Định lý về sự tồn tại nghiệm và tính compắc liên thông của tập nghiệm cho phương trình

TRUONG DAI HOC SƯ PHẠM TP.HCM BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH-CN CẤP TRƯỜNG ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ TÍNH COMPẮC LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH.. Những nội dung trên đã

TRUONG DAI HOC SƯ PHẠM TP.HCM

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH-CN CẤP TRƯỜNG

ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

VÀ TÍNH COMPẮC LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH Chủ nhiêm để tài: PGS.TS Lê Hoàn Hóa

THANH PHO HO CHÍ MINH 2010

để tài Khoa học và Công nghệ cấp trường Tên để

Định lý về sự tổn tại nghiệm và tính compắc liên thông của tập nghiệm cho phương trình

Chủ nhiêm để tài: PGS.TS Lê Hoàn Hóa Điện thoại: 093 795 1876

Cơ quan chủ tì để tài: Trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM Thời gian thực hiện: 12 tháng (từ 6-2009 đến 6-2010)

2) Lê Hoàn Hóa, Đỗ Hoài Vũ, Tinh chất Acyclic của tập nghiệm phương tình tích phân tong không gian Fréchet, Tạp chí Khoa học ĐHSP

"Tp.HCM, số 21 năm 2010, 11-21

Những nội dung trên đã được chúng tôi nghiên cứu tong một thời gian đài, những kết quả đã được triển khai trong các luận văn Thạc sĩ sau: 1) Trần Văn Trí (2009), Phương trình tích phân của hàm có giá trị vect0 2) Nguyễn Thành Trung (2009), Tính ổn định của phương trình Volterra vi tích phân tuyển tính trên không gian Banach

3) Nguyễn Ngọc Duy Khương (2010), Nghiệm dương của phương trình vi phân trung hòa đối số lệch

4) Va Thị Lệ Thủy (2010), Sự dao đồng của nghiệm cho phương trình vi phân bậc một

Project title: The existence and the connectivity and compactness theorem of solution set of the equation

Code number: CS.2009.19-63

Coordinator: Ascoeiate professor Doctor Lê Hoàn Hóa Implementing Institution; HoChiMinh City University of Education Duration; From June 2009 to June 2010

MUC LUC

Tom tắt kết quả nghiên cứu (mẫu 1.10, 1.11)

Chương 1: Cấu trúc tôpô của tập nghiệm cho phương trình tích phân trên không gian Fréchet

Chương 2: Tính chất Acyelic của tập nghiệm cho phương tình tích phân trên không gian Fréchet,

Phụ lục

1_ Toàn văn 02 bài báo:

1.1_ Cấu trúc tôpô của tập nghiệm cho phương trình tích phân trong không gian Fréchet

12_ Tính chất Aeyclic của tâp nghiệm cho phương trình tích phân trong không

2 Thuyết minh để tài n Eréchet Hợp đồng triển khai nhiệm vụ

Cấu trúc tôpô của tập nghiệm cho phương trình tích phân trong không gian Fréchet

“Trong phẩn này, chúng tôi chứng minh tập nghiệm của phương trình (1) là tập compắc, liên thông, khác rỗng với các giả thiết về f,g nhẹ hơn

lL, = sup |r] va | sce)” dt

Đặt X, =C([0,z),E) là không gian gồm tất cä các hàm liên tục từ [0,+20) vào E Với mỗi số tự nhiên n đặt om T6 fP9/004/49) trên X, xét họ nửa 0a chuẩn p„(x)= 2 he DJ}, ta có X,, là khong gian Fréchet vai mêtric: {0.0

San Pal®-¥)

a(x.y)= 2" a 9) Ty s-y)

Đặt X, =C([0.a]E) là không gian của tất cả các hàm liên tục từ [0,a ] vào

BE Trên X, xét hai chuẩn:

bl, = 2 t9 và toa] er fe N&O Hach

ở đây Kit) =[kssk, N là hằng số thực đương (sẽ chọn sau)

ọ

a Chuẩn [x|, tương đương với chuẩn |xỈ

b Tập con S của X,„ là compắc tương đối nếu và chỉ nếu với mỗi neN, S liên tục đổng bậc ưong X, và tập {x():xeS.Le[0,a]} là compác tương đối trong E

Xét phương trình (1) với các giả thiết sau:

V2.1 gụ,0,:|0,5)~>[0,=) là các hàm liên tục thỏa: Mị(0<1, 6,01, ¡=l2

V2.2 u,.8, :[0.2)—+[0,0) la ede hàm liên tục thỏa:

at

H(OS™ @ ,i=12

V23 K;{0,}ˆ->L(E,E) liên tục.

