it follows from from (15;) with fo = a that

Iz)| ‹ƒ Ip(z)(s)| ds + |A; [veo [ Ip(z)(s)| dsdt <

<[Š hubonli + lai" [ 1A0) [ xin@0IPt914selile

sins foi f pC wtevenee)es

+ [wcenonanns [vai [oC ineyeiiae) 9) [LEV 9u Hid [ao [ mMa)áná<