Chuyên đề 17 nguyên lý dirichlet

Chuyên đề 17 NGUYÊN LÝ DIRICHLET A Kiến thức cần nhớ Nội dung: Dirichlet (Điriklê) tên nhà toán học người Đức (Pôngutáp Lêgien Điriklê) ông sinh năm 1805 năm 1859 Trong trình nghiên cứu giảng dạy tốn trường phổ thơng ơng đưa nguyên tắc giải toán hữu hiệu sử dụng nhiều lĩnh vực số học, hình học đại số Ngày người ta thường gọi nguyên tắc nguyên tắc Dirichlet hay nguyên lý Dirichlet (hay gọi nguyên tắc “nhốt thỏ vào lồng”) * Cụ thể: Nếu nhốt thỏ vào lồng tồn lồng có từ thỏ trở lên (Hay: Không thể nhốt thỏ vào lồng lại khơng có lồng nhốt nhiều thỏ) * Tổng quát: a Nếu ta nhốt n thỏ vào n  lồng tồn lồng có từ hai thỏ trở lên b Khi nhốt n thỏ vào k lồng: + Nếu n kp  r   r k  1 tồn lồng chứa khơng p 1 thỏ + Nếu n kp tồn lồng chứa khơng p thỏ tồn lồng chứa không nhiều p thỏ Chú ý: + Nguyên lý Dirichlet thường sử dụng để giải toán chứng minh tồn vật, việc mà không cần cách tường minh vật, việc + Khi giải toán vận dụng nguyên lý Dirichlet, điều quan trọng phải nhận (hay tạo ra) yếu tố “thỏ”; “lồng”; “nhốt thỏ vào lồng” Khi giải diễn đạt theo ngơn ngữ tốn học + Nhiều toán sau số bước trung gian sử dụng nguyên lý Dirichlet + Thường kết hợp với phương pháp chứng minh phản chứng B Một số ví dụ Ví dụ 1: Chứng minh nguyên lý Dirichlet  Tìm cách giải: Chứng minh trực tiếp sử dụng phản chứng Giải * Chứng minh: Nếu nhốt thỏ vào lồng tồn lồng có từ thỏ trở lên (Hay: Không thể nhốt thỏ vào lồng mà lại khơng có lồng nhốt nhiều thỏ) Thật vậy, lồng chứa khơng q thỏ lồng chứa không 2.3 6 thỏ, vô lý Vậy nhốt thỏ vào lồng mà khơng có lồng nhốt nhiều thỏ * Chứng minh tổng quát: a Nếu ta nhốt n thỏ vào n  lồng tồn lồng có từ hai thỏ trở lên Thật giả sử khơng có lồng chứa từ hai thỏ trở lên nhiều lồng chứa thỏ  n  1 lồng chứa nhiều  n  1 thỏ Vô lý Vậy ta nhốt n thỏ vào n  lồng tồn lồng có từ hai thỏ trở lên b Khi nhốt n thỏ vào k lồng: + Nếu n kp  r   r k  1 tồn lồng chứa khơng p 1 thỏ Thật vậy: Giả sử lồng có khơng q p thỏ k lồng khơng có kp thỏ, số n thỏ, vơ lý + Nếu n kp tồn lồng chứa khơng p thỏ tồn lồng chứa không nhiều p thỏ Thật giả sử lồng chứa p thỏ k lồng khơng có q k  p  1 thỏ, vô lý Giả sử lồng chứa nhiều p thỏ k lồng có k  p 1 thỏ, vơ lý Ví dụ 2: Thả 257 viên bi nhỏ vào bàn cờ Quốc tế 64 ô vuông Chứng minh tồn ô chứa viên bi (kể trường hợp viên bi nằm cạnh vng)  Tìm cách giải: Coi 64 ô vuông 64 lồng 257 viên bi 257 thỏ Ta thấy 257 64.4 1 Thả 257 thỏ vào 64 lồng, theo nguyên lý Đi-rich-lê tồn lồng chứa thỏ Giải Giải trực tiếp Tuy nhiên dùng phản chứng: Giả sử không tồn ô chứa viên bi, nhiều chứa viên 64 ô chứa nhiều 64.4 256 viên bi Vơ lý Ví dụ 3: Một lớp học có 41 học sinh làm kiểm tra Tốn, khơng có bị điểm Có bốn học sinh đạt điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10)  Tìm cách giải: Trong tốn số “thỏ” 41 37 điểm từ đến “Lồng” loại điểm nói Phép chia 37 cho dư Tồn 1 6 học sinh có điểm kiểm tra Giải Có 41 37 học sinh phân chia vào loại điểm từ đến Giả sử không tồn loại điểm có bạn đạt, nhiều loại điểm có bạn đạt; loại điểm có nhiều 7.5 35 bạn đạt Lớp học 41 học sinh Vô lý Vậy tồn học sinh có điểm kiểm tra Ví dụ 4: Người ta chia hình vng thành 16 hình vng nhỏ cách chia cạnh thành phần Người ta viết vào ô bảng số  a; 0; a sau tính tổng số theo cột, hàng đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn tổng có giá trị  Tìm cách giải: Có tổng theo cột, theo hàng, theo đường chéo “số thỏ” Mỗi tổng có giá trị Số giá trị tổng số “lồng” Giải Số hàng: 4; Số cột: 4; Số đường chéo: Như có 10 tổng Các giá trị có cộng số hàng, cột đường chéo  4a;  3a;  2a;  a; 0; a; 2a; 3a; 4a Có 10 tổng, tổng nhận giá trị mà 10 9.11 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai tổng có giá trị Ví dụ 5: Chứng minh rằng: Trong n 1 số tự nhiên a1; a2; ; an; an1 ln tìm hai số cho hiệu chúng chia hết cho n  Tìm cách giải: Trong toán “thỏ” số tự nhiên bất kỳ, “lồng” số số dư phép chia số cho n Chia số cho n nhận n số dư 0; 1; 2; ; n  2; n  Có n 1 thỏ, có n lồng Giải Chia số cho n nhận n số dư 0; 1; 2; ; n  2; n  Có n 1 số, có n số dư Do theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho n Khơng tổng qt giả sử hai số ap aq  p; q  1;2; ;n; n 1  ap  aq Ta có: ap n.kp  r  r  N; r n  1 aq n.kq  r Khi ap  aq n. kp  kq  n Đây hai số có hiệu chúng chia hết cho n Bài tốn chứng minh Ví dụ 6: Trong 2016 số tự nhiên a1; a2; ; a2016 ln tìm số chia hết cho 2016 hai số có hiệu chia hết cho 2016  Tìm cách giải: Trong toán số “thỏ” số 2016 số tự nhiên bất kỳ, “Lồng” số số dư phép chia số cho 2016 Có hai khả xảy ra: có số chia hết cho 2016, tất số không chia hết cho 2016 Giải Nếu n số chia hết cho 2016, toán chứng minh Nếu tất 2016 số khơng có số chia hết cho 2016 số chia cho 2016 nhận 2015 số dư 1; 2; 3; ; 2014; 2015 Có 2016 số mà có 2015 số dư nên tồn số có số dư chia cho 2016  hiệu hai số chia hết cho 2016 (đpcm) Ví dụ 7: a) Cho dãy số gồm 100 số tự nhiên a1; a2; ; a100 Chứng minh tồn số chia hết cho 100 tổng số số chia hết cho 100 b) Hãy tổng quát hóa tốn  Tìm cách giải: Trong tốn số “thỏ” số 100 số tự nhiên bất kỳ, “Lồng” số số dư phép chia số cho 100 Có hai khả xảy ra: có số 0, tất số khác không Giải a) Trường hợp có số ta chọn số thỏa mãn đầu Trường hợp tất số khác ta lập 100 tổng sau: S1 a1 S2 a1  a2 S3 a1  a2  a3 ……………… S100 a1  a2  a3   a100 Nếu 100 tổng chia hết cho 100, toán chứng minh Nếu tất 100 tổng không chia hết cho 100, chia cho 100 chúng nhận 99 số dư 1; 2; 3; ; 99 Có 100 tổng có 99 số dư chia cho 100, theo nguyên lý Dirichlet tồn hai tổng có số dư chia cho 100 Giả sử hai tổng Sk a1  a2  a3   ak Sh a1  a2  a3   ah 100 k  h 1 Thì Sk  Sh  a1  a2  a3   ak    a1  a2  a3   ah    ah1  ah2  ah3   ak  100 b) Tổng quát hóa: Cho dãy số gồm n số tự nhiên a1; a2; ; an Chứng minh tồn số chia hết cho n tổng số số chia hết cho n Ví dụ 8: Chứng minh tồn lũy thừa 79 mà chữ số tận 00001  Tìm cách giải: Nhận xét 79n Nếu n chẵn chữ số tận Nếu n lẻ chữ số tận Do ta xét 105 lũy thừa 79 với số mũ chẵn khác Giải  Cách - Xét 105 lũy thừa 79 với số mũ chẵn khác Nếu lũy thừa có tận 00001 tốn chứng minh - Nếu khơng có lũy thừa có tận 00001 số số có chữ số tận khác kể từ số 00002; 00003; ; đến 99998; 99999 nhỏ 105 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai lũy thừa có chữ số tận giống Nếu n chẵn số 792k chữ số tận Giả sử hai số: A1 792k1 B1.10  abcd1 A2 792k2 B2.105  abcd1 với A1  A2 A1  A2 792k1  792k2 792k2  792 k1 k2   1 105  B1  B2   k2 105  B  B   792 k1 k2   1 Do 79 có tận có tận khơng số nên   có tận khơng số suy 792 k1 k2 có tận 00001 Vậy tìm số k 2 k1  k2  thỏa mãn yêu cầu  Cách Ta cần chứng minh tồn k  N cho 79k  chia hết cho105 Xét 105 1 số: 79; 792; 793; 794; ; 791051 Tất số không chia hết cho 105 nên lấy 105 1 số chia cho số 105 theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư phép chia cho 105 Khi hiệu chúng chia hết cho 105 Giả sử hai số 79m 79n  m,n  N; n  m 105  1 Ta có 79m  79n 105 hay 79n  79m n  1 105 Vì  79n;105  1 nên  79m n  1 105 Ta chọn m  n k lúc 79k chia cho 105 dư tức 79k có chữ số tận 00001 (đpcm) Ví dụ 9: Để chuẩn bị cho buổi sinh hoạt câu lạc toán khối trường THCS, bạn học sinh giỏi toán lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E, 7G viết thư trao đổi với hai nội dung: (I): “Thống kê” (II): “Biểu thức đại số” Biết bạn viết thư cho bạn cịn lại (trong bạn nói trên) hai nội dung Chứng minh có bạn trao đổi với nội dung  Tìm cách giải: Ta gọi học sinh giỏi toán (ta coi “thỏ”) lớp A, B, C, D, E, G Giả sử bạn A chẳng hạn viết thư cho bạn lại bạn hai nội dung “Thống kê” “Biểu thức đại số” Ta thành lập “lồng” cách sau đây: - “Lồng I” nhốt trao đổi với A nội dung (I) - “Lồng II” nhốt trao đổi với A nội dung (II) Như có thỏ nhốt vào “2 lồng” Theo ngun lí Dirichlet phải có lồng nhốt khơng “thỏ”, nghĩa phải có bạn số bạn (khơng kể A) trao đổi với A hai nội dung Khơng tổng qt ta giả sử bạn trao đổi với A nội dung (I) + Trong ba bạn có hai bạn trao đổi với nội dung (I) hai bạn với A tạo thành bạn trao đổi với nội dung + Nếu ba bạn có khơng có hai bạn trao đổi với nội dung (I) ba bạn trao đổi với nội dung (II) Bài toán chứng minh Ta trình bày lời giải sau: Giải Ta gọi học sinh giỏi toán lớp A, B, C, D, E, G Giả sử bạn A chẳng hạn viết thư cho bạn cịn lại hai nội dung (I) (II) Ta có 2.2 1 Theo nguyên lí Dirichlet A phải viết cho bạn nội dung, khơng tổng qt ta giả sử bạn B, C, D nội dung trao đổi (I) + Trong ba bạn B, C, D có hai bạn trao đổi với nội dung (I) chẳng hạn B C hai bạn B C với A tạo thành bạn trao đổi với nội dung + Nếu ba bạn B, C, D có khơng có hai bạn trao đổi với nội dung (I) ba bạn trao đổi với nội dung (II) tạo thành bạn trao đổi với nội dung Bài tốn chứng minh Tóm lại dù khả xảy ta ln có bạn trao đổi với nội dung C Bài tập vận dụng 17.1 Một tổ có 12 học sinh, kiểm tra Tốn ngồi bạn An Bình đạt điểm 10 cịn lại bạn khác đạt số điểm thấp không bạn bị điểm 0; 1; (điểm số bạn số tự nhiên) Chứng minh hai bạn đạt điểm 10 cịn có hai bạn có điểm số 17.2 Một lớp học có 37 học sinh tuổi Chứng minh năm có tháng học sinh tổ chức sinh nhật 17.3 Một vịng chung kết bóng bàn có đấu thủ tham gia thi đấu vịng trịn nghĩa đấu thủ phải gặp đấu thủ lại Chứng minh thời điểm đấu có hai đấu thủ đấu số trận 17.4 Chứng minh người có người có số người quen người Hãy tổng qt hóa tốn! 17.5 a) Trên bảng vng kích thước 66 ta viết vào ô bảng số  1; 0; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tồn hai tổng có giá trị b) Trên bảng vng kích thước 66 ta viết số tự nhiên từ đến 36, số viết vào ô cách tùy ý Chứng minh tồn hai ô vuông chung cạnh mà hiệu số ghi chúng không nhỏ 17.6 Chứng minh 2016 số tự nhiên tồn hai số có hiệu chia hết cho 2015 17.7 Chứng minh n số tự nhiên liên tiếp ln tìm số chia hết cho n 17.8 Trong n số tự nhiên a1; a2; ; an tìm số chia hết cho n hai số có hiệu chia hết cho n 17.9 Chứng minh ba số lẻ tìm hai số có tổng hiệu chia hết cho 17.10 Chứng minh ln tìm số có dạng 19741974 19740000 0000 chia hết cho 1975 17.11 Tồn hay khơng số có dạng 20162016 20162016 chia hết cho 2017 17.12 Chứng minh 20 số tự nhiên liên tiếp ta ln tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 10 17.13 a) Cho 1001 số nguyên dương khác nhỏ 2000 Chứng minh ta chọn số mà số tổng hai số lại b) Hãy tổng quát hóa tốn chứng minh 17.14 Chứng minh 52 số tự nhiên tùy ý tồn hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 100 17.15 Có 17 nhà khoa học viết thư cho trao đổi ba đề tài: “Biến đổi khí hậu”; “Mơi trường”; “Dân số” Mỗi người viết thư cho người đề tài Chứng minh có nhà khoa học trao đổi với đề tài (Chú ý: Bài tốn diễn đạt cách khác theo ngơn ngữ hình học sau: “Cho 17 điểm phân biệt nằm đường trịn Hai điểm 17 điểm nối đoạn màu xanh, màu đỏ màu vàng Chứng minh tồn tam giác có ba cạnh màu”) 17.16 Cho dãy số 101; 102; 103; 104; ; 1020 Chứng minh có số dãy số chia cho 19 dư (Thi chọn học sinh giỏi lớp Quận 10 TP Hồ Chí Minh, năm học 2005 – 2006) 17.17 Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi khác số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y cho x  y thuộc tập hợp E  3;6;9 (Đề thi vào khối THPT Chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội, năm học 2006 – 2007) 17.18 Cho lưới ô vuông 55 Người ta điền vào ô số  1; 0; Xét tổng số tính theo hàng, theo cột theo đường chéo Chứng minh ln tồn hai tổng có giá trị (Thi vào lớp 10 THPT chuyên Toán Thành phố Hà Nội, năm học 2007 – 2008) 17.17 Trên đường tròn cho điểm phân biệt Hai điểm điểm nối đoạn màu xanh màu đỏ Chứng minh tồn tam giác có ba cạnh màu (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9, Thanh Hóa, năm học 2009 -2010) 17.20 Mỗi vng bảng kích thước 1010 (10 dịng, 10 cột) ghi số nguyên dương không vượt 10 cho hai số ghi hai ô chung cạnh hai ô chung đỉnh bảng hai số nguyên tố Chứng minh có số ghi 17 lần (Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9, Vĩnh Phúc, năm học 2009 – 2010) HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 17.1 Trừ hai bạn đạt điểm 10 lại 10 bạn đạt loại điểm 3; 4; 5; 6; 7; 8; Giả sử số khơng có hai bạn có số điểm giống loại điểm nhiều có bạn đạt nên tổ cịn lại nhiều bạn Vơ lý 17.2 Một năm có 12 tháng Giả sử năm khơng có tháng có học sinh tổ chức sinh nhật, tháng nhiều có học sinh tổ chức sinh nhật Số học sinh lớp nhiều 21.3 36  37 Vô lý 17.3 Số trận đấu đấu thủ với đấu thủ khác gồm loại 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Các số khơng đồng thời tồn có chưa đấu trận khơng đấu đủ trận Nếu có người đấu đủ trận khơng chưa đấu trận Có đấu thủ, có loại số trận đấu phải tồn hai đấu thủ có số trận đấu thời điểm đấu 17.4 Giả sử số người có người khơng quen với tất người cịn lại người cịn lại khơng có số người quen người Số người quen có loại 0; 1; 2; Có người (5 thỏ) mà có loại số người quen (4 lồng) Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai người có số người quen người Giả sử số người có người quen với tất người cịn lại người cịn lại có số người quen 1; 2; 3; Có người (5 thỏ) mà có loại số người quen (4 lồng) Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai người có số người quen người Tổng qt: Một phịng họp có n người, có người có số người quen số n người 17.5 a) Bảng vng kích thước 66 có dịng, cột đường chéo nên có 14 tổng số tính theo dòng, theo cột theo đường chéo Mỗi dòng, cột đường chéo ghi số thuộc tập   1; 0;1 Vì giá trị tổng thuộc tập hợp   6; 5; 4; 3;  2; 1;0;1;2;3; 4;5;6 có 13 phần tử Có 14 tổng nhận tập 13 giá trị khác nên theo nguyên lý Dirichlet tồn hai tổng có giá trị b) Xét hàng có ghi số cột có ghi số 36 Hiệu hai số 35 (coi 35 thỏ) Số cặp ô kề từ ô ghi số đến ô ghi số 36 nhiều 10 (gồm cặp chung cạnh tính theo hàng cặp chung cạnh tính theo cột) (coi có 10 lồng) Ta có: 35 10.3  Vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn hai ô vuông chung cạnh mà hiệu số ghi chúng không nhỏ 17.6 Chia số cho 2015 ta nhận 2015 số dư: 0; 1; 2; …; 2013; 2014 Có 2016 số tự nhiên nên theo nguyên lý Dirichlet tồn số có số dư chia cho 2015  hiệu hai số chia hết cho 2015 17.7 Giả sử khơng tìm số n số tự nhiên liên tiếp cho mà chia hết cho n Khi n số chia cho n nhận nhiều n  số dư khác 1; 2; 3; 4; ; n  1 , theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số chia cho n có số dư, chẳng hạn a b với a  b , số a  b chia hết cho n Điều mâu thuẫn với  a  b  n Từ suy điều phải chứng minh 17.8 Nếu n số chia hết cho n, toán chứng minh Nếu tất n số khơng có số chia hết cho n chia cho n chúng nhận n  số dư 1; 2; 3; ; n  2; n  Có n số, có n  số dư nên theo nguyên lý Dirichlet tồn số có số dư chia cho n  hiệu hai số chia hết cho n 17.9 Một số lẻ chia cho có số dư 1; 3; Ta chia số dư thành hai nhóm: Nhóm (1; 7) nhóm (3; 5) Có ba số lẻ chia cho mà có hai nhóm số dư, theo nguyên lý Diriclet tồn hai số có số dư chia cho vào nhóm Nếu hai số dư giống hiệu hai số chia hết cho Nếu hai số dư khác tổng chúng chia hết cho Vậy ba số lẻ tìm hai số có tổng hiệu chia hết cho 17.10 Xét 1975 số có dạng sau: A1 1974 A2 19741974 A3 197419741974 …………………… A1974 197 41974 1 974 1974 soá 1974 A1975 197 41974 197 41 974 1975 soá 1974 Tất 1975 số không chia hết không chia hết cho 1975 Do số chia cho 1975 nhận 1974 số dư 1; 2; 3;…; 1974 Do theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho 1975 nghĩa hiệu chúng chia hết cho 1975 Giả sử Ai 197 41974 19741974 Ak 197 41974 19741 974 i soá 1974 k soá 1974  i  k; i,k  1;2; ;1975  hiệu chúng là: Ai  Ak 197 41974 19741974  19741974 19741 974 i soá 1974 k soá 1974 197 41974 19740000 .00 0 01975 (đpcm) i k soá 1974: 4k soá 17.11 Xét 2017 số có dạng B1 2016 B2 20162016 B3 20162016 …………………… B2017 2 0162016 201 62016 2017 soá 2016 Nếu số 2017 số chia hết cho 2017 ta có số cần tìm Nếu 2017 số khơng chia hết cho 2017 tương tự ta có số Bi  Bk 2 0162016 20 160000 .000  i  k; i, k  1;2; ;2017  i k soá 2016: 4k soá 2 0162016 2 016.104k 2017 Do 104k 2017 i k soá 2016 Nên 2 0162016 2 0162017 i k số 2016 Vậy tồn số có dạng 20162016 20162016 chia hết cho 2017 17.12 Trong 20 số tự nhiên liên tiếp tìm 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống chữ số hàng đơn vị 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Viết số dạng: ab c0 ; ab c1; ab c2; ; ab c9 Gọi tổng chữ số S a  b   c số vừa viết có tổng chữ số S;S 1; S  : : S  10 số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 10 17.13 a) Gọi 1001 số nguyên dương khác cho a1; a2; a3; ; a1001 với a1  a2  a3   a1001  2000 Đặt A  a2; a3; ; a1001 gồm 1000 phần tử có dạng am với m  2;3; ;1001 B  a2  a1; a3  a1; ; a1001  a1 gồm 1000 phần tử có dạng an  a1 với n  2;3; ;1001 Ta thấy phần tử hai tập hợp A B thuộc tập hợp gồm 1999 phần tử  1;2;3; ;1998;1999 tổng số phần tử tập A B 1000 1000 2000 phần tử Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số mà chúng thuộc tập hợp, nên có số thuộc tập hợp A, số thuộc tập hợp B tức am an  a1 an am  a1 Ba số am; an;a1 đôi khác Thật am a1; an a1 theo cách đặt tập hợp A B, cịn am an am an a1 0 , trái với giả thiết toán Vậy tồn ba số an; am; a1 số cho mà an am  a1 b) Tổng quát hóa: Cho n 1 số nguyên dương khác nhỏ 2n Chứng minh ta chọn số mà số tổng hai số lại (Chứng minh tương tự câu a) (Bạn đọc tự chứng minh) 17.14 Một số tự nhiên chia cho 100 có số dư 0; 1; 2; …; 98; 99 Tất số dư phép chia cho 100 chia thành 51 nhóm sau: (0); (1;99); (2; 98); (3; 97);…; (49; 51); (50) Đem 52 số tự nhiên chia cho 100 nhận 52 số dư; 52 số dư thuộc 51 nhóm Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số dư thuộc vào nhóm, tức tồn hai số có tổng số dư phép chia cho 100 100 hiệu số dư phép chia cho 100 Hai số có tổng hiệu chia hết cho 100 17.15 Giả sử A 17 nhà khoa học A phải trao đổi với 16 nhà khoa học lại đề Theo nguyên lý Dirichlet A phải trao đổi với nhà khoa học khác đề tài chẳng hạn “Dân số” Gọi nhà khoa học khác đề tài chẳng hạn “Dân số” với A B; C; D; E; F; G + Nếu nhà khoa học trao đổi với đề tài “Dân số” tốn chứng minh nhà khoa học với A trao đổi với đề tài “Dân số” + Nếu tất nhà khoa học B; C; D; E; F; G không trao đổi với đề tài “Dân số” họ cịn trao đổi với hai đề tài “Biến đổi khí hậu”; “Môi trường” Xét nhà khoa học B nhà khoa học B phải trao đổi với người cịn lại hai đề tài “Biến đổi khí hậu”; “Môi trường” Theo nguyên lý Dirichlet B phải trao đổi với nhà khoa học khác chẳng hạn C; D; E đề tài chẳng hạn “Mơi trường” Nếu C; D; E có hai người chẳng hạn D E trao đổi với đề tài “Mơi trường” B; E; D ba người trao đổi với đề tài Nếu C; D; E khơng có trao đổi với đề tài “Mơi trường” C; D; E đề tài “Biến đổi khí hậu”; để trao đổi Vậy ta có ba người trao đổi với đề tài Vậy trường hợp ta ln có nhà khoa học trao đổi với đề tài 17.16 Xét dãy số 101; 102; 103; 104; ;1020 có 20 số nên chia số dãy cho 19 ta nhận 19 số dư r  0; 1; 2; 3; ; 17; 18 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho 17 Khơng tổng qt giả sử hai số 10a 10b ( a, b  N * b  a 20 ) 10a  10b 10b.10a b  1 19 Mà 10b;19 1 nên 10a b  1 19 hay 10a b 19 dư a  b 19 Ta có điều phải chứng minh 17.17 Gọi 700 số nguyên dương đôi khác cho a1; a2; a3; ; a700 Như X  a1; a2; a3; ; a700 Xét 700.4 2800 số sau đây: a1; a2; a3; ; a700; a1  3; a2  3; a3  3; .; a700  3; a1  6; a2  6; a3  6; ; a700  6; a1  9; a2  9; a3  9; ; a700  9; Do số không lớn 2006 nên số không lớn hơn: 2006  2015 Có 2800 số mà số nhận giá trị từ đến không 2015 Theo theo nguyên lý Dirichlet phải tồn hai số Giả sử số  ak  với (i; k  1;2;3; ; 700 Khi ak  x  y 9  6 (Tương tự có số  ak  ta có x  y 3;  ak ta có x  y 9 …) Suy tồn hai phần tử x, y  X cho x  y thuộc tập hợp E  3;6;9 17.18 Tổng số có 12 tổng là: tổng theo hàng; tổng theo cột tổng theo đường chéo Vì tổng có số hạng gồm số  1;0;1 nên tổng nhận không 11 giá trị   5;  4;  3; 2; 1;0;1;2;3; 4;5 Do theo nguyên lý Dirichlet tồn hai tổng có giá trị 17.17 Giả sử điểm phân biệt đường tròn A, B, C, D, E, G Từ điểm nối với điểm lại đoạn thẳng với màu xanh đỏ Theo nguyên lý Dirichlet tồn ba đoạn thẳng màu Khơng tổng quát, giả sử ba đoạn thẳng AB, AC, AD màu đỏ (nếu màu xanh lập luận tương tự) Xét BCD có cạnh chẳng hạn BC màu đỏ ABC có ba cạnh màu đỏ Trái lại BCD có ba cạnh màu xanh Vậy ln tồn tam giác có ba cạnh màu 17.20 Trên hình vng kích thước 22 có không số chia hết cho 2, không số chia hết cho Lát kín bảng 25 hình vng, kích thước 22 , có nhiều 25 số chia hết cho 2, có nhiều 25 số chia hết cho Do đó, có 50 số cịn lại khơng chia hết cho khơng chia hết cho Vì chúng phải ba số 1; 5; Ta có 50 3.16  Từ theo nguyên lý Dirichlet có số xuất 17 lần