(i) k0el?[0,s), pe(I)

V2 - g:[0,5)xE~>E là ánh xạ hoàn toàn liên tục thỏa:

'Tính chất Acyclic của tập nghiệm cho phương trình tích phân trong không gian Fréchet

Năm 1942, AN Aronszajn, trong bài: Le correspondant topologique dc

Punicité dans le theorie đes equations đifferentialle (Ann Math 13 (1942), 730-

T38) chứng minh rằng nghiệm của bài toán:

x()=a(tx(0) te [0a]

x(0)=x,

1a tap Acyclic (hay RB)

“Trong phẩn này, chúng tôi chứng minh tập nghiệm của phương trình (2) là tập

Rõ với các giả thiết trên và g nhẹ hơn

+, = C([0.n],E) là không gian của tắt cả các him lign tye tir [0,n] vào £ Ta có X,

là không gian Banach với chuẩn |›j, = sup||x(:)|:r <[0.n]}

Xét phuong trình (2) với các giả thiết sau:

V2.1- 6,8,6,:[0,œ)~»[0,o) là các hàm liên tục thỏa điều kiện: 8()<1.8/()<+.8,.(0)<1:Vre[0.e)

V2.2 v:R,x£ ->£ là hàm liên tục sao cho các điều kiện sau thỏa :

V2.3 F:R,xR, xE ~» E thỏa các điều kiện sau :

teR, cố định, Z(s,x)= F(t,s.x) là hàm Caratheodory trên

() Tồn tại các hàm #&:[05)-»[0,©)} sao cho h là hàm liên tục,

&e#.([0.2)) và |F(.s.x)~F(.s.y)|<ñ(s)#(t)k—| V244 g:R, x -> Ethỏa các điều kiện sau :

(0) Với mỗi số thực hàm ø là hàm J7 ~ Caratheodory trên [0:]xZ, lele.xy

H

V25 K:R,xÑ, —L(E,E) sao cho với mỗi số thực ¿ các điều giới đây thỏa :

(ii) lim đều theo biển z trên mỗi tập con bị chặn cia R,

© x ~K 2, —>0 đều khi ~x' Với g=

(H) Ho 1-9 ]K (15), 4 thỏa các điều kiện :

PHY LUC

~_ Toàn văn 02 bài báo Khoa hoc

= Ban thuyết minh để tài - Hợp đồng triển khai

CẤU TRÚC TOPO CỦA TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 'TÍCH PHAN TRONG KHONG GIAN FRECHET

Lê Hoàn Hóa, Đỗ Hoài Vũ, Lê Thị Kim Anh?

1, Giải thiệu

“Trong bài bảo nảy chúng tôi xét sự tổn tại nghiệm và tính chit compact, Tên hôn củi tập nghiệm củ phương tình ch phn pity ó dạng x= AD + Tsanose ÿeahbseenbse rao Œ) Troe 46 14,8, (0.2) +102), i=l2, f:[0,0)PxE>E, g:[0,0)xE > E, K:[0,20)* > L(E,E) E không gian Banach thực với chuẩn | | LE,E) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E Phương trình đạng (1) đã được khá nhiều nhà toán học quan tâm, bên cạnh việc chứng minh sự tổn 8i nhiệm site khảo sắt cấu trúc của tập nghiệm cũng ước để cập chẳng hạn nhị

Trang hop E = R và hàm /(5,109)= v(s/)x(|G)), Avamese [II

đã ưng minh sự lo nghiệm cl phengglh

ao pôm những định su

Định lý 1.1 [2]

Cho (Z | || là không gian Banach thực, D là tập mở bị chăn với biên ÔD

và bao đồng 72, Ï : Ö => É là toán tử hoàn toàn liên tục thỏa các gid thi ). Tkhông có điểm cố định trên OD va deg(/ ~7,D,0) #0 TP.HCM

ThS — Trường DHCN TP, HCM,

20

'PGS TS - Trường Đ

|7(x)-7,Q0|<e, WxeD va voi mỗi h(t)e E sao cho |h|-<e phuong trình T(x) + e6 nhiều nhất một nghiêm trên D Khi đó tập N(I-T,D) 6m các nghiệm của phương trình x = T(x) là khác rổng, compct, liên thông

Định lý 1.212) Cho E, F là hai không gian Banach, D là tập con mỡ của E và ánh xạ liên

we f:D—>F Khi đó với mỗi £>0 tổn tại ánh xa Lipschi địa phương :DSF sao chối |ƒ(x)~ ƒ2(x)|<£, VxeD và f,(D)ccof(D) với 0ƒ (Đ) là bao ỗi của D

© của X nếu

(A21) Với mọi đc, U,(Đ)C D

(À2) Với moi aeQ, peP Tén gỉ k„€Z+ có tính chất Ve>0.3reN.ð>0: aƑ?(xy)<e+ô=@ƒ(Uƒ(x),U/(y))<£ trong đó 4jGg)=ma|p(U4G)~U/0)),/=012.-4,),Ä =[k2234.],Z+= {0}

Định lý 1.52]

Cho X ta day không gian sự di, lỗi địa phương vôi họ tách các nửa chuẩn

P.U,C là các toán tử trên X

()U thỏa giả thiết (A)

(ii) Với p tuỳ ý thuộc P tổn tại k > Ö (độc lập với p) sao cho td)-LU)) Sk ply) voi moi xy €

Git) Tén tai xyEX có tính chất Với p tuỳ ý thuộc P tán lạ

„ reN,Ae{0/1) (r,2 phụ thuộc với p) sao cho Ø( (x)~ (#)}< Ä/,Lx— vì

(đ) C hoàn toàn liên tục và p(C(4))<% khi p(4)<#, AC X

Khi đó ụ isc điểm cố định,

2, Kết quả chí Đặt C(O ø),R) là không gian các hàm liên tục bị chặn

7 :|0,#2e) =y Ñ và LP({0,20)) là không gian các him đo được /ƒ :[0,+⁄2) => sao cho [U/@0f 4 <œ-têa 8C([0,),R), 1P ((0,2)) lên lượt xét hai chuẩn

Đặt X,= C (10,2) ,F) Ia khong gian Banach của tất cả các hàm liên tục từ

10, 3| vào E, Trên X, xét hai chuẩn

Pelt y) Tr = v)

IH, = nef k9} và ely = sp KOC) day KO = ke“ N if ‘el

là hồng sổ hức dương (sẽ chọn sa)

Chis 8 Chuẩn |3] tướng đường vấi chun fx],

Tap a Xo Ia compact wong đối nếu và chỉ nếu với mỗi

SN ãelụe đăng Sic tong Ko (TA {3):x€ S ,[0,a)} là compact

nt

wi) $7, I=l2

V2.3 K (0,00)? => L(E,E) liên tục

V24 :[0,20)? x E— E liên tục thỏa điều kiện:

"ổn tại hàm 9: (0,420) -> (0,420) lign tye va g(r) $7 sa0 cho:

|/0,s.x)= /(,s,y)| < k()h(s) đ(|£~ 3|) ở đấy fy ke: (0,420) > [0,40), (9) e BC([0,ø), R) và kí) thôa một trong hai điều sau:

@ k@Q€P[0,m)

V2.8 g:|0,)x > E 18 x9 hot in ten we th tim lee 0 đều với tthuộc tập con bị chin ca [0,+00)

Ta có:

ƒ Tássiemie- “Í raocvdionie 20905~0,00900|<

si)

*_ Ï kG)ãG)8((4,6)0)- 316,6) as

=f scracn econ rocenide

“Tương đương

W.)-U.0 ys Healy

Điều này suy ra được U, là ánh xạ co hơn nữa H, N không phụ thuộc vào a

do đồ U,G) thỏa (0), (0, (ñD của định lý L5

SHIA, hey, Vre[0,al

V8 |U.C)-U,0)), < HJ„#x~ x|,.Yre|0.a]}

pawzeonn-v.w7on0-| J fesurands-[ sesuz nds

“Tap chi KHOA HOC BHSP TP HCH Lê Hoan Hóa, Đỗ Hoài Võ, tê Thị Kim Anh:

