TH1 b2 AnhNTN nguyen ly dirichlet

Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm trong các điểm đã cho tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá 1/8.. CÁC SỐ RASEY Có thể khẳng định rằng trong 6 người bất kỳ luôn tìm được 3

NGUYÊN LÝ DIRICHLET

Nguyễn Thị Ngọc Ánh

Trường THPT Chuyên – Thái Nguyên

* Email: anhtoan416@gmail.com

Nguyên lý Dirichlet (The Dirichlet principle) mang tên nhà toán học

người Đức: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) Nguyên

lý này còn có tên gọi là nguyên lý chuồng chim bồ câu (The Pigeonhole

principle) hay nguyên lý sắp xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer principle

hay The Box principle) Nguyên lý chứa đựng nội dung dễ hiểu nhưng có

ứng dụng sâu sắc và hiệu quả trong nhiều bài toán, đặc biệt là trong các chứng minh về sự tồn tại của một đối tượng thỏa mãn tính chất nào đó

1 NGUYÊN LÍ DIRICHLET

1.1 Nguyên lý Dirichlet dạng đơn giản

Nếu nhốt hết n+1 (n là số nguyên dương) con thỏ vào n chuồng thì có ít nhất 1 chuồng có từ 2 con trở lên

Ví dụ 1.1 Trong tập hợp 13 người bất kỳ, luôn tồn tại 2 người có cùng tháng

sinh

Ví dụ 1.2 Một triệu cây thông được trồng trong một cánh rừng Biết rằng không

cây thông nào có nhiều hơn 600000 lá Vậy trong cánh rừng đó có hai cây thông

có cùng số lá (Bởi chúng ta có một triệu “chú thỏ” là những cây thông nhưng chỉ

có 600001 chuồng bồ câu đánh số từ 0 đến 600000 tương ứng với số lá có thể có trên những cây thông)

1.2 Nguyên lý Dirichlet dạng tổng quát

Nếu nhốt hết n m + r (m, n, r là các số nguyên dương) con thỏ vào n chuồng thì phải có ít nhất một chuồng chứa từ m +1 con trở lên

Ví dụ 1.3 Trong tập hợp 30 người bất kì, có ít nhất 3 người trùng tháng sinh

Ví dụ 1.4 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, S là tập con bất kỳ của X có 7

phần tử Chứng minh rằng luôn tồn tại hai phần tử của S mà tổng của chúng bằng 10

Giải:

Những tập con H 1 = {0 ; 10} ; H2 = {1 ; 9} ; H3 = {2 ; 8} ; H4 = {3 ; 7} ;

H5 = {4 ; 6} ; H6 = {5} có thể coi như 6 chuồng thỏ và các phần tử của S coi như

7 con thỏ Theo nguyên lý Dirichlet ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.5 Cho X là một tập hợp bất kỳ gồm 7 số nguyên phân biệt Hãy chỉ ra

rằng có hai số nguyên x, y thuộc X thỏa mãn x + y hoặc x - y chia hết cho 10 Giải:

Giải sử X = {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7} là tập hợp gồm 7 số nguyên phân biệt

Gọi r i là số dư khi chia x i cho 10 Ta xét các tập con của X

H 1 = {x i | r i = 0} H 2 = {x i | r i = 5}

H 3 = {x i | r i = 1 hoặc 9} H 4 = {x i | r i = 2 hoặc 8}

H 5 = {x i | r i = 3 hoặc 7} H 6 = {x i | r i = 4 hoặc 6}

Vậy có 6 chuồng cho 7 con thỏ

Nếu x và y cùng thuộc H 1 hoặc H2 thì cả x + y và x - y chia hết cho 10 Nếu x và y thuộc một trong 4 tập còn lại thì x + y hoặc x - y chia hết cho 10 nhưng không xảy ra cả x + y hoặc x - y chia hết cho 10

Ví dụ 1.6 Cho 9 điểm nằm trong hình vuông đơn vị Chứng minh rằng tồn tại 3

điểm trong các điểm đã cho tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá 1/8

Giải

Chia hình vuông đã cho thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau Khi đó 4 hình vuông này là 4 chuồng Chín điểm là 9 thỏ Vậy có 3 điểm nằm trong cùng một hình vuông nhỏ diện tích ¼ tạo thành một tam giác

Cắt hình vuông nhỏ đó thành 2 hình chữ nhật bởi một đường thẳng đi qua một đỉnh của tam giác và song song với một cạnh hình vuông (xem hình vẽ) Trong mỗi phần, dễ thấy diện tích tam giác không vượt quá nửa diện tích hình chữ nhật Từ đó ta có điều phải chứng minh

Chú ý: Trong bài toán này, ta coi ba điểm thẳng hàng là tam giác có diện

tích bằng 0

Nhận xét 1.1: Qua các ví dụ trên chúng ta thấy có một cách xây dựng các

chuồng thỏ là chia nhỏ đối tượng ban đầu thành n – chuồng Sau đây chúng ta xét đến những ví dụ mà có thể xây dựng những dãy số như là những con thỏ

Ví dụ 1.7 Cho tập hợp X gồm n số nguyên bất kỳ Chứng minh X luôn có một

tập con mà tổng của các số nguyên có trong tập hợp đó chia hết cho n

1 2

S − =S a+ +a+ + +a là tổng chia hết cho n

Ví dụ 1.8 Cho tập hợp X gồm n số thực bất kỳ Chứng minh rằng luôn tồn tại

một tập con S khác rỗng của X và một số nguyên m thỏa mãn:

- Trường hợp còn lại, chúng ta coi n phần lẻ đó là những con thỏ, n -1

{ i 1 , i 2 , , j}

S = a+ a+ a và số nguyên m bất kì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét 1.2: Trong ví dụ 1.8 chúng ta phải kết hợp hai công việc: vừa xây

dựng dãy số, vừa phân chia một tập hợp nào đó để tạo thành các chuồng Các

ví dụ 1.9, ví dụ 1.10 cho thấy lợi ích của việc qui bài toán ban đầu về bài toán liên quan đến dãy nhị phân

Ví dụ 1.9 Cho X là một tập hợp m số nguyên dương Gọi p p1, 2, ,p n là các ước

nguyên tố của các số trong X Chứng minh rằng nếu m> 2n thì tồn tại hai số trong X mà tích của chúng là một số chính phương

Ví dụ 1.10 Một dãy m số nguyên dương chứa chính xác n số hạng phân biệt

tích của chúng là một số chính phương

Giải: k i = 0

Lấy b b1, , ,2 b m là một dãy trong đó b i∈{a a1 , , , 2 a n},1 ≤ ≤i m.

Với mỗi j m≤ ta xét dãy con những số hạng liên tiếp b b1, , ,2 b j Ứng với mỗi dãy con này ta có một bộ K j∈ ( , , , )k k1 2 k n , trong đó k i = 0 nếu a i xuất hiện số chẵn lần trong dãy con trên, trường hợp còn lại k i = 1

- N ếu tồn tại j m≤ : K j∈ (0,0, ,0) thì tích b b b1 .2 j là số chính phương

- Trường hợp còn lại, ta lấy m thỏ là m bộ K jvới 1 ≤ ≤j m. Có 2nchuồng thỏ là số các giá trị của ( , , , )k k1 2 k n với k i = 0 hoặc k i = 1 với 1 ≤ ≤i n. Theo giả thiết, có hai bộ K j =K l, với j l≤ Khi đó trong dãy b j+1,b j+2, ,b l, mỗi

i

a xuất hiện số chẵn lần Vậy tích b b j+1. j+2 b l là một số chính phương

Ví dụ 1.11 Trong mặt phẳng có 2015 điểm sao cho cứ 3 điểm bất kỳ có ít nhất 2

điểm cách nhau một khoảng nhỏ hơn 1 cm Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có 1008 điểm nằm trong một hình tròn bán kính bằng 1 cm

Giải:

Xét hình tròn (C) tâm A, bán kính bằng 1

- N ếu tất cả 2015 điểm đều thuộc (C) thì (C) là hình tròn cần tìm

- N ếu có điểm B sao cho AB≥ 1 thì xét thêm hình tròn (C ’ ) tâm B, bán kính 1

Với mỗi điểm E trong 2013 điểm còn lại thì E thuộc (C) hoặc E thuộc (C ’ ) Từ

đây có điều phải chứng minh

N hận xét 1.3: Trong ví dụ này, xuất phát từ một đối tượng ban đầu là điểm A Ta xây dựng nên các chuồng từ đó vận dụng nguyên lí Dirichlet vào giải toán Phương pháp này được gọi là phương pháp tạo n – chuồng từ đối tượng xuất phát ( Xem tài liệu giáo khoa chuyên Toán 10)

Ví dụ 1.12 Chứng minh rằng trong n+1 số nguyên dương không vượt quá 2n,

đó k j là số nguyên không âm còn q j là số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 2n và

1 ≤ ≤ +j n 1 Vì chỉ có n số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 2n nên tồn tại hai trong số các số lẻ q q1, 2, ,q n+1 bằng nhau, tức là có hai chỉ số i, j sao cho q i =q j =q Khi đó hai số 2 k i

i

a = q và 2 k j

j

a = q thỏa mãn yêu cầu bài toán

N goài một số phương pháp nêu trên, chúng ta có thể xây dựng bảng và áp dụng nguyên lý Dirichlet cho các hàng (cột) để suy ra các tính chất cần sử dụng

Ví dụ 1.13 Giả sử a 1 , a 2 ,…, a n là các số thực cho trước Chứng minh luôn có một số thực x sao cho tất cả các số a 1 + x, a 2 + x , …, a n + x đều là số vô tỷ

Ví dụ 1.14 Người ta sơn đỏ một số cung của đường tròn với tổng độ dài các

cung bé hơn nửa chu vi đường tròn Chứng minh rằng tồn tại một đường kính của đường tròn đã cho có hai đầu không bị sơn đỏ

Giải:

Ta sơn xanh tất cả các cung đối xứng với các cung đã bị sơn đỏ của đường tròn Từ giả thiết ta suy ra, tổng độ dài của tất cả các cung bị sơn bé hơn chu vi đường tròn Do đó tồn tại một điểm không bị sơn và dễ thấy đường kính qua điểm này chính là đường kính cần tìm

Nhận xét1.4: Trong lời giải này chúng ta đã tạo ra những chuồng có sức chứa

không hết thỏ Vì vậy còn thỏ ở ngoài chuồng

2 CÁC SỐ RASEY

Có thể khẳng định rằng trong 6 người bất kỳ luôn tìm được 3 người sao cho hoặc họ quen nhau từng đôi một hoặc họ không quen nhau từng đôi một hay không? Đây là một bài toán đố đã xuất hiện từ lâu trong lý thuyết tổ hợp Lời giải của nó là một trường hợp riêng của định lý đã được Ramsey chứng minh vào năm 1928 Định lý này có nhiều mở rộng sâu sắc và quan

trọng không những chỉ trong lý thuyết tổ hợp và đồ thị mà còn trong các lĩnh vực khác như giải tích, đại số, hình học Chúng ta sẽ vận dụng nguyên lí Dirichlet trong một số bài toán về các số Ramsey sau đây:

Ví dụ 2.1: Cho trước một nhóm 6 người bất kỳ Chứng minh rằng luôn có một

nhóm con gồm 3 người trong đó họ quen nhau từng đôi một hoặc họ không quen nhau từng đôi một

( Bài toán trên được đề xuất bởi Bostwick ( Mỹ), năm 1958 )

Giải:

Giả sử {A, B, C, D, E, F} là một nhóm gồm 6 người Giả thiết rằng những người quen người A thì ngồi ở phòng Y và những người không quen

người A thì ngồi ở phòng Z N gười A không ngồi trong hai phòng đó Khi

đó có ít nhất 3 người ngồi trong phòng Y hoặc ngồi trong phòng Z

(a) Không mất tổng quát giả sử 3 người cùng ngồi trong phòng Y là

B, C, D nếu 3 người này không quen biết lẫn nhau thì yêu cầu bài toán được thoả mãn N ếu 3 người này có 2 người quen biết nhau giả sử B, C thì ta có nhóm 3 người là A, B, C quen biết lẫn nhau Yêu cầu bài toán được thoả mãn (b) Giả sử 3 người cùng ngồi trong phòng Z là B, C, D tương tự ta chỉ cần thay đổi khái niệm "quen biết lẫn nhau" với "không quen biết lẫn nhau" thì ta cũng chỉ ra được nhóm 3 người thoả mãn yêu cầu bài toán

N ếu ta coi 6 người như là 6 điểm trong mặt phẳng thì ta có thể gặp bài toán trên dưới một dạng khác như sau:

Trong mặt phẳng cho sáu điểm được nối với nhau từng đôi một bởi các cung màu xanh hoặc màu đỏ Chứng minh rằng luôn tìm được 3 điểm sao cho các cung nối chúng có cùng một màu (ta nói là chúng tạo thành tam giác xanh hoặc đỏ)

Giải:

Chọn điểm P nào đó trong 6 điểm Từ nó có 5 cung nối với 5 điểm còn lại Theo nguyên lý Dirichlet, có 3 trong số 5 cung đó phải có cùng một màu, chẳng hạn là màu xanh Giả sử đó là các cung PA, PB, PC N ếu như một trong số 3 cung AB, AC, BC có màu xanh thì nó cùng với hai trong số ba

cung PA, PB, PC tạo thành một tam giác xanh N ếu ngược lại thì tam giác ABC là một tam giác đỏ

Định nghĩa 2.1: Cho p và q là hai số nguyên dương Một số nguyên dương r

được gọi là có tính chất (p, q) - Ramsey nếu trong một nhóm r người bất kỳ luôn có một nhóm con p người quen biết lẫn nhau hoặc q người không quen biết lẫn nhau Số nhỏ nhất r có tính chất (p, q) - Ramsey được gọi là số

a) Tương tự như các bài tập trên ta chỉ cần thay đổi hai khái niệm

"quen biết lẫn nhau" và "không quen biết lẫn nhau" thì ta được:

R(p, q) = R(q, p)

b) Hiển nhiên vì cho một nhóm p người bất kỳ thì hoặc p người này quen biết lẫn nhau hoặc có ít nhất hai người không quen biết lẫn nhau

Chú ý 2.1:

Định nghĩa số Ramsey có cách phát biểu khác như sau:

Một clique là một cấu hình bao gồm một tập hợp hữu hạn các đỉnh cùng với các “cạnh” nối từng cặp của tất cả các đỉnh Một k – clique là một clique

đúng k đỉnh Cho p, q là hai số nguyên dương, R(p, q) là số tự nhiên nhỏ nhất

“n” thỏa mãn rằng với bất kì cách tô màu các cạnh của một n – clique bởi hai

màu xanh hoặc đỏ ( mỗi cạnh chỉ tô một màu), thì có một p – clique xanh hoặc một q – clique đỏ

Ví dụ 2.3: Chỉ ra rằng R(3, 3) = 6

Giải:

Theo ví dụ 2.1, ta có R(3, 3) ≤ 6 Ta phải chỉ ra R(3, 3) > 5 ta sắp xếp chỗ ngồi cho một nhóm 5 người quanh một bàn tròn sao cho mỗi người chỉ quen biết với hai người ngồi ngay bên cạnh Trong tình huống này không có

tập hợp 3 người nào thoả mãn quen biết lẫn nhau từng đôi một hoặc không quen biết lẫn nhau từng đôi một Vậy R(3, 3) = 6

Chú ý 2.2:

Tương tự như trong ví dụ 2.1, ta có thể chứng minh R(3, 3) > 5 bằng cách sử dụng phương pháp tô màu Giả sử ta có 5 đỉnh là A, B, C, D, E tạo thành một lục giác ABCDE Ta tô màu các cạnh của lục giác bởi màu xanh còn các đường chéo của lục giác được tô màu đỏ Khi đó không tồn tại tam giác xanh hay tam giác đỏ nào Điều đó chứng tỏ R(3, 3) > 5

Ví dụ 2.4: Chứng minh rằng nếu m, n là hai số nguyên lớn hơn 2 thì:

là tập hợp những người không biết người 1 Cả hai tập hợp này có r − 1

người Do đó, hoặc L có ít nhất p người hoặc M có ít nhất q người

a) N ếu L có ít nhất p = R(m − 1, n) người thì bằng định nghĩa, L chứa một tập con của (m − 1) người quen biết lẫn nhau hoặc chứa một tập con của

n người không quen biết lẫn nhau Trong trường hợp này (m−1) người này và người 1 tạo thành nhóm m người quen biết lẫn nhau

Do đó, trong trường hợp này nhóm của R(m−1, n) + R(m, n−1) người luôn có m người quen biết lẫn nhau hoặc n người không quen biết lẫn nhau Vậy:

R(m, n) ≤ R(m − 1, n) + R(m, n − 1)

b) Lý luận tương tự nếu M có ít nhất q người

Từ a) và b) suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.5 Mười bảy người trao đổi với nhau qua thư Mỗi người trao đổi với

những người còn lại Trong những bức thư chỉ có ba chủ đề được thảo luận Mỗi cặp chỉ trao đổi một chủ đề Chứng minh rằng có ít nhất 3 người viết cho nhau

về cùng một chủ đề

Giải:

Ta coi 17 người như 17 đỉnh A, B, C, , trong đó cứ 2 đỉnh được nối với nhau bởi một cạnh Một cạnh nối hai đỉnh X và Y được tô màu xanh ( hoặc đỏ hay vàng) nếu 2 người tương ứng X và Y thảo luận về chủ đề 1 ( hoặc 2 hay 3) Ta quan tâm tới đỉnh A Từ A có 16 cạnh được tô bởi 3 màu nên có ít nhất 6 cạnh cùng màu Giả sử rằng AB, AC, AD, AE, AF và AG cùng màu xanh

Ta xét 6 đỉnh B, C, D, E, F Có 15 cạnh nối giữa 6 đỉnh này N ếu trong 15 cạnh này có một cạnh màu xanh, giả sử BC thì ta có tam giác ABC màu xanh

N ếu không có cạnh nào trong số 15 cạnh nói trên màu xanh thì các cạnh này chỉ được tô bởi hai màu đỏ và vàng Theo kết quả trong mục 5 có ít nhất một tam giác đỏ hoặc một tam giác vàng Ta có điều phải chứng minh

Các số R (p, q) được đặt tên là các số Ramsey để tỏ lòng tôn kính tới nhà khoa học người Anh Frank P Ramsey (1903 – 1930) người đã chứng minh một định lí đặc biệt vào năm 1928 Định lí Ramsey:

“Với mọi số nguyên p, q ≥ 2, số R(p, q) luôn tồn tại”

Ramsey mất do một biến chứng sau phẫu thuật ổ bụng trước sinh nhật lần thứ 27 của ông Hệ thức truy hồi trong bài 5.6 được xây dựng bởi hai nhà toán học Hungary là Erdo s và Szekeres Lí thuyết về các số Ramsey là một phần nhỏ của lí thuyết Ramsey Lí thuyết Ramsey được phát triển mạnh mẽ bởi nhiều nhà khoa học sau này và có nhiều ứng dụng trong khoa học cũng như trong cuộc sống

3 BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 3.1: Trong tam giác đều có cạnh bằng 4cm hãy lấy 17 điểm phân biệt Chứng

minh rằng trong 17 điểm có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 1 cm

Bài 3.2: Trong hình tròn có diện tích bằng 1 ta lấy 17 điểm bất kỳ, không có 3

điểm nào thẳng hàng Chứng minh có ít nhất 3 điểm hợp thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng

8

1

Bài 3.3: Mỗi đỉnh của một cửu giác đều được tô bởi một màu xanh hoặc đỏ

Tam giác đỏ là tam giác có ba đỉnh được tô bởi màu đỏ Tương tự ta có các tam giác xanh Chứng minh rằng trong các tam giác tạo ra từ 9 đỉnh của cửu giác, có hai tam giác cùng màu đồng dạng

Bài 3.4: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đa giác lồi có số cạnh lớn hơn hoặc bằng 5

và tất cả các đỉnh có tọa độ nguyên (ta gọi chúng là các điểm nguyên) Chứng minh rằng ở bên trong hoặc trên cạnh của đa giác đó có ít nhất một điểm nguyên khác nữa

Bài 3.5: Chứng minh có số dạng 20152015…2015 00 0 chia hết cho 2013

Bài 3.6: Chứng minh rằng từ 2015 số nguyên dương bất kì luôn có thể chọn ra

được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 4026

Bài 3.7: Có n đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn tính điểm Biết rằng đội nào

cũng có ít nhất một trận thắng (cả giải không có trận hòa nào) Chứng minh tồn tại 2 đội có cùng số trận thắng

Bài 3.8: Một tủ chứa 20 chiếc áo trong đó có 4 chiếc màu đỏ, 7 chiếc màu trắng

và 9 chiếc màu xanh Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc áo (khi lấy không nhìn thấy màu sắc của chiếc áo mình sẽ lấy ra) để có được:

a, N ăm chiếc áo cùng màu b, Chín chiếc áo cùng màu

Bài 3.9: Trong một cuộc thi có 20 thí sinh Mỗi người phải thi 2 vòng Điểm của

mỗi vòng thi được cho là một số tự nhiên từ 1 đến 10 N gười ta so sánh điểm của từng vòng thi tương ứng (vòng 1, vòng 2) giữa các thí sinh N gười A gọi là so sánh được với người B nếu điểm mỗi vòng thi của A không nhỏ hơn điểm mỗi vòng thi tương ứng của B Biết rằng không có hai thí sinh nào có cùng cặp điểm

số tương ứng Chứng minh rằng có thể chọn được ba thí sinh A, B, C sao cho A

so sánh được với B và B so sánh được với C

Bài 3.10: Trên sân trường có một hình ngũ giác lồi ABCDE, độ dài mỗi cạnh và

độ dài các đường chéo AC, AD không vượt quá 2 mét Giả sử có 2013 con kiến nằm trong ngũ giác đó Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính 1 mét, tâm nằm trên cạnh của ngũ giác, chứa ít nhất 504 con kiến