chuyen de 13 nguyen ly dirichlet

340 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 13: NGUYEN LÝ DIRICHLET A KiÕn thøc cÇn nhí Giới thiệu ngun lý Dirichlet Dirichlet (Đi-rích-lê) (1805 – 1859) nhà tốn học người Đức, cho người đưa định nghĩa đại hàm số Trên sở quan sát thực tế, ông phát biểu thành nguyên lí mang tên ông – nguyên lí Dirichlet: Không thể nhốt thỏ vào lồng mà lồng có khơng q thỏ Nói cách khác, nhốt thỏ vào lồng tồn lồng có từ trở lên Một cách tổng quát hơn, có k lồng để nhốt m thỏ (với k = kn + r (0 < r ≤ k − 1) ) tồn lồng có chứa từ n + thỏ trở lên Ta dễ dàng minh nguyên lí Dirichet phương pháp phản chứng sau: Giả sử khơng có lồng n + thỏ trở lên, tức lồng chứa nhiều n thỏ, số thỏ chứa k lồng nhiều kn Điều mâu thuẫn với giả thiết có m thỏ với m = kn + r (0 < r ≤ k − 1) Nguyên lí Dirichlet thật đơn giản, dễ hiểu vận dụng vào giải nhiều toán số học, đại số, hình học việc tồn hay nhiều đối tượng thỏa mãn điều kiện đặt Khi sử dụng nguyên lí Dirichlet vào toán cụ thể, điều quan trọng phải nhận (hay tạo ra) Lồng Thỏ Lồng Thỏ Một số dạng áp dụng nguyên lý Dirichlet n+1 • Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt có chuồng chứa hai thỏ • thỏ vào n chuồng bao Ngun lý Dirichlet tổng qt: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp chứa nhất có giá trị nhỏ x) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán N  k   zalo: đồ vật (Ở  x số nguyên nhỏ TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com • Ngun lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m≥ chuồng tồn  n + m − 1  m    chuồng có thỏ • Ngun lí Dirichlet dạng tập hợp: Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B, tồn hai phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B Phương pháp ứng dụng Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, cơng cụ có hiệu dùng để chứng nhiều kết sâu sắc tốn học Ngun lí Dirichlet áp dụng cho tốn hình học, điều thể qua hệ thống tập sau: Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt “thỏ” vào “chuồng” thoả mãn điều kiện: + Số ‘thỏ” phải nhiều số chuồng + “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng”, không bắt buộc chuồng phải có thỏ Thường phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngồi cịn áp dụng với nguyên lý khác Một số toán thường gặp sau: 1) Trong n + số tự nhiên ln tìm hai số chia cho n có số dư (hoặc hiệu chúng chia hết cho n ) 2) Nếu đoạn thẳng độ dài đặt số đoạn thẳng có tổng độ dài lớn có hai số đoạn thẳng có điểm chung 3) Nếu đường trịn có bán kính đặt số cung có tổng độ dài lớn 2π có hai số cung có điểm chung 4) Trong hình có diện tích S đặt số hình có tổng diện tích lớn S có hai số hình có điểm chung B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh tồn chia hết * Cơ sở phương pháp: Thông thường ta coi m số tự nhiên cho m “con thỏ”, số dư phép chia số tự nhiên cho n “lồng”; có n lồng: lồng i (0 ≤ i ≤ b) gồm số tự nhiên cho chia cho n dư i * Ví dụ minh họa: Bài tốn Chứng rằng: a) Trong 2012 số tự nhiên ln tìm hai số chia cho 2011 có số dư (hay hiệu chúng chia hết cho 2011) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com b) Trong 2012 sơ tự nhiên ln tìm số chia hết cho 2012 ln tìm hai số chia cho 2012 có số dư Hướng dẫn giải a) Ta coi 2012 số tự nhiên cho 2012 “con thỏ”; “lồng i” gồm số chia cho 2011 dư i (0 ≤ i ≤ 2011) nên có 2011 lồng: lồng 0, lồng 1, …, lồng 2010 Như có 2011 lồng chứa 2012 thỏ nên theo nguyên lí Dirchlet tồn lồng chứa khơng hai thỏ, tức có hai số chia cho 2011 có số dư b) Nếu 2012 số cho có số chia hết cho 2012 ta chọn ln số Nếu khơng có số chia hết cho 2012 chia cho 2012 nhận nhiều 2012 số dư khác 1, 2, …, 2011 Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số chia cho 2012 có số dư Nhận xét Ta tổng quát toán sau: 1) Trong n + số tự nhiên ln tìm hai số chia cho n có số dư (hay hiệu chúng chia hết cho n) 2) Trong n số tự nhiên ln tìm số chia hết cho n ln tìm hai số chia cho n có số dư Bài tốn Chứng minh ln tìm số có dạng 20122012…2012 (gồm số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2013 Hướng dẫn giải Xét 2014 số sau: 2012, 20122012, , 2012 2012 (gồm 2014 số 2102) Đem 2014 số chia cho 2013, có 2014 số mà có 2013 số dư phép chia cho 2013 (là 0, 1, 2, , 2012) nên tồn hai số chia cho 2013 có số dư, chẳng hạn a = 2012 2012 (gồm i 2012) b = 2012 2012 (gồm j 2012) với ≤ i ≤ j ≤ 2014 Khi b − a = 2012 2012.10 4i (gồm j – i 2012) chia hết cho 2013 4i Lại có ƯCLN (10 , 2013) = nên số 2012 2012 (gồm j – i 2012 chia hết cho 2013 Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” số có dạng 2012 2012, “lồng” số dư phép chia cho 2013) Nhận xét Mấu chốt toán chọn 2014 (= 2013 + 1) số tự nhiên có dạng cho Từ ta phát biểu nhiều tốn tương tự, chẳng hạn như: Chứng minh ln tìm số có dạng 111 chia hết cho 29 Bài toán Cho sáu số tự nhiên a, b, c, d , e, g Chứng minh sáu số ấy, tồn số chia hết cho tồn vài số có tổng chia hết cho Hướng dẫn giải Trường hợp có số ta chọn số thỏa mãn yêu cầu đề Trường hợp sáu số lớn Xét số sau Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com S1 = a S2 = a + b S3 = a + b + c S4 = a + b + c + d S5 = a + b + c + d + e S6 = a + b + c + d + e + g Đem số chia cho ta nhận số dư thuộc tập {0,1, 2,3, 4,5} S (i = 1, 2, , 6) Nếu tồn i chia hết cho tốn chứng minh Nếu khơng có Si chia hết cho ta có số chia hết cho nhận loại số dư khác (1, 2,3, 4,5) ; theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số chia cho có số dư, chẳng hạn S2 S5 hiệu hai số chia hết cho 6, tức c + d + e chia hết cho Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” số Si, “lồng” số dư phép chia cho 6) Nhận xét Ta phát biểu toán tổng quát sau: a , a , , an Chứng minh tồn số chia hết cho n Cho n số tự nhiên tồn vài số có tổng chia hết cho n Bài toán Chứng minh rằng: a) Trong n số tự nhiên liên tiếp ln tìm số chia hết cho n b) Trong 39 số tự nhiên liên tiếp ln tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 11 Hướng dẫn giải a) Giả sử khơng tìm số n số tự nhiên liên tiếp cho mà chia hết cho n Khi n số chia cho n nhận nhiều n – số dư khác (1, 2,3, , n − 1) , theo nguyên lí Dirichlet tồn hai số chia hết cho n có số dư, chẳng hạn a b với a > b , a – b chia hết cho n, điều mâu thuẫn với < a − b < n Từ suy điều phải chứng minh b) Lấy 20 số tự nhiên liên tiếp đầu dãy, ta ln tìm số có chữ số hàng đơn vị có chữ số hàng chục khác 9.Giả sử N tổng chữ số N s Khi 11 số N , N + 1, N + 2, N + 3, N + 9, N + 19 nằm 39 số cho Vì N tận nên tổng chữ số N , N + 1, N + 2, , N + s, s + 1, s + 2, , s + Vì N tận có chữ số hàng chục khác nên tổng chữ số N + 10 s + 1, tổng chữ số N + 19 s + 10 Trong 11 số tự nhiên liên tiếp s, s + 1, s + 2, s + 3, , s + 9, s + 10 ln tìm số chia hết cho 11 Chẳng hạn số s + i (0 ≤ i ≤ 10) : Nếu ≤ i ≤ ta chọn số N + i thỏa mãn yêu cầu toán; i = 10 ta chọn số N + 19 thỏa mãn yêu cầu toán Nhận xét Mấu chốt để giải tốn câu b) phải tìm 11 số 39 số cho có tổng chữ số thứ tự 11 số tự nhiên liên tiếp, đồng thời sử dụng kết câu a) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Bài tốn Cho số tự nhiên từ đến 2012 Hỏi chọn nhiều số cho tổng hai số chúng khơng chia hết cho hiệu nó? Hướng dẫn giải Nhận thấy, hai số chia cho dư hiệu chúng chia hết cho 3, tổng chúng chia cho dư 1; nên tổng chúng không chia hết cho hiệu chúng Trong số tự nhiên từ đến 2012, có 671 số chia cho dư số có dạng 3k + ( k = 0,1, 2, , 670) Khi hai số 671 số có tổng chia dư 1, hiệu chia hết cho 3, nên tổng không chia hết cho hiệu chúng Ta chứng minh chọn nhiều 672( = 671 + 1) số số từ đến 2012, 672 số ln tìm a, b(a > b) cho a − b ≤ (Thật vậy, giả sử ngược lại hiệu số nhỏ số lớn số chọn không nhỏ 3.671 = 2013 Điều mâu thuẫn giả thiết với hiệu số lớn số nhỏ không vượt 2012 − = 2011 ), nghĩa a – b - Nếu a – b = hiển nhiên a + b chia hết cho a – b (= 1) - Nếu a – b = a + b số chẵn nên a + b chia hết cho a – b (= 2) Như từ 2012 số cho chọn 671 số thỏa mãn điều kiện toán Suy số lượng lớn số phải tìm 671  Dạng 2: Bài tốn tính chất phần tử tập hợp * Cở sở phương pháp: Thông thường ta phải lập tập hợp có tính chất cần thiết sử dụng ngun lí Dirichlet để chứng tỏ có hai phần tử thuộc hai tập hợp * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho sáu số ngun dương đơi khác nhỏ 10 Chứng minh ln tìm số có số tổng hai số lại Hướng dẫn giải a ,a ,a ,a ,a ,a < a1 < a2 < < a6 < 10 Gọi sáu số nguyên dương cho với A = {a2 , a3 , a4 , a5 , a6} gồm phần tử có dạng a với m ∈{2, 3, 4, 5, 6} Đặt m B = {a2 − a1 , a3 − a1 , a4 − a1 , a5 − a1 , a6 − a1} gồm phần tử có dạng an − a1 với Đặt n ∈{2,3, 4,5, 6} Ta thấy phần tử hai tập hợp A B thuộc tập hợp gồm phần tử {1, 2,3, , 9} tổng số phần tử hai tập hợp A B + = 10 Theo nguyên lí Dirichlet tồn hai số mà chúng thuộc tập hợp, nên có số thuộc tập hợp A số thuộc tập hợp B, a = an − a1 , an = am + a1 tức m Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com a ,a ,a a ≠ an am = an a1 = trái Ba số m n đôi khác Thật vậy, m với giả thiết toán a ,a ,a a = am + a1 (đpcm) Vậy tồn ba số m n số cho mà n a ,a ,a ,a ,a ,a − a ,a − a ,a − a ,a − a ,a − a (Ở đây, có 10 “thỏ” 10 số 6 có “lồng” số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Nhận xét Để giải toán này, ta cần tạo hai tập hợp gồm phần tử nhỏ hợn 10 tổng số phần tử hai tập hợp phải khơng nhỏ 10 Từ suy tồn hai phần tử hai tập hợp Bài toán Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương khác nhau, số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E = {3; 6;9} Hướng dẫn giải Giả sử 700 số nguyên dương cho A = {a1 , a2 , a700 }; a1 , a2 , , a700 Ta xét tập hợp sau: B = {a1 + 6, a2 + 6, a700 + 6}; C = {a1 + 9, a2 + 9, a700 + 9}; Tổng số phần tử ba tập hợp A, B, C 700.3 = 2100, phần tử khơng vượt 2006 + = 2015, mà 2100 > 2015 nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hai phần tử Vì tập hợp A, B, C có phần tử đôi khác nên hai phần tử phải thuộc hai tập hợp: A B, A C, B C a = aj + a − aj = - Nếu hai phần tử thuộc A B, chẳng hạn i suy i = a j + − a j = - Nếu hai phần tử thuộc A C, chẳng hạn suy a + = aj + a − aj = - Nếu hai phần tử thuộc B C, chẳng hạn i suy i Như tồn lại hai số thuộc tập hợp A có hiệu 3, 6, Ta điều phải chứng minh (Ở 2100 “thỏ” 2010 phần tử ba tập hợp A, B, C; 2015 “lồng” số từ đến 2015) Nhận xét Ta cịn có kết mạnh sau: Cho X tập hợp gồm 505 số nguyên dương khác nhau, số không lớn 2006 Trong tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E = {3;6;9} Chứng minh Gọi A tập hợp số thuộc X mà chia hết cho 3, gọi B tập hợp số thuộc X mà chia cho dư 1, gọi C tập hợp số thuộc X mà chia cho3 dư Có 505 số xếp vào ba tập hợp, mà 505 = 3.168 + nên theo ngun lí Dirichlet tồn tập hợp có chứa từ 169 số trở lên Trong tập hợp này, hai số có hiệu bội Tồn hai số x, y có hiệu nhỏ 12 Thật vậy, số tập hợp có hiệu khơng nhỏ 12 số lớn tập hợp không nhỏ 12.168 = 2016 > 2006, trái với đề Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Vậy tập hợp X tồn hai phần tử x, y mà x − y ∈ E Bài toán Cho hai tập hợp số nguyên dương phân biệt mà số nhỏ n Chứng minh tổng số phần tử hai tập hợp khơng nhỏ n chọn tập hợp phần tử cho tổng chúng n Hướng dẫn giải Giả sử hai tập hợp số nguyên dương cho A = {a1 , a2 , , am } B = {b1 , b2 , , bk } b < n ( j = 1, 2, , k ) với a < n (i = 1, 2, , m) , j m + l ≥ n C = {n − b1 , n − b2 , , n − bk } Xét tập hợp Nhận thấy, có tất n – số nguyên dương phân biệt nhỏ n, phần tử A C nhỏ n tổng số phần tử A C khơng nhỏ n Theo ngun lí Dirichlet, tồn hai phần tử nhau, chúng khơng thuộc A C, phần tử thuộc A phần tử thuộc C, tức n − bq a = n − bq ⇔ a p + bq = n tồn hai số ap mà p (điều phải chứng minh) (Ở coi m + k “thỏ” số nguyên dương thuộc tập hợp A C, n – “lồng” số nguyên dương từ đến n – 1)  Dạng 3: Bài toán liên quan đến bảng ô vuông * Cở sở phương pháp: Một bảng vng kích thước n x n gồm n dịng, n cột đường chéo Mỗi dòng, cột, đường chéo có n vng Một bảng vng kích thước m x n gồm m dịng n cột * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho mảng vng kích thước x Người ta viết vào ô bảng số -1, 0, 1; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Hướng dẫn giải Bảng vng kích thước x có dịng, cột, đường chéo nên có 12 tổng số tính theo dịng, theo cột theo đường chéo Mỗi dịng, cột đường chéo có ghi số thuộc tập {–1; 0; 1} Vì giá trị tổng thuộc tập hợp {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} có 11 phần tử Có 12 tổng nhận tập 11 giá trị khác nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hai tổng nhận giá trị Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” tổng nên có 12 “thỏ”, “lồng” giá trị tổng nên có 11 “lồng”) Nhận xét Với cách giải tương tự, ta có tốn tổng qt sau: Cho bảng vng kích thước n x n Người ta viết vào ô bảng số –1, 0, 1; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Bài tốn Trên bảng vng kích thước x 8, ta viết số tự nhiên từ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com đến 64, số viết vào ô cách tùy ý Chứng minh tồn hai ô vuông chung cạnh mà hiệu số ghi chúng khơng nhỏ Hướng dẫn giải • • Ta xét hàng có ghi số cột có ghi số 64 Hiệu hai 63 Số cặp ô kề từ ô ghi số đến ô ghi số 64 nhiều 14 (gồm cặp chung cạnh tính theo hàng cặp chung cạnh tính theo cột) Ta có 64 = 14.4 + nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai kề mà hai số ghi có hiệu khơng nhỏ + = Bài toán chứng minh (Ở đây, “thỏ” hiệu hai số 64 số (từ đến 64) nên có 63 thỏ; “lồng” số cặp ô vuông kề từ ô ghi số đến ghi số 64 nên có nhiều 14 lồng) Nhận xét Mấu chốt tốn quan tâm đến hai vng ghi số nhỏ (số 1) số lớn (số 64) có lớn 63; đồng thời xét từ ô ghi số đến ô ghi số 64 cần tối đa (8 – 1) + (8 – 1) = 14 ô Ở ta vận dụng ngun lí Dirichlet tổng qt: Có m thỏ, nhốt vào k lồng mà m = kn + r (1 ≤ r ≤ k − 1) tồn lồng chứa không n + thỏ Nếu thay bảng chữ nhật gồm x 10 vng, ghi số từ đến 80 không lặp cách tùy ý kết cầu tốn cịn hay khơng? Hãy chứng minh  Dạng 4: Bài toán liên quan đến thực tế Cở sở phương pháp: Khi chứng minh tồn số đối tượng thỏa mãn điều kiện đó, ta thường sử dụng ngun lí Dirichlet Điều quan trọng phải xác định “thỏ” “lồng” * Ví dụ minh họa: Bài tốn Một tổ học tập có 10 học sinh Khi viết tả, tổ mắc lỗi, bạn Bình mắc nhiều lỗi (mắc lỗi) Chứng minh tổ có bạn mắc số lỗi Hướng dẫn giải Ta coi “thỏ” học sinh (trừ bạn Bình) nên có thỏ; “lồng” số lỗi tả học sinh mắc phải nên có lồng: lồng i gồm học sinh mắc i lỗi (i = 1, 2, 3, 4) Có thỏ nhốt vào lồng, mà = 4.2 + 1, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn lồng chứa khơng + = thỏ, tức có bạn mắc số lỗi Bài toán Ở vịng chung kết cờ vua có đấu thủ tham gia Mỗi đấu thủ phải gặp đủ đấu thủ lại, người trận Chứng minh rằng, thời điểm đấu, có hai đấu thủ đấu số trận Hướng dẫn giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Ta coi “thỏ” đấu thủ nên có thỏ; “lồng” số trận đấu đấu thủ nên có lồng: “lồng i” gồm đấu thủ thi đấu i trận (với i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Ta thấy lồng lồng khơng đồng thời tồn tại, có đấu thủ chưa đấu trận khơng có đấu thủ đấu đủ trận, có đấu thủ đấu đủ trận khơng có chưa đấu trận Như vậy, có lồng chứa thỏ nên theo ngun lí Dirichlet tồn lồng chứa khơng thỏ, tức thời điểm cược đấu ln tìm đấu thủ đấu dùng số trận Bài tốn Có nhà khoa học viết thư trao đổi với hai đề tài: bảo vệ môi trường chương trình dân số Chứng minh có ba nhà khoa học trao đổi đề tài Hướng dẫn giải Gọi nhà khoa học A, B, C, D, E, F Nhà khoa học A viết thư trao đổi với nhà khoa học cịn lại đề tài, có = 2.2 + nên theo nguyên lí Dirichlet tồn nhà khoa học (chẳng hạn B, C, D) nhà khoa học A trao đổi đề tài (chẳng hạn đề tài môi trường) Trong ba nhà khoa học B, C, D có hai người trao đổi đề môi trường (chẳng hạn B, C) ta chọn A, B, C trao đổi đề tài Nếu ba nhà khoa học B, C, D khơng có hai người trao đổi đề tài mơi trường họ trao đổi với đề tài dân số, ta chọn B, C, D trao đổi đề tài (Ở coi nhà khoa học (trừ A) “thỏ” nên có thỏ, coi đề tài “lồng” nên có lồng vận dụng ngun lí Dirichlet tổng qt)  Dạng 5: Bài tốn liên quan đến xếp * Cơ sở phương pháp: Các tốn xếp chỗ, phân cơng việc khơng địi hỏi nhiều kiến thức kĩ tính tốn, chúng chủ yếu kết hợp suy luận lơgic để xét khả xảy với nguyên lí Dirichlet * Ví dụ minh họa: Bài tốn Có 20 người định bơi thuyền 10 thuyền đôi Biết hai người A B mà khơng quen tổng số người quen A người quen B khơng nhỏ 19 Chứng minh phân công vào thuyền đôi cho thuyền hai người quen Hướng dẫn giải Nếu 20 người khơng có hai người quen tổng số người quen hai người Điều mâu thuẫn với giả thiết tổng số người quen hai người không nhỏ 19 Vậy tồn số cặp quen Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Ta xếp cặp quen vào thuyền đôi Gọi k số lượng thuyền lớn mà ta xếp cặp quen vào thuyền kí hiệu thuyền thứ i xếp hai người Ai Bi quen (1 ≤ i ≤ k ) Giả sử k ≤ , kí hiệu tập hợp M gồm người chưa xếp vào thuyền nào, tức gồm người đôi không quen Chọn hai người A B tập hợp M Theo tổng số người quen A số người quen B không nhỏ 19 người quen A quen B xếp vào thuyền Như có 19 người quen hệ quen A B xếp vào nhiều thuyền đơi (trừ thuyền A, B chưa xếp), mà 19 = 9.2 + nên theo nguyên lí Dirichlet tồn thuyền chở người quen A B Nhưng ta xếp lại sau: k – thuyền giữ nguyên, thuyền thứ k xếp A k B, thuyền thứ k + xếp A B k Điều mâu thuẫn với giả sử Theo cách xếp ta tiếp tục xếp đến hết 10 thuyền cho thuyền hai người quen Bài tốn Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác tham dự Giả sử điểm thi mơn Tốn học sinh số nguyên lớn bé 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm mơn Tốn giống đến từ địa phương Hướng dẫn giải Ta có 529 học sinh có điểm thi từ điểm đến 10 điểm Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm thi (từ điểm đến 10 điểm) Ta có 89 học sinh có điểm thi đến từ 16 địa phương Theo nguyên lý Dirichlet tìm em có điểm thi mơn tốn đến từ địa phương  Dạng 6: Vận dụng ngun lí Dirichlet vào tốn hình học * Cơ sở phương pháp:Một số dạng tốn hình học thường gặp: 1) Nếu đoạn thẳng độ dài đặt số đoạn thẳng có tổng độ dài lớn có hai số đoạn thẳng có điểm chung 2) Nếu đường trịn có bán kính đặt số cung có tổng độ dài lớn 2π có hai số cung có điểm chung 3) Trong hình có diện tích S đặt số hình có tổng diện tích lớn S có hai số hình có điểm chung 4) * Ví dụ minh họa: Bài tốn Trong hình vng mà độ dài cạnh cho trước 33 điểm phân biệt, khơng có điểm thẳng hàng, Người ta vẽ đường trịn có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com 2000 Bài 26 Trên mặt phẳng cho đường thẳng phân biệt, đôi cắt Chứng minh tồn đường thẳng mà góc tạo chúng khơng lớn 180° 2000 2000 8000 Bài 27 Bên đường trịn có bán kính có đoạn thẳng có độ dài d Chứng minh dựng đường thẳng song song l d vng góc với đường thẳng cho trước, cắt hai đoạn thẳng cho Bài 28 Cho bảng vng kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông đơn vị Điền vào ô vuông bảng số nguyên dương không vượt 10 cho hai số hai ô vuông chung cạnh chung đỉnh nguyên tố Chứng minh bảng vng cho có số xuất 17 lần Bài 29.Trong hình chữ nhật kích thước 1.2 ta lấy 6n2 + điểm với n số nguyên dương Chứng minh tồn hình trịn có bán kính n chứa khơng số điểm cho Bài 30 Cho điểm mặt phẳng tô hai màu xanh, đỏ Chứng minh tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu Câu 31 Lớp 6A có 45 học sinh làm kiểm tra mơn Tốn khơng có bị điểm có bạn điểm 10 Chứng tỏ tìm học sinh có điểm kiểm tra Biết điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10? Câu 32 Chứng minh từ 52 số nguyên ln tồn số mà tổng hiệu chúng chia hết cho 100 Câu 33 Trên mặt phẳng cho 2019 2019 điểm phân biệt cho điểm điểm ta ln tìm điểm có khoảng cách nhỏ cm Chứng minh rằng: Sẽ tồn bán kính Liên hệ tài 039.373.2038 1010 điểm nằm đường trịn có cm liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Ta tưởng tượng thông "thỏ", có 800.000 "thỏ" nhốt vào không 500.000 "chiếc lồng" Lồng ứng với thơng có cây, lồng ứng với thơng có v.v Số thỏ lớn số lồng, theo nguyên tắc Đirichlet có lồng nhốt khơng thỏ nghĩa có thơng có số Bài Một năm có 12 tháng Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng Nếu tháng có khơng q học sinh sinh số học sinh khơng q: 3.12 = 36 mà 36 < 40 (vô lý) Vậy tồn tháng có học sinh trùng tháng sinh ( 40 thỏ 40 học sinh, 12 lồng 12 tên tháng) Bài Ta thành lập dãy số gồm số sau đây: S1 = a1 S = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 S = a1 + a2 + a3 + a4 S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 - Nếu cách minh Si ( i = 1, ,5 ) chia hết cho tốn chứng Si - Nếu khơng có số chia hết cho đem chia số cho số dư có giá trị từ đến Có số dư mà có giá trị (5 thỏ, lồng) Theo nguyên tắc Đirichlet phải có số dư có giá trị Hiệu chúng chia hết cho Hiệu ai tổng liên tiếp Bài 111 11 14 43 Xét dãy số 1,11,111, , pchữsố Ta chứng minh dãy phải có số chia hết cho p Giả sử kết luận không đúng, tức khơng có số dãylại chia hết cho p Cho tương ứng số dư phép chia cho p Tập hợp số dư thuộc tập hợp {1, 2, 3, , p – 1} (Do thuộc tập hợp này) Ta lại có p số dãy số Vì theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho p Giả sử số 111 11 (m chữ số 1) số 111 11 (n chữ Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com số 1) với ( 1≤ n < m≤ p) Từ ta có n (111 11 14 43 − 111 11 14 43 ) Mp, hay 111 1 000 Mp Hay 111 1 10 Mp m chữsố m− n chữsố nchữso n chữsố m− n chữsố (1) 111 1 Mp Do p sô nguyên tố lớn nên (p; 10) = 1, Vì từ (1) ta suy (2) m− n chữsố 111 123 m− n chữsố số thuộc dãy nên từ (2) suy mâu thuẫn với giả thiết Vậy giả sử phản chứng sai Ta suy điều phải chứng minh Bài Từ 20 số dãy ta tìm số mà chữ số hàng đơn vị 0, hai số phải có số có chữ số hàng chục khác Giả sử N số đó, ta gọi S tổng chữ số N Ta có dãy số N, N + 1, N + 2, N + 9, N + 19 11 số nằm 39 số cho trước mà tổng chữ số chúng S, S + 1, S + 2, S + 9, S + 10 Đó 11 số tự nhiên liên tiếp, phải có số chia hết cho 11 Bài Để làm xuất số "thỏ" số "lồng ta làm sau: Trong tập hợp số dư phép chia cho 100 ta lấy cặp số cho tổng cặp 100 thành lập thành nhóm sau: (0 ; 0), (1 ; 99), (2 ; 98), (3 ; 97), (4 ; 96), (5 ; 95), (6 ; 94) (49 ; 51), (50 ; 50) Chú ý có 50 cặp vậy, ta thêm vào cặp (0, 0) có 51 cặp (51 lồng) - Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 có 52 số dư (52 thỏ) - Có 52 số dư mà có 51 nhóm, theo nguyên tắc Dirichlet phải có số dư rơi vào nhóm Rõ ràng cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư hai số tự nhiên có tổng hiệu chia hết cho 100 (đpcm) Bài Trước hết ta ý rằng: 29m có tận m số chẵn Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com 29m có tận m số lẻ Ta xét 105 lũy thừa 29 với số mũ chẵn khác Có hai khả xảy ra: a Trong có số mũ 2k mà 29 2k có tận 00001 tốn chứng minh b Khơng có số mũ 2k để 292k có tận 00001 Từ b, ta thấy rằng: Số số có chữ số tận khác nhỏ 10 (kể từ chữ số tận 00002, 00003, 99 999, 105) số số khác mà ta xét 10 số Theo nguyên tắc Dirichlet phải có hai lũy thừa có chữ số tận dùng Giả sử A1 = A2 = 292k1 292k = M1 105 = M2 105 abcd1 abcd1 Có thể giả sử k1 > k2 mà khơng làm tính chất tổng qt tốn Thế ta có: A1 - A2 = A1 - A2 = Vì 292k 292k1 292k - 292k1 292k - = (M1 - M2) 105 = ( ) 2(k - k ) 292k 29 − có tận A1 - A2 = (M1 - M2)105 có tận khơng (292(k -k ) − 1) số nên suy từ suy 292(k1 - k ) phải có tận khơng chữ số 0, có tận 00001 (số chữ số 4) Ta tìm số k = 2(k1 - k) thỏa mãn đề (đpcm) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Bài Gọi A nhà tốn học số 17 nhà tốn học, nhà tốn học A phải trao đổi với 16 nhà tốn học cịn lại vấn đề Như nhà toán học A phải trao đổi với nhà tốn học vấn đề Vì trao đổi với số nhà tốn học vấn đề số nhà tốn học trao đổi với A 16 (Các bạn diễn tả theo khái niệm "thỏ" "lồng" để thấy áp dụng nguyên tắcDirichlet lần thứ nhất.) - Gọi nhà toán học trao đổi với nhà toán học A vấn đề (giả sử vấn đề I) A1, A2, A3, A4, A5, A6 Như có nhà tốn học trao đổi với vấn đề (không kể trao đổi với A) Như có nhà tốn học A1, A2, A3, A4, A5, A6 trao đổi với vấn đề, I, II, III Có hai khả xảy ra: a Nếu có nhà tốn học trao đổi với vấn đề I có nhà tốn học (kể A) trao đổi với vấn đề I Bài toán chứng minh b Nếu khơng có nhà tốn học nhà toán học A 1, A2 A6 trao đổi vấn đề I ta có nhà toán học trao đổi với vấn đề II III Theo nguyên tắcDirichlet có nhà toán học trao đổi với vấn đề II III Bài toán chứng minh Bài Để tôn trọng ta cần thay đổi ngôn ngữ thỏ, chuồng học sinh , phòng Phòng 1: Chứa em mắc lỗi Phòng 2: Chứa em mắc lỗi …………………………………… Phòng 14: Chứa em mắc 14 lỗi Phòng 15: Chứa em khơng mắc lỗi Theo giả thiết phịng 14 có em A Cịn lại 14 phịng chứa 29 em Theo nguyên lý Dirichlet tồn phòng chứa em Từ có điều phải chứng minh Bài 10 Có người nên số người quen nhiều người Phòng 0: Chứa người khơng có người quen Phịng 1: Chứa người có người quen ……………………………………………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Phịng 4: Chứa người có người quen Để ý phịng & phịng khơng thể có người Thực chất người chứa phịng Theo ngun lý Dirichlet tồn phịng chứa người Từ có điều phải chứng minh Bài 11 Xét thời điểm lịch thi đấu ( đội thi đấu tối đa trận) Phòng 0: Chứa đội chưa đấu trận Phòng 1: Chứa đội thi đấu trận ……………………………………………… Phòng 9: Chứa đội thi đấu trận Để ý phịng phịng khơng thể có đội thi đấu Thực chất 10 đội chứa phòng Theo nguyên lý Dirichlet ta suy điều phải chứng minh Bài 12 Xét n+ số sau: a1 = 5; a2 = 55; ; an +1 = 55 ( n+1 chữ số 5) Theo nguyên lý Dirichlet : với n+1 số tồn hai số có số dư chia cho n Hiệu hai số số có dạng: 55…50…0 gồm toàn chữ số chữ số chia hết cho n Đó điều phải chứng minh! a1 = 8; a2 = 88; ; a2012 = 88 Bài 13 Xét 2012 số (2012 chữ số 8) Tương tự ví dụ tồn số có dạng 88…80…0 ( n chữ số k chữ số 0) chia hết cho 2011 Mà: 88…80…0 = 88…8.10k (10k,2011) = suy số: 88…8 chia hết cho 2011 Điều phải chứng minh! ( Lưu ý: 2011 số nguyên tố) Bài 14 Xét 2011 số sau: n; n2 ; n3;…; n2011 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho ≤i< j≤ 2010.Giả sử hai số ni nj với 2011 Khi nj – ni = ni (n j – i – 1) = ni ( nk – 1) chia hết cho 2010 ( k = j - i số nguyên dương) Vậy nk – chia hết cho 2010 ( (ni, 2010) =1) Bài 15 Ta xét phép chia 1007 số cho 2011 xếp vào: Nhóm 0: Các số chia hết cho 2011 ( dư 0) Nhóm 1: Các số chia cho 2011 dư 2010 Nhóm 2: Các số chia cho 2011 dư 2009 ………………………………………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Nhóm 1005: Các số chia cho 2011 dư 1005 1006 Theo nguyên lý Dirichlet tồn nhóm chứa hai số Theo cách xếp nhóm tổng hiệu hai số chia hết cho 2011 Bài 16 Sắp thứ tự n + số cho n số: b1 = a2 − a1; b2 = a3 − a1; ; bn = an +1 − a1 ≤ a1 < a2 < < an +1 < 2n Ta có: Tập 2n số nhóm ( trừ chuồng) a1 ( Nhóm 1) Xét thêm ≤ b1 < b2 < < bn < 2n (Nhóm 2) nhóm 1) nhận 2n -1 giá trị ( Theo nguyên lý Dirichlet có số khơng nhóm nhóm tức phải thuộc nhóm Từ suy điều phải chứng minh! Bài 17 Các đường trung bình ∆ABC chia thành bốn tam giác có 0, cạnh Theo nguyên tắc Dirichlet, tồn điểm rơi vào tam giác nhỏ Ta có khoảng cách điểm nhỏ 0,5 Bài 18 Chia hình vng cho thành 25 hình vng có cạnh 0,2 Suy theo nguyên tắc Dirichlet, tồn điểm nằm hình vng Ta có bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng bán kính Bài 19 Liên hệ tài 039.373.2038 < Suy điểm cho nằm hình trịn liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com ( O, R ) Chia hình trịn thành phần Do hình quạt có diện tích Theo ngun tắc Dirichlet, có hình quạt chưa nhiều điểm Xét điểm phân biệt hình quạt cho Dễ thấy tam giác tạo điểm có diện tích bé Bài 20 Chia sân thành hình vẽ Áp dụng nguyên tắc Dirichlet, ta suy kết cần chứng minh Bài 21 Dựng OAPB Gọi ( 0; ) có đường chéo I P điểm thược OP ( 0; ) Dựng hình thoi cạnh OI = giao điểm hai đường chéo, ta có:  3 = −  = ÷ ÷   ⇒ AI = AO − OI ⇒ AI = Vậy ⇒ AB = ∆AOB có cạnh Giả sử ngược lại, cặp hai điểm có khaongr cách chúng mà tô hai màu khác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com O Khơng matas tính chất tổng qt, ta giả sử điểm tô màu xanh, A B điểm tô màu đỏ điểm tô màu vàng Bởi PA = PB = suy P phải tô màu xanh Với cách lập luận ta suy ra, tất điểm đường ( 0; ) ( 0; ) tô màu xanh Mặt khác dễ dàng tìm hai điểm mà khoảng cách chúng , nên theo giả sử chúng tô hai màu khác Vô lý Điều vô lý chứng tỏ có hai điểm tơ màu mà khoảng cách chúng A1 , A2 , A3 ,K , A100 Bài 22 Gọi điểm cho M = { A1 , A2 , A3 ,K , A33 } N = { A34 , A35 , A36 ,K , A66 } Kí hiệu: , , P = { A67 , A68 , A69 ,K , A100 } 33 N 33 34 M P Tập gồm điểm, tập gồm điểm tập gồm điểm Trường hợp toán: yêu cầu chứng minh xảy như: Mỗi điểm tập hợp M nối với điểm tập hợp N Ccacs điểm tập hợp M nối với điểm tập hợp N P P tập N P M Các điểm tập hợp nối với điểm có tập tập (2 tập có 66 điểm) ( A,A ,A ,A ) 100 điểm số điểm Theo nguyên M tắc Dirichlet awrt phải có điểm thuộc vào tập hợp ( , N P ) i Thật vậy, giả sử j k l Do với cách phân chia đây, điểm không nối với Bài 23 Gọi cạnh AB Liên hệ tài 039.373.2038 K, I CD trung điểm liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Trên đoạn KI lấy điểm M N cho: KM = NI = Ta có: cịn MN = KI − KM − NI = 35 + − 16 = 19 + AM = BM = DN = CN  35 +  =  ÷ ÷+ > 20   Do ta vẽ đường có tâm đường trịn khơng cắt Bởi có A, B, C , D, M , N bán kính 10 điểm phân biệt nằm hình vng, tồn hình trịn khơng chứa điểm số điểm cho Nhận thấy, tâm đường trịn có khoảng tới điểm cho lớn 10 Bài 24 Dựng tam giác có cạnh Nếu ba đỉnh to màu (xanh đỏ) tốn chứng minh Trong trường hợp ngược lại, xét tam giác tô hai màu khác ABC có cạnh AB = mà A B AO = BO = D Lấy điểm mặt phẳng cho Vì A, B D khác màu nên màu với A B hai điểm AD = BD = Suy tồn đoạn t hẳng có mút tô hai màu khác Giả sử AD K đoạn thẳng Gọi trung điểm đoạn AD K thẳng màu với hai điểm A D K A Giả sử có màu xánh Vẽ tam giác Liên hệ tài 039.373.2038 liệu APK word AQK tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Q P Nếu có màu xanh ta có tam giác ba đỉnh tô màu xanh APK AQK có cạnh PQD có màu đỏ tam giác có đỉnh tô màu đỏ Dễ PQD thấy, tam giác có cạnh Nếu P Q Bài 25 Cách Có thể giải 808 Cách 2: giải cách sau đây: A, B, C ABC Vẽ tam giác ba đỉnh tơ màu ta có điều phải chứng minh A, B, C Nếu tô màu khác nhau, theo nguyên tắc Dirichlet, phải có hai đỉnh tô màu Giả sử A B đỉnh tô màu đen, C tơ màu đỏ Dựng lục giác ADGEFC có tâm B D Nếu tơ màu đen ta có điều phải CDE D chứng minh Cịn tơ màu đỏ, lại xét tam giác Nếu CDE E tô màu đỏ tam giác có ba đỉnh tơ màu đỏ, thỏa mãn Ta có tam giác ADB E BEF Có ngược lại tơ màu đen, lại xét tam giác Nếu F BEF tơ màu đen ta có có ba đỉnh tô màu đen, thỏa mãn Giả sử ngược lại Nếu điểm H F tô màu đỏ, lại xét tam giác tơ màu đỏ ta có tam giác CFH CFH có ba đỉnh H to màu đỏ, thỏa mãn Còn giả sử ngược lại tô BHI I màu đen lại vẽ tam giác Nếu tơ màu đen Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com BHI tam giác có ba đỉnh tơ màu đen, thỏa mãn Giả sử ngược I IDF IDF lại, tơ màu đỏ xét tam giác Dễ thấy tam giác I , D, F đều, theo ta có ba đỉnh tơ màu đỏ, thỏa mãn Tóm lại: ta chứng tỏ rằng, tồn tam giác mà ba đỉnh tô màu Bài 26 Lấy điểm thẳng song song với O 2000 mặt phẳng Qua đường thẳng cho Tại đối đỉnh có tổng số đo 360° O O dựng đường 4000 ta có góc đơi Từ suy điều phải chứng minh xy l đường thẳng vng góc với Ta đánh dấu 1, 2, 3,K ,8000 đoạn thẳng theo thứ tự Chiếu đoạn thẳng lên hai đường xy l thẳng Bài 27 Giả sử Kí hiệu bi ( i = 1, 2,K ,8000 đường thẳng Ta có Do + bi ≥ với ( a1 + a2 + K Suy ra: là Ta có xy ) tương ứng độ dài đoạn thẳng cho l i = 1, 2,K ,8000 a8000 ) + ( b1 + b2 + K b8000 ) ≥ 8000 = 4000 + 4000 a1 + a2 + K a8000 ≥ 4000 b1 + b2 + K b8000 ≥ 4000 8000 đoạn thẳng chiếu vng góc lên đường kính đường 4000 với độ dài Nếu hình chiếu đoạn thẳng cho lên đường thẳng a1 + a2 + K a8000 < 4000 điểm chung ta có: l mà khơng có l Vì tìm điểm hình chiếu điểm thuộc hai số đoạn thẳng cho Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com l Khi đường thẳng vng góc với dựng qua điểm có điểm chung với 8000 hai đoạn thẳng số đoạn thẳng cho Bài 28 Xét hình vng cạnh 2x2 , hình vng có hình vng nhỏ ln chung cạnh chung đỉnh nên tồn nhiều số chẵn, nhiều số chia hết cho có số lẻ khơng chia hết cho Bảng chia thành 25 hình vng có cạnh 2x2 10x10 nên có 50 số lẻ khơng chia hết cho Từ đến có số lẻ không chia hết cho 1, 5, Áp dụng nguyên lí Dirichlet ta ba số xuất  50   + = 17   lần Bài 29 Chia cạnh hình chữ nhật thành n đoạn 2n đoạn ,mỗi đoạn có độ dài n Nối điểm chia đường thẳng song songvới cạnh hình chữ nhật ta n n.2n = 2n2 hình vng nhỏ với cạnh Nếu hình vng chứa khơng q điểm tổng số điểm cho không 3.2n2 = 6n2 (trái với giả thiết) Do phải tồn hình vng chứa khơng điểm Rõ ràng hình vng cạnh 2n n nội tiếp đường trịn bán kính đường tròn chứa đường tròn đồng tâm bán kính Bài 30 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: n TÀI LIỆU TỐN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Lấy năm điểm tùy ý cho khơng có ba điểm thẳng hàng mặt phẳng Khi dùng có hai màu để tơ đỉnh, mà theo nguyên lí Dirichlet phải tồn ba điểm số màu Giả sử ba điểm A, B, C có màu đỏ Như ta có tam giác ABC với ba đỉnh màu đỏ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chỉ có hai khả xảy ra: + Nếu G có màu đỏ Khi A, B, C, G đỏ tốn giải + Nếu G có màu xanh Kéo dài GA, GB, GC đoạn AA ’ = 3GA , BB’ = 3GB, CC’ = 3GC Khi gọi M, N, P tương ứng trung điểm A ’A = 3AG = 6GM ⇒ A ’A = 2A M BC, CA, AB B’B = 2BN , CC’ = 2CP Tương tự Do tam giác A’BC, B’AC, C’AB tương ứng nhận A, B, C trọng tâm Mặt khác, ta có tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G Có hai trường hợp sau xảy ra: • Nếu A’, B’, C’ xanh Khi tam giác A’B’C’ trọng tâm G có màu xanh • Nếu điểm A’, B’, C’ có màu đỏ Khơng tính tổng qt giả sử A’ đỏ Khi đo tam giác A’BC trọng tâm A màu đỏ Vậy khả tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu Câu 31 Số học sinh lớp 6A đạt điểm kiểm tra từ đến là: 45 − = 43 ( học sinh) Ta có: 43 = 8.5 + Khi phân chia 43 học sinh vào loại điểm kiểm tra từ đến theo Ngun lý Dirichlet ln tồn + = học sinh có điểm kiểm tra giống Câu 32 Chia 52 số nguyên tùy ý cho 100,ta có số dư từ 0,1,2,3, { 0} ;{1,99} ; ;{ 49,51} , { 50} Ta có tất …,99.Ta phân số dư thành nhóm sau: 51 nhóm chia 52 số cho 100 ta có 52 số dư Theo ngun lí Dirichlet có số dư thuộc nhóm Ta có trường hợp: Trường hợp 1: Hai số dư giống nhau, suy hiệu hai số có số dư tương ứng chia hết cho 100 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 340 Website:tailieumontoan.com Trường hợp 2: Hai số dư khác nhau,suy tổng hai số dư có hai số dư tương ứng chia hết cho 100 Ta suy điều phải chứng minh Câu 33 Nếu khoảng cách hai điểm bé ta cần chọn ( A,1) A điểm số 2019 điểm cho, vẽ đường tròn , đường tròn chứa 2018 điểm cịn lại, ta có điều phải chứng minh Giả sử có hai điểm A B 2019 điểm cho mà có khoảng cách lớn Vẽ đường tròn tâm C điểm Mỗi điểm Vì AB > B nên , bán kính Ta cịn lại 2017 số 2017 điểm AB, AC , BC Theo A B BC < phải có đoạn thẳng có độ dài bé AC < nằm đường tròn Do ( B,1) C nằm đường trịn ( A,1) Do có 2017 điểm C nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn  2017    + = 1009 điểm nằm đường tròn Giả sử đường tròn đường trịn ( A,1) Liên hệ tài 039.373.2038 ( A,1) Cùng với điểm A ta có 1010 điểm nằm (đpcm) liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... nhau) chia hết cho 2 013 Hướng dẫn giải Xét 2014 số sau: 2012, 20122012, , 2012 2012 (gồm 2014 số 2102) Đem 2014 số chia cho 2 013, có 2014 số mà có 2 013 số dư phép chia cho 2 013 (là 0, 1, 2, , 2012)... cho 2 013 có số dư, chẳng hạn a = 2012 2012 (gồm i 2012) b = 2012 2012 (gồm j 2012) với ≤ i ≤ j ≤ 2014 Khi b − a = 2012 2012.10 4i (gồm j – i 2012) chia hết cho 2 013 4i Lại có ƯCLN (10 , 2 013) ... 2012 (gồm j – i 2012 chia hết cho 2 013 Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” số có dạng 2012 2012, “lồng” số dư phép chia cho 2 013) Nhận xét Mấu chốt toán chọn 2014 (= 2 013 + 1) số tự nhiên có dạng cho Từ