TH1 b2 AnhNTN nguyen ly dirichlet

NGUYÊN LÝ DIRICHLET Nguyễn Thị Ngọc Ánh Trường THPT Chuyên – Thái Nguyên * Email: anhtoan416@gmail.com Nguyên lý Dirichlet (The Dirichlet principle) mang tên nhà toán học người Đức: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) Nguyên lý có tên gọi ngun lý chuồng chim bồ câu (The Pigeonhole principle) hay nguyên lý xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer principle hay The Box principle) Nguyên lý chứa đựng nội dung dễ hiểu có ứng dụng sâu sắc hiệu nhiều toán, đặc biệt chứng minh tồn đối tượng thỏa mãn tính chất NGUN LÍ DIRICHLET 1.1 Ngun lý Dirichlet dạng đơn giản Nếu nhốt hết n+1 (n số ngun dương) thỏ vào n chuồng có chuồng có từ trở lên Ví dụ 1.1 Trong tập hợp 13 người bất kỳ, ln tồn người có tháng sinh Ví dụ 1.2 Một triệu thông trồng cánh rừng Biết khơng thơng có nhiều 600000 Vậy cánh rừng có hai thơng có số (Bởi có triệu “chú thỏ” thông có 600001 chuồng bồ câu đánh số từ đến 600000 tương ứng với số có thông) 1.2 Nguyên lý Dirichlet dạng tổng quát Nếu nhốt hết n m + r (m, n, r số nguyên dương) thỏ vào n chuồng phải có chuồng chứa từ m +1 trở lên Ví dụ 1.3 Trong tập hợp 30 người bất kì, có người trùng tháng sinh Ví dụ 1.4 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, S tập X có phần tử Chứng minh tồn hai phần tử S mà tổng chúng 10 Giải: Những tập H1 = {0 ; 10} ; H2 = {1 ; 9} ; H3 = {2 ; 8} ; H4 = {3 ; 7} ; H5 = {4 ; 6} ; H6 = {5} coi chuồng thỏ phần tử S coi thỏ Theo nguyên lý Dirichlet ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.5 Cho X tập hợp gồm số nguyên phân biệt Hãy có hai số nguyên x, y thuộc X thỏa mãn x + y x - y chia hết cho 10 Giải: Giải sử X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} tập hợp gồm số nguyên phân biệt Gọi ri số dư chia xi cho 10 Ta xét tập X H1 = {xi | ri = 0} H2 = {xi | ri = 5} H3= {xi | ri = 9} H4 = {xi | ri = 8} H5= {xi | ri = 7} H6 = {xi | ri = 6} Vậy có chuồng cho thỏ Nếu x y thuộc H1 H2 x + y x - y chia hết cho 10 Nếu x y thuộc tập lại x + y x - y chia hết cho 10 không xảy x + y x - y chia hết cho 10 Ví dụ 1.6 Cho điểm nằm hình vuông đơn vị Chứng minh tồn điểm điểm cho tạo thành tam giác có diện tích khơng vượt q 1/8 Giải Chia hình vng cho thành hình vng nhỏ Khi hình vng chuồng Chín điểm thỏ Vậy có điểm nằm hình vng nhỏ diện tích ¼ tạo thành tam giác Cắt hình vng nhỏ thành hình chữ nhật đường thẳng qua đỉnh tam giác song song với cạnh hình vng (xem hình vẽ) Trong phần, dễ thấy diện tích tam giác khơng vượt q nửa diện tích hình chữ nhật Từ ta có điều phải chứng minh Chú ý: Trong toán này, ta coi ba điểm thẳng hàng tam giác có diện tích Nhận xét 1.1: Qua ví dụ thấy có cách xây dựng chuồng thỏ chia nhỏ đối tượng ban đầu thành n – chuồng Sau xét đến ví dụ mà xây dựng dãy số thỏ Ví dụ 1.7 Cho tập hợp X gồm n số nguyên Chứng minh X ln có tập mà tổng số nguyên có tập hợp chia hết cho n Giải: Giả sử X = {a1 , a2 , , an } Xét dãy S1 , S , , S n (1) với S1 = a1 ; S = a1 + a2 ; …, S n = a1 + a2 + + an Nếu dãy (1) có tổng chia hết cho n yêu cầu toán thỏa mãn Ngược lại, xét n “thỏ” n số hạng dãy (1) Các “chuồng” (n-1) số dư 1, 2, ,…, n-1 chia số nguyên cho n Theo nguyên lí Dirichlet có hai số Si , S j , ( i < j ) dãy (1) có số dư chia cho n Do đó, S j − Si = +1 + + + + a j tổng chia hết cho n Ví dụ 1.8 Cho tập hợp X gồm n số thực Chứng minh tồn tập S khác rỗng X số nguyên m thỏa mãn: m+x ≤ x∈S n +1 Giải: Giả sử X = {a1 , a2 , , an } Gọi phần lẻ số thực x x −  x  , kí hiệu: { x} Xét dãy {S1} , {S2 } , , {Sn } (1) với S1 = a1 ; S = a1 + a2 ; …, S n = a1 + a2 + + an   n  - Nếu dãy (1) có số {Sk } thuộc đoạn 0; ;1 ta    n +1   n + 1 dễ dàng có số m thỏa mãn bất đẳng thức cho Tập S lúc {a1 , a2 , , ak } - Trường hợp lại, coi n phần lẻ thỏ, n -1    chuồng đoạn  ; ; , ,…,   n + n +   n + n +   n −1 n   n + ; n +  Theo ngun lí Dirichlet có {Si } , {S j } với i < j thuộc đoạn Khi tồn S = {ai +1 , + , , a j } số nguyên m thỏa mãn yêu cầu tốn Nhận xét 1.2: Trong ví dụ 1.8 phải kết hợp hai công việc: vừa xây dựng dãy số, vừa phân chia tập hợp để tạo thành chuồng Các ví dụ 1.9, ví dụ 1.10 cho thấy lợi ích việc qui tốn ban đầu toán liên quan đến dãy nhị phân Ví dụ 1.9 Cho X tập hợp m số nguyên dương Gọi p1 , p2 , , pn ước nguyên tố số X Chứng minh m > 2n tồn hai số X mà tích chúng số phương Giải: Mỗi số M X mã hóa dãy nhị phân ( x1 , x2 , , xn ) xi = số mũ pi phân tích tiêu chuNn M chẵn; xi = số mũ pi phân tích tiêu chuNn M lẻ Ta xác định m thỏ m số X Các chuồng 2n dãy nhị phân có độ dài n Khi có hai số có tương ứng dãy nhị phân Tích hai số số phương Ví dụ 1.10 Một dãy m số nguyên dương chứa xác n số hạng phân biệt Chứng minh rằng: Nếu 2n ≤ m tồn số hạng liên tiếp dãy mà tích chúng số phương Giải: ki = Lấy b1 , b2 , , bm dãy bi ∈ {a1 , a2 , , an } ,1 ≤ i ≤ m Với j ≤ m ta xét dãy số hạng liên tiếp b1 , b2 , , b j Ứng với dãy ta có K j ∈ (k1 , k2 , , kn ) , ki = xuất số chẵn lần dãy trên, trường hợp lại ki = - N ếu tồn j ≤ m : K j ∈ (0, 0, , 0) tích b1.b2 b j số phương - Trường hợp lại, ta lấy m thỏ m K j với ≤ j ≤ m Có 2n chuồng thỏ số giá trị (k1 , k2 , , kn ) với ki = ki = với ≤ i ≤ n Theo giả thiết, có hai K j = Kl , với j ≤ l Khi dãy b j +1 , b j + , , bl , xuất số chẵn lần Vậy tích b j +1.b j + .bl số phương Ví dụ 1.11 Trong mặt phẳng có 2015 điểm cho điểm có điểm cách khoảng nhỏ cm Chứng minh điểm cho có 1008 điểm nằm hình tròn bán kính cm Giải: Xét hình tròn (C) tâm A, bán kính - N ếu tất 2015 điểm thuộc (C) (C) hình tròn cần tìm - N ếu có điểm B cho AB ≥ xét thêm hình tròn (C’) tâm B, bán kính Với điểm E 2013 điểm lại E thuộc (C) E thuộc (C’) Từ có điều phải chứng minh N hận xét 1.3: Trong ví dụ này, xuất phát từ đối tượng ban đầu điểm A Ta xây dựng nên chuồng từ vận dụng ngun lí Dirichlet vào giải toán Phương pháp gọi phương pháp tạo n – chuồng từ đối tượng xuất phát ( Xem tài liệu giáo khoa chun Tốn 10) Ví dụ 1.12 Chứng minh n+1 số nguyên dương không vượt q 2n, có số chia hết cho số khác Giải: Giả sử n +1 số nguyên dương a1, a2,…, an+1 Ta viết số dạng tích lũy thừa số với số lẻ N ói cách khác, ta có a j = k q j , j k j số ngun khơng âm q j số nguyên dương lẻ nhỏ 2n ≤ j ≤ n + Vì có n số ngun dương lẻ nhỏ 2n nên tồn hai số số lẻ q1 , q2 , , qn +1 nhau, tức có hai số i, j cho qi = q j = q Khi hai số = k q a j = k q thỏa mãn yêu cầu toán i j N goài số phương pháp nêu trên, xây dựng bảng áp dụng nguyên lý Dirichlet cho hàng (cột) để suy tính chất cần sử dụng Ví dụ 1.13 Giả sử a1, a2,…, an số thực cho trước Chứng minh ln có số thực x cho tất số a1 + x, a2 + x , …, an + x số vô tỷ Giải: Giả sử t số vơ tỉ Ta chứng minh số t, 2t,…, (n+1)t có số thỏa mãn Giả thiết phản chứng khơng có số số thỏa mãn Lập bảng (n + 1) x n sau: t + a1 t + a2 … t + an 2t + a1 2t + a2 … 2t + an … … (n + 1) t + a1 (n + 1) t + a2 … … … (n + 1) t + an Có n + hàng n cột Theo giả thiết phản chứng hàng có số hữu tỉ nên có n +1 số hữu tỉ bảng Vì có n cột nên có cột chứa hai số hữu tỉ Khi hiệu chúng số hữu tỉ, vơ lí Ví dụ 1.14 Người ta sơn đỏ số cung đường tròn với tổng độ dài cung bé nửa chu vi đường tròn Chứng minh tồn đường kính đường tròn cho có hai đầu khơng bị sơn đỏ Giải: Ta sơn xanh tất cung đối xứng với cung bị sơn đỏ đường tròn Từ giả thiết ta suy ra, tổng độ dài tất cung bị sơn bé chu vi đường tròn Do tồn điểm khơng bị sơn dễ thấy đường kính qua điểm đường kính cần tìm Nhận xét1.4: Trong lời giải tạo chuồng có sức chứa khơng hết thỏ Vì thỏ ngồi chuồng CÁC SỐ RASEY Có thể khẳng định người ln tìm người cho họ quen đôi họ không quen đôi hay không? Đây toán đố xuất từ lâu lý thuyết tổ hợp Lời giải trường hợp riêng định lý Ramsey chứng minh vào năm 1928 Định lý có nhiều mở rộng sâu sắc quan trọng lý thuyết tổ hợp đồ thị mà lĩnh vực khác giải tích, đại số, hình học Chúng ta vận dụng nguyên lí Dirichlet số tốn số Ramsey sau đây: Ví dụ 2.1: Cho trước nhóm người Chứng minh ln có nhóm gồm người họ quen đơi họ khơng quen đơi ( Bài tốn đề xuất Bostwick ( Mỹ), năm 1958 ) Giải: Giả sử {A, B, C, D, E, F} nhóm gồm người Giả thiết người quen người A ngồi phòng Y người khơng quen người A ngồi phòng Z N gười A khơng ngồi hai phòng Khi có người ngồi phòng Y ngồi phòng Z (a) Khơng tổng quát giả sử người ngồi phòng Y B, C, D người không quen biết lẫn u cầu tốn thoả mãn N ếu người có người quen biết giả sử B, C ta có nhóm người A, B, C quen biết lẫn Yêu cầu toán thoả mãn (b) Giả sử người ngồi phòng Z B, C, D tương tự ta cần thay đổi khái niệm "quen biết lẫn nhau" với "không quen biết lẫn nhau" ta nhóm người thoả mãn yêu cầu toán N ếu ta coi người điểm mặt phẳng ta gặp tốn dạng khác sau: Trong mặt phẳng cho sáu điểm nối với đôi cung màu xanh màu đỏ Chứng minh ln tìm điểm cho cung nối chúng có màu (ta nói chúng tạo thành tam giác xanh đỏ) Giải: Chọn điểm P điểm Từ có cung nối với điểm lại Theo ngun lý Dirichlet, có số cung phải có màu, chẳng hạn màu xanh Giả sử cung PA, PB, PC N ếu số cung AB, AC, BC có màu xanh với hai số ba cung PA, PB, PC tạo thành tam giác xanh N ếu ngược lại tam giác ABC tam giác đỏ Định nghĩa 2.1: Cho p q hai số nguyên dương Một số ngun dương r gọi có tính chất (p, q) - Ramsey nhóm r người ln có nