S6 CHUYÊN đề 8 NGUYÊN lí DIRICHLET

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ S6-CHUYÊN ĐỀ NGUN LÍ DIRICHLET PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Nội dung nguyên lí Nếu nhốt n.m + r chứa khụng ớt hn m, n, r ẻ Ơ * (trong m +1 ) thỏ vào n chuồng phải có chuồng thỏ Chứng minh Giả sử ngược lại chuồng chứa không quá m.n m thỏ tổng số thỏ nhốt thỏ :Mâu thuẫn với giả thiết số thỏ khơng m +1 mn +r n chuồng khơng Vậy phải có chuồng chứa thỏ Nhận xét Bản thân nguyên li Dirichlet đơn giản dễ hiểu, nhiên việc ứng dụng ngun lí lại khơng đơn giản Vấn đề phát “chất Dirichlet “ toán , dạng toán sau xác định đâu chuồng đâu thỏ.Có trường hợp chuồng thỏ gần có sẵn, có trường hợp phải “xây chuồng , tạo thỏ” PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Toán chia hết Khi chia số chia m +1 a cho số m¹ ln có m khả số dư 0,1,…., a1,a2, ,am+1 cho m số khác ta có m +1 m- (“m chuồng “).Do vậy, số dư (“ m +1 aj có hai phép chia có số dư.Giả sử hai số bị chia hai phép chia thỏ”) ln (với - aj )Mm 1£ j < i £ m +1 ) Ta có ( TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 1: Chứng minh tìm số có dạng 19781978 197800 chia hết cho 2012 Lời giải 1978,19781978, ,19781978 1978 144444424444443 2013 so 1978 Xét dãy số : Khi chia số hạng dãy cho 2012 có a = 19781978 1978 144444424444443 m so 1978 hai phép chia có số dư Giả sử hai số hạng dãy hai phép chia b = 19781978 1978 144444424444443 £ n < m £ 2013) n so 1978 ( với ⇒Hiệu a b a - b = 19781978 197800 14444444244444443{ M2012 m- n so 1978 4n so chia hết cho 2012 hay (đpcm) Nhận xét: Phương pháp để giải dạng toán tạo dãy số (theo cấu tạo số) từ yêu cầu toán (“tạo thỏ”) Sau áp dụng ngun lí Dirichlet cho số hạng dãy số (mỗi số hạng thay cho “thỏ”, 2012 số “chuồng”) Bài 2: Cho dãy m a1,a2, ,am số tự nhiên Chứng minh tồn số hạng chia hết cho m hoc tng ca m(m ẻ Ơ *) mt số hạng liên tiếp dãy chia hết cho Lời giải b1 = a1,b2 = a1 + a2, .,bm = a1 + a2 + + am Xét dãy số Khi chia số hạng dãy cho m xảy hai trường hợp sau : TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUN ĐỀ 5: SỐ NGUN TỐ,HỢP SỐ • Có phép chia hết , chẳng hạn : bk Mm , ta có điều phải chứng minh : (a1 + a2 + + ak )Mm • Khơng có phép chia hết Khi tồn hai phép chia có số dư , chẳng hạn chia cho m bi ,bj 1£ j < i £ m ( vơi ) ⇒ (bi − b j )Mm hay (a j +1 + a j + + + )Mm , ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Phương pháp “tạo thỏ “ ví dụ dựa vào phép tốn cộng u cầu tính liên tiếp số hạng dãy ban đầu đề Bài 3: Cho bốn số tự nhiên phân biệt a >b>c >d Chứng minh rằng: P = (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d)M 12 Lời giải a,b,c, d Chia bốn số phân biệt cho ln có hai phép chia có số dư ⇒hiệu hai số bị chia chia hết cho ⇒tồn hiệu hai số bốn số a,b,c, d chia hết cho Do P chia hết cho (1) a,b,c, d Trong bốn số có hai số có số dư chia cho P chia hết cho 4;trái lại , chia bốn số cho có đủ bốn trường hợp số dư 0,1,2,3 ⇒trong bốn số a,c giả sử (a - c)M2 b, d chẵn lẻ⇒ a,b,c,d có hai số chẵn , hai số lẻ, (b - d)M2 Do P chia hết cho (2) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ P M3,4 hay P M12 Từ (1),(2) (3,4)=1 suy (đpcm) Bài 3: Chứng minh 19 số tự nhiên liên tiếp ta ln tìm số có tổng chữ số chia hết cho 10 Lời giải Trong 19 số tự nhiên liên tiếp tồn 10 số tự nhiên liên tiếp có chữ số hàng chục giống , kí hiệu chữ số hàng chục a (các chữ số hàng trăm, hàng nghìn, ….(nếu có ) giống nhau), chữ số hàng đơn vị dãy 0;1;2;3;…;9 Do tổng chữ số số dãy 10 số tự nhiên liên tiếp, tồn số có tổng chữ số chia hết cho 10 Bài 4: Cho 12 số tự nhiên khác có hai chữ số Chứng minh khơng tồn hai số có hiệu số có hai chữ số Lời giải Có 12 số tự nhiên khác nhau, mà có 11 số dư phép chia cho 11, tồn hai số có số dư phép chia cho 11 Hiệu chúng số chia hết cho 11, số có hai chữ số Bài 5: Chứng minh 11 số tự nhiên tồn số có hiệu chia hết cho 10 Lời giải Với 11 số tự nhiên chia cho 10 ta 11 số dư, mà số tự nhiên chia cho 10 có 10 khả dư ; ; ; ; ; Vì có 11 số dư mà có 10 khả dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn số chia cho 10 có số dư hiệu chúng chia hết cho 10 (đpcm) Bài 6: Chứng minh tồn số có dạng 19941994 199400 chia hết cho 1995 Lời giải Ta có 19941994 199400 = 19941994 1994 × 100 Xét 1995 số có dạng: 1994 ; 19941994 ; ; +) Nếu số chia hết cho 1995 dễ dàng có điều phải chứng minh TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ +) Nếu số không chia hết cho 1995 chia số cho 1995 có 1994 khả dư ; ; ; ; 1994 Vì có 1995 số dư mà có 1994 khả dư, theo ngun lí Đi-rích-lê tồn số chia cho 1995 có số dư, hiệu chúng chia hết cho 1995 Khi 1994 199400 chia hết cho 1995 (đpcm) Bài 7: Chứng minh tồn số tự nhiên k cho (1999^k - 1) chia hết cho104 Lời giải Xét 104 số có dạng: 1999^1 ; 1999^2 ; ; 1999^104 Lấy tất số chia cho 104 có 103 khả dư ; ; ; ; 103 (chú ý: khơng có số dư 1999 104 hai số nguyên tố nên 1999 mũ không chia hết cho 104) Mà dãy số có 104 số nên có hai số chia cho 104 có số dư Gọi hai số có số dư chia cho 104 1999^a 1999^b (với a > b) Ta có: 1999^a - 1999^b ⋮ 104 => 1999^b[1999^(a-b) – 1] ⋮ 104 Mà UCLN(1999^b, 104) (vì hai số nguyên tố nhau) nên 1999^(a-b) – ⋮ 104 Đặt k = a – b, ta có 1999^k – ⋮ 104 (đpcm) Bài 8: Chứng minh tồn số viết hai chữ số chia hết cho 2003 Lời giải Xét 2003 số có dạng ; 11 ; 111 ; ; +) Nếu có số chia hết cho 2003 ta sô 11 1100 00 ⋮ 2003 (đpcm) +) Nếu khơng có số chia hêt cho 2003 có 2002 khả dư ; ; ; ; 2002 Mà dãy số có 2003 số hạng nên có hai số chia cho 2003 có số dư 11 11 111 111 m chu so Gọi hai số có số dư chia cho 2003 111 111 11 11 n chu so Khi (với n > m) 11 110 00000 n − m chu so m chu so - n chu so = ⋮ 2003 (đpcm) Dạng 2: Toán suy luận TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 1: Có 10 đội bóng thi đấu với vịng trịn lượt , đội phải đấu trận với đội khác Chứng minh vào lúc có hai đội đấu số trận Lời giải Rõ ràng 10 đội bóng có đội chưa đấu trận đội cịn lại khơng có đội thi đấu trận Như đội có số trận đấu từ đến từ đến Vậy theo nguyên lí Dirichlet phải có hai đội có số trận đấu Bài 2: Trong 45 học sinh làm kiểm tra khơng có bị điểm có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra ( điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) Lời giải Số học sinh có điểm kiểm tra từ đến : 45 – =43 Ta có : 43 = 8.5 + Như , phân chia 43 học sinh vào loại điểm kiểm tra ( từ đến ) theo ngun lí Dirichlet ln tồn + = học sinh có điểm kiểm tra giống (đpcm) Bài 3: Có 17 nhà Tốn học viết thư cho trao đổi vấn đề khoa học , người trao đổi với 16 người lại cặp người trao đổi với vấn đề Chứng minh có nhà Toán học trao đổi với vấn đề Lời giải Gọi A nhà Toán học 17 nhà Tốn học A phải trao đổi với 16 người lại vấn đề khoa học ( kí hiệu vấn đề I,II,III) Vì 16 = 3.5 + nên A phải trao đổi với + = nhà Toán học khác vấn đề ( theo ngun lí Dirichlet) Gọi nhà Tốn học trao đổi với A vấn đề (chẳng hạn vấn đề 1) A1, A2, , A6 Ta thấy nhà Toán học lại trao đổi với vấn đề nên có hai khả xảy ra: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 1) Nếu có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề I với A có nhà Tốn học trao đổi vấn đề I 2) Nếu khơng có nhà Toán học trao đổi với vấn đề I , nhà Tốn học trao đổi với vấn đề II III.Theo ngun lí Dirichlet , có nhà Toán học trao đổi với vấn đề ( II III) Vậy ln có nhà Toán học trao đổi với vấn đề Nhận xét: Trong ví dụ ta phải phân chia toán thành hai lớp sử dụng hai lần nguyên lí Dirichlet : Lần thứ với 16 thỏ chuồng ; lần thứ hai với thỏ chuồng Bài 4: Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2013 Lời giải 11 { 2014sè1 Xét 2014 có dạng 1,11,111,…., Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia a = 11 b = 11 { { n sè1 cho 2013 Giả sử hai số k sè1 , với n>k k a - b = 11 1.10 M2013 { n- ksè1 Khi c = 11 { (2007,10k ) = Vì n - ksè1 nên số chia hết cho 2013 Bài 5: Cho số tự nhiên phân biệt a1 > a2 > a3 > a4 > a5 Xét tích P = (a1 - a2)(a1 - a3)(a1 - a4)(a1 - a5)(a2 - a3)(a2 - a4)(a2 - a5)(a3 - a4)(a3 - a5)(a4 - a5) Chứng minh P M228 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Ta có 288 = 32.25 Chứng minh P M32 a1 a1 , a2 , a3 , a4 , Xét số : Ta thấy tồn hai số có số dư chia cho 3, giả sử a2 => (a1 - a2)M3 Lại xét a2,a3,a4,a5 số lại tồn số có số dư chia cho 3, giả sử a4 a5 => (a4 - a5)M3 Do P M9 (1) Chứng minh P M25 Trong số cho có số tính chẵn lẻ Nếu có số chẵn, số lẻ, chẳng hạn : a1 = 2k1 a2 = 2k2 a3 = 2k3 a4 = 2k4 + a5 = 2k5 + , , , , P = 16(k1 - k2)(k1 - k3)(k2 - k3)(k4 - k5).M Khi đó: Trong số k1, k2, k3 có số tính chẵn lẻ, chẳng hạn Nếu có số lẻ, số chẵn chứng minh tương tự ta có Vậy mọi trường hợp ta có P M32 P M9,32 Từ (1), (2) (9,32)=1 suy hay k1 k2 , (k1 - k2)M2 Vậy P M32 P M32 (2) P M288 (đpcm) Bài 6: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Chứng minh n +1 {1;2;3; ;2n} số thuộc tập hợp ln tìm hai số mà số bội số Lời giải Viết n+1 số lấy dạng k k k b1,b2, ,bn+1 a1 = 1b1, a2 = 2b2, ,an+1 = n+1bn+1 số lẻ, £ b1,b2, ,bn+1 £ 2n - Ta có: Mặt khác khoảng từ đến 2n-1 có n số lẻ nên tồn hai số m, n cho bn = bm Khi đó, hai số an am có số bội số (đpcm) Bài 7: Xét 100 số tự nhiên < a1,a2, ,a100 £ 100 có tổng 200 Chứng minh 100 số ln tồn vài số có tổng 100 Lời giải Nếu a1 = a2 = = a100 = ta chọn 50 số có tổng 100 a1 ¹ a2 Nếu ta lập dãy sau a1,a2,a1 + a2,a1 + a2 + a3 + + a1 + a2 + + a99 ( số hạng có giá trị từ đến 199) - Nếu tồn số hang dãy chia hết cho 100 số hạng 100 - Nếu khơng có số hạng chia hết cho 100 100 số chia cho 100 có hai số hạng có số dư Hiệu chúng cho ta tổng cần tìm Bài 8: Cho 69 số tự nhiên khác phân biệt không vượt 100 Chứng minh chọnđược số 69 số thỏa mãn tổng ba số số cịn lại Lời giải TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Giả sử 69 số cho £ a1 + a3 < a1 + a4 < < a1 + a69 £ 100 Khi a1 £ 32 Xét hai dãy sau: < a1 + a3 < a1 + a3 < < a1 + a69 £ 132(1) £ a3 - a2 < a4 - a2 < < a69 - a2 £ 132(2) Từ (1) (2) ta có 134 số hạng có giá trị từ đến 132, suy có số số thuộc dãy, a1 + am = an - a2 chẳng hạn: (với a1 < a2 < am mà a1;a2;an ;am £ m < n £ 69) tức ta tìm số a1 + a2 + am = an với (đpcm) Bài 9: Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln có số có tổng cácchữ số chia hết cho 11 Lời giải Giả sử 39 số tự nhiên liên tiếp a1 < a2 < < a39 Trong 20 số hạng dãy có hai số tận có số (trong hai số này) có chữ số đứng trước số tận khác Gọi số N N + 1, N + 2, , N + 19 Xét số thuộc 39 số cho Khi đó: S(N + i ) = S(N ) + i S(N + 19) = S(N ) + 10 i = 1,2, ,9 với (kí hiệu S(a) tổng chữ số a) S(N ), S(N ) + 1, , S(N ) + 9, S(N ) + 10 Trong 11 số tự nhiên liên tiếp m Ỵ {1;2; ;9;19} S(N + m)M11 chẳng hạn: Vậy N +m ln có số chia hết cho 11, với số thỏa mãn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp Chứng minh phải có lớp có từ 44 học sinh trở lên Lời giải Giả sử 23 lớp lớp có khơng q 43 học sinh Khi số học sinh là: 43.23 = 989 học sinh (ít 1000– 989 = 11 học sinh) Theo nguyên lí Dirichlet phải có lớp có từ 44 học sinh trở lên Nhận xét: Các cháu học sinh để ý, với dạng toán này, đề thường yêu cầu chứng minh có lớp, (hoặc tương tự) có học sinh Như vậy, với dạng điều quan trọng cần ra, đâu thỏ, đâu chuồng Với số 1, đọc đề xong nhìn thấy số học sinh (như số thỏ) cịn số lớp số chuồng Nhận xét thêm cách giải, thực nói áp dụng nguyên lý Dirichle, cháu thấy chứng minh nguyên lý này, việc giả sử ngược lại (phương pháp phản chứng) Để hiểu rõ hơn, tiếp tục Bài 20: Một lớp có 50 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống Phân tích: Đọc đề thấy có học sinh, đề yêu cầu chứng minh học sinh có tháng sinh Việc “cùng tháng sinh” hiểu “nhốt chuồng” Như vậy, chuồng tháng sinh, cịn học sinh là“thỏ”.Hướng dẫn giải Giả sử có khơng q học sinh có tháng sinh giống Một năm có 12 tháng, số học sinh lớp có khơng q: 12.4=48 (học sinh) Theo ngun lí Dirichlet phải có học sinh có tháng sinh giống TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 21: Có sáu loại học bổng khác Hỏi phải có sinh viên để chắn có người nhận học bổng Phân tích: Bài tốn này, đề khơng u cầu chứng minh có Mà ngược lại, đề yêu cầu tìm số học sinh để thỏa mãn điều kiện có trước Bây phân tích để nhận đâu “thỏ”, đâu “chuồng” Nào ý yêu cầu đề “ít người nhận học bổng nhau”, vậy, người “thỏ” cịn loại học bổng “chuồng” Để giải tốn ngược này, làm tương tự, giả sử không thỏa mãn đề bài, tức loại học bổng có tối đa người… Lời giải Giả sử loại học bổng có người => số người 5.6 = 30 người Nếu ta lấy 31 người, theo nguyên lý Dirichle, tồn loại học bổng mà có người nhận Nhận xét: Ta thấy 31 = 30 + 1, vậy, ta việc tìm số lớn để khơng thỏa mãn đề (chính 5×6 = 30) cộng thêm thành số nhỏ thỏa mãn đề Bài 22: Trong 45 học sinh làm kiểm tra, khơng có bị điểm 2, có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên) Phân tích: Đề cho 45 học sinh, (chính số “thỏ”) Nhưng số chuồng chưa biết xác Chúng ta cần cẩn thận với kiện “khơng có bị điểm 2, có học sinh điểm 10″ Như TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ điểm cóthể từ 10 Nhưng có người 10 tức 43 người lại điểm từ (có số – tương ứng “chuồng”) Lời giải Có 43 học sinh phân thành loại điểm (từ đến 9) Giả sử loại điểm điểm khơng q học sinh lớp học có: 5.8 = 40 học sinh, học sinh so với 43 Theo nguyên lý Dirichlet tồn học sinh có điểm kiểm tra Bài 23: Một lớp học có 50 học sinh, có học sinh thiếu nhiều tập thiếu tập Chứng minh tồn 17 học sinh thiếu số tập (trường hợp không thiếu tập coi thiếu bài) Phân tích: Bài để ý kiện: “có học sinh thiếu nhiều tập thiếu tập” Þ học sinh cịn lại thiếu 0, 1, tập (tức có loại thiếu tập) Loại bỏ học sinh thiếu đi, lại 50 – = 49 bạn Lời giải Ngoài bạn học sinh thiếu ta 49 bạn Giả sử loại tập có 16 học sinh Số học sinh không 16.3 = 48 (thiếu học sinh) Theo ngun lí Dirichlet có 17 học sinh thiếu số tập Dạng 3: Sự tương hỗ TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 1: Có đấu thủ thi đấu cờ, người đấu trận với đấu thủ khác Chứng minh suốt thời gian thi đấu, tồn hai đấu thủ có số trận đấu Lời giải Gọi lồng 0, 1, 2, 3, thứ tự chứa đấu thủ đấu 0, 1, 2, 3, trận Cũng ý hai lông chứa người Như có lồng, mà có người, tồn người lồng tức tồn hai đấu thủ có số trận đấu Bài 2: Cho người tùy ý CMR số có người có số người quen (hiểu A quen B B quen A) Phân tích: Chú trọng đến câu hỏi “2 người có số người quen nhau” Từ hiểu người đóng vai trị số thỏ Ta tạo lồng sau: Lời giải Gọi lồng chứa người có số người quen Gọi lồng chứa người có số người quen … Gọi lồng chứa người có số người quen Như ta có lồng Nếu lồng có chứa lồng phải trống Ngược lại lồng có chứa lồng phải trống Vậy thực chất có lồng nhốt thỏ nên có người phịng tức hai người có số người quen Bài 3: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Có 10 đội bóng thi đấu với đội phải đấu trận với đội khác CMR vào lúc có hai đội đấu số trận (kể số trận đấu 0) Phân tích: Hiểu tương tự tốn Lời giải Gọi A0 phịng chứa đội có số trận đấu Gọi A1 phòng chứa đội có số trận đấu …………… Gọi A9 phịng chứa đội có số trận đấu Nếu phịng A0 có đội phịng A9 khơng có đội ngược lại phịng A9 có đội phịng A0 khơng có đội Vậy thực chất có phịng sử dụng mà lại có đội nên có đội vào chung phịng hay có đội có số trận đấu Bài 4: Có đội bóng thi đấu với (mỗi đội phải đấu trận với đội khác) CMR vào lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Lời giải Giả sử đội bóng A, B, C, D, E, F Xét đội A: Theo nguyên lý Điriclê ta suy ra: A phải đấu khơng đấu với đội khác Khơng tính tổng qt, giả sử A đấu với B, C, D + Nếu B, C, D cặp chưa đấu với tốn chứng minh TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ + Nếu B, C, D có đội đấu với nhau, ví dụ B C đội A, B, C cặp đấu với Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Bài 5: Có 17 nhà toán học trao đổi với vấn đề Mỗi người tra đổi với người vấn đề CMR có nhà tốn học trao đổi với vấn đề (A B, B C, C A) Phân tích: Tương tự 17 điểm nối với màu tồn tam giác với cạnh màu tức nhà toán học trao đổi với vấn đề Lời giải Một nhà toán học trao đổi với 16 nhà tốn học khác vấn đề Þ Theo ngun lý Điricle có người người trao đổi vấn đề, giả sử vấn đề I người lại trao đổi với vấn đề: + TH1: Nếu có người trao đổi vấn đề I tốn chứng minh + TH2: Nếu khơng có người trao đổi vấn đề người trao đổi vấn đề II III Một người trao đổi với người lại vấn đề II III Theo ngun lý Điricle có người người trao đổi vấn đề, giả sử vấn đề II Ba người lại tiếp tục trao đổi với nhau: + TH1: Nếu có người trao đổi với vấn đề II tốn chứng minh + TH2: Nếu khơng có người trao đổi với vấn đề II người trao đổi với vấn đề III Þ Bài tốn chứng minh Vậy ln có nhà tốn học trao đổi với vấn đề TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Dạng 4: Sự xếp Bài 1: Cho bảng vuông x Trên 16 ô bảng, ta đặt 16 số tự nhiên từ đến 16 Chứng minh tồn hai ô kề (tức hai ô có cạnh chung ) cho hiệu số hai ô lớn Lời giải Chuyển từ sang kề gọi bước Xét hai ô ghi số số 16 chuyển từ ô ghi số đến ô ghi số 16 cần không bước chuyển (nhiều bước theo hàng ngang, bước theo hàng dọc) Tồn bước chuyển có hiệu lớn Thật giả sử tất bước chuyển nhỏ từ số 1, qua không bước chuyển tăng thêm không 12, không đạt đến số 16 Vậy tồn hai kề có hiệu số hai lớn Bài 2: Viết 16 số, số có giá trị 1, 2, 3, Ghép thành cặp số cặp số Chứng minh tồn hai cặp số mà tồng số hai cặp Lời giải Tổng hai số cặp cặp số có giá trị nhỏ là: + = 2, có giá trị lớn là: + = Như tổng nhận giá tri: (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hai tổng nhau, tức tồn hai cặp có tổng Dạng 5: Bài tốn hình học Ngun lí mở rộng sau: Nếu có m vật đặt vào n ngăn kéo m > k.n có ngăn kéo chứa k + vật Với mở rộng này, ta cịn giải thêm nhiều tốn khác Bài 1: Trong tam giác có cạnh (đơn vị độ dài, hiểu đến cuối viết) lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng khơng vượt q TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải Chia tam giác có cạnh thành 16 tam giác có cạnh (hình 1) Vì 17 > 16, theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn tam giác cạnh có chứa điểm số 17 điểm cho Khoảng cách hai điểm ln khơng vượt q (đpcm) Bài 2: Trong hình vng cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng minh có điểm 51 điểm cho nằm hình trịn có bán kính Lời giải Chia hình vng cạnh thành 25 hình vng nhau, cạnh hình vng nhỏ 5/7 (hình 2) Vì 51 điểm cho thuộc 25 hình vng nhỏ, mà 51 > 2.25 nên theo ngun lí Đi-ríchlê, có hình vng nhỏ chứa điểm (3 = + 1) số 51 điểm cho Hình vng cạnh có bán kính đường trịn ngoại tiếp là: 2 7 7  ÷ + ÷ 98 5 5 = nên theo giả thiết ta có AC ≤ BC ≤ Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1 C2 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ => 2001 điểm khác B A phải nằm C1 C2 Theo nguyên lí Đi-rích-lê ta có hình trịn chứa 1001 điểm Tính thêm tâm hình trịn hình trịn hình trịn bán kính chứa 1002 điểm 2003 điểm cho Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích 1/3 Chứng minh rằng, 17 đường thẳng có đường thẳng đồng quy Lời giải Gọi M, Q, N, P trung điểm AB, BC, CD, DA (hình 3) Vì ABCD hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD Gọi d 17 đường thẳng cho Nếu d cắt AB E ; CD F ; PQ L LP, LQ đường trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có: S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 LQ / LP = 1/3 Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thỏa mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 L trùng với L1 L trùng với L2 Nghĩa d cắt AB CD d phải qua L1 L2 Tương tự, MN lấy hai điểm K1, K2 thỏa mãn điều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 d cắt AD BC d phải qua K1 K2 Tóm lại, đường thẳng số 17 đường thẳng cho phải qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 Vì 17 > 4.4 nên theo ngun lí Đi-rích-lê, 17 đường thẳng có đường thẳng (5 = + 1) qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 đường thẳng đồng quy, đpcm) Dạng 6: Sự trùng lặp - Học sinh thuộc nội dung nguyên lý Đọc toán phân biệt yếu tố đóng vai trị “thỏ”, yếu tố đóng vai trị “lồng” Học sinh số thỏ, số lồng - Cách phân biệt đơn giản nhất: Số thỏ lớn số lồng Bài 1: Trong 45 học sinh làm kiểm tra bị điểm 2, có học sinh điểm 10 CMR tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Phân tích: “thỏ” 43 học sinh, “lồng” loại điểm từ đến Lời giải Có 45 – = 43 (học sinh) loại điểm từ đến Do 43 : = (dư 3) Theo Ngun lý Điricle có học sinh có điểm kiểm tra Bài 2: Một trường học có 24 lớp gồm 900 học sinh Chứng minh có lớp với sĩ số 38 học sinh trở lên Phân tích: Chia 900 học sinh vào 24 lớp có ý nghĩa tương tự nhốt 900 thỏ vào 24 lồng Từ áp dụng nội dung nguyên lý để giải toán: Lời giải Có 900 học sinh chia vào 24 lớp, mà 900: 24 = 37 (dư 12) Theo nguyên lý Điricle tồn lớp có từ 37 + = 38 (học sinh) trở lên Bài 3: Trong lớp học có 30 học sinh Khi viết tả em phạm 14 lỗi, em khác phạm số lỗi CMR có học sinh mắc số lỗi (kể người mắc lỗi) Phân tích: Trong tốn “thỏ” 29 học sinh (trừ em mắc 14 lỗi), “lồng” loại lỗi (gồm 14 loại: lỗi, lỗi, lỗi, …, 13 lỗi) Lời giải Có 30 học sinh em phạm 14 lỗi, số lại 29 em phạm lỗi từ đến 13 lỗi (14 loại lỗi) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Do 29: 14 = (dư 1) Theo Ngun lý Điricle có em mắc số lỗi Bài 4: Trong kỳ thi tốn học có thí sinh vào chung khảo Thể lệ thi sau: Mỗi thí sinh phải giải tốn Mỗi tốn tính điểm Mỗi tốn sai không làm bị trừ điểm Hãy chứng tỏ thí sinh có thí sinh điểm Biết điểm thấp điểm Phân tích: số “thỏ” dường học sinh, “lồng” nhỉ? Ta phải đặc biệt ý đến nội dung câu hỏi “ít thí sinh điểm nhau” liên tưởng đến nội dung nguyên lý giống thỏ nhốt chung lồng Từ tìm yếu tố lồng số điểm đạt Giải Vì thí sinh phải giải tốn Mỗi tốn tính điểm Mỗi tốn sai khơng làm bị trừ điểm nên ta có trường hợp sau: Nếu số điểm là: = 20 (điểm) Nếu số điểm là: 4 - = 14 (điểm) Nếu số điểm là: – = (điểm) Nếu số điểm là: – = (điểm) Nếu khơng điểm Như có thí sinh dự thi có loại điểm nên theo ngun lý Điricle có thí sinh điểm PHẦN III.BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI HSG6 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 1: Trong phịng họp có n người, tìm người có số người quen số người dự họp Phân tích: Phịng họp có n người, coi n “thỏ” Bây xác định đâu “chuồng” Hãy đọc kỹ đề yêu cầu gì, nhìn “chuồng” “tìm người có số người quen số người dự họp nhau” => số người quen giống nhau, nhốt “chuồng” Như vậy, số người quen số “chuồng” Ta thấy người quen với người, người, ….hoặc nhiều n-1 người họp… Lời giải Số người quen người phòng họp nhận giá trị từ đến n –1 Rõ ràng phịng khơng thể đồng thời có người có số người quen (tức khơng quen ai) có người có số người quen n –1 (tức quen tất cả) Vì theo số lượng người quen, ta phân n người thành n–1 nhóm Vậy theo ngun lí Dirichlet tồn tai nhóm có người, tức ln tìm người có số người quen Bài 2: Trong lưới vng kích thước 5.5, người ta điền ngẫu nhiên vào ô giá trị 0,1 2, sau tính tổng tất ô theo hàng ; theo cột theo hai đường chéo Chứng minh tồn hai tổng có giá trị Phân tích: Hãy đọc kỹ đề yêu cầu, thấy “thỏ” “chuồng” TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 26 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ “Tồn tổng có giá trị nhau” Þ thỏ tổng (hàng ngang, dọc, chéo), cịn giá trị “chuồng” Vấn đề cần tìm giá trị tổng Ta thấy tổng có giá trị nhỏ 0, lớn 10 Lời giải Gọi tổng S1,S2, S12 Có tất 12 tổng Ta nhận thấy tổng nhận giá trị {0, 1, 2…., 9, 10} Có tất 11 giá trị khác Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy điều cần chứng minh Bài 3: Giả sử nhóm người cặp hai bạn thù Chứng tỏ nhóm có ba người bạn lẫn có ba người kẻ thù lẫn Lời giải Gọi A người Trong số người nhóm có ba người bạn A có ba người kẻ thù A, điều suy từ nguyên lí Dirichlet, người khác bạn thù A Trong trường hợp đầu ta gọi B,C,D bạn A ba người có hai người bạn họ với A lập thành ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức ba người B,C,D bạn chứng tỏ họ ba người thù lẫn Tương tự chứng minh trường hợp có ba người kẻ thù A (ĐPCM) Bài 4: Có đấu thủ thi đấu cờ, người đấu trận với đấu thủ khác Chứng minh suốt thời gian thi đấu, tồn hai đấu thủ có số trận đấu Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 27 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Ta có số trận đấu người 0,1,2,3,4 Nhưng khơng thể có lúc người đấu trận người chưa đấu trận nào, nên có tối đa loại số trận đấu Vận dụng ngun lý Dirichlet ta có có người có số trận đấu Bài 5: Có học sinh làm thi gồm câu hỏi Nếu trả lời điểm, trả lời sai bị trừ điểm Nếu số điểm bị trừ nhiều số điểm đạt tính bị điểm Hỏi ln có học sinh điểm hay khơng??? Phân tích gợi ý giải: Bài đề lại hỏi theo kiểu có hay khơng, bình tình Nếu hiểu chất tốn dạng khơng làm sợ hay tự tin “Hai học sinh điểm nhau” Þ Học sinh “thỏ”, điểm “chuồng” Vấn đề tốn trở thành tìm số điểm (số chuồng), từ giúp trả lời câu hỏi đề Đề thi gồm bài, xảy trường hợp sau: - Đúng hết câu => 12 điểm - Đúng câu, sai câu => 5×2 -1 = điểm - Đúng câu, sai câu => 4×2 -2×1 = điểm - Đúng câu, sai câu => 3×2 – 3×1 = điểm - Đúng câu, sai câu => 2×2 – 4x = điểm - Đúng câu => dễ thấy bị điểm TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 28 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUN TỐ,HỢP SỐ Nhìn lại ta thấy có 0,3,6,9,12 điểm tức có loại điểm, có học sinh => có học sinh điểm TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 29 ... lại vấn đề khoa học ( kí hiệu vấn đề I,II,III) Vì 16 = 3.5 + nên A phải trao đổi với + = nhà Toán học khác vấn đề ( theo nguyên lí Dirichlet) Gọi nhà Toán học trao đổi với A vấn đề (chẳng... học trao đổi với vấn đề I với A có nhà Tốn học trao đổi vấn đề I 2) Nếu khơng có nhà Tốn học trao đổi với vấn đề I , nhà Toán học trao đổi với vấn đề II III.Theo ngun lí Dirichlet , có nhà Toán... có người trao đổi vấn đề người trao đổi vấn đề II III Một người trao đổi với người lại vấn đề II III Theo nguyên lý Điricle có người người trao đổi vấn đề, giả sử vấn đề II Ba người lại tiếp