Bổ để 3

Nếu các gi

thiết V2.I (hoặc V22) và V2.5 thda thi C : 11, ->X, cho

8 cay = "fe cean(ete.s(0,cay))de R mật toán hoàn ân lên me

wen (Xf L,)

“Chữ ÿ: Nếu C hoàn toàn liên tục trên (

wwe uên (X„‡| ly),

Itứ)= y@)|< 8 > |g6s.x(3))- Cs, ¥(s)] 5 4, ¥s €[0,a],

= [CG„)~C@e)J,<£ Vay C liếntục

Bước 2: Chứng minh C(x)() liên tục đổng bậc

Giả sử A là một tập bị chin trong X, khi đó 4=|x(s):x€A,se[04]} là một tập bị chặn trong E Vì g là hoàn toàn liên tục suy ra g([0,]x 4) là tập bị chan tongE do đô Vr,f'e[04] : |f~f'|<ổ,veA tacó

Kứ,s)((s, ACM EH: VŒ,s) [0.4], xeA

> aoo-|Ÿ J K(t,s)(g(s,x((s)))ds} < sy (OY, Wee [0,4]

Vậy C(A) compact tương đối trên X, và do đó € là toán tử hoàn toàn liên tue ten X, và ,hếC cũng hoàn toàn i we uta Cl,

8648 4 tim Os BL + hị, 9

Ta có Ve>0, 3ổ>0 sao cho — <£ với mọi x thỏa [120 va với mọi se[0,a) Vi g 1 ánh xạ compact nên khi lÌ<6= |g(s9|<M, Ysel0alehon 5 Af sae Xy bl, 26},

u 1, = {8 €[0,a}:|x(0,(s))] <5}, 1; =[0,a]\ f, ta.c6:

AD vi bao ding D sao cho (~U) 'C(Đ)C Ð và ([=U)'`C có điểm cổ

“định trong 2 (nhưng không nằm trên biên Ô) Dễ thấy Ð) là tập con lỗi, đồng và

bi chin trong X,

bat T=(1—UY'C, nhw thé diém cd dinh trén cia T én J2 cũng là điểm

cỗ định của U + C và chính là nghiệm của phuong trinh (1) trong D,

'Đo T là toán tử hoàn toàn liên tục trên X,, T khéng c6 diém cd dinh AD,

T(P) C D.,D là tập lỗi nên deg(7 ~7,D,0)

ba A={x(s):se[0,a],xeD} khi đó 4 là tập bị chặn trong E theo Định lý 1.3 tên tại hảm liên tục g” là mở rộng của #|o„p.x trên {0,4]x E sao cho 8" ((0,a}x £) cog (0,2) A)

Theo Định lý 1.2 tổn tại hàm Lipschita dia phương ø,(s,x)trên[0,a]x E'

« aochoVse[0,4], Vx€E tacó|g,(s, xsẮ số và

#,([0,a]x E)ceog`((0,a] £) cog([(0,a]x 4) do đó g„ hoàn toàn liên tục

Đặt C,:X, ¬> Ấ„ với C2(x)0)= [wi Nw e(S,x(0,(s)))ds từ bổ

để 3 ta có 7y =(1~U}C, aero hơn nữa vì (7 ~U) Ì liên tục đều niên:

Giả sử ngược lại b < a vì g, Lipschitz địa phương nên tổn tại số thực r >0 sao cho gz Lipehi với hằng số m tên [0,a]<B, trong đó B,=(zeE:lz=x(Œ|<r} Do nh liên tục của x,y

=3ð>0:b+ð<a, x(),y()€B, với mọi re[b,b+ở| Chủ ý rằng [ð,b+ ổ]C[0,4] nên với mọi f€|ð,b + ổ] ta có:

Nhu vậy toán tử T thôn cóc gi thiết trong

chứng mình, ước 2 :Tập nghiệm của phương trình (1) trên [Ú, +ø:) khác rỗng, compact, liên thông “Trước hết chú ý rằng nếu x(() là một nghiệm của phương trình (1) trên [0,ø) thì 3| ạ „j(f) cũng là một nghiệm của (1) trên |0, a] Ngược lại với mỗi nghiệm (9) của phương trình (1) trên (0, a} đều có thể mở rộng thành nghiệm trên [,s)

"Tương tự như trong [2], ta có các kết quả sau:

"Đặt S là tập nghiệm của (1) rên [0,%) theo [2, Định lý [5] S khác rằng +

"Đặt S,là tập nghiệm ca (1) trên [0, a] ta có S, compact và liên thông rên X, rnén S compsct, liền thông trên X;

‘Vay định lý 2.1 đã được chứng mình,

TAIL tiêu THAM KHẢO:

vameseu (2006), Some remarks on a fixed point theorem of lectronic Joumal of Qualitative Theorem of Differential Equations,

là Sai Kites Bill 1/80 egal lames Kramosesil ype In locally convex space and aplietions 1 integral et Results in Mathematics Vol25 pp 291313

[BỊ Le Hoan Hoa, Le Thi Phuong Ngoc (2006), The connectivity and mmpacness of solution set of an Inicgral equation af weark solution set of on initial boundary value problem, Demonstratio Mathematica Vol XXXIX No 2 pp 357-376

30

H4] Lesack Gasinski, Nikolaos S.Papageorgiou (2005), Nonliuear Anabsis,

‘Taylor Francis Group,

5] Andrzej Frysckowski (2004), Fired point theory for decomposable sets Kluwer Academie Publishers

‘Topological structure of solutions set of an intergral equation

In this paper we consider the set of solutions (connectivity and compactness) to the following intergral equatior eo má)

x/)=#)+ ‘fo +(86))&+ J Keats @(s))) ds 120

#:[0,)x E — E., K:{0,ø)ˆ —x L(E,E) E is a real Banach space with norm range in E with the conditions for f, g which are more general than that ia [1], II]

"không gian các toán nk ton tinh liên tục từ E vào E với các giá thit của các hàm F ø K “được mở rộng (nhc) hơn bài báo [2]

ABSTRACT

The Acyelic property of the solution set of integral equation in fréchet space this paper we consider the Acyclic property of solution set 10 the following intergral equation

Hye Moe Meat) fCUsaKUaDses FRC sdeo st Bee, 0 R, 9)

‘Nam 1890 Peano khi nghiên cứu bài toán Cauchy:

ˆPQS TS, Khoa Toán = Tin học, Trường Đại học Sư phạm TP

“TRS tno Kron hee cl ban Tong De hoe Con nghệp TP HCM

xt)= g(.xứ))

zi g:[0,a]x " => 8” là hằm liên tục đã chứng mình được trong trudmg hop n=1 tập nghiệm S của phương trình (1) là liên thông, compact (xét topo trên đường thẳng thực) khi xét n là số tự nhiên tùy ý (khác không) và Hukuhara (1928) khi thay R" bing với t thuộc lần cận tạ Kết quả này côn được mỡ rộng bởi Kneser (1923) không, ea Banach thye

1942, N Aronszajn đã chứng minh được tập nghiệm S của (1) đồng phối với đun giảm các không gian compact co rut (compact contractible) Diu nay suy

ra được S compact, liên thông và không những thể, mặc dù S king đơn trị nhưng đứng trên quan niệm topo đại số, S sẽ tương đương với không nga nhôm đồng đu của S rùng với nhóm đông đều sử không gian điểm) Tập S

có tỉnh chất như trên gọi là tập Acyclic va được kí hiệu là Ry

“Trong bài bảo này, chúng tôi xét tỉnh chit Acyclic cia tập nghiệm phương trình tích phân đưới đây:

Tà không gian các toán tử tuyển tính liên tụ từ E vào E

Chú ý: Cấu trúc (compact, liên ng, tập nghiệm của phương trình dạng (2) đã được khảo sắt trong một số bài báo gain đây Qem [3)) rong đồ gả thiết các hàm tam gia rong (2) đều liên tục (cùng thêm nhiều giả thiết khác) Trong bai bio này, chúng ôi xếtnh chất Acyelle của tập nghiệm của G) với giá thất ede him Fg théodor ry

Định lý 2.113]

Xét K là tập con Idi không bj chan ciia R, K, = {re Kit~t| se}, E là không

‘gian Banach và C là không gian Eréchet của các hàm liên tục bị chăn địa phương /:K -š Evới topo hội tụ đều địa phương Giả sử rằng T :C -» C là ảnh xạ liên tục thỏa mãn các điều kiện sau:

@ Tổntại tạeK và xụeC sao cho T(x)((,

(ñ)._ Tập TỊC) liên tục đằng bậc địa phương,

ụ với mội xeC,