Định lý Điểm bất Động và Ứng dụng Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình

HO CHi MINH KHOA TOÁN - TIN HQC SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Chủ nhiệm để tài: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA... TOM TAT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ 'Tên để tài

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRƯỜNG ĐẠI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH KHOA TOÁN - TIN HQC

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Chủ nhiệm để tài: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

TOM TAT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

'Tên để tài: Định lý điểm bất động và ứng dụng để nghiên cứu sự tổn tại nghiêm của phương tình

Š Lê Hoàn Hóa,

1 Mục tiêu nghiên cứu:

Nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động và những ứng dụng vào sự tổn tại

„ tính compắc liên thông của tập nghiệm cho phương trình vi phân và trình tích phần và nghiền cứu vẻ sự phân nhánh

3 Kết quả chính:

~ Lê Hoàn Hóa - Đỗ Hoài Vũ - Lê Thị Kim Anh, Cấu trúc tôpô của tập

nghiệm của phương trình tích phân trong khong gian Fréchet, Tap chi Khoa

học, Trường ĐHSP Tp.HCM, sổ l4 (7-2008),

trình tích phân trong không gian Fréchei, Tạp chí Khoa học, Trường ĐHSP Tp.HCM s6 21 16-2010, 11-21

ải tích phi tuyến và ứng dụng trong lý thuyết phương trình

~ Một giáo hình:

- Những kết quả của tôi đã dùng hướng dẫn U5 luận văn Thạc sĩ chuyên nghành Giải tịch

Project Title: Fixed point theorems and applications to the existence of solutions of the equations

Code number: CS.2008.19.02

Coordinatior: Associated Professor Doctor

loàn Hóa Implementing Institution; Ho Chi Minh City University of Education, Durian: From April 2009 to April 2010,

1 Objectives:

Stuty the fixed-point theory and the appl

the connectivity and compactness of solution set of integral equations and differential equations and stuty the birfurcation

jons to the existence of solutions,

2 Main content:

+ Stuty the contraction, derive the implicit function theorem, apply the results

to prove existence and uniqueness of solutions of differential equations in Banach spaces

= Stuty the Leray-Schauder topological degree of compact vector fields, the Leray-Schauder principle, the Schauder fixed-point theorem, the Krasnoselskii fixed-point theorem

~ Stuty the birfurcation

the applications of fixed-point theory and the Leray-Schauder topological degree we present several results published in foreign mathematical Bull

3 Results obtained:

Hoàn Hóa — Đỗ Hoài Vũ - Lê Thị Kim Anh, Topological structure of solution set of an integral equation in Frechet space, Journal of science, Hochiminh City University of Pedagory, VoI.14 (7-2008), 20-31

integsal equation in Frechet space, Joumnat of science, Hochiminh City University of Pedagory, VolL21 (6-2010) LI-31

- A course: Nonlineur Functional analysis and applications to the theory of

equations

- My results were used in five Masterdegree thesis

1 Tính cấp thiết và tổng quan về để tài:

Sau thời gian dài trên 20 năm giảng day hoc phẩn: Giải tích phì tuyến 1 trong chương trình đào tạo Thạc sĩ chuyên nghành Toán Giải tích, tôi tiếp cận nhiều tài đồng lý thuyết bắc tôpô để nghiên cứu sự tổn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân và tích phân trên không gian Banach

vô hạn chiều Thời lượng 45 tiết cho học phần Giải tích phi tuyến I không đủ để tối tình bày những nội dung sâu sắc, cũng không di để học viên nghiên cứu và

ai £ gì học trên lớp Tôi muốn giới thiệu một ti liều học tập

1 bao gồm những phẩn cơ bản về lý thuyết điểm bất động

2 Nội dung chính của để tài:

Tôi biên soạn một tài liệu học tập: Giải tích hàm phi tuyến và ứng dụng để nghiên cứu sự tổn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm của phương trình vi phân và thuyết phản nhánh

Bài báo cáo gồm 7 chương Chương I, 2, 3 trình bày lý thuyết về định lý điểm bất động của ánh xạ co, lý thuyết bậc tôpô, định lý Schauder, các dang md rông của định lý điểm bất động loại Krasnoselskii Chương 4, 5, 6 trình bày những kết quả đã công bố trong các tạp chí Toán học trong thời gian gắn đả: ố quả đã xuất hiện trong các luận văn Thạc sĩ, luân văn Tốt nghiệp Đại hoc do đi hướng dẫn trong nhiều năm qua Trong mỗi chương, tôi giới thiệu 2 hoặc 3 bài báo được xếp theo từng tiêu để Thí dụ như: Chương 4 vẻ sự tổn tại nghiệm của hầm đối số lệch; Chương 6 về tính compắc liên thông của tập nghiệm cho phương trình tích phân, phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đối số lệch; Chương 7 tình bày về lý thuyết phân nhánh: phương pháp dùng định IY Morse, phương pháp dùng lý thuyết bậc tôpô

vàu các chương một cách thích hợp,

Trong phẩn mở đầu này tôi không trình bầy cụ thể một định lý hoặc một bài báo nào du bầu hết các kết quả được trích dẫu đều viết bằng tiếng Anh và các bài báa thưững cả những phẩu trùng lấp nêu thời gian biên soan kéo dài và mất khá nhiều công sức

“Tuy nhiên, tôi bài lòng về những gì tồi đã lầm được trong thời gian 2 tháng

để hoàn thành để tài nghiền cứu Tôi cảm ơn tác giả các luận văn Tốt nghiệp Đại học và Thạc sĩ, tôi đã trích dẫn để trình bày trong báo cáu này,

i0

PHY LUC

2.1 Trường hợp hữu hạn chiều

3⁄3 Bật lôpô trên khong gran Banach

lì Trường vectd comipắc

39 Tính liên thông của tập

41 Toán tử cũ đặc

3L Xấp xỉ lipnjt địa phương,

á) Bủi toán biên

a) Không gian Holder

1) Giới thiệu

2) Binh ty điểm bất động kiểu Kraxno

32 Định lý điểm bất động kiểu KrastoxeTSdii tong không gian 18h dla

13 Định lý điểm bất động kiểu Keaoss

phương Hausdoff

‘iui tong không gian ii dia

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

TREN KHONG GIAN BANACH

5.1 Sự tổn tại m và nghiệm tuấn hoàn của phương trình vi vn! hàm

2) Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm

3) Nghiệm tuần hoàn của phương trình vị phân hàm tuần hoàn

4) Sự ổn định đều của nghiệm

5.3 Phương trình vì phân trung hòa

Chương 6: TINH COMPAC LIEN THONG CỦA TẬP NGHIỆM

6.1, Tinh compde, liên thông của tập nghiệm của bài toá

7.3 Ung dung của lý thuyết bic trong sự phân nhánh

1) Bặc của trường conipắc tại nghiệm cỗ lập

3) Áp dạng trong lý thuyết phân nhánh

lệu tham khảo

Chương 1

ANH XA CO!

Trong chương này X là không gian day đủ, có thể X là không gian mêtrie dây

ii, khong gian Banach hoặc không gian mêtric compắc Ta sẽ tìm điều kiện có liên quan tính chất co để T có điểm bất động duy nhất xạ, T(x,)=xạ đây lặp lim T”(x)= x„ với mọi x e X và trong một số trường hợp, để I—T là đồng phôi

Cho (X.d) là không gian mêtric và T: X =x X Ta có:

*_T là ánh xạ co nếu với x#y, đ(Tx,Ty)< d(%,y)

* T thỏa điều kiện lipsit hay đơn giản T la anh xq lipsit nễu tổn tại hằng số k>0 sao cho với mọi x,y thuộc X:

*® Số k(T) bé nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là hệ số lipsit cla T

= Nếu k(T)<l ta nói T là ánh xạ co hệ số k=k(T) hay đơn giản T là k~ co

" Nếu ST;X-+»X là ánh xạ lipsit thì k(TS)<k(T)Jk(S) và đặc biệt k(T") <(k(T))" voi moi ne N

* Điểm xu e X là điểm bắt động của T nếu Tx, = xạ

Hiển nhiên nếu T lả ảnh xạ co thi T liên tục đều và điểm bắt động của T, nếu

sẽ là duy nhất

Định lý 1.1: (Nguyên lý ánh xạ co)

Cho (X.d) là không gian métric day đủ và T: X -» X là ánh xạ k-co Khi đó T

có điểm bất động duy nhất, phỉ là xạ, va Jim Tñx = xạ, với mọi xX

kh

Hơn nữa: d(xo,TPx)<;^—d(x.Tx) với mọi xeX

* Tham khảo (2| [19] 1221, 231, [241

1.Cho (Xd) là không gian mếtric đẩy đủ, T: X — X là anh x9 lipsit, Gia sử tên tại

pe sao cho k(TP) <1 Chúng mình T có điểm bất động duy nhất, ghỉ là xọ, và

| > sere với 4= 3 k(T”), k(T”

ñ Vay d.p là mêtric tương đương

Do dp tf hai mêbic tương dương nên: lìm T"(x}= x„ trong (X,đ), no 2.Cho [X.4) là không gian mêtric, T:X ~x X là ảnh xạ li

eat T liga [RT] = m|xem]" ane nf it, Ching minh tbe tai: Đặt a= mix] « x

Với c>0, tổn tại peN sao chơ: k(TP)<(a te)P,

Với n>p, ta viết:

Tacé: „km P-[kemn]

a

Do 0Srsp~l, cho non, tacé: as tim [kT] "sate

= im [ct y's in {fart Prine vị

n=pq+r với 0<rSp-l

ưa

De e>0 bải kỹ nị

k„(T)<l Chứng minh tổn tại mẻtric p tương đương với métric d sao cho T:(X,p)~> (X,p) là ánh xạ kạ ~ có Gọi xạ lã điểm bất động của T

Chứng minh: lim T”(x)= xạ trong (X,d) với moi x eX HD:

Áp dụng bài tập 2, tồn tai pe N sao cho k(TP) <1

Áp dụng bài tập 1 tồn tại mêtric p tương đương với métric d sao cho: (X,p) > (X,p) là ánh xạ kọ-co

4.Cho (X,d) là không gian mêưic, T:(X,d)->(X,đ) là ánh xạ lipsi Cho ø là m&ric tương đương với đ, Chứng mình im h [ud9Ÿ = lim no ay] trong đó ka(T), kp(T) là hệ số lipsit của T "0G d) > (X,d) và Tạ LỘ, Ð)~>(X.p) theo thir ty

Ta ching minh ¢ liền tục

Cổ định yeX, do k„(Ty)<l nên tổn tại peN sao cho TỶ là ảnh xạ k~ có,

im bài động duy nhất của Ty là @(y), Ty (g(y)]= @(y)

sao cho |x—x]<6, thi (Tx—Tx'

@ Tiép tực, tôn tại 8p

Jet)~Ty.te@a|=ly~v<8s-i sey ra: |T(ev9)—T(Ty(e)|

Tiệp tục đến p được: |áy)—TP(elyI|<ãa <e+6,

Già sử (4) đúng với n, nghĩa

ly-y[<ðp2; thì Joy9~TP"(gy)|<e +6 Đặt r« TP (671), bà chứng mình: |TG)~ TP)| <ðu-

Ta có: lyer-tye|=ly~y[<ðp-i

Suy m: [T(Ty2)}~T(Ty(2))|< —

vay: |f@-T2ø|<|T[T,ts)-f(fytsj»ly-y|<5p- Tương tự 8: [1 (1

=a ree <8

Suy [e-tiis|s|r(ries)~T(T2ø]+by~vÌ<8z s Tiếp tục đến p ta được: Ite- TR] <By

Với xeX,đật xạ =T”(x) và aạ =d(xa,Txạ), MEN

Do (5) nên (a„)„ là đây giảm Đặt: im an, ta chứng mình a=0 Gia sit: a= lim a, >0 Do X la khdng gian métric compäc nên tổn tại dãy con hội tự (xạ, của dãy (Xp)ạ, đặc z= lim xụ,,tacó:

Tương tự như trên, nếu (xạ )y là đầy con hội tụ của dãy (xạ)ạ và

zw lim xạ, thỉ z lä điểm bất động của T, z=Tz ko

Do T là ánh xạ co nên T có điểm bất động duy nhất, ghỉ là xụ, Vay moi dãy con hội tụ (xạ, )y của đãy (xạ); có củng giới hạn là xo Do X là

không gian mêtric eompäe nên: lim xạ =x¿= lim T®(x)

Với neN, đặt fạ:X-»R định bởi: f,(x)

(x.T"6))

Do X li khéng gian métric compic, Ap dụng định lý Dini, lim f, =0 đều trên Vậy: lim TP(x)=x„ đều trên X

|fx~Tyj=max{t|x()~—y(0|.te[0.1])<|x—y[ nếu xzy

Tuy nhiên T không có điểm bắt động trong M vì:

lim T°(x)= xụ với mọi xe X

Lưuý: Điều kiện k(T") <1 không liên quan đến tính liên tục của T Thí dụ:

Do k[TP)<l nến TP có điểm bắt động duy nhất, ghỉ là xạ TP(X,Ò= 8, và tim (T?)" xix, với mại xe X

Khids: To =(T?}"(Ton] với r=

Do fim (tt, với mọi yeX nên với e>0 bết kỳ, tồn tại q,€M sao cho khi q >q, (tường img n2 pa, thi:

đ(T*&0x,}<e vải mại a pny

Vậy lim TPVx)=x, với mọi xe X

2,Cho T8” — RP thúa mãn: |Tx—Ty| <|x— y| nếu xy eR", x # y, Chứng minh; 1~T' đơn ảnh và nều D là tập mở thì ánh (1— T](D} là tập mở

bắt động duy iểu này nghĩa là Vậy :BYz,r) > B'(z,r), do B1,r) là tập compắc nên f có nhất weB(zr), f(w)=w=T(w)+y hay (I-T)w=y,

B(u,ð)C(I~TJ(Ð) Vậy (L~T)(D) là tập mo trong R”

3 Cho D là tập mở trong không gian Banach X, T:D—>X la anh xạ k- co, k <1 Chứng mình: (I~T)(Ð) là tập mở Nếu D = X, chứng minh: I~T là song ảnh và (1~T)T liên tục

(a) x<y, x#y thì W(x)< W(y)

(b) Với mọi dãy tăng (x„)„ trong X sao cho: (xạ) <e<% với mọi neÑ thì tổn tại y € X sao cho xụ Sy với moi n

(e) Với mọi xe X, w(S(x)) bị chặn trên, Khi đỏ với mọi x e X., tồn tại x’ S(x) là phần tử tối đại, nghĩa là {x'} = S(x')

‘Ching minh:

Với ae X, đặt: p(a) =sup{(b), be Sa)}

Bằng phản chứng, giả sử kết luận không đúng với một xe X

Ta định nghĩa dây (xạ)ạ bằng quy nạp như sau: xị =X, Xa„¡ €Š(Xạ) thỏa

sao cho: y€u, y#u và như vậy: W(y)< W(0),

Đo xạ <u, W(4)< (xạ) với mọi n và xạ„¡ € y nên W(Xp,p)€W(Y)-

Khi đó, từ (6), x €Tx với moi xeX

Kiém tra các điều kiện của Mệnh để 1.!, (a) đúng tự nhiên Nếu (Xq)q la dy ting trong X thì (g(xạ))„ là dãy giảm và bị chặn dưới trong, hội tụ, Dats r= Tim (xạ): Do đíxasp,Xạ) (xạ) =@(xuap) nên (Xp)s là

không thỏa mãn điều kiện của định lý Caristi

1.6 Ap dung

1) Tích phân của hàm có giá trị trong khong gian Banach:

“Ta chỉ khảo sắt trường hợp f:[a,b]—> X với X,}| là không gian Banach

Ham f:(a,b]>X là hàm đơn giản nếu f[a,b]= và mỗi ảnh ngược TQ), 1ï <n là tập Borel

Đặt S([a,b],X) là tập hợp các hảm đơn giản S([a,b].X) là không gian định chuẩn với chuẩn sup Không gian đẩy đủ hóa của S([a,b].X) là tập hợp các hảm thích nghĩ, ký hiệu R([a,b],X)

Xem: f eC([a,b],X) R([a,b],X), các hàm:

6 = Sy) €5(l001)

trong d6 t) =a +i 7 va 7, li him dc trung

Do f eC({a,b],X) liền tục đều trên [a,b] nén (f,,),, hoi tu déu ve f Với £ eS([a,b],X), ta định nghĩa tích phn eta f trén [a,b] bai:

Với mọi À.e X” (không gian d6i neu etia X) thi:

A{fPreona.)= PPa(reojar feR([a,b].X)

) Đặt F(0)= [ f(s)ds thì FeCÍ(fa,b],X) và F()=f(Ð) Suy ra: FU)=Fla)+ [Fields với moi F eC! ([a,b],X)

Cho (E.|-|) là không gian Banach vả xụ e E

Cho a.r > 0 và f:|04a]x Bf(xạ,r)~>E liên tục và thỏa mẫn điểu kiện lipsit theo biến x nghĩa là: tổn tại L >0 sao cho:

lfd.x)~f(y)|<L|x =y| với mọi te|0:a], x;y e B (or) ” Khi đỏ bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân:

0

‹ Điểm bất động của T thỏa mãn: x(U)= xe + [f(s,x(s)Jds ,Le(0,b] chính là

0 nghiệm của (I.L) trên [0,b],

Vậy T là ánh xạ k- co, k= bL < và T: B{xụ,r) => B'(Xo,r)

Ap dung Nguyên lý ánh xạ co, T có điểm bất động duy nhất x« là nghiệm của (-1) trên |0,b]

3) Nghiệm toàn cục:

Cho (E.||) là không gian Banach và xạ € E

Cho f:[0,a]x E —x E liên tục thỏa mãn (7)

TP HỒ.^-4LMINE-2Đa:Học SựPhạm |

Bằng quy nạp ta chứng mình: [T^x(t)~ TPy(2)|s: mi E-v{ + eleal ® Với n=l, ta có: với Le|0/4l,

Đặt: X =C([0.a},E) voi chuẩn Jx|=max(|x(9|.te[0.a]}

Xem anh xa T.G:X— X định bởi:

Tir(10) 1a 6: [? |<t bk-v.sen

Suym: kTP)<( nt 2Ì” ,neN

1/0

Vậy k„(T,)= lim [xa»] =0 với mọi zeX

Áp dụng Định lí (1-2), (I~T) là song ánh và (I~T)ˆ liên tục

Nếu xe là điểm bắt động của T+G tỉ

Xe =TXs +Gxx € (I=T)xx =G(x+),

Đặt F=(I—T)”ÌsG Do G liên tục nền F liên tục

Khi đó điểm bắt động x« của T +G chỉnh là điểm bắt động của F, x« = F(x+) 'Ta sẽ gặp lại kết quả nay trong định lí điểm bất động của toán tử loại Krssnoselskii và các ứng dung

4) Phương trình vi phân đối số lệch:

Cho (E,||) là không gian Banach, đặt C là không gian Banach cdc ham ign tue,

bị chặn từ 8_ =(~,0| vào E với chuẩn |x[= sup{Ìx(6)|,8 <0} và X là không gian các hàm bị chặn từ Ñ vào E,

Với xeX,đặt x,eC định bởi: x,(8)=x(t+8) ,8<0

Cho f:x Ex€ ->E liên tục thỏa mãn tính chất:

Với mọi ơR, neÑ, n>ơ, tổn tại hai số an,bạ sao cho: [tđ.@)~fd,v.w)[<an|u = v|+ bạ |e~w|

Khi đó bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đối số lệch:

a X(D=F(tx00,x,) 120

X„=9 0eC

có nghiệm duy nhất trên 0,00)

Dit: X, = C({o,2), E) la khéng gian Fréchet cae him lin tục từ [ơ,=) vào E với họ nửa chuẩn: pạ=sup[lx(0|te[ø)} với neN, n>øơ va métric dx.y)= YL Poy)

ẤJ)ds+ 0(0) ,L>ơ Khi đó nếu x là điểm bất động của T thì X là nghiệm của (L3) trên khoảng, lơ)

Với ze Xu, đật Tạ(x)=Tx+z và Lạ =aạ +bạụ

Bang quy nap ta chứng minh: với n>ø, zeXạ và g<t<n, [rex tic] ALat-SIÍ 2 lx—y) với mọi leN (2)

Với se|ø.n], Ø<0, ta có:

(s+6)~ ÿ( +6)|=|x(s+ 6) = y(s + 6)|+ |x(ơ) = y(G)|<2pa(% =y)-

¡;Ï|<2pạ(x—y) với mọi se[ø,n]

'

[r,stoT,ye< [|f(xx6).&,)~f(xÿ6).ÿ,)tx '

£[(sn|Es)~ÿ(S|+ bạ — ÿ,|)ds 3

‘

< Jln[% Folds $2[C-0)Lg Jpq(x-y) , teLo,n]

Vay công thức đúng với mọi n

(3)

=

Từ (12) ta có: pa(Tix—Tiy) <2

Đặc biệt với Z = 0, ta có:

pa(T'x Ty) < Lenina]

Do tim Zen 0 néntén tgi kN sao cho: Alte

Khi đó: pạ(TỀx~TẤy)<øpa(x~y) với œ<l

Ap dung bai tap 1, T có điểm bất động duy nhất trong không gian Banach 'C(ơ.n],E) Điễu này có nghĩa là bài toán:

€((ø.n|.E), theo Dinh li 1.2 va (13) thì (1y Tạ ) song ảnh vả (1„ Tạ)” liên tục,

với mọi neN

'Vấn đễ: với I la anh xa ding nhất trên X, thì (L~T) là song anh và (1-T)* liên tục trên X,?

1,7 Métric Hausdorff

Định nghĩa:

Cho (M,d) là không gian mẻtric Gọi M là tập hợp các tập con bị chặn, đồng trong M vả N là tập hợp các tập con compắc trong M Với A.BeM; A,B khác rồng

Đặt: đist(a, B) = inf{d(a,b): be BỊ, p(A.B) = sup {dist(a,B): a e A] p(B,A)=sup|dist(b,A):b BỊ và D(A.B)= max [p(A.B) p(B,A)} Khi đó D là mêữie trên M,N và D được gọi là métric Hausdorff Mệnh đề L2:

Cho (M.d) là không gian mêtrie đẩy đủ Khi đó (M,D).(N,D) là không gian

mêtie đi đủ

* (N,D) là không gian mêtric đẩy đủ:

Cho (An); là dây cơ bản trong (N,D)

Vay A ia tap compäc

Dar B Fi( TTA) te comp tc ne BeN n~lÀiền

sao cho: đa kg) SỐ, với mọi peN

Dãy (xp), trong Lj A, € Ã cempáe, tổn lại đây con (xp, ), hội tụ ibn

Đập xe lÌm apy thi xe B va dio.xis5

Suy ra: dista,B)< © véi moi ae An

Hay: p(An.B)< 2 Vậy D(Ag.B) <e với n> nạ,

Suyra: lim D(Aa,B)=

Vậy (N,D) lá không gian mẽtcic đầy đú

+ Chứng minh (M,D) là không gian đây đủ:

Cho (Aq }y la day cơ ban trong (M.D)

Ta lập dây (xyJy như sau: Tần tại me sao cho với mọi n>ny thi

I

D(An An) <3

Chọn xị € An, 7 dita Anded với mọi ñ > nụ

Tên tại n; « Ñ, nạ >n|, sao cho với mọi n > nạ thi: DÍAm›Ä, Mex Chon x2 € Ag, ¬lx.2} táo dh(x-An)}<s thi:

Mista Ag) vải mọi a> my

Gio wi vi K2 2,96: (Any An) <p voi moi n> My

Và su CÁN, a(n ts) this distixg is An }< og wi moi n> My bg Tdntai ny.) >My sa0 cho: DÍAm ,¡.Ân)< 2k1 s¥O> aga

Do di (sAxa)*z£ nên: tổn Gi Xuyi An „¡ a(n

L

dist (x44)-An) <a Ym ny, Xee.An)< 6e Mai

Vậy thiết lập được dây (xạ ìy sao cho:

Với m keN, xueAm địa xy Ay ee với mọi n>ng và

Cho (M,d) là không gian mêtric đẩy đủ và T,:M ~ M, Í =1,2,,.,n là các ánh

xa co, hệ số k; <1 Khi đỏ tổn tại đuy nhất tập compac khic ring ACM sa0 cho:

max |kị.i = 1.2 R}, k<l

28

Vậy E có điểm bat động duy nhất A eN, F(A)= A= LJT,(A) 1.8 Không gian lồi theo mêtrie (metrically convex) Định nghĩ

Không gian mêtric (X,đ) được gọi là lồi theo mêtric nếu với x,y 6X, x#y, tổn tại z€X, x#z.#y sao cho: d(x.z)+d(Z,y)=d(x,y)

Khi đỏ z được gọi là nằm giữa x,y và kỉ

Ta.c6: (pgr) va (prs) <> (pqs) và (qm)

Định 111.7: (Menger)

Cho (X.d) là không gian mêtrie đầy đủ và lỗi theo mêtic Khi đó hai điểm bắt

kì x.yeX được nổi bởi một đoạn theo metrie, nghĩa là tổn tại một đẳng cự

@:[0.d(x.y)]—> X sao cho @(0)=x và 0(d(x.y))= y

day đủ, x.y X, x#y

Gz)=y, nếu díxz)<A Định nghĩa G:§ => S bởi: Gz)=z — chỗ khác `

Xác định @:S 4@)=Ä=d(x.z),

Khi đó @ liên tục và với ze, ta có:

Cho (X.d) li không gian mẽtric đây đủ và lỗi theo mitric Cho x.y €X, x#y

và 0<À <d(x.y) Khi đồ tổn tại 2 é X sao cho (xZy} vũ díx.2}=À Chirag minh:

Do Bồ đề 1.1, tn tai z¿ e X sao cho:

B9 he Bdyya ) và (yyyy0) thì dỢy,)<À”,

Trường hơn 1: 2, = yy

Khi dd, do: dfx.y) = d(x.7,)4d(2,,.9)

Suy r: d2) <Â

Trường hợp 2: z; #Y'

Do X Idi theo métric, tén tai w € X sao cho (Z4 W2)

Từ (x2yy), t2yạy) vA Gwyn) Aen (ewe), UE, WI, (WER) Và ty)

Tử b), do (xwy) và (x2, w) nda dtx,w)> A

Tab’) da 2A) và A7) nên đc ) ĐÂY

Như vậy: dx,y}= d(x,w) +d(w,y)>À+À'= d(x,y) miểu thuẫn

"Vậy không có z2, # yạ:, Ta tr lại trường hợp I

“Cho H là không gian Hiiber với tí

Ảnh xạ †:ID —> H được gọi là không dẫn nết

Jf(x)~fyl|<lx~v| với mọi x.yeD Ảnh xạ A:D — H được gọi là đơn diệu nt

(Ax~Ay,x~-y)20 vai moi x,yeD

Bo dé 1.3: (Minty)

D lỗi và A:D->H đơn điệu, liên tục

chiều của H Với u e D và ze H cổ định thì các

Œ) (Au~z.v-u)>0 với mọi veD

đi) (Av~z,v~u)>0 với mọi veD,

n các không gian con hữu hạn Êu sau tương đương:

(i) = Gii), do A don digu nên với mọi ve D, tạ có:

(Av=z.v=u})~ (Au~Zv~u)= (Av~Au,v~u}>0 Suy ra: (Av~z.v~u)>(Au=z2v~u)>0

() = (0) với weD, đặt v=tu=(L~t)w, te[01] thì veD và v~u=(1~0(w=u)

Do (ii), vai O<t<1, tacé: 0S (AV—z,v—u)=(I-t)(Av—z,w—u) Suy ra; (Av-z,w-u)20

Cho t—y] thi vu, do A liên tục trên đường nổi u,W nên Av—> Aw Suy ra: (Au~Z2w~u)>0 với mọi w€ D

Định lí 1.8:

Cho H là không gian Hilbert, B lỗi đóng bị chân trong H và £:B—B là ánh

xạ không đăn, khi đó tập các điểm bắt động trong lồ là tập lồi đóng, khác rồng Chứng mình:

Bằng cách đặc D= B~ xọ với xạ €B và g:D~» D định bởi:

2(8) = f(Xq +X) Xo

Nếu g(xị)=xị thì F(X +1) = Xp +X) Do đó ta có thể giả sử 0e B Khi đó với À.e[0,1), Af:B —> B là ánh xạ co hệ số 2, vậy tổn tại duy nhất điểm bắt động, ghỉ là xạ, (AfXxạ)=Xạ, xạ €B

Đặt A=[~f, A; =I~Àf thi A va A, don điệu, liên tục trên B và A¿(y)=0 với mọi 2 e[0,1)

Xem đây (Anjg Ö<2.<l, lim A =1 Tương ông ta có đây (

Jn trong B, Aj,,%,,) = 0, do B bi chan nên tôn tại đây con hội tụ yếu vé ueB Ta 06 thé gid

sử chính đây (xạ„ )ạ hội tụ yéu ve u, ngha kis tim (x;,v}=(u,v) với moi ve H Với mọi veB, do A¿„ đơn điệu nên: