Tính triệt tiêu của nghiệm phương trình parabolic khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành giải tích

NGHIỆM PHƯƠNG TRINH PARABOLIC Giảng viên huéng din; TS... Chương 1 Giới thiệu bài toán Trong khoá luân này, chúng tối nghiên cứu lớp các phương trình p-Laplace khuếch tần nhanh chứa kà

SSP TP HO CHi MINH

KHOA LUAN TOT NGHIEP CHUYEN NGANH GIAI TÍCH

Ten dé ti: TINH TRIBT TIEU CUA

NGHIEM PHUGNG TRINH PARABOLIC

Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Trọng Sinh viên thực hiện: Bùi Ngọc Huy

Mã số sinh viên: 46.01.101.051

“Thành phó Hồ Chí Minh - Thang 5 nam 2024

A TOÁN - TIN HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

CHUYÊN NGÀNH GIẢI TÍCH

‘Ten dé tai: TINH TRIET TIEU CUA

NGHIỆM PHƯƠNG TRINH PARABOLIC

Giảng viên huéng din; TS Nguyén Ngoc Trong Sinh viên thực hiện: Bùi Ngọc Huy

Mã số sinh viên: 46.01.101.051

“Thành phó Hồ Chí Minh - Tháng 5 năm 2024

Chương 1

Giới thiệu bài toán

Trong khoá luân này, chúng tối nghiên cứu lớp các phương trình p-Laplace khuếch tần nhanh chứa kà dị trong một miền trơn bi chăn với điền kiên biên Dirichlet thuần nhất Bằng phương pháp phiếm hàm năng lượng, bất đẳng thức của phương trình sẽ tồn tại toàn cục Hơn nữa, điều kiên cho sự triệt tiêu và của khóa luận là trình bày chỉ tiết chứng minh của bài báo

được gọi là giả nhựa (peeudo-plastics); nếu a = 2, chúng được gọi là chất lưu

Newton Khi đó, từ phương trình (L1) và (12), ta có:

-12, Thêm

“Trong khóa luận này, chúng tối xét A = 1,0(z) = |z|T” va flp) = [al

nữa, ta kết hợp điều kien bien Dirichlet cho vấn đề này Sau đó, chứng ta nhân được bài toán sau khi thay đổi các biến và ký hiệu

El"Sw — di (IVal"2Vw) = lulu, 2 et >

u(x,t) = 0, +€00,£>0, 4)

trong đó § là miễn bị chăn trong RN(N > 2) với biên Ø9 trơn Dể nghiên cứu

sự triệt tiêu của nghiêm, chúng ta giả sử các tham số p,q vis théa man:

1< p< 2, đặc biệt là kết quả sư tri tiêu nghiệm VÀ lí do đó, trong khoá luận này, chúng tôi nghiên cứu bài toán (1.4) cùng điều kiện (1.5) với trọng tâm là

sự tổn tại nghiệm toàn cục, sự triệt tiêu nghiệm và sự không triệt tiêu nghiệm

iets) niu 1 Sr < hoe

loll := Uh esssupren|ole)l, mbar = te

và với moi ¢ € WE"(M) vai r # œ

lolu>sey := Viol + |IVðlf

Vì chuẩn JÌV(-)Jy tương đương với chuẩn || sa) trong W2 (f) theo bất

đẳng thie Poincare, ta trang bị cho không gian ”(f) với chuẩn

ell = Voll

lølzei < Blỏl, Yor Wy") (24)

Do @ la mién bi chin trong R%, tén tai mot hing sb R > 0 duoc xée dinh

R= sup lal = sup vlna)? + + lel, mn ach (25)

Theo (15), ta được 0S 9< TH < N Theo (2.6), ta 6:

os [irae f [altar a sion)

E(ø) = lời = =_Ielt} " 2+1l®lãa: 69 (2

Ho) = Uo!” = [op (2.10)

khả vị liên tục rên If2/®),

Chú ý rằng phương trình (1.4) với thoả mãn diều kiện (L5) kì dị tại điểm

z €f thoả mãn Vu(z) = 0 Khi đó, chúng ta phải làm việc với nghiêm yếu Định nghĩa 3.1 Gi sử ta có điều kiến (L5) và uụ € W0) Cổ định 7 > 0 hồn số = ult) €L (0.247840) v0 bị Su € 1 (027/000) được si là nghiệm (ổn) của phương tình (1-1) nếu với mọi 6 € WECM), ta có

Định nghĩa 2.2 (1) Néu ton tai ty € (0,450) thoả mân u xác định với 0 < £ <

và ta nói w tồn tại toàn cục

Định nghĩa 2.3 Cho w = ø(/) là một nghiệm toàn cục của phương trình (1.4),

ta nói u triệt tiêu tại thời điểm hiữu hạn nu tồn tại tụ € (l,+s<) sao cho:

lim u((z) = 6

hikn vái 2 €

“Trước khi đã đến kết quả chính của khoá luận, ta cin một số kết quả để chứng, tham khảo ở (3

WIC 20 10-7 < SH, Kh’ dé, tn ta m8 > 0 sno cho

O< wit) < Be" 1>0

Định lý 3.1 Giả sử ta có các tham s6 thoa (1.5) Xét w= v(t) là một ng

trong đó ft được xác dink bai (2.5)

{hi w sẽ không bị triệt tiền tai bất kì thời điễn hữu hạn nào nếu

[is fagde >0 và E luo) $0, khip=q+lL (uo) <0, khip>g+lL 65)

Đầu tiên, ta ching minh nghiém w — u(t) của phương trình (1.4) tồn tại toàn

cục khi ta có điều kiện (1.5) xảy ra

“Trường hợp 1: 0 <q <1 Xét ó= nữ) trong (2.11), khi đó từ bất đẳng thức Holder và (20), ta có

Thay 6 =u vào (2.11), khi đó từ bất đăng thức Hölder và (3.7), ta có:

atte + |u sua» = Í li"

<jJm ác vệ [bia

<3mse.+(Ÿt sift al-fubae + a3],

Lấy tích phan từ 0 đến r của hai về của bất đẳng thức trên, ta nhân được:

Loa? stot? +o [ [ose (fe 2)” ] ar

14 FP igi-ni2(eyde + Intl? < Int < RẺ

hip feted + toon = toto < wf

Vay theo Định nghĩa 22, tạ có u tồn tại toàn cục

" a> max ft 2-a Nests 2 3 aie 1 612) 312

“Thay ở |if2u, vào (211), ta nhân được

os yA < vẼ# (Ti) ~ S8 =p) =T), t> Tá

điều này thể hiện rằng tổn tại 7/ € [n.n» tang ha ma) thoả mãn:

Như vậy, theo (3.12), (3.16) và bắt đẳng thức Hölder, ta suy ra:

[ermine [neo (/ tr 22404)” nếu a > a ta

hi đó, theo Bổ đề 27, tôn tại các hằng số nạ, 32 > 0 sao cho:

Os ult) < eM, t>u, (3.25)

Do đó, tướng tự như đối với trường hợp 4 — 1, ta được [ hela (ae triet ñ

tiêu tại thời điểm hữu hạn

Nhu vay, 6 tren đã chứng minh được

Í | *u.(4)dr tiệt tiêu tại thời điểm hữu hạn với y~ 1 < ø < Một cách tương tự, bằng việc sit dung (3.3), ta cũng chứng mình được [ lEl"*v-(Đ4z triệt tiêu tại thài điểm hữu hạn với p— 1 < ạ < L Vay, ta thu due:

6ø) cơ [C [ "694 + PÉYTP [ luptlác

[te — pE (ua)

ait

“Ta xót 2 trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: p— „+ 1 Tà thu được tit (3.27) ring: M(t) > M() = pBlw)t, t>U, (3.28)

điều này din dén M() > 0 với mọi ¢ > 0 do M(Q) > 0 và B (a) < 0 Vay, u không,

bị triệt tiêu tại thời điểm hữu hạn (xem Định nghĩa 23)

'Từ định lý trên, ta có hai nhân xế:

(i) Ta thay thất sự tồn tai uạ thoả văn (32) Có định 0 < ó.€ H0) sao cho

(Gi) Ta thay that sự tồn tai uy thoả mãn (35) với p > g + 1 Nếu ta cố định

Kết luận

Trong khoá luân này, chúng tôi đã nghiên cứu tính triệt tiêu của nghiệm phương

trình (1.4) trong một trường hợp cụ thể hơn của trường hợp 1 < p < 2 Bang

phương pháp phiềm hàm năng lượng, bất đẳng thức Hardy-Látlewood-Sobolev

mình

và một vài bắt đẳng thức vi phân, chúng tôi đã trình bay chỉ tiết chứng của bài báo [5

Tài liệu tham khảo

[1] Amticta, J M., Rodriguez-Bernal, A., and Souplet, P (2004) Bouncledness of slobal solutions for nonlinear parabolic equations involving gradient blow-

up phenomena, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe dé Scienze, 3(1):1-15

[2] Attouchi, A (2012) Well-posediness and gradient blow-up estimate near the boundary for hamilton-jacobi equation with degenerate diffusion, Journal

of Differential Equations, 253(8):2474-2492

[3] Badiale, M and Tarantello, G (2002) A sobolev-hardy inequality: with applications to a nonlinear elliptic equation arising in astrophysics Archive for rational mechanies and analysis, 163:259-298

[i] Ben-Artzi, M., Souplet, P., and Weissler, F B, (2002) The local theory for viscous hamilton-jacobi equations in le sgue spaces Journal de mathéma- tiques pures et appliguées, S1(4):343-378

[S] Friedman, A and Herrero, M A (1987) Extinction properties of semilinear heat equations with strong absorption Journal of mathematical analysis and applications, 124(2):530-516

[9] Gu, ¥ G (1994) Necessary and sufficient conditions of extinction of solution

on parabolic equations Acta Mathematica Sinica, 37(1):73-79 [I0 Guo, B and Gao, W (2015) Non-extinction of solutions to a fast diffusive prlaplace equation with neumann boundary conditions, Journal of Mathe-

‘matical Analysis and Applications, 422(2):1527-1531 [11] Guo, J and Hu, B (2008) Blowup rate estimates for the heat equation with a nonlinear gradient source term Diserete and continuous dynamical systems, 20(4)-927

[12] Herrero, M and Velázquez, J (1992) Approaching an extinetion point in one-dimensional semilinear heat equations with strong absorption, Journal

of mathematical analysis and applications, 170(2):353-381 [13] Hesaaraki, M and Moameni, A (2004) Blow-up of positive solutions for a family of nonlinear parabolic equations in general domain in rm, Michigan Mathematical Journal, 52(2):375-389

[14] KALASHNIKOV, A (1974) The propagation of disturbances in problems

of non-linear heat conduction with absorption, Zh Vychisl, Mat 1 Mat, Fiz, 14891-906

15] Lair, A V (1993) Finite extinction time for solutions of nonlinear parabolic equations Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 21(1):1-8 [16] Liao, M and Gao, W (2017) Blow-up phenomena for a nonlocal p- laplace equation with neumann boundary conditions Archiv der Mathe-

“Tan, Z (2004) Non-newton filtration equation with special medium void Acta Mathematica Scientia, 24(1):118-128,

‘Tian, Y and Mu, C (2008) Extinction and non-extinction for a p-laplacian Applications, 69(8):2422-2431

Vieques, J L (2007) The porous medium equation: mathematical theory, Oxford University Press

Wang, Y (2007) The existence of global solution and the blowup problem for some p-laplace heat equations Acta Mathematica Scientia, 27(2):274

282

WuZ, e-a (2001) Nonlinear diffusion cquations World 8cientifie Publishing Co., Inc., River Edge, NJ Translated from the 1996 Chinese original and revised by the authors

Xn, B, and Yuan, R, (2005) The existence of positive almost periodie type solutions for some neutral nonlinear integral equation Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 60(4):669-684

Zhan, H (2018a) Holder inequality applied on a non-newtonian uid equa- equalities and Applications, 2018:1-21

Zhan, H (2018b) The uniqueness of a nonlinear diffusion equation related

to the p-laplacian Journal of Inequalities and Applications, 2018:1-14, Zhan, H and Feng, Z, (2019) Stability of the solutions of a convection diffusion equation Nonlinear Analysis, 182:193-208

Zhou, J (2014) A multi-dimension blow-up problem to a porous medium diffusion equation with special medium void Applied Mathematics Letters, 306.11

Zhou, J (2016) Global existence and blow-up of solutions for a on-newton polytropic filtration system with special volumetric moisture content Com- puters & Mathematics with Applications, 71(5):1163-1172 Zhu, L, (2018a) Complete quenching phenomenon for a parabolic p- Inplacian equation with a weighted absorption Journal of Inequalities and Applications, 2018:1-16

‘Zh, L (2018b) The quenching behavior of a quasilinear parabolic equation with double singular sources Comptes Rendus Mathematigue, 356(7):725