Sự tồn tại nghiệm và cấu trúc tập nghiệm của một số lớp phương trình vi phân phi tuyến

Chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu lớn nhất của 1 khi 4 cổ định.. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm lớn nhất khi 4-0 hoặc 4->s.. Trong trường hợp này phương trình có duy nhất nghiệm

- (ục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

DETAINGHIEN COU moa Học vÀ MA SO: CS.2009.19.68 VÀ core 'NGHỆ CÁP CƠ SỞ

‘SU TON TAL Nou VA CAU TRÚC TẬP NGHIEM CUA MỘT SỐ LỚP

iG TRINH VI PHAN PHI TUYEN

"Tóm tắt kết quả nghiên cứu

s

“Các bài báo được hoàn thành trong đề

Phụ lục: Báo thuyết mủnh đồ di Kioe học và Công nghệ cp tường,

'Tên đề tài: Sự tồn tại nghiệm và cầu trúc tập nghiệm của một số lớp trình vi phân phí tuyển

Mã số: CS.2009.19.64

“Chủ nghiệm để tài: PGS.TS Nguyễn Bích Huy

Co quan chủ trì đề tài: Khoe Toán - Tin học, DOH Su phạm TpHCM

"Thời gian thực hiện: 12 tháng, từ 4/2009 đến 4/2010

1 Mục tiêu đề tài

quả tổng quát của Lí thuyết phương trình trong khôn

Feit frcle aragrendadetyol istic chtta todn tir p~Laplace

“À„k.= Am(x)” ~u” trong Q, u=0 trên 20, ly trong đó hàm trọng /(x) thuộc /*(Q) với g nhỏ

II.Nội dung chính

1 Chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu lớn nhất của (1) khi 4 cổ định 2 Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm lớn nhất khi 4-0 hoặc 4->s

3 Nghiên cứu sự phân nhánh toàn cục của nghiệm của (1)

II Kết quả chính đạt được

mm Kết quả khoa học

1 Công bố một bài báo trong Tạp chí Khoa học ĐH Sư phạm TpHCM

Bu he Kim, Từng Chondt B2) 10, mg

2 - Nguyen Bich Hy, Nguyen Duy Tha, Tan Dish Than On the structure mit tap chí Quốc tế một bài

‘unbounded positive solutions to quasilinear logistic equation TIL2 Tom tit kết quả

Thương tình logie () VÀ các biến dạng của nó thu hit nhiều sy quan thn nghiên cứu gần đây của các nhà Toán học vì những ứng dụng của nó trong Toán Sinh học Trường hợp m(z)e #' với tuc đã được nghiên cứu khá

kĩ [ ] Trong trường hợp này phương trình có duy nhất nghiệm bị chặn (thuộc

Wi 11) Teutmg hop m(s)et vii gs nghitm ab th a, ob th thông bị chặn và không duy nhất, do đó việc nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số 4 cũng như nghiên cứu sự phân nhánh nghiệm gặp khó khăn Trường hep 9% cic ket qui về) chưa nhiều

"Ta kí hiệu về phải của (1) là /(x) Hàm w.elf¿7(Q) gọi là một nghiệm yếu

„ của (1) nếu ƒ(x,u)e E7 và

vế vp- re

oe tại hits yb in nhất Ì toán,

các gi thiệt Yau en led i cai oda:

a m(x)e 2! voi ạ thích hợp sẽ được chỉ rõ trong mỗi định lí, m(z)>0 và Edvbscrriiiii sao cho m(x) > my Yx c GÌ ŒÐ)z<ps Định lí 1 Ca 0H) GP) và bản đâu tận GĐ) sen đoợc ta:

'Khi đồ với mọi ä > 0 thi (1) có nghiệm lớn nhất

Định I2 Giá sử (H1), (H2) và thêm điều kiện (114) sau được thỏa : a=p-La>[———P———Ì

wer e-beam

'Khi đó tồn tại số 4, sao cho với mọi 2 >2, thì (1) có nghiệm lớn nhất 2) Dáng điệu tiệm cận của nghiệm Định 3 Giả sử các điều kiện (HI), (H2), (H3) được thỏa mãn Gọi ø, là nghiệm lớn nhất của (1) và v, = Ä-, Khi đó;

1)Nếu Ø> p~1 thì tồn tại nghiệm v của bài toán .ẽ 3) sao cho lim, =v trong JfJ” và hin trong £

2) Nếu Ø<p~I thì tồn tại nghiệm v của (3) sao cho limv, =v trong W,”

‘vi hin trong

(9) p>2e=p~l<Ø<p*~L g>Ế:

Khi đó các (2,,Ø) là điểm phân nhánh duy nhất của các nghiệm dương của (1)

và thành phần liên thông của Š chứa (2,,Ø) không bị chặn

TV Hướng phát triển và kết luận

1 ĐỀN & si cáo () nghiên cửa địng đi i ha cla cng ng nhủ 951g (38/38 7010x tĐRht670 NGIM li) phân nhánh

SA) ~ fiw)

So với mục tiêu đặt ra trong thuyết minh dé tai thì chúng tôi chưa có được Banach

Y Tai ligu tham khảo

Hig Smee As (2) i tins of he pure salons ot logistic equation ", IMAA 268, pp 200 —

2 Dabok Pe Herander "@001) “Existence and uniqueness of positive solution for some quasilinear elliptic problems”, Nonlinear Analysis 44, pp 189-204,

Nguyễn Bích Huy, Trin Đình Thanh, Các nghệ không lị cân cha phương trình logistic và dáng điệu tiệm cận của chúng, Tạp chí Khoa học DHSP TPHCM khoa học Tự nghin & Công nghệ 2IÓ9) 2018,pp 310

| Nguyen Bich Huy, Nguyen Duy Thanh, Tran Dinh Thanh, +of the positive solutions to quasi On the structure

Summary

Project title: Existence and structure ofthe solution set for some nonlinear differential equations

Code number: CS.2009.19.64

Coordinator: Ass Prof PhD Nguyén Bich Huy

Tmị Ho Chi Minh City Pedagogical University Duration: 12 months, 4/2009 ~ 4/2010

L Objectives

Apply abstract results of Theory on equations in ordered spaces to study the existence and structure of the set of positive solutions for the following logistic

‘equation involving p-Laplace operator

3 Obtain the global bifurcation of the solutions of (1) from the trivial solution

II Obtained resul

1 Nguyễn Bích mm Trần Định Thanh, Unbounded soutons of the logistic their asymtotic behaviors, Jour Scinces HUM Up, 21(55), 2010, p.p

= 10 (in Vietnamese) (guyen Bich Huy, Nguyen Duy Thanh, Tran Dinh Thanh, On the structure of the uabcunded pote sohiioas lo quae logit equation (ebried

CAC NGHIỆM KHÔNG BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC VA DANG DIEU TIEM CAN CUA CHUNG

NGUYEN BICH HUY °, TRAN BINH THANH ”

TÓM TÁT

Trong bài báo chúng tôi xế phương trình logistic chia todin nz p-Laplace trọng m(x) e I* với nhỏ Tin xác dể Os ga sMkbi dit thể không bị chặn) và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của chúng

Unbounded solutions of the logistic equation and their asymptotic behaviors

Inthe paper we consider the logistic equation involving the p-Laplace operator and the weight furctionm(s)<L’ with small q We prove the existence of maximal weak

solutions (may be unbounded) and study their asymptotic behaviors

1 Mỡđầu

“Trong bài báo này, chúng tôi xét sự tn tai và a điệu tiệm cận của nghiệm lớn nhát không bị hận ia pong inh ic sau:

trong 46 QR" là miền bị chặn, có biên trơn, A,„w=divjVa|””Vø) là toán tử

»_Laplace, m(x)< 7"(Q) với q thích hợp và ø < p~1< /:

Khi hàm m(z) là hằng số và toán tử ~A„: được thay bằng một toán tử tuyến tính eliptie bậc 3 thì với mỗi 4> 4, bài toán (1) có duy nhất nghiệm trơn và dáng điệu tiệm cận của nghiệm được nghiên cứu trong [3] Khi q đủ lớn thì (1) có duy nhất nghiệm bị chặn (thuộc #22 ¬7*) và sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số 4

có thể nghiên cứu bằng phương pháp của [4] Khi q nhỏ nghiệm của (1) có thể không Vị cin vA kag dyn, do db vite nahin cu x py tute cảa nhiệm tham số trở nên phức tạp Trong [6] chúng tôi đã chứng minh sự tần tại nhánh Tien ye ng bcs tong png eb (HN p= 2 và q nhỏ Trong bài này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm lớn nhất (khi 4 cố định), có thể không bị chặn và dáng điệ tiệm cận của nghiệm khi 4 -» 0hoặc A>

2 Các kết quả được sử dụng

1PQS TS, Khoa Toán Tín học, Trường Đại học Sự phạm TP HCM 'TŠ, Trường Đại học Y Dược TP HCM

‘Cho X 18 không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K Ta nói ánh xạ F:M C X — X là tăng nêu wuvc Myu <v thì F(6) F0)

Dink lý I5]

“Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón, Mc.X Ia tip dong, F:M—>M li anh xa ting théa mãn các điều kiện

@ Tap M, = (we M :ws F(u)) #6 và có tính chất

Miu, € My,3we My:uSw,vSW,

(9 Nếu (u,)C M, là đây ting thi day (F(w,)J hội tụ Khi đó F có điểm bắt động lớn nhất trong M

^.2 Nghiệm yếu của một lớp phương trình elliptic 4a tuyén tink Giả sử fAc #* là miễn bị chặn, có biên trơn, A,r là toán tử p-Laplace với 1<p<N và /:QxR-» là hàm thỏa điều kiện Caratheodory Ta xét bài toán bien

Ta xét các không gian 1,:*(G), 27(0) thông thường, chuẳn trong chúng được

Gia sirham g:QxR > R théa điều kiện Caratheodory và

@ — g(x,0)=0,¢(,u) tăngtheobiếnu Vxef

đi) _ ¥e>0,39,€£():sup| gu)

59,(2)-Khi đó với mỗi weWˆ(Q) tổn tại duy nhất hàm zeW‡”(Q) sao cho

là nghiệm yếu của bài toán

~A„M+(,,/)=h trên Q, u=0 trên 20

2) _ Dưới đây, để ngắn gọn ta sẽ kí hiệu về trái của (3) là < 4,>

4 - Kết quả chính

'Ta xét phương trình (1) với các giả thiết sau:

(Hì) m(x)>0, m(x)e /"(Q) với q > 1 thích hợp và tồn tại miền trơn @'cQ, tồn tại sd m,>0 sao cho m(x)zm, VxeQ"

(Hd a<fspt-1

‘Diu tién ta sẽ đưa bài toán (1) về bài toán tìm điểm bắt động của một ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự

Do didu kiện Gi) có Ứ > (g9) đo đồ nội 2% EQ) thi 2 e E?7(Q),

Ap dụng định lý B va ghi chi 1 cho ham g(xu)=u’ ta có với mọi

ke F77(Q)<-Wˆ'7(G) tồn tại duy nhất him 2 €W/34(Q) théa 26 L°4(0) va

Goi P là ánh xạ đặt tương ứng mỗi he “”7(Q) với nghiệm z của (5) thì P có các tính chất sau [4]

(a)_ P()eW2?(Q)2¬"*(Q), P là ánh xạ tăng

(b) Nếu M là một tập bị chặn trong Z””(Q) thi P(M) là một tập bị chặn trong W}”(Q) và do đó là tập compắc tương đối trong /7(®) với y < p° (©) Pliên tục nếu p22

Giả sử số r >1 thỏa điều kiện

fo ©

sa

Khi đó nếu ue /;(9) ta có m(z)w° € /'() với i

Do 6 anh xq Nemyskii X(4,u)= Äm(x)w” tác động từ //(9) vio LO) va liên tục, biển tập bị chặn vào tập bị chặn

Đặt F(A,u)= PoN(2,u) thì sự tồn tại nghiệm yếu của (1) được đưa về bài toán tìm nghiệm của phương tình

“Chứng mình :

Tinh chit (i) đã được chứng minh trong [4] Để chứng minh (ii) ta chọn số

7 <p* thỏa (6) Phép nhúng W, > Z' 1a compic, ánh xạ „ :Ƒ -» F”” liên tục và PL"? Wi] liên tục nếu F là ánh xạ hoàn toàn liên tục

Bỗ đề2

Gọi 4 là giá tr riêng đầu và u, là hàm riêng tương ứng của bài toán biên

~A,u= du?" trong Q', u,=0 wren a

Ta dinh nghĩa u, =cu, trong ©, , =0 trong @\@' với e>0 dit nhd thi, la nghiệm dưới của (1) trong các trường hợp sau :

*Au,p>~|(Am(xwổ ~uỆ) =< Auy =A{“,ø >— [(Am()ể =Aj"'uệ)p (8)

uv

vm Am(z)— Aug" = uf 2 uf (amy — Aug" ~uf"*) trên Œ' và wy, bj chặn trên Q"

ta thấy nếu e nhỏ và #< p~l,Ä>0 hoặc apie thi v>0 Vậy ta có về phải của (8) là không đương và do đó s„ là nghiệm dưới của (1) Dink if 1

“Giả sử các điều kiện (H,), (Hz) va (H,) sau durge théa mãn

kí hiệu F(w) thay cho F(4,u) Theo bé dé 1,2 ta cd u, < F(u,) Nếu w, < F(w,),

u, $ F(w,)thi him w= max(u,,u,) théa us F(u) do F là ánh xạ tăng, Vậy điều kiện (4) của định ty A đúng Để kiểm tra điều kiện (Ì) của định lý A ta chỉ cằn chững minh tap F(M,) la bi chin trong 1” Lay we M,, dit v= F(w) và lấy v là hảm thử, tac6

<Asv>+[t?=4[mexev<a [mol <alni, bu, ®

‘Vi g'l+a)< p* theo (Hy) nên từ (9) ta suy ra [bŸJ, c2” 'Vậy tập F(M,) bị chặn Định lý được chứng minh

Giỏ a=p-t92( Seer :

Khi đó với oe bài toán (1) có nghiệm lớn nhất

Chứng minh

Với 23-21 tình xe Fx F(2 ) thỏa điều kiện (0) của định lý A Từ điều

kiện (HQ ta cổ (6) đúng với z =1+,Ø và do đó F tác động từ 7"” vào chính nó, Tạ

sẽ chứng minh tập F(M,) bj chin tong 1" Voi we M, va v= F(x) ta cổ từ (9) Gới a= p-1)

sao cho lim, =v trong W” và hau khip nơi trong ©

2) Néu f<p~1 thì tồn tại nghiệm v của (12) sao cho limv, =v trong W}” và hầu khắp nơi trong @

“Chứng minh:

Để đơn giản kí hiệu ta đặt ơ, = Ä!“"?***'”, Dễ dàng kiểm tra rằng v, là nghiệm yếu lớn nhất của bài toán

A= m(2)u" — tu? trong Q, w= 0 tren a 3) hay

1) Khi đ>p-I ta cố ¢, +0 khi ä->0 và nếu 2< thì ¢, <t, va y, ld mot nghiệm dưới của (13); do vậy v„ <v, Suy ra tổn tại v=lim, tại mỗi điểm của Q 'Để chứng minh khẳng định của định lý, ta chỉ cằn chỉ ra v là nghiệm của (12)

và với mọi đây 4, ~ 0 thi day {v, } có dãy con hội tụ trong W¿” về v Đặt v, =v,, và cho ø=v, trong (14) và lí luận tương tự trong (9) ta có

be +b sell, ely sell"

trong 46 1, =1, Do 46 day {v,} bj chặn trong W¿2 và có dãy con mà ta vẫn kí hiệu là (v,}hội tụ yếu trong W}” và hằu khắp nơi trong £ Hàm giới hạn phải là v

VI 0y v0, Sv và v2,m(x)s" thuộc Z7 nên từ (14) (với u=v,,, =í,) ta có thể

áp dụng định lí hội tụ bị chặn và nhận được

hay v là một nghiệm của (12) LẤy p =v, -v trong (14) (với =v,./, =/,) và trong (15) rồi trừ từng về hai đẳng thức ta có

< 4w,~4m,~v>> [G)0ƒ ~v' Xu, =x)~4, [#ứ, ~) (6) Vi», v,m()y"" € P5 € P' và áp đụng định lí hội tụ bị chặn ta suy ra rằng về phải của (16) hội tụ về 0 Về trái của (16) lớn hơn ((x,Ƒˆˆ~bŸ `)(b|~|) Do đó limjs,|=‡b| Vì W2 là không gian lỗi đều nên từ đây và từ v, -»v yếu ta suy ra

TAI LIEU THAM KHẢO

Boceardo L., Cis 11904) “Seton pions Ta Hon Lt (20), pp 99-11

Brezis H, Browder F (1982), “Some properties of higher order Sobolev space”, J-Math Pures Appl, (61), pp 245-259

Delgado M., Suarez A (2002), “On the structure of the positive solutions of logistic equation with nonlinear diffusion”, JMAA 268, pp 200-216 Drabek: P., Hemandez J (2001), “Existence and uiniqueness of positive solution for some quasilinear elliptic problems”, Nonlinear Anal, (44), pp 189-204

N B Huy (2002), “Positive week solutions for some semilinear elliptic equations”, Nonlinear Anal, (48), pp 939-945

"Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, Trần Đình Thanh (2007), "Tính liên tục của tập nghiệm yếu của phương trình logistic chữa tham số”, Tạp chi Khoa

‘ge ĐHSP TP HCM, (12), tr 76-82

quasilinear logistic equation [Nguyen Bich Huy*!, Nguyen Duy Thanh9, Tran Dĩnh Thanh"

* Departmen jniversty of Pedagogies 280 An Duong Vuong, of Varese Compu Soe, Ho Ci Minh iy Vier Nam

* Department of Mathematics, University of Medicine and Phar- tac ĐỊT An Duoag Vuong, Ho Chi Mi Ci: Viet Nam Abstract

For the quasilinear logistic equation —A,u = Am(z)u" —u? in Qu = 0 on a2

‘unbounded positive solutions and their asymptotic behavior, the bifurcation from the trivial solution,

Keywords: Logistic equation; Unboanded wltions: Global bration; Equa peomunes

~ In recent years, the elliptic boundary value problem

under ious bypass onthe operator A the funn mas) and the powers a, i has attracted much attention of mathematicians because

in mathematical biology (see (1.2.4-8,10] and further references tường He te problem

Âu = Am(z)d® + a(z)uể|

with app ~ 1< J nề

the existence and uniqueness of weak positive solutions has been studied in In [46] the authors have studied (1)-(2) when A is a linear second-order uniformly [27,8.10] ator m2) (z) € CMM) with 7 € (0,1) and 0 <a <B.a<1, For the ease supa) < 0 they investigated the existence, uniqueness and asymptotic

The sim four paper i to consider the ence andthe tract se nọ essarily bounded positive weak solutions of the boundary value problem (3)-(2) In this etn, the wd of (3) meets the following dian, Fim, for a ed ue

‘Abel aoe ly, many of the arguments used in (1.4-5] to obtain bifurcation results can not baka ot ellon verpe 9 1k ome

’be applied to unbounded solutions To overcome these difficulties we shall apply some

‘general results and arguments from theory of operator cquations in ordered spaces

‘The paper is organized as follows Section 2 presents some preliminaries on equa- tions in ordered spaces and on the existence of weak postive solutions for a class of problem In section 3 we prove the existence of maximal solutions of (3)(2) The

"bebavior of solutions, th global bifurcation from the trivial solution or the Seaau camber positive solutions,

2