chuyen de 8 so nguyen to, hop so

220 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 8: SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ I MỘT SỐ VẤN ĐỀ LỊCH SỬ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Số nguyên tố nghiên cứu từ nhiều kỉ trước công nguyên nhiều toán số nguyên tố chưa giải trọn vẹn 1) SÀNG ƠRATOSTEN (EURATOSTHENE) Làm để tìm tất số nguyên tố giới hạn đó, chẳng hạn từ đến 100 ? Ta làm sau: Trước hết xóa số Giữ lại số xóa tất bội mà lớn Giữ lại số xóa tất bội mà lớn Giữ lại số (số bị xóa) xóa tất bội mà lớn Giữ lại số (số bị xóa ) xóa tất bội mà lớn Các số 8, 9, 10 bị xóa Khơng cần xóa tiếp bội số lớn 10 kết luận khơng cịn hợp số Thật vậy, giả sử n hợp số chia hết cho số a lớn 10 n10 nên n phải chia hết cho số b nhỏ 10, n bị xóa Nhà tốn học cổ Hi Lạp Ơratoxten (thế kỉ III trước công nguyên) người đưa cách Ông viết số giấy cỏ sậy căng khung dùi thủng hợp số vật tương tự sàng: hợp số sàng qua, số nguyên tố dược giữ lại Bảng số nguyên tố gọi sàng Ơratoxten Ví dụ: Dùng bảng số nguyên tố nhỏ 100, nêu cách kiểm tra số nhỏ 10000 có số ngun tố khơng ? Xét tốn với số 259, 353 Giải Cho số n < 10000 (n>1) Nếu n chia hết cho số k (1 n 2n - có số nguyên tố Ta có mệnh đề sau: Nếu n >5 n 2n có số nguyên tố Ví dụ Cho số tự nhiên n > Chứng minh số n! - có ước nguyên tố lớn n Giải Gọi a = n! - Do n > nên a > Mọi số tự nhiên lớn có ước ngn tố Gọi p ước nguyên tố a ta chứng minh p > n Thật giả sử tích n chia hết cho p, ta có n! chia hết cho p≤n p, mà a chia hết cho p nên chia hết cho p, vô lí 3) CƠNG THỨC CHO MỘT SỐ NGUN TỐ Ví dụ: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh số nguyên tố m lớn viết dạng 6n + 6n - ( ) n∈ N b) Có phải số có dạng 6n ± ( n∈ N ) số nguyên tố hay không? Giải: a) Mỗi số tự nhiên chia cho có số dư 0, 1, 2, 3, , Do số tự nhiên viết dạng Vì m số nguyên tố lớn nên m không chia 6n − 2, 6n − 1, 6n, 6n + 1, 6n + 2, 6n + hết cho 2, khơng chia hết cho 3, m khơng có dạng 6n − 2, 6n, 6n + 2, 6n + m viết dạng 6n +1 6n - (ví dụ: 17 = - 1, 19 = + 1) b) Khơng phải số có dạng số nguyên tố Chẳng hạn 6n ± 1( n ∈ N ) + 1= 25 không số ngun tố (đpcm) Liệu có cơng thức mà với giá trị tự nhiên chữ cho ta số nguyên tố không ? Cho đên nay, người ta chưa tìm thấy cơng thức Tuy nhiên có số biểu thức mà với nhiều giá trị chữ, biểu thức cho ta số nguyên tố Biểu thức cho ta giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, ,28 2n + 29 Biểu thức n + n + 41 Ơ_le (Euler 1707 - 1783) đưa cho giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, , 39 (cịn n = 40 hết cho 41) Biểu thức n − 79n + 1601 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 chia cho giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, , 79 (còn với n = 80 biểu thức 412) Số Phec-ma Nhà toán học kiêm luật gia Pháp Phec- ma (Pierre de Fermat 1601 - 1665) xét biểu thức m +1 m = 2n với n = 0, 1, 2, 3, cho số nguyên tố + = 3, 2 + = 5, 24 + = 17, 28 + =257, 216 + = 65537 Với n = 5, số 232 + = 4294967297, Phec- ma cho số nguyên tố ông đưa giả thuyết: Biểu thức m + với m lũy thừa cho ta số nguyên tố Ý kiến đứng vững lâu Mãi đến năm 1732, Ơ- le bác bỏ giả thuyết cách số chia hết cho 641 Đây ví 232 + Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com dụ điển hình chứng tỏ phép quy nạp khơng hồn tồn dẫn đến sai lầm Các số có dạng 2m + với m lũy thừa gọi số Phec- ma 4) BIỂU DIỄN MỘT SỐ DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC SỐ NGUN TỐ Năm 1742 nhà tốn học Đức Gơn_bách viết thư báo cho Ơ_le biết ông mạo hiểm đưa toán: số tự nhiên lớn biểu diễn dạng tổng số nguyên tố Ơ_ le trả lời theo ông, số chẵn lớn biểu diễn dạng tổng số nguyên tố Nếu chứng minh hai mệnh đề chứng minh mệnh đề lại Trong 200 năm, nhà tốn học giới khơng giải tốn Gơn bách- Ơ le Đến năm 1937, nhà toán học Liên Xơ Vinơgrađốp giải gần trọn vẹn tốn cách chứng minh rằng: Mọi số lẻ đủ lớn biểu diễn dạng tổng số nguyên tố Cho đến toán Gơnbách- Ơ le chưa chứng minh hồn tồn Ví dụ Cơng nhận mệnh đề nói Ơ le, chứng minh tốn Gơn bách Giải Cho số tự nhiên n > 5, ta chứng minh n viết dạng tổng số nguyên tố Xét hai trường hợp: a) Nếu n chẵn n = + m với m chẵn, m > b) Nếu n lẻ n = + m với m chẵn, m > Theo mệnh đề Ơ le, m chẵn, m > nên m viết dạng tổng số nguyên tố II SỐ NGUYÊN TỐ-HỢP SỐ A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Số nguyên tố số tự nhiên lớn có ước dương Số ngun tố nhỏ 2, số nguyên tố chẵn nhất.Tất số nguyên tố lại số lẻ 2.Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước dương Ước nguyên tố nhỏ hợp số a số khơng vượt q a Phân tích số thừa số nguyên tố viết số dạng tích nhiều thừa số, thừa số số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố Dù phân tích thừa số thừa số nguyên tố cách cuối ta kết Hai hay nhiều số gọi nguyên tố UCLN chúng Hai số tự nhiên liên tiếp hai số nguyên tố Hệ Số a>1 khơng có ước ngun tố từ đến a số nguyên tố a Tập hợp số nguyên tố vô hạn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com B.CÁC DẠNG TỐN Dạng sử dụng tính chất phép chia số nguyên i)Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n ii) Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n ± iii) Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n ± Bài Cho p số nguyên tố số 8p + 8p - số nguyên tố, hỏi số nguyên tố thứ số nguyên tố hay hợp số? Giải Với p = ta có 8p + =25 hợp số, 8p-1 số nguyên tố Với ta có 8p-1,8p,8p+1 số nguyên tố liên tiếp nên có số chia p≠3 hết cho 3.Do p nguyên tố khác nên 8p không chia hết cho 3,do 8p-1 8p+1 có số chia hết cho Vậy số thứ hợp số Bài Hai số (n > 2) đồng thời số nguyên tố 2n − 2n + không? Tại sao? Giải Trong số nguyên liên tiếp không chia hết cho 3, Vậy n − 1, 2n + n − 1, n , n + 2n − có số chia hết cho 3, 2n + 2n có số chia hết cho lớn không đồng thời số nguyên tố Bài Chứng minh p p+2 hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12 Giải Ta có: p + (p + 2) = 2(p + 1) p số nguyên tố lớn nên p số nguyên tố lẻ suy ra: p + 1M2 ⇒ 2( p + 1)M4 * p, p+1, p+2 số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p p+2 không chia hết cho nên: ** p + 1M3 ⇒ 2( p + 1)M3 Từ * và** suy ra: 2( p + 1) M 12 (đpcm) Bài Tìm số nguyên tố p cho p+10 p+14 số nguyên tố Giải Với p = p+3=13 p+14=17 số nguyên tố Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com Với p > Nếu Nếu p = 3k + p = 3k − Vậy với p=3 p = 3k ± thì p + 14 = 3k + 15M3 p + 10 = 3k + 9M3 p + 10 ; ; số nguyên tố p + 14 Bài a) Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố b) Tìm số nguyên tố p cho p vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Giải a) Trong số lẻ liên tiếp có số chia hết cho Vậy số nguyên tố cho phải có số chia hết cho số nguyên tố lẻ liên tiếp 3, 5, b) giả sử với số nguyên tố Vì p = p1 + p2 = p3 + p4 p1 , p2 , p3 , p4 p1 , p2 số nguyên tố nên hai số p3 , p4 p>2 , suy p lẻ Trong hai số phải có số chẵn, phải có số chẵn Chẳng hạn p = p1 + = p3 − ⇒ p4 + = p3 nên theo câu a) p1 , p2 p1 = Ta có từ p=5 p1 , p1 + 2, p1 + Thử lại: Bài Tìm số tự nhiên k để dãy: p2 = p4 = Khi đó: số nguyên tố lẻ liên tiếp = 3+ = − k + 1, k + 2, k + 3, , k + 10 chứa nhiều số nguyên tố Với k=0 ta có dãy 1, 2,3, ,10 Giải chứa số nguyên tố 2, 3, 5, Với k =1 ta có dãy 2, 3, 4, , 11 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11 Với k=2 ta có dãy 3, 4, 5, , 12 chứa số nguyên tố 3, 5, 7, 11 Với dãy chứa số lẻ liên tiếp, số lẻ lớn k + 1, k + 2, k + 3, , k + 10 k ≥3 nên chia có số chia hết cho 3, mà số chẵn dãy hiển nhiên không số nguyên tố Vậy dãy số nguyên tố Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com Tóm lại k=1 dãy k + 1, k + 2, , k + 10 chứa nhiều số nguyên tố Bài Ta gọi p,q hai số tự nhiên liên tiếp, p q số ngun tố khác Tìm số ngun tố liên tiếp p, q, r cho số 2 p +q +r nguyên tố Giải Nếu số nguyên tố p, q, r khác p, q, r có dạng 3k ± suy chia cho dư Khi nên 2 2 2 p ,q ,r p +q +r M p +q +r >3 p2 + q2 + r 2 2 hợp số Vậy p=3, q=5, r=7, p + q + r = 32 + 52 + = 83 Bài Tìm số nguyên tố cho pq + q p = r số nguyên tố Giải Giả sử có số nguyên tố p, q, r cho pq + q p = r Khi r >3 nên r số lẻ, suy p, q khơng tính chẵn lẻ Giả sử p=2 q số lẻ Khi ta có Nếu q khơng chia hết cho (mod 3) Mặt khác q lẻ nên 2q + q = r q2 ≡ q ≡ −1 (mod 3), từ suy 2q + q M3 ⇒ r M , vơ lí Vậy q=3, lúc r = 23 + 32 = 17 số nguyên tố Vậy p = 2, q = 3, r = 17 p = 3, q = 2, r = 17 Bài a) Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Khi chia cho 30 kết sao? b) Chứng minh tổng n lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên tố (n,30)=1 Giải a) Giả sử p số nguyên tố với Nếu r hợp số r p = 30k + r < r < 30 có ước nguyên tố q ≤ 30 ⇒ q = 2;3;5 Nhưng với q =2; 3; q chia hết cho 2; 3; 5, vơ lí.Vậy r = r số nguyên tố Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com Khi chia cho 60 kết khơng cịn nữa, chẳng hạn p= 109= 60.1+ 49, 49 hợp số b) Số nguyên tố p chia cho 30 dư 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Với r=1, 11, 19, 29 (mod 30) p2 ≡ Với r =7, 13, 17, 23 Suy Giả sử Khi p4 ≡ p ≡ 19 (mod 30) (mod 30) p1, p2 , pn số nguyên tố lớn q = p14 + p2 + + pn ≡ n(mod 30) ⇒ q = 30k + n số nguyên tố nên (n,30)=1 Bài 10 Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho Giải Vì a, b, c có vai trị nên giả sử Khi có a≤b≤c ab + bc + ca ≤ 3bc ⇒ abc < 3bc ⇒ a < ⇒ a = Nếu b=3 4c < + 4c (vì a số nguyên tố) Với a =2 ta 2bc < 2b + 2c + bc ⇒ bc < 2(b + c) ≤ 4c ⇒ b < ⇒ b = Nếu b=2 abc < ab + bc + ca b=3 thõa với c số nguyên tố 6c < + 5c ⇒ c < ⇒ c = c=5 Vậy cặp số (a, b, c) cần tìm (2, 2, p), (2, 3, 3), (2, 3, 5) hoán vị chúng, với p số nguyên tố Bài 11 Cho dãy số nguyên dương xác định sau: a1 , a2 , , an , ước nguyên tố lớn với n≥2 a1 = an a1a2 a3 an −1 + Chứng minh ak ≠ với k Giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com Ta có a1 = 2, a2 = số thể xảy Mà , giả sử với A = 2.3.a3 an −1 + với A = 5m A − = 2.3.a3 an −1 m≥2 n≥3 mà có số ước nguyên tố lớn A khơng thể chia hết cho 2, cho Vậy có , suy A − = 5m − 1M4 không chia hết cho ước nguyên tố 5, tức Bài 12 Tìm tất số nguyên tố p để a3, an −1 số lẻ, vơ lí Vậy A , ak ≠ ∀k ∈ N * p + p2 số nguyên tố Giải Với p=2 ta có Với p=3 ta có p + p = 22 + 22 = p + p = +32 = 17 Với p>3 ta có p − 1M3 p + 1M3 số nguyên tố p + p = ( p − 1) + (2 p + 1) , Vậy, với p=3 không số nguyên tố p + p2 p + p2 Vì p lẻ p khơng chia hết hợp số số nguyên tố Dạng áp dụng định lí fermat p số nguyên tố (a,p)=1 (mod p) a p −1 ≡ Bài Nhà toán học Pháp Fermat đưa công thức 22 n + để tìm số nguyên tố với n tự nhiên Hãy tính giá trị cơng thức n=4 Với giá trị chứng tỏ ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu cuối tổng chữ số lại b) Tổng bình phương chữ số số phương c) Hiệu tổng bình phương hai chữ số đầu cuối với tổng bình phương chữ số lại tổng chữ số số Giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com Ta thay n= vào công thức Fermat được: số nguyên tố 2 + = 65537 2.Số ngun tố 65537 có ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu cuối 6+7=13 tỏng ba chữ số cịn lại 5+5+3=13 b) Tổng bình phương chữ số số 62 + 52 + 52 + 32 + = 36 + 25 + 25 + + 49 = 144 phương 144 = 12 c) Tổng bình phương hai chữ số đầu cuối bình phương ba chữ số cịn lại là + + + + = 26 Ta nhận thấy + = 36 + 49 = 85 2 52 + 52 + 32 = 25 + 25 + = 59 Tổng Tổng chữ số 85 − 59 = 26 Hiệu tổng chữ số số nguyên tố 65537 Bài Cho , chứng minh rằng: hợp số * 210 n+1 34 n+1 24 n+1 n∈ N + 19 +3 +5 Giải Ta chứng minh 10 n+1 22 Ta có: + 19M23 với n ≥1 210 ≡ 1(mod1) ⇒ 210 n +1 ≡ 2(mod 22) ⇒ 210 n +1 = 22k + 2, ( k ∈ N ) Theo định lý Fermat: ≡ 1(mod 23) ⇒ 22 Mặt khác: 210 n+1 210 n+1 =2 22 k + nên + 19 > 23 Ta chứng minh: 34 n+1 ≡ 4(mod 23) ⇒ 2 24 n +1 +3 210 n+1 + 5M 11 Bài Tìm số nguyên tố p cho + 19 210 n+1 + 19 M23 hợp số với với 2p +1 n ≥1 n∈ N * chia hết cho p Giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com Số p4 số có chữ số p = Vậy số phải tìm 54 = 625 Bài Tìm số nguyên tố biết ba số hiệu lập phương hai số Giải Gọi ba số nguyên tố a, b, c Ta có chẳng hạn Thế 3 c = a −b c = (a − b)(a + ab + b ) Muốn c số nguyên tố a - b = 1, điều xảy số nguyên tố a = 3, b = Suy ra: c = 27 - = 19 Vậy ba số nguyên phải tìm 2; 3; 19 Bài Xét dãy số nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ta lập hai dãy số = + 3; = + 5; 12 = + 7; 18 = + 11; 24 = 11 + 13; = 2.3; 15 = 3.5; 35 = 5.7; 77 = 7.11; 143 = 11.13; Có hay khơng số hạng dãy thứ số hạng dãy thứ hai Giải Trước hết ta nhận xét rằng: Ở dãy thứ số hạng theo thứ tự tổng hai số nguyên tố liền tất số hạng dãy (trừ số hạng đầu 5) chẵn Ở dãy thứ hai số hạng theo thứ tự tích hai số nguyên tố liền tất số hạng dãy (trừ số hạng đầu 6) lẻ Do ta kết luận rằng: khơng có số hạng dãy thứ số hạng dãy thứ hai Bài Tìm số nguyên tố p biết p + p +4 số ngun tố Giải Do khơng phải số nguyên tố, nên p có dạng p = 3k p ≠1 Nếu p = 3k + p + = 3k + hợp số Nếu p = 3k + p + = 3k + hợp số Do p p + = + =5 số nguyên tố, p + =3 +4 =7 số nguyên tố Bài Có số có ba chữ số mà chữ số ước nguyên tố chúng? Giải Các ước nguyên tố có chữ số là: 2; 3; Nếu số phải tìm bắt đầu chữ số phải chia hết cho tận 2.Chữ số thứ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com hai phải 2, số 232 khơng chia hết cho 3, số 252 không chia hết cho số 272 không chia hết cho Vậy số phải tìm 222 Tương tự số phải tìm mà bắt đầu chữ số số 555 Bây bắt đầu hai chữ số cuối phải tạo thành số chia hết cho 3, chúng và Thử lại thấy có số 333 thích hợp Cuối bắt đầu hai chữ số cuối phải tạo thành số chia hết cho Thử lại thấy có hai số 777 735 thích hợp Tóm lại có số thỏa mãn là: 222; 333; 555; 735; 777 Bài Một xí nghiệp điện tử ngày giao cho cửa hàng số máy tivi Số máy số có ba chữ số mà tăng chữ số đầu lên n lần, giảm chữ số thứ hai thứ ba n lần số lớn gấp n lần số máy giao Tìm n số máy tivi giao Giải Giả sử số máy tivi giao Ta có: abc = 100a + 10b + c 100( a + n) + 10(b − n) + (c − n) = n(100a + 10b + c) hay 100a + 100n + 10b − 10n + c − n = 100an + 10bn + cn Từ ta được: 89n 100a + 10b + c = n −1 Nhưng 89 số nguyên tố nên n - phải n phải chia hết cho n-1 Trong hai trường hợp ta tìm n =2 abc = 178 Vậy số máy tivi giao 178 Bài 10 Những số nguyên tố ước số có dạng 111 11? Giải Trước hết ta nhận xét số có dạng 111 11 khơng chia hết cho số nguyên tố Giả sử p số nguyên tố khác Ta xét p + số sau: 1, 11, 111, 1111, ,111 11 hai số chia cho p có số dư giống nhau, hiệu chúng 11 1100 chia hết cho p số có dạng 111 11 có ước tất số nguyên tố trừ hai số nguyên tố Dạng Các toán hai số nguyên tố Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com Hai số nguyên tố hai số có ước chung lớn Nói cách khác chúng có ước chung Bài Chứng minh rằng: a)Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) hai số nguyên tố b) Hai số lẻ liên tiếp hai số nguyên tố c) 2n + 3n + ( ) hai số nhuyên tố n∈ N Giải a)Gọi d ∈ uc(n, n + 1) ⇒ (n + 1) − n Md ⇒ 1Md ⇒ d = Vậy n n + hai số nguyên tố b) Gọi Nhưng d ≠ d ∈ uc (2n + 1, 2n + 3) ⇒ (2n + 3) − (2n + 1)Md ⇒ 2Md ⇒ d ∈ { 1, 2} d ước số lẻ Vậy d=1 c) Gọi ƯC d∈ (2n + 1,3n + 1) ⇒ 3(2 n + 1) − 2(3n + 1) Md ⇒ 1Md ⇒ 1Md Bài Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố a) a a+b b) a2 a+b c) ab a+b Giải a) Gọi ƯC Ta lại có nên ƯC , ( a, b ) d∈ d∈ a Md ( a, a + b) ⇒ ( a + b) − a Md ⇒ b Md d = 1(vì a, b hai số nguyên tố nhau) Vậy (a, a + b) = b) Giả sử a2 a + b chia hết cho số nguyên tố d a chia hết cho d, b chia hết cho d Như a b chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết (a, b) = Vậy a2 a + b hai số nguyên tố c) Giả sử ab a + b chia hết cho số nguyên tố d Tồn hai thừa số a b, chẳng hạn a, chia hết cho d, b chia hết cho d, trái với (a, b) = Vậy (ab, a + b) = Bài Tìm số tự nhiên n để số 9n + 24 3n + số nguyên tố Giải Giả sử 9n + 24 3n + chia hết cho số nguyên tố d Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com 9n + 24 − 3(3n + 4)Md ⇒ 12Md ⇒ d ∈ { 2;3} Điều kiện để (9n + 24, 3n + 4) = 3n + không chia hết cho Muốn d ≠2 d ≠2 d ≠3 Hiển nhiên d ≠3 phải có hai số 9n + 3n + không chia hết cho Ta thấy: 9n + số lẻ 9n lẻ n lẻ, ⇔ 3n + số lẻ ⇔ ⇔ 3n lẻ ⇔ n lẻ Vậy điều kiện để (9n + 4, 3n + 4) = n số lẻ Phần tập tự luyện Dạng 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + p + 10 b) p + 10 p + 20 c) p +2, p + 6, p +8, p + 12, p + 14 Chứng minh n n + số nguyên tố n3 + số nguyên tố Chứng minh a, a + k, a + 2k ( a, k ∈ N * ) số nguyên tố lớn k chia hết cho Chứng minh p số nguyên tố lớn (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24 Một số nguyên tố p chia cho 42 có dư hợp số r Tìm r Một số nguyên tố p chia cho 30 có số dư r Tìm r biết r khơng số ngun tố Chứng minh số hợp số với n ≥ 11 1211 { { n n Tìm n số cho 10101 0101 (n chữ số n + chữ số xen kẽ nhau) số nguyên tố Các số sau số nguyên tố hay hợp số a) A = 11 1(2001 chữ số 1); b) B = 11 (2000 chữ số 1); c) C = 1010101; d) D = 1112111; e) E = 1! + 2! + 3! + +100!; g) G = - 28; Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com h) H= 311141111 Dạng 10 Cho ,chứng minh số sau hợp số: n∈ N * a) A = 22 n+1 b) B = c) C = +3 24 n+1 26 n+2 +7 ; ; + 13 11 p số nguyên tố lớn 5, chứng minh 12 Chứng minh dãy an = 10n + p4 ≡ (mod 240) có vơ số hợp số 13 Chứng minh với số nguyên tố p có vơ số dạng cho p Dạng 14 Tìm n∈ N * 15 Tìm số để n3 − n2 + n − x, y ∈ N * n∈ N * cho , chứng minh chia hết số nguyên tố x4 + y số nguyên tố 16 Tìm tất số nguyên tố p có dạng 17 Cho 2n − n A=n +4 n Dạng 18 Giải phương trình nghiệm nguyên n(n + 1)(n + 2) +1 ( n ≥1 ) hợp số với n>1 4( a − x)( x − b) + b − a = y (1) a, b số nguyên cho trước a > b 19 Giải phương trình nghiệm nguyên sau: a) x + y = 585 b) x + y = 1210 2 Dạng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com 19 Chứng minh với số tự nhiên n, số sau hai số nguyên tố nhau: a) 7n + 10 5n + ; b) 2n + 4n + 20 Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh số sau hai số nguyên tố nhau: a) b a - b (a > b) ; b) a2 + b2 ab 21 Chứng minh số c nguyên tố với a với b c ngun tố với tích ab 22 Tìm số tự nhiên n, cho: a) 4n - chia hết cho 13 ; b) 5n + chia hết cho ; c) 25n + chia hết cho 53 23 Tìm số tự nhiên n để số sau nguyên tố nhau: a) 4n + 2n + ; b) 7n + 13 2n + ; c) 9n + 24 3n + ; d) 18n + 21n + 24 Chứng minh có vơ số số tự nhiên n để n + 15 n + 72 hai số nguyên tố 25 a) Viết số 7, 8, 9, 10 thành tổng hai số nguyên tố lớn b) Chứng minh với số tự nhiên n lớn biểu diễn dạng tổng hai số nguyên tố lớn Bài tập đề thi học sính giỏi 7p+q pq + 11 p, q 26 Tìm tất số nguyên tố cho số nguyên tố 27 Biết abcd nguyên tố có bốn chữ số thỏa mãn b = cd + b − c abcd nguyên tố Hãy tìm 28 Giả sử nguyên tố p p2 + ab; cd số nguyên tố Chứng tỏ số p3 + p2 + số 29 Tìm hai số nguyên tố x, y thỏa mãn x − y = 45 30 Chứng minh hai số 2n + 10n + hai số nguyên tố với số tự nhiên n 2 2 * 31 Cho số tự nhiên thỏa mãn đẳng thức a + b = c + d Chứng minh số hợp số 2 32 Cho số nguyên tố p > Hỏi p + 2018 số nguyên tố hay hợp số Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com 33 Tìm số ngun tố p cho số sau số nguyên tố: p + 14; p + 40 ( p > 3) Chứng minh p + 14 hợp 34 Cho p p + số nguyên tố số 35 Tìm số nguyên tố x y để P = xy + x − y − 10 số nguyên tố 36 Chứng tỏ với số tự nhiên n 3n + 5n + hai số nguyên tố 37 Tìm số nguyên tố 38.Tìm số nguyên tố p cho x, y biết p − 1; p + số nguyên tố 19 x + 57 = y HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1 a) b) Đáp số: p = Xét p dạng: p = 3k, p = 3k + 1, p = 3k + (k N) ∈ c) Đáp số: p = Xét p dạng : p = 5k, p = 5k + 1, p = 5k + 2, p = 5k + 3, p = 5k + (k N) ∈ n = 3 Số nguyên tố lớn có dạng 6n +1, 6n + Do số a, a + k, a + 2k phải có số có dạng, hiệu k 2k chia hết cho 6, suy k chia hết cho Ta có mà (p,3) = nên ( p − 1) p ( p + 1) M3 ( p − 1)( p + 1)M3 (1) p số nguyên tố lớn nên p số lẻ, p - p + hai số chẵn liên tiếp Trong hai số chẵn liên tiếp, có số bội nên tích chúng chia hết cho (2) Từ (1) (2) suy (p -1)(p + 1) chia hết cho hai số nguyên tố Vậy (p - 1)(p + 1) 24 M Ta có p = 42k + r = 7k + r (k, r ∈ N, < r < 42) Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2, 3, Các hợp số nhỏ 42 không chia hết cho 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39 Loại số chia hết cho 3, cho 7, 25 Vậy r = 25 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com Ta có p = 30k + r = 5k + r (k,r ∈ N,0 < r < 30) Vì p số nguyên tố nên p không chia hết cho 2, 3, Các hợp số nhỏ 30 không chia hết cho 9, 15, 21, 25, 27 Loại số chia hết cho 3, khơng cịn số Vậy r hợp số r hợp số số nguyên tố, suy r =1 n 11 1211 = 11 10 + 11 = 11 1(10 + 1) { { { { { { n n +1 n n +1 n n +1 suy đpcm p = 1010 101 = (10 n +1 − 1)(10 9.11 n +1 + 1) n =1: p = 101 số nguyên tố n > 1: p hợp số 9.Tất hợp số a) A = 11 = + + + M { 43 2001 b) 2001 B = 11 11 { M 2000 c) d) e) C = 1010101M 101 D = 1112111 = 1111000 + 1111M 1111 EM 1!+ 2! = 3M , cịn 3!+ 4!+ + 100! chia hết cho g) G = - 28 chia hết cho h) H = 311141111 = 311110000 + 31111 chia hết cho 31111 Dạng 10 Chứng minh AM7; B M 11; C M29 11 240 = 24 12 n = 6k + 4, k N ∈ 13 p = lấy n chẵn; p > lấy n = (pk - 1)(p -1), k N* ∈ Dạng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com 14 15 n − n + n − = ( n − 1)(n + 1) 2 , n =2 x + y = ( x + x y + y ) − x y = ( x + y ) − (2 xy) = ( x − xy + y )( x + xy + y ) x = y =1 16 p= Với x4 + y = số nguyên tố n(n + 1)( n + 2) (n + 3)(n + 2) +1 = 6 n≥4 n +3 >6 n2 + > 17 n + n2 +2 số chẵn, số chia hết cho 3; hai số chia hết cho 6, p hợp số với n = 1, 2, p = 2, 5, 11 số nguyên tố 17 n chẵn A chia hết cho n lẻ, đặt n = 2k +1 (k N*), ta có: ∈ n + 4n = n + 42 k +1 = (n + 22 k +1 )2 − 2.n 22 k +1 = (n + 22 k +1 − n.2k +1 )(n + 22 k +1 + n.2 k +1 ) =  (n − k ) + 22 k  ( n + 2k ) + 2 k  Dạng 18 Giả sử phương trình (1) có nghiệm x,y ngun Xét nghiệm y nguyên dương Vì a > b nên từ (1) có , suy b < x a − x = m, x − b = n m, n dương Lúc (1) trở thành y nguyên dương Biến đổi (2) ⇔ ( 4m − 1) ( 4n − 1) = y + 4mn − m − n = y (2) với m, n, (3) Vì tích số dạng 4k + lại có dạng nên số 4m - phảI có ước nguyên tố dạng p = 4k + Từ (3) có hay (mod p) (4) Suy (y, p) = 2 y ≡ −1 y + Mp ( ) Theo định lí nhỏ Fermat ( 2y) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word p −1 ≡ 1(mod p ) ⇒ ( y )    toán zalo: p −1 ≡ 1(mod p) TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com Từ (4) có ( −1) p −1 mâu thuẫn ≡ 1(mod p ) ⇒ ( −1) k +1 ≡ 1(mod p ) ⇒ Vậy phương trình (3) khơng có nghiệm nguyên Dạng 20 a) Gọi ƯC d∈ ( 7n + 10,5n + ) ( n + 10 ) − 7(5n + 7) Md ⇒ 1Md ⇒ d = b) Gọi d ƯCLN (2n + 3, 4n + 8) (4n + 8) - 2(2n + 3) d M ⇒ 2Md Do d ước số lẻ 2n + nên d = 21 a) Gọi d ƯC , Ta có ∈ a Md a − b Md , bMd ( b, a − b ) ( a, b ) = nên d = b) Giả sử a2 + b2 ab chia hết cho cho số ngun tố d vơ lí 21 Giả sử ab c chia hết cho số nguyên tố d vơ lí 22.a) n − 5M 13 ⇒ 4n − + 13M 13 ⇒ n + 8M 13 ⇒ ( n + 2) M 13 Do (4, 13) = nên n + 13 M Đáp số: n = 13k - (k ∈N* ) b) Đáp số: n = 7k - (k N) ∈ c) 25n + 3M53 ⇒ 25n + − 53M 53 Đáp số: n = 53k + (k ∈ N) 23 a) n không chia hết cho b) n số chẵn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com c) n số lẻ d) Giả sử 18n + 21n + chia hết cho số nguyên tố d ( 21n + ) − ( 18n + ) Md ⇒ 21Md Vậy d ∈ { 3;7} Hiển nhiên 21n + khơng chia hết cho Như (18n +3, 21n + 7) d ≠3 ⇔ 18n + 3M7 Vậy n (còn 21n + chia hết cho 7) ≠ k + 1( k ∈ N ) ( 18n + 3, 21n + ) = ≠ ⇔ 18n + − 21M7 ⇔ 18 ( n − 1) M7 ⇔ n − 1M7 24 Bài toán khơng u cầu tính giá trị n mà cần vô số giá trị n để Do ngồi cách giải giải sau: ( n + 15, n + 72 ) = Gọi d ƯC Do nên tồn n cho n + ∈ 57 M d n + 15 M d ,57 M d n + 15, n + 72 ( ) 15 = 57k + d = Nếu ta chọn n = 57k - 14 (n + 15, n + 72) = 1, rõ ràng có vơ số giá trị n Bài tập đề thi học sinh giỏi 26 Ta có: p, q ⇒ pq + 11 Do số nguyên tố nên số lẻ suy 7p+q pq pq + 11 (k = 1, 2, 3, ….) số nguyên tố lớn 11 số chẵn số nguyên tố lớn nên p q khơng thể tính chẵn lẻ *) TH1: +) Nếu p = 2  q p + q = 14 + q chia hết cho 3, p + q = 17 Liên hệ tài 039.373.2038 ; pq + 11 = 17 liệu word Ta thấy 14 chia dư q số nguyên tố nên q=3 (T/m) tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com +) Nếu +) Nếu q q chia cho dư chia cho dư ⇒ pq + 11 hết cho *) TH2: +) Nếu q=2 7p +) Nếu 27 Vì ab; cd 7p Nếu Nếu ⇒ 7p+2 hợp số chia cho dư p chia cho dư nên 2p chia cho dư chia hết p = 3, q = số nguyên tố nên Nếu chia (Thỏa mãn) chia cho dư chia hết cho p = 2, q = Nếu pq + 11 = 2q + 11 chia hết cho p chia hết 7p Ta lại có chia cho dư nên hợp số 7p+q = 7p+2 ⇒ pq + 11 = p + 11 Vậy: q chia hết cho ⇒ 7p+q hợp số p = 3  ⇒ p + q = 23; pq + 11 = 17 +) Nếu 14 + q b, d pq + 11 hợp số lẻ khác b = cd + b − c ⇔ b − b = 9c + d ⇔ b ( b − 1) = 9c + d b =1 b=3 (không thỏa mãn) nên 9c + d = ⇒ c = 0, d = (không thỏa mãn) b = ⇒ 9c + d = 42 ⇒ d = 42 − 9c ⇒ c = 4;d = b = ⇒ 9c + d = 72 ⇔ d = 72 − 9c ⇒ c = 7; d = (loại) (thỏa mãn) ⇒ a ∈ { 1; 2;7} Vậy Liên hệ tài 039.373.2038 abcd ∈ { 1979; 2979; 7979} liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com 28 +) Với p=2 +) Với +) Với p2 + = p=3 khơng số nguyên tố p + = 11 p3 + p + = 37 p > ⇒ p = 3k ± ( k ∈ ¥ , k ≥ ) số nguyên tố ⇒ p + = ( 3k ± 1) + = 9k ± 6k + = ( 3k ± 2k + 1) M3 Vậy có p=3 p +2 p + p +1 nên p2 + hợp số số nguyên tố 2 29 Ta có: x = 45 + y Ta thấy x > 45 x số nguyên tố nên x phải số nguyên tố lẻ Suy x số lẻ Từ suy y số chẵn, mà y số nguyên tố Suy y = ; x = 30 Đặt Vậy x = y = thỏa mãn yêu cầu toán d = UCLN ( 2n + 1,10n + ) 2n + 1) Md Suy 2n + 1Md Vì ( 10n + − ( 2n + 1) Md Mà 10n + 7Md nên ⇒ 2Md Do d = d = Nếu d = 2n + 1M2 (vơ lý) ⇒ d = 1 = UCLN ( 2n + 1,10n + ) Vậy 2n + 10n + hai số nguyên tố 31 Ta có a + c = b2 + d ⇒ a + b + c + d = 2(b + d ) số chẵn ⇒ a + b + c + d M2 + Xét ⇒ a + b + c + d − (a + b + c + d ) = a(a − 1) + b(b− 1) + c(c− 1) + d(d − 1) -Vì số nguyên dương nên số tự nhiên liên tiếp Tương tự chia hết cho ⇒ a(a − 1) + b(b − 1) + c(c − 1) + d(d − 1) M2 ⇒ a + b + c + d − ( a + b + c + d )M2 2 2 Mà a + b + c + d M2 ⇒ (a + b + c + d )M2 * => số chẵn mà a + b + c + d < 2( doa, b, c, d ∈ N ) hợp số Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com 32 Vì p số nguyên tố lớn nên p chia cho dư ⇒ p = 3k + Ta có: p + 2018 = 3k + + 2018 = 3k + 2019 ⇒ 3k + 2019 ) M3 ⇒ ( p + 2018 ) M3 Vì 3k M3 2019M3 ( 33 tố Vậy p + 2018 hợp số + Nếu p = p + 14 = 16 p + 40 = 42 số nguyên + Nếu p = p + 14 = 17 p + 40 = 43 số nguyên tố suy p = giá trị cần tìm + Nếu p ≠ suy p có dạng 3k + dạng 3k − p + 14 = 3k + + 14 = 3k + 15 = ( k + ) M5 p = 3k + Với p + 40 = 3k − + 40 = 3k + 39 = ( k + 13 ) M3 Với p = 3k − Vậy p ≠ p + 14 p + 40 hợp số suy không thỏa mãn Do đó: giá trị cần tìm p = 34 Vì p số nguyên tố p > nên p có dạng 3k + 3k + Mà p + số ngun tố nên p khơng thể có dạng 3k + Suy p có dạng 3k + ⇒ p + 14 = 3k + 15 = ( k + ) M3 ⇒ p + 14 hợp số P = xy + x − y − 10 = x ( y + 5) − ( y + ) = ( x − ) ( y + 5) 35 Ta có Bới để P số nguyên tố hai giá trị x − y + 5 phải mà y + ≥ nên x − = ⇔ x = từ P = y + Nếu y lẻ P chẵn, điều vơ lí ⇒ y phải chẵn mà y số nguyên tố ⇒ y = Vậy x = 3; y = 36 Đặt: ƯCLN( 3n + , 5n + ) = d ⇒ ( 3n + ) Md ; ( 5n + 3) Md ⇒ 5 ( 3n + ) − ( 5n + 3)  Md 1Md ⇒ d = Vậy với số tự nhiên n 3n + 5n + hai số nguyên tố p = 2 p − = 2.2 − = p + = 22 + = 37 Xét , (là số nguyên tố) (là hợp số) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 220 Website:tailieumontoan.com p=2 Vậy khơng thỏa mãn p=3 Xét , khi p + = 32 + = 11 p=3 Vậy p Xét p − = 2.3 − = (là số nguyên tố) (là số nguyên tố) giá trị cần tìm số nguyên tố lớn ⇒p có hai dạng p = 3k + 1; p = 3k + ( k ∈ ¥ , k ≥ 1) Nếu p = 3k + p + = ( 3k + 1) + = ( 3k + 1) ( 3k + 1) + = 9k + 3k + 3k + + 2 = ( 9k + 6k + 3) M p > ⇒ p2 + > Do p = 3k + Nếu p=3 Vậy mà p − 1M3 ⇒ p − x = hợp số (loại) giá trị cần tìm 38 TH1: x số nguyên tố chẵn Thay hợp số (loại) p − = ( 3k + ) − = 6k + − = 6k + 3M3 p > ⇒ p −1 > Do mà p + 2M3 ⇒ p + ⇒ x = vào (1) 19.2 + 572 = y ta có: 2 ⇒ y = 361 = 19 ⇒ y = 19 TH2: ⇒  y x (thỏa mãn số nguyên tố) số nguyên tố lẻ => số chẵn 19 x + 57 > Vậy chẵn ⇒ mà lẻ y ⇒ 19 x + 57 chẵn số ngun tố ⇒ y=2 (vơ lí ) x = 2; y = 19 Liên hệ tài 039.373.2038 ⇒ y 19x liệu giá trị cần tìm word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Bài Cho p số nguyên tố số 8p + 8p - số nguyên tố, hỏi số nguyên tố thứ số nguyên tố hay hợp số? Giải Với p = ta có 8p + =25 hợp số, cịn 8p-1 số ngun tố Với ta có 8p-1,8p,8p+1 số nguyên tố liên tiếp... 21n + không chia hết cho Như (18n +3, 21n + 7) d ≠3 ⇔ 18n + 3M7 Vậy n (cịn 21n + ln chia hết cho 7) ≠ k + 1( k ∈ N ) ( 18n + 3, 21n + ) = ≠ ⇔ 18n + − 21M7 ⇔ 18 ( n − 1) M7 ⇔ n − 1M7 24 Bài... 10bn + cn Từ ta được: 89 n 100a + 10b + c = n −1 Nhưng 89 số nguyên tố nên n - phải n phải chia hết cho n-1 Trong hai trường hợp ta tìm n =2 abc = 1 78 Vậy số máy tivi giao 1 78 Bài 10 Những số nguyên