Chuyên đề 8 hình phụ để giải toán trong chương tứ giác

Chun đề HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TỐN TRONG CHƯƠNG TỨ GIÁC A Kiến thức cần nhớ Nhiều toán chương tứ giác cần phải vẽ hình phụ giải Vẽ hình phụ để tạo thêm liên kết giả thiết kết luận từ dễ tìm cách giải Một số cách vẽ hình phụ thường dùng chương là: Nếu đề có hình thang từ đỉnh vẽ thêm đường thẳng: - song song với cạnh bên; - song song với đường chéo; - vng góc với đáy Khi vẽ vậy, đoạn thẳng dời song song với từ vị trí đến vị trí khác thuận lợi việc liên kết với yếu tố khác, từ giải tốn Vẽ thêm hình bình hành để chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh quan hệ độ dài, chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng, tính số đo góc, Vẽ thêm trung điểm đoạn thẳng để vận dụng định lý đường trung bình tam giác, hình thang, định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng Cũng vẽ thêm đường thẳng song song để tạo đường trung bình tam giác, hình thang Dùng định lý đường trung bình chứng minh quan hệ song song, thẳng hàng, quan hệ độ dài, Vẽ điểm đối xứng với điểm cho trước qua đường thẳng qua điểm Nhờ cách vẽ ta dời đoạn thẳng, góc từ vị trí sang vị trí khác thuận lợi cho việc chứng minh B Một số ví dụ Ví dụ Chứng minh hình thang tổng hai cạnh bên lớn hiệu hai cạnh đáy Giải (h.8.1) * Tìm cách giải Xét hình thang ABCD (AB // CD), ta phải chứng minh AD + BC > CD - AB Điều phải chứng minh gần với bất đẳng thức tam giác Điều gợi ý cho ta vẽ hình phụ để có AD + BC tổng độ dài hai cạnh tam giác * Trình bày lời giải Vẽ BM / / AD  M  CD  ta DM  AB BM  AD Xét BMC có BM  BC  MC  AD  BC  DC  DM hay AD  BC  CD  AB (đpcm) Trang Trường hợp hai cạnh bên song song hai đáy nhau, tốn hiển nhiên Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo vng góc với Biết AB = 5cm, CD = 12cm AC = 15cm Tính độ dài BD Giải (h.8.2) * Tìm cách giải Ba đoạn thẳng AB, AC CD biết độ dài ba đoạn thẳng ba cạnh tam giác nên không tiện sử dụng Ta dời song song đường chéo AC đến vị trí BE tam giác BDE vng B biết độ dài hai cạnh, dễ dàng tính độ dài cạnh thứ ba BD * Trình bày lời giải Vẽ BE / / AC  E  tia DC  Khi đó: BE = AC = 15cm; CE = AB = 5cm Ta có: BE  BD (vì AC  BD ) Xét ∆BDE vng B có BD  17  152 =8 (cm)  90O Biết AB = 3cm; BC 2 cm Ví dụ Hình thang ABCD có A D  3C  CD = 5cm Chứng minh B Giải (h.8.3) * Tìm cách giải Nếu dời song song đoạn thẳng AD tới vị trí BH ∆BHC vng H Ta dễ dàng tính HC = HB, tính góc C, góc B * Trình bày lời giải Vẽ BH  CD  H  CD  BH // AD, DH = AB = 3cm suy ra: HC = - = (cm) Xét ∆BHC vuông H, áp dụng định lý Py-ta-go, ta có: HB  BC  HC   2   22 2 (cm)  45O ABC 135O suy ABC 3C  Vậy ∆HBC vng cân  C Ví dụ Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt O Cho biết AOB 60o AC = BD = a Chứng minh AB  CD a Giải (h.8.4) * Tìm cách giải Từ điều phải chứng minh ta thấy cần vận dụng bất đẳng thức tam giác Do cần vẽ hình phụ để tạo tam giác có hai cạnh AB, CD cạnh thứ ba đường chéo AC Trang Nếu vẽ thêm hình bình hành ABEC yêu cầu thoả mãn * Trình bày lời giải Vẽ hình bình hành ABEC, ta BE // AC ˆ 60o ˆ  AOB suy DBE BE = AC = a; AB = CE Tam giác BDE tam giác  DE a Xét ba điểm C, D, E ta có: CE  CD DE hay AB  CD a (dấu “=” xảy điểm C nằm D E hay DC // AB Khi tứ giác ABCD hình thang cân) Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ AH  BD Gọi K M trung điểm BH CD Tính số đo góc AKM Giải (h.8.5) * Tìm cách giải Bài tốn có cho hai trung điểm K M chưa thể vận dụng trực tiếp Ta vẽ thêm trung điểm N AB để vận dụng định lý đường trung bình hình chữ nhật, đường trung bình tam giác * Trình bày lời giải Gọi N trung điểm cửa AB MN đường trung bình hình chữ nhật ABCD  MN / / AD Mặt khác, AN // DM nên tứ giác ANMD hình  90o nên hình chữ bình hành Hình bình hành có D nhật Suy hai đường chéo AM DN cắt trung điểm O đường: OA = OM = ON = OD Xét ∆ABH có NK đường trung bình nên NK / / AH  NK  BD (vì AH  BD ) Do ∆KDN vng K Xét ∆KDN có KO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên KO  DN  KO  AM OA OM Vậy ∆KAM vuông K  AKM 90O Ví dụ Cho hai điểm A B thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Tìm d điểm M cho hai tia MA, MB tạo với đường thẳng d hai góc nhọn Giải (h.8.6) Trang * Tìm cách giải  M  Giả sử tìm điểm M  d cho M  M  suy Vẽ điểm A' đối xứng với A qua d M  M  (cùng M  ) Do ba điểm A', M, B thẳng M hàng * Trình bày lời giải - Vẽ điểm A' đối xứng với A qua d; - Vẽ đoạn thẳng A'B cắt đường thẳng d M;  M  - Vẽ đoạn thẳng MA ta M  M  Thật vậy, A' đối xứng với A qua d nên M  M  (đối đỉnh) nên M  M  Mặt khác, M C Bài tập vận dụng • Vẽ thêm đường thẳng song song 8.1 Chứng minh hình thang có hai cạnh bên hình thang cân hình bình hành 8.2 Cho hình thang có hai đáy khơng Chứng minh tổng hai góc kề đáy lớn nhỏ tổng hai góc kề đáy nhỏ 8.3 Cho hình thang ABCD (AB // CD), BD  CD Cho biết AB + CD = BD = a Tính độ dài AC 8.4 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), đường cao h tổng hai đáy 2h Tính góc xen hai đường chéo 8.5 Chứng minh hình thang tổng bình phương hai đường chéo tổng bình phương hai cạnh bên cộng với hai lần tích hai cạnh đáy •Vẽ thêm hình bình hành 8.6 Cho tam giác ABC Dựng tam giác tam giác ABD, BCE, CAF Chứng minh trọng tâm tam giác DEF trùng với trọng tâm tam giác ABC 8.7 Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M Qua M vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt AB H, cắt đường thẳng vng góc với AC vẽ từ C điểm K Gọi N trung điểm BM Chứng minh tam giác ANK có số đo góc tỉ lệ với 1, 2, 8.8 Dựng tứ giác ABCD cho AB 2,5cm; BC 3cm; CD 4,5cm; DA 3,5cm góc nhọn hai đường thẳng AD, BC 40o • Vẽ thêm trung điểm - Tạo đường trung bình o 8.9 Cho hình thang ABCD  AB / / CD  , A 90 , AB  CD Vẽ DH  AC Gọi K trung điểm HC Tính số đo góc BKD Trang 8.10 Cho hình vng ABCD, hai đường chéo cắt O Gọi M N trưng điểm OA CD Chứng minh tam giác MNB vuông cân 8.11 Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BM Từ M vẽ đường thẳng vng góc với BM cắt đường thẳng BC D Chứng minh rằng: BD 2CM   8.12 Cho tứ giác ABCD, CAD CBD 90o Gọi E F hình chiếu C D đường thẳng AB Chứng minh AF = BE 8.13 Cho đường thẳng xy Vẽ tam giác ABC nửa mặt phẳng bờ xy Gọi G trọng tâm tam giác ABC Từ A, B, C G vẽ đường thẳng song song với cắt xy A', B', C' G' Chứng minh rằng: AA ' BB ' CC’ 3GG ' 8.14 Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB AC lấy điểm M D cho AM  AD Từ A M vẽ đường thẳng vng góc với BD chúng cắt BC E F Chứng minh rằng: AE  BD  MF 8.15 Cho tứ giác ABCD Gọi A', B', C', D' trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AA', BB', CC', DD' qua điểm; b) Điểm chia AA', BB', CC', DD' theo tỉ số 8.16 Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác cho ABO  ACO Vẽ OH  AB, OK  AC Chứng minh đường trung trực HK qua điểm cố định • Vẽ thêm hình đối xứng 8.17 Cho góc xOy có số đo 60O điểm A góc cho A cách Ox 2cm cách Oy lcm a) Tìm điểm B Ox điểm C Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất; b) Tính độ dài nhỏ chu vi tam giác ABC 8.18 Dựng tam giác biết đỉnh, trọng tâm hai đường thẳng qua hai đỉnh lại Trang Hướng dẫn giải 8.1 (h.8.7) Xét hình thang ABCD  AB / /CD  • Trường hợp hai cạnh bên song song: Khi tứ giác ABCD hình bình hành Điều kiện AD BC đề thoả mãn • Trường hợp hai cạnh bên không song song: Vẽ AE / / BC  E  CD  ta ABCE hình bình hành  AE BC  E  Mặt khác, AD BC nên AE  AD  D  E 1 Ta lại có: AE / / BC  C (1) (2)  C  , hình thang ABCD hình thang cân Từ (1) (2) suy ra: D 8.2 (h.8.8) Xét hình thang ABCD có AB / / CD AB  CD Ta phải  B  C  D  chứng minh: A  M  C   A Vẽ AM / / BC  M  CD  B 1  ;M  D  (tính chất góc ngồi ∆ADM) Ta có: A  A1 C  D  Do A  B  C  D   B 8.3 (h.8.9) Vẽ BE / / AC , E  CD Ta CE  AB BE  AC Ta có: AB  CD CE  CD DE Vì AB  CD a nên DE a Tam giác BDE vuông cân  BE a  AC a 8.4 (h.8.10) Qua B vẽ BE / / AC ( G đường thẳng CD), ta BE  AC CE  AB Do DE DC  CE DC  AB 2h Ta có: BD  AC (hai đường chéo hình thang cân) mà BE  AC nên BD BE ∆BDE cân B, BH đường cao nên đường trung tuyến, suy DH HE h; BH h Do tam giác HBD, HBE vuông cân  E  45o Suy ∆BDE vuông B  COD    D EBD 90O 8.5 (h.8.11) • Trường hợp hình thang có hai góc kề đáy tù, hai góc kề đáy nhọn Trang Vẽ AH  CD, BK  CD HK  AB 2 2 Ta có: AC  HC  AD  DH   AH  ; BD  KD BC  KC  BK  Cộng vế hai đẳng thức ta được:  AC  HC    BD  KD   AD  BC   DH  CK  AC  BD  AD  BC    CH  CK    DK  DH   AD  BC   CH  CK   CH  CK    DK  DH   DK  DH   AD  BC  HK  CH  CK   HK  DK  DH   AD  BC  HK  CH  CK  DK  DH   AD  BC  HK  CD  CD   AD  BC  AB.CD • Trường hợp đáy có góc tù (hoặc góc vng), góc nhọn: Cũng chứng minh tương tự 8.6 (h.8.12) Vẽ hình bình hành DAFH Gọi N giao điểm hai đường chéo DF AH, M giao điểm EH BC Ta có NA NH , ND NF    Ta đặt DAH  AFH  BDH HFC   60O  DAF 180O  ;     BAC 360O  BAD  CAF  DAF 360O  60O  60O   180O      60O ˆ HFC ˆ (chứng minh ∆BDH ∆HFC có: BD HF   AD  ; BDH trên); DH FC   AF  Do BDH HFC (c.g.c)  HB HC  1 Chứng minh tương tự, ta BAC HFC (c.g.c)  BC HC   Từ (1) (2) suy HB HC BC Tứ giác BHCE có cặp cạnh đối (cùng BC) nên hình bình hành  MB MC MH ME • Xét ∆AEH có AM AN hai đường trung tuyến nên giao điểm G chúng trọng tâm 2  EG  EN AG  AM 3 Trang • Xét ∆ABC có AM đường trung tuyến mà AG  AM nên G trọng tâm ∆ABC • Xét ∆EDF có EN đường trung tuyến mà EG  EN nên G trọng tâm AEDF Vậy ∆ABC ∆EDF có trọng tâm G 8.7 (h.8.13)  ∆HBM vng H có ABC 60o nên: HMB 30o  ∆CAK vuông C có ACB 60o nên: KCM 30o    Suy ra: KMC (cùng nằm HMB ) KCM Do KMC cân  KC KM Vẽ hình bình hành BKMD  BD / / KM BD KM Do BD  AB (vì KM  AB ) BD KC (vì KM) ABD ACK  c.g c   Aˆ1  Aˆ AD  AK Tam giác ADK cân, AN đường trung tuyến nên đường cao, đường phân giác  AN  DK , AHK 90O    Ta có A2  BAK BAC 60O  A1  BAK 60O   hay DAK 60O  NAK 60O : 30O Do AKN 90O  30O 60O   Xét ∆ANK có NAK : NKA : ANK 30O : 60O : 90O 1: : 8.8 (h.8.14) a) Phân tích Giả sử dựng tứ giác ABCD thoả mãn đề Vẽ hình bình hành DABE ta BE  AD 3,5cm; DE  AB 2,5cm Gọi O giao điểm hai đường thẳng AD BC   40O Do BE / / AD nên CBE O Tam giác BCE dựng (c.g.c) Tam giác CDE dựng (c.c.c) Điểm A thoả mãn hai điều kiện: - A nằm đường thẳng qua D song song với BE; - A nằm đường thẳng qua B song song với DE b) Cách dựng - Dựng ∆CBE cho B 40O ; BC 3cm; BE 3,5cm Trang - Dựng ∆CDE cho CE biết; CD 4,5cm; ED 2,5cm - Qua D dựng đường thẳng song song với BE Qua B dựng đường thẳng song song với DE chúng cắt A Tứ giác ABCD tứ giác phải dựng c) Chứng minh Theo cách dựng, ABED hình bình hành nên AB DE 2,5 cm; AD BE 3,5 cm   COD CBE 40O Tứ giác ABCD có AB 2,5cm; BC 3cm;  CD 4,5cm; DA 3,5cm COD 40O , thoả mãn đề d) Biện luận Bài tốn có hai nghiệm hình tứ giác ABCD tứ giác A'BCD' 8.9 (h.8.15) Gọi M trung điểm CD Xét ∆HCD có KM đường bình nên KM / / HD KM  AC (vì HD  AC )   Tứ giác ADMB có AB / / MD AB DM   CD  nên   ABMD hình bình hành Hình bình hành có A 90o nên hình chữ nhật Suy AM BD OA OM OB OD Xét ∆KAM vuông K có KO đường trung tuyến nên 1 KO  AM  BD 2 Xét ∆KBD có KO đường trung tuyến mà KO  BD nên ∆KBD  vuông K, BKD 90o 8.10 (h.8.16) Gọi E trung điểm OB ME đường trung bình AOB  ME / / AB ME  AB Do ME / / NC ME NC Tứ giác MECN hình bình hành  CE / / MN CE MN Ta có: ME  BC F (vì AB  BC ), BO  AC (tính chất đường chéo hình vng) Trang Xét ∆MBC có E trực tâm nên CE  MB MN  MB (1) ∆MAB ∆EBC có: ˆ EBC ˆ 45o ; MA EB (một nửa hai đoạn thẳng nhau) AB BC ; MAB Vậy MAB EBC (c.g.c)  MB EC  MB MN (2) Từ (1) (2) suy AMNB vuông cân 8.11 (h.8.17) Gọi E giao điểm đường thẳng DM với AB Tam giác BDE có BM vừa đường phân giác vừa đường cao nên tam giác cân, BD BE MD ME Gọi N trung điểm BE MN đường trung bình EBD  MN / / BD  Mˆ Bˆ , Mˆ Bˆ1 Bˆ    NBM cân  BN MN Tứ giác BCMN hình thang cân  BN CM  MN CM Xét ∆MBE vng M có MN đường trung tuyến nên MN  BE  BE 2MN  BD 2CM 8.12 (h.8.18) Ta có: CE / / DF (cùng vng góc với AB) Tứ giác FECD hình thang Gọi M, N trung điểm EF CD, MN đường trung bình hình thang CEFD Do MN / / CE  MN  EF Ta có: AN BN  CD (tính chất đường trung tuyến tam giác vng)  NAB cân Mặt khác, NM đường cao nên đường trung tuyến  MA MB dẫn tới AF BE 8.13 (h.8.19) Vẽ đường trung tuyến AM Gọi N trung điểm AG Qua M N vẽ đường thẳng song song với AA' cắt xy M' N' • Xét hình thang BB'CC' có: BB' + CC' = 2MM' (1) • Xét hình thang AA'G'G có: AA' + GG' = 2NN’ (2) Trang 10 • Xét hình thang NN'M'M có NN ' MM ' 2GG '   NN ' MM ' 4 GG' Từ (1) (2) suy ra: AA ' BB ' CC ' GG ' 2  NN ' MM '   AA ' BB ' CC ' GG ' 4GG ' Do đó: AA ' BB ' CC ' 3GG ' 8.14 (h.8.20) Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho: AN  AM ACN ABD (c.g.c)  CN BD   ACN ABD mà    (cùng phụ với BAE ) CAE ABD ˆ CAE ˆ  AE / /CN nên ACN Do MF / / CN (vì song song với AE) Xét hình thang MFCN có AE / / CN AM  AN nên EF EC Suy AE  MF  CN MF  BD  2 8.15 (h.8.21) a) Gọi M, N, P, Q, E, F trung điểm AB, BC, CD, DA, AC BD Theo định lý Giéc-gơn (bài 4.8) ba đường thẳng MP, NQ, EF đồng quy điểm O trung điểm đoạn thẳng Gọi giao điểm AO với DN G Vẽ QH / / AG Xét ∆NQH ta NG GH Xét ∆ADG ta GH HD Vậy NG GH HD  HG  DN  1 Vì A' trọng tâm ABCD nên A '  DN NA '  DN (2) Từ (1) (2) suy G  A ' AA' qua O Chứng minh tương tự, đường thẳng BB', CC', DD' qua O Suy AA', BB', CC', DD' đồng quy O 1 b) Ta có: OA '  QH mà QH  AA ' nên OA '  AA ' 2 OA '  Suy ra: OA '  OA hay OA Trang 11 Chứng minh tương tự, ta OB ' OC ' OD '    OB OC OD 8.16 (h.8.22) Gọi E, F, M trung điểm OB, OC, BC Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ta có: 1 EH EB EO  OB; F K FC FO  OC 2 Theo tính chất đường trung bình tam giác ta có tứ giác OFME hình bình hành    OEM OFM  1   Mặt khác, HEO 2 ABO; KFO 2 ACO   mà ABO  ACO nên HEO (2) KFO   Từ (1) (2) suy ra: HEM MFK   ˆ MFK ˆ (chứng minh trên); EM FK  OC  ∆HEM ∆MFK có: HE MF   OB  ; HEM   Do HEM MFK (c.g.c)  MH MK (3)   Gọi N trung điểm OA, ta có: NH NK   OA  (4)   Từ (3) (4) suy MN đường trung trực HK Vậy đường trung trực HK qua điểm cố định M trung điểm BC 8.17 (h.8.23) a) Vẽ điểm M đối xứng A qua Ox Vẽ điểm N đối xứng A qua Oy Hai điểm M N hai điểm cố định Đoạn thẳng MN cắt Ox B, cắt Oy C Khi chu vi ∆ABC nhỏ Thật vậy, M đối xứng với A qua Ox nên AB = MB Vì N đối xứng với A qua Oy nên CN = CA Chu vi ABC  AB  BC  CA MB  BC  CN MN Do chu vi ∆AMN nhỏ MN b) Vẽ MH  AN , ta có:   60o (hai góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn)  AMH 30o MAH O Trang 12 1 Xét ∆AMH vuông H, AMH 30o nên AH  AM  2 cm 2 Xét ∆HMN vng H, ta có: MN MH  HN MH   HA  AN   MH  HA2  AN  HA AN  MH  HA2   AN  HA AN  AM  AN  HA AN 4  22  2.2.2 28  MN  28 5,3 Vậy độ dài nhỏ chu vi ∆ABC 5,3 cm 8.18 (h.8.24) a) Phân tích Giả sử dựng tam giác ABC có đỉnh A vị trí A cho trước có trọng tâm G vị trí G cho trước, có đỉnh B  b ,đỉnh C  c với b, c cho trước Gọi M giao tia AG với BC Ta có AM  AG nên điểm M xác định Gọi D điểm b Vẽ điểm E đối xứng với D qua M Khi đường thẳng b' qua C E đường thẳng đối xứng với b qua M • Điểm C thoả mãn hai điều kiện: C  c C  b ' • Điểm B  b B  B e tia CM b) Cách dựng Dựng điểm M thuộc tia AG cho AM  AG ; Dựng đường thẳng b' đối xứng với b qua M, b' cắt c C; Dựng giao điểm B đường thẳng b với tia CM; Vẽ đoạn thẳng AB, AC ta ∆ABC phải dựng Các phần lại bạn đọc tự giải Trang 13 Trang 14