Chuyên đề 17 định lý menelaus định lý ce va định lý van oben

Chương Chuyên đề 17 ĐỊNH LÝ MENELAUS, ĐỊNH LÝ CE-VA, ĐỊNH LÝ VAN-OBEN A Kiến thức cần nhớ Định lý Menelaus Menelaus sinh khoảng năm 70 khoảng năm 130 , biết đời ơng ít, thơng qua số tác phẩm khoa học người sau Chỉ biết chung chung ơng có thời sinh viên trường đại học Alexandrie cổ đại, làm cán giảng dạy sau thành nhà thiên văn học La Mã Trong hình học ơng có định lý tiếng mang tên ông: định lý Menelaus - Định lý: Cho tam giác ABC ba điểm A,B,C  (không trùng với đỉnh tam giác) đường thẳng BC,CA AB cho ba điểm A,B,C  nằm phần kéo dài ba cạnh, ba điểm nằm phần kéo dài cạnh hai điểm lại nằm hai cạnh tam giác Điều kiện cần đủ để A,B,C  thẳng hàng là: AB BC C A 1 AC BA C B Giải Trường hợp Nếu ba điểm A,B,C  có hai điểm thuộc cạnh tam giác ABC , chẳng hạn điểm B C   Nếu A,B,C  thẳng hàng Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BC  M , ta có: C A AM BC AC  ;  Vậy: C B AB BA AM AB BC C A AM AC AB  1 AC BA C B AB AM AC  Ngược lại, AB BC C A 1 AC BA C B Gọi A giao điểm BC  với BC Theo phần thuận: AB BC C A AB AB 1 Suy ra:  AC BA C B AC AC Do B,C  thuộc cạnh CA, AB nên A nằm cạnh BC Vậy AB AB  A, A nằm đoạn BC AC AC Suy A  A Vậy ba điểm A,B,C  thẳng hàng Trường hợp Trong ba điểm A,B,C  khơng có điểm thuộc cạnh tam giác chứng minh tương tự Định lý Ce-va Trang - Ce-va kỹ sư người Ý, u thích Tốn học Ơng sinh năm 1648 , năm 1734 Thời niên Ce-va theo học Đại học Pise giúp việc cho Quận công vùng Mantoue Cơng trình nghiên cứu ơng Cơ học Hình học Đời sau biết đến ơng thơng qua định lý hình học mang tên ơng: định lý Ce-va - Định lý: Cho ba điểm D,E,F nằm ba cạnh tương ứng BC,CA, AB tam giác ABC (không trùng với ba đỉnh tam giác) ba đường thẳng AD,BE,CF đồng quy DB EC FA 1 DC EA FB Giải  Xét đường thẳng AD,BE,CF đồng quy Qua A kẻ đường thẳng song song với BC , đường thẳng cắt đường thẳng BE,CF Q P Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: FA AP EC BC  ;  FB BC EA AQ AP AQ  AM  AP CD     CD BD  MD  AQ BD Từ suy ra: DB EC FA AQ BC AP  1 DC EA FB AP AQ BC Ngược lại, DB EC FA 1 DC EA FB Gọi M giao điểm BE CF Gọi D giao điểm AM BC Theo phần thuận, ta có: DB EC FA DB DB DB DB 1     DC EA FB DC DC DB  DC DB  DC  DB DB   BD BD  D D BC BC Vậy AD,BE,CF đồng quy Định lý Van Oben - Van Oben (Van Aubel) sinh ngày 20.11.1830 Maastricht (Hà Lan), ngày 03.02.1906 Anlwerpen (Bỉ) Ông nghiên cứu dạy Toán cho lớp dự bị đại học Atheneum, Maastricht (Hà Lan) đại học Gent (Bỉ) Trong q trình nghiên cứu, ơng cơng bố nhiều tính chất, định lý hình học đặc sắc mang tên ơng Trang - Định lý: Cho M điểm nằm tam giác ABC Gọi D,E,F thứ tự giao điểm AM ,BM ,CM với cạnh BC, AC, AB Khi thì: AM AE AF   MD EC FB Giải Cách Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng CM BM P Q Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: AQ //BC  AF AQ  FB BC AP //BC  AE AP  EC BC  AF AE AQ  AP PQ    FB EC BC BC Mặt khác PQ //BC  PQ PM AM AM AF AE     từ suy BC MB MD MD FB EC Cách Áp dụng định lý Menelaus cho ABD ba điểm F ,M ,C thẳng hàng ta có: AF BC MD AF CD AM 1   FB CD AM FB BC MD  1 Áp dụng định lý Menelaus cho ACD ba điểm E,M ,B thẳng hàng ta có: AE BC MD AE BD MA 1   EC BD AM EC BC MD Từ  1   suy ra:  2 AF AE AM  CD BD  AM      FB EC MD  BC BC  MD B Một số ví dụ Ví dụ (Mở rộng Van-Oben) Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA lấy điểm K , tia đối tia CA lấy điểm N Gọi E giao điểm CK BN ; gọi M giao điểm AE BC Chứng minh rằng: AE AK AN   EM KB NC Giải * Tìm cách giải Với cách suy luận định lý Van-Oben, chứng minh hai cách * Trình bày lời giải Cách Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng BN BK P Q Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: AQ //BC  AK AQ  KB BC Trang AP //BC   AN AP  NC BC AK AN AQ  AP PQ    KB NC BC BC Mặt khác PQ //BC  PQ PE AE AE AK AN     từ suy ra: BC BE ME EM KB NC Cách Áp dụng định lý Menelaus cho ABM ba điểm K ,E,C thẳng hàng ta có:  AK CM AE  KB BC ME AK BC ME 1 KB CM AE  1 Áp dụng định lý Menelaus cho ACM ba điểm E,N ,B thẳng hàng, ta có: AN BC ME AN BM EA 1   NC BM EA NC BC ME Từ  1   suy ra:  2 AK AN AE  CM BM  AE      KB NC ME  BC BC  ME Ví dụ (Định lý Menelaus tứ giác) Cho tứ giác ABCD Đường thẳng d cắt AB,BC,CD,DA M ,N ,P,Q Chứng minh MA NB PC QD 1 MB NC PD QA Giải * Tìm cách giải Tương tự chứng minh định lý Menelaus tam giác, có nhiều cách chứng minh Sau cách * Trình bày lời giải Từ A,B vẽ AE //BF //CD  E; F  d  Theo hệ định lý Ta-lét: MA AE NB BE QD DP  ;  ;  MB BF NC CP QA AE Suy ra: MA NB PC QD AE BE PC DP  1 MB NC PD QA BF CP PD AE Ví dụ Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho đoạn thẳng AD cho BD  Lấy điểm O DC AO AE 4 Gọi E giao hai đường thẳng AC BO Tính tỷ số OD EC Giải Từ BD BC  suy 3 DC BD Trang Áp dụng định lý Menelaus cho ADC với ba điểm B,O,E thẳng hàng, ta có: AE BC OD AE AE 1  1   EC BD OA EC EC Nhận xét Ngoài cách vận dụng định lý, kẻ thêm đường thẳng song song để vận dụng định lý ta-lét Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn có BD;CE đường cao, H trực tâm Qua H kẻ đường thẳng cắt cạnh AB, AC M ,N Chứng minh rằng: BM EM  HM     DN CN  HN  Giải Áp dụng định lý Menelaus cho B,H ,D thẳng hàng AMN , ta có: HM DN AB 1 HN DA BM  1 Áp dụng định lý Menelaus cho C,H ,E thẳng hàng AMN , ta có: HM CN AE 1 HN CA EM  2 Từ  1 ,   nhân vế ta có: HM DN CN AB AE 1 HN DA CA BM EM  3 Mặt khác AEC ADB  g.g   AB AD   AB.AE  AC.AD AC AE HM DN CN BM EM  HM  Thay vào  3 suy ra: (điều phải chứng minh) 1 hay    HN BM EM DN CN  HN  Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH , trung tuyến BM , phân giác CD cắt điểm O Chứng minh BH  AC Giải * Tìm cách giải Để chứng minh BH  AC cách ghép vào hai tam giác không khả thi không khai thác tính đồng quy giả thiết Để khai thác tính đồng quy giả thiết này, liên tưởng tới định lý Ce-va Vận dụng định lý Ce-va, suy BH DA 1 Đã xuất HC DB BH song chưa có AC Để xuất AC , vận dụng tiếp yếu tố giả thiết CD phân giác Từ suy được: BH AC HC.BC Để có BH  AC , phần cuối chứng minh HC.BC  AC Trang * Trình bày lời giải Theo định lý Ce-va ta có: BH MC DA 1 HC MA DB mà MA MC nên BH DA 1 HC DB Vì CD phân giác nên Từ  1   ta có:  1 DA AC  DB BC  2 BH AC 1  BH AC HC.BC HC BC Nhận thấy ABC HAC  g.g    3 HC AC   AC HC.BC AC BC  4 Từ  3   suy BH AC  AC hay BH  AC Ví dụ Cho tam giác ABC có điểm M nằm tam giác tia AM ,BM ,CM cắt cạnh BC ,CA, AB tương ứng D,E,F Gọi H giao điểm DF BM Gọi K giao điểm CM DE Chứng minh AD,BK ,CH đồng quy Giải * Tìm cách giải Để chứng minh AD,BK ,CH đồng quy, dễ dàng nghĩ tới việc vận dụng định lý Ce-va đảo tam giác MBC Để vận dụng định lý Ce-va, cần chứng minh Muốn xuất tỉ số KM BH CD 1 KC HM BD KM BH CD ; ; cần linh hoạt tam giac để vận dụng định lý KC HM BD Menelaus Ce-va * Trình bày lời giải Áp dụng định lý Menelaus tam giác AMC; AMB Ta có: KM EC DA BH DM FA 1; 1 KC EA DM HM DA FB Suy KM EA DM BH FB DA  ;  KC EC DA HM FA DM  1 Áp dụng định lý Ce-va tam giác ABC , ta có: CD BF AE CD EC FA 1   BD FA EC BD AE BF  2 Từ  1   nhân vế với vế ta được: KM BH CD EA DM FB DA EC FA KM BH CD   1 KC HM BD EC DA FA DM AE BF KC HM BD Theo định lý Ce-va đảo ta có AD,BK ,CH đồng qui Trang Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn có AH đường cao Lấy điểm O tùy ý thuộc đoạn AH ( O khác A; H ) Các tia BO CO cắt AC; AB tương ứng M ,N Chứng minh HA tia phân giác  MHN Giải Cách Qua A kẻ đường thẳng xy song song với BC Gọi I ; K giao điểm tia HN ; HM với đường thẳng xy Theo hệ định lý Ta-lét, ta có: AI AN AK AM  ;  BH BN CH MC Áp dụng định lý Ce-va tam giác ABC ba đường thẳng đồng qui AH ,BM ,CN ta có: AN BH CM AI BH CH 1  1 BN CH MA BH CH AK  AI 1  AI  AK AK Xét HKI có HA  IK ; AI  AK   HIK cân H  HA đường phân giác MHN Cách Xét trường hợp ABC  AC  AB  Dựng ABP cân A có AH đường cao AP cắt HM Q Gọi N  điểm đối xứng với Q qua   AH Vì A,Q,P thẳng hàng suy A,N ,B thẳng hàng Khi HA đường phân giác QHN QA N A  QP N B Áp dụng định lý Menelaus cho ACP với ba điểm thẳng hàng H ,Q,M ta có: HP MC QA HB MC N A 1  1 , theo định lý đảo Ce-va AH ,BM ,CN  đồng quy HC MA QP HC MA N B Theo giả thiết AH ,BM ,CN đồng quy   N  N  Vậy HA đường phân giác MHN Xét trường hợp ABC  AC  AB  Chứng minh tương tự Xét trường hợp ABC  AC  AB  Dễ chứng minh, nhường cho bạn đọc Ví dụ Giả sử O điểm nằm tam giác ABC tia AO,BO,CO cắt BC , AC, AB M ,N ,P Chứng minh rằng: AO.AP BO.BM CO.CN không phụ thuộc vào vị trí điểm O OP OM ON Trang Giải * Tìm cách giải Nhận thấy phần kết luận tích tỉ số nên liên tưởng tới hai định lý dùng Menelaus Ce-va Nhận thấy muốn có AO.AP AO AP hay OP OP OP khơng thể xuất vận dụng định lý (bởi hai định lý không xuất tỉ số trên) Song đảo mẫu số, tức AO.AP AO tỉ số xuất nhờ vận dụng định lý Menelaus OM OM tam giác AMC AMB Nhận thấy ý tưởng khả thi Tiếp tục biểu diễn tỉ số BO CO ; ON OP cách tương tự, có lời giải hay * Trình bày lời giải Áp dụng định lý Menelaus trong: AMC với ba điểm B,O,N thẳng hàng ta có: AO BM CN AO BC AN 1   OM BC NA OM BM CN  1 BCN với ba điểm A,O,M thẳng hàng, ta có: BO AN CM BO AC BM   ON AC MB ON AN CM  2 Xét ACP với ba điểm B,O,N thẳng hàng ta có: CO BP AN CO AB NC 1   OP BA NC OP BP AN  3 Từ  1 ,   3 ta có: AO.AP BO.BM CO.CN AO BO CO  AP.BM CN OP OM ON OM ON OP  BC AN AC BM AB CN AP.BM CN BM CN AN CM BP AN BC.AC.AB BM AP.CN CM BP.NA  4 Mặt khác, áp dụng định lý Ce-va ABC có ba đường thẳng AM ,BN ,CP đồng quy ta có: BM CN AP 1 CM AN BP  5 Từ     suy ra: AO.AP BO.BM CO.CN BC.AC.AB OP OM ON Khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O Trang Ví dụ Trên ba cạnh BC,CA, AB tam giác ABC lấy ba điểm H ,M ,N cho AH ,BM ,CN đồng quy G Gọi P,Q giao điểm HN BM ; HM CN Tia AP tia AQ cắt BC E F Chứng minh rằng: AP AQ  AN AM   3.   PE QF  NB MC  Giải * Tìm cách giải Định hướng lựa chọn định lý để vận dụng vấn đề quan trọng, định thành cơng tốn Trong tốn này, nhận thấy có nhiều đường đồng quy, mặt khác phần kết luận lại xuất tổng tỉ số nên việc vận dụng định lý Van-Oben điều nên nghĩ tới Để xuất AP nên vận dụng định lý Van-Oben tam giác ABH AE,BG HN đồng quy Để PE xuất AQ nên vận dụng định lý Van-Oben tam giác ACH AF,CG HM đồng quy QF Sau đó, vế phải xuất AN AM  , nên vận dụng định lý Van-Oben tam giác NB MC ABC AH ,CN BM đồng quy Từ có lời giải hay * Trình bày lời giải Áp dụng định lý Van-Oben cho ABH với AE,BG,HN đồng quy P , ta có: AP AN AG   PE NB GH  1 Áp dụng định lý Van-Oben cho ACH với AF,CG,HM đồng quy Q , ta có: AQ AM AG   QF MC GH  2 Từ  1   cộng vế với vế, ta được: AP AQ AN AM AG     PE QF NB MC GH  3 Áp dụng định lý Van-Oben cho ABC AH ,BM ,CN đồng quy G , ta có: AG AN AM   GH NB MC  4 Từ  3   suy ra: AP AQ  AN AM   3.   (Điều phải chứng minh) PE QF  NB MC  Nhận xét Từ kết luận toán, nhận thấy: Trang - Áp dụng định lý Van-Oben cho ABC AH ,BM ,CN đồng quy G , ta có AN AM AG   NB MC GH giải toán: Trên ba cạnh BC,CA, AB tam giác ABC lấy ba điểm H ,M ,N cho AH ,BM ,CN đồng quy G Gọi P,Q giao điểm HN BM ; HM CN Tia AP tia AQ cắt BC E F Chứng minh rằng: - Trường hợp H trung điểm BC MN //BC Ta có kết sau: AP AQ  AG   3.  PE QF  GH  AN AM  ta giải NB MC tốn sau: Trên ba cạnh BC ,CA, AB tam giác ABC lấy ba điểm H ,M ,N cho AH ,BM ,CN đồng quy G Gọi P,Q giao điểm HN BM ; HM CN Tia AP tia AQ cắt BC E F Chứng minh rằng: - Trường hợp G trung điểm AH AP AQ  AN   6.  PE QF  NB  AN AM  1 Do ta giải tốn sau: Trên ba cạnh NB MC BC ,CA, AB tam giác ABC lấy ba điểm H ,M ,N cho AH ,BM ,CN đồng quy G Gọi P,Q giao điểm HN BM ; HM CN Tia AP tia AQ cắt BC E F Chứng minh rằng: AP AQ  3 PE QF C Bài tập vận dụng 17.1 Cho tam giác ABC Trên cạnh BC,CA lấy điểm D E thỏa mãn giao điểm AD BE Tính tỷ số BD CA   Gọi O DC EA AO BO OD OE 17.2 Cho tam giác ABC vng A Có đường cao AH , đường trung tuyến BM phân giác CD đồng quy O Chứng minh rằng: BC BH  AC CH 17.3 Cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến BM phân giác CD đồng quy Đặt a,b,c độ dài ba cạnh BC,CA, AB Chứng minh rằng:  a  b   a  b  c  2a 2b 17.4 Cho tam giác ABC  AB  AC  , M trung điểm BC Một đường thẳng qua M song song với đường phân giác AD góc BAC cắt AC, AB E F Chứng minh CE BF 17.5 Cho tam giác ABC lấy điểm E thuộc cạnh AB điểm F thuộc cạnh AC Gọi AM đường trung tuyến tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để EF song song với BC AM ,BF CE đồng qui Trang 10 17.6 Cho tam giác ABC có trung tuyến AD Trên AD lấy điểm K cho AK 3 Hỏi đường thẳng KD BK chia tam giác ABC theo tỉ số nào? 17.7 Cho tứ giác ABCD Cạnh AB cắt CD kéo dài E , cạnh BC cắt AD kéo dài I Đường chéo AC cắt BD EI M ,N Chứng minh MA NA  MC NC 17.8 Cho tam giác ABC Lấy K thuộc cạnh AB T thuộc tia đối tia BC Gọi F giao điểm TK với AC;O giao điểm BF CK Gọi E giao điểm AO BC Chứng minh rằng: TB EB  TC EC 17.9 Cho tam giác ABC có D điểm nằm tam giác Lấy điểm M tùy ý thuộc AD Gọi giao điểm BM AC E ; gọi giao điểm CM AB F Các tia DE CM giao K ; tia DF BM H Chứng minh CH ; AD; BK đồng quy 17.10 Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD,BM ,CN cắt H Chứng minh rằng: HD HM HN DB MC NA    AD BM CN DC MA NB 17.11 Từ điểm I thuộc miền tam giác ABC , kẻ AI cắt BC D Qua I kẻ MN ,PQ RS song song với BC, AB, AC ( M ,S thuộc AB;Q,R thuộc BC; N ,P thuộc AC ) Chứng minh rằng: a) IM DB  ; IN DC b) IM IP IR 1 IN IQ IS 17.12 Cho tam giác ABC vng C có đường cao CK Vẽ đường phân giác CE tam giác ACK Đường thẳng qua B song song với CE cắt đường thẳng CK F Chứng minh đường thẳng EF chia đoạn thẳng AC thành hai phần 17.13 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm K Qua K kẻ đường thẳng song song với AD Trên đường thẳng lấy điềm L bên hình bình hành, cạnh AD lấy điểm M cho AM KL Chứng minh ba đường thẳng CL,DK BM đồng quy 17.14 Cho ABC không cân có CD đường phân giác Lấy điểm O thuộc đường thẳng CD ( O khác C D ) Gọi M ,N giao điểm đường thẳng AO,BO với BC AC Gọi P giao điểm đường thẳng MN AB Chứng minh CD vng góc với CP 17.15 Cho tam giác ABC có điểm O nằm tam giác Các đường thẳng AO,BO,CO cắt cạnh BC ,CA, AB D,E,F Qua O kẻ đường thẳng song song với BC , cắt DF ,DE M N Chứng minh rằng: OM ON Trang 11 17.16 Cho tam giác ABC có điểm M nằm tam giác Gọi D,E,F thứ tự giao điểm đường thẳng AM ,BM ,CM với cạnh BC, AC , AB Chứng minh tỉ số AM BM CM ; ; có MD ME MF tỉ số không lớn tỉ số khơng nhỏ (Thi vơ địch Tốn Quốc tế, IMO – năm 1961 ) 17.17 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Lấy M thuộc tia đối tia CA Tia MI cắt đường thẳng AB N Trên tia đối tia BC lấy điểm E , tia EN cắt tia AC P Tia PI cắt đường thẳng AB Q Gọi F giao điểm QM IC Chứng minh IE IF 17.18 Cho tam giác ABC , ba cạnh BC ,CA, AB lấy ba điểm A,B,C  cho AA,BB,CC  đồng quy K Gọi M ,N giao điểm AC  BB; AB CC  Tia AM , tia AN cắt BC E,F Chứng minh rằng: a) EN ,FM , AA đồng quy I b) IA.KA 3.IA.KA Hướng dẫn giải 17.1 Từ BD CE BD CD AE   suy  ; 2;  DC EA BC DB AC Áp dụng định lý Menelaus ADC với ba điểm B,O,E thẳng hàng, ta có: AO BD CE AO 1 AO 1  1  6 OD BC EA OD OD Áp dụng định lý Menelaus BEC với ba điểm A,O,D thẳng hàng, ta có: BO AE CD BO 2 BO 1  1   OE AC DB OE OE 17.2 Trong tam giác ABC có AH ,CD,BM đồng quy O Theo định lý Ce-va, ta có: mà BH CM AD 1 HC MA DB CM BD BC 1  MA AD AC (Tính chất đường phân giác) suy BH AC BC BH 1   HC BC AC CH (cách giải khác, bạn đọc xem chuyên đề đường phân giác) 17.3 Áp dụng định lý Ce-va cho ba đường thẳng đồng quy AH ,BM ,CD , ta có: Trang 12 AD BH CM 1 mà AM CM BD CH AM AD BH AD CH 1   BD CH BD BH nên Mặt khác, CD đường phân giác nên AD AC b CH b   suy  BD BC a BH a hay a.CH b.BH  1 Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng, ta có: a BC HB  HC  2.HB.HC b  AC HA2  HC c  AB HA2  HB 2 2 Từ đó:  a  b   a  b  c   a  b   2a.CH  2a  a.HC  b.HC  2a. b.BH  b.HC  ( theo (1)) 2a.ab 2a 2b 17.4 Cách (không dùng Menelaus) Ta giải vắn tắt sau: Từ AD //FM ME //AD Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: BA BF  BD BM  1 CE CA  CM CD  2 Mặt khác, theo tính chất đường phân giác ta có: BA CA  BD CD  3 Từ  1 ,   3 suy ra: BF CE  Do BF CE (do BM CM ) BM CM Cách (dùng Menelaus) Xét tam giác ABC với ba điểm F ,E,M thẳng hàng, ta có: EA MC FB 1 EC MB FA  BAC Do AEF  AFE  nên AEF cân A Suy AE  AF  4  5 Từ     suy BF CE Điều phải chứng minh 17.5 Xét  AE BM CF AE CF  EB MC FA EB FA  1 Nếu AM ,BF ,CE đồng qui theo định Trang 13 lý Ce-va: AE BM CF 1 EB MC FA Từ  1 suy ra: AE CF AE AF 1   EB FA EB CF  EF //BC (định lý Ta-lét đảo)  Nếu EF //BC  AE AF AE BM CF AE CF   1 Từ  1 suy ra: BE CF EB MC FA EB FA  AM ,BF ,CE đồng qui (theo đinh lý Ce-va đảo) 17.6 Gọi E giao điểm đường thẳng BK AC Áp dụng định lý Menelaus ACD ba điểm B,K ,E thẳng hàng, ta có: AK BD CE 1 KD BC EA CE CE    EA EA Mặt khác ABE BCE có chung đường cao kẻ từ B , suy ra: S ABE AE S   ABE  S BCE CE S BCE 17.7 Áp dụng định lý Menelaus AEC với ba điểm M ,D,B thẳng hàng, ta có: Áp dụng định lý Menelaus ABC với ba điểm N ,I ,E thẳng hàng, ta có: Suy MA DC BE 1 MC DE BA NA IC EB 1 NC IB EA MA DC BE NA IC EB  MC DE BA NC IB EA MA NA IC DE AB  MC NC IB DC AE  1 Áp dụng định lý Menelaus BEC với ba điểm I ,D, A thẳng hàng, nên IC AB DE 1 IB AE DC  2 Từ  1   suy MA NA  MC NC 17.8 Áp dụng định lý Ce-va ABC với đường thẳng đồng quy AE,BF ,CK , ta có: EB FC KA 1 EC FA KB  1 Trang 14 Áp dụng định lý Menelaus ABC với ba điểm T ,K ,F thẳng hàng, ta có: TC KB FA 1 TB KA FC  2 Từ  1   nhân vế với vế ta được: TB EB  TC EC 17.9 Gọi BC giao với AD G Áp dụng định lý Menelaus ABM , AMC ta được: DM FA HB 1 DA FB HM  1 DM EA KC 1 DA EC KM  2 Chia  1 cho   , ta được: EC FA KC HM  EA FB KM HB  3 Vì AG,BE,CF đồng quy  Từ  3   : GB EC FA EC FA GC 1   GC EA FB EA FB GA  4 GC KC HM GB KC HM   1 GB KM HB GC KM HB Ta có điều phải chứng minh 17.10 Áp dụng tỉ số diện tích hai tam giác có chung cạnh đáy, ta có: HD HM HN S HBC S HCA S HAB      1 AD BM CN S ABC S ABC S ABC Áp dụng định lý Ce-va, ta có: DB MC NA 1 DC MA NB Từ suy điều phải chứng minh 17.11 a) Áp dụng hệ định lý ta-lét, ta có: MI //BD  MI AI  BD AD IN //CD  IN AI  CD AD  MI IN MI DB    BD CD NI DC b) Gọi E giao điểm giao điểm đường thẳng BI AC; F giao điểm đường thẳng CI AB Trang 15 Chứng minh tương tự câu a, ta có: IP AF IR CE  ;  IQ BF IS AE Áp dụng định lý Ce-va ABC AD,BE,CF đồng quy, ta có: BD CE AF IM IP IR 1  1 Điều phải chứng minh CD AE BF IN IQ IS     17.12 Ta có: BEC  A  ACE KCB  KCE BCE Do BCE cân B nên BE BC Mặt khác BF //CE nên theo định lý Ta-lét, ta có: CK EK CK  FK EK  BK CF BE      FK BK FK BK FK BK mà BC BE nên CF BC  FK BK  1 Vì CE đường phân giác góc ACK nên: AE AC  KE CK  2 ABC CBK  g.g   Từ    3 suy ra: BC AE  BK CK CF AE  FK KE  3  4 Giả sử đường thẳng EF cắt AC D Áp dụng định lý Mennenlaus vào tam giác ACK bị cát tuyến DEF cắt cạnh, ta có: Từ     suy ra: AD CF KE 1 CD KF AE  5 AD 1 hay ta có: AD CD CD 17.13 Gọi N giao điểm cảu hai đường thẳng BM CL Tứ giác MLKA hình bình hành Giả sử đường thẳng ML cắt cạnh BC P Khi đó, ta có: LP KP; MD CP Ta chứng minh D,N ,K thẳng hàng Áp dụng định lý Mennenlaus vào tam giác BMP bị cắt cát tuyến CLN cắt cạnh, ta có: BN ML PC BN AK MD 1  1 NM LP CB NM KB AD Suy ba điểm K ,N ,D thẳng hàng (theo định lý Menelaus đảo vào ABM ) Vậy ba đường thẳng CL,DK BM đồng quy Trang 16 17.14 Áp dụng định lý Ce-va vào tam giác ABC , ta có: CN AD BM 1 NA DB MC  1 Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ABC với ba điểm N ,M ,P thẳng hàng, ta có: CN AP BM 1 NA PB MC  2 Từ  1   suy  AD AP  DB PB CN AD BM CN AP BM  NA DB MC NA PB MC  3 Từ giả thiết CD đường phân giác ABC  AD CA AP CA     CP đường phân DB CB PB CD giác ngồi tam giác ABC Từ suy CD  CP 17.15 Qua A kẻ đường thẳng xy song song với BC cắt DM ,DN H I Theo hệ định lý Ta-lét, ta có: AH AF AI AE  ;  BD BF CD EC Áp dụng định lý Ce-va tam giác ABC với ba đường AD,BE,CF đồng quy O , ta có: AF BD CE AH BD CD AH 1  1  1 hay AH  AI BF CD EA BD CD AI AI MN //HI theo hệ định lý Ta-lét, ta có: OM DO ON   AH DA AI Mà AH  AI nên OM ON 17.16 Kẻ ba đường trung tuyến AI ,BK ,CP tam giác ABC có trọng tâm G chia tam giác thành tam giác BGI ,BGP,CGK , AGK , AGP, CGI Do điểm M nằm trong tam giác kể cạnh Giải sử M nằm cạnh AGK Theo định lý Van-Oben, ta có: AM AF AE AF AE     2 MD FB EC PB KC Trang 17 Mặt khác BM BF BD BF BD     2 ME FA DC PA IC Dấu xảy M trùng với G Suy điều phải chứng minh 17.17 Áp dụng định lý Menelaus ABC với ba điểm M ,N ,I thẳng hàng, ta có: IB MC NA MC NA 1  1 IC MA NB MA NB  1 Áp dụng định lý Menelaus ABC với ba điểm Q,P,I thẳng hàng, ta có: IC PA QB PA QB 1  1 IB PC QA PC QA  2 Áp dụng định lý Menelaus ABC với ba điểm N ,E,P thẳng hàng, ta có: EB PC NA 1 EC PA NB  3 Áp dụng định lý Menelaus ABC với ba điểm Q,M ,F thẳng hàng, ta có: FC QB MA 1 FB QA MC  4 Từ  1   suy : MC NA QB PA PC NA QB MA   MA NB QA PC PA NB QA MC Từ  3   suy ra: EB PC NA FC QB MA  EC PA NB FB QA MC Từ suy ra:  EB FC EB FC    EC FB EB  EC FB  FC EB FC   BE FC  IE IF BC BC 17.18 a) Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABE với điểm thẳng hàng A,M ,C  , ta có: AM EA BC  1 ME AB C A  AM C A AB  ME BC  EA Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AFC với điểm thẳng hàng A,N ,B , ta có:  FN AB CA 1 NA BC AF FN AF BC  NA CA AB Trang 18 Xét AM EA FN  C A AB  EA  AF BC      ME AF NA  BC  EA  AF  CA AB   C A AB BC 1 BC  CA AB (Do AA,BB,CC  đồng quy K - định lý Ce-va) Cũng theo định lý Ce-va ta có AA,EN FM đồng quy I b) Áp dụng định lý Van-Oben cho tam giác ABA; ACA; AEF , ta có: AM AK AC    ME KA C B  1 AN AK AB   NF KA BC  2 AM AN AI   ME NF IA  3 Thay  1 ,  vào  3 ta được: AK AC  AB AI    KA C B BC IA  4 Áp dụng định lý Van- Oben cho tam giác ABC , ta có: Thay vào   , ta được: AC  AB AK   C B BC KA AK AI   3.IA AK KA AI KA IA Trang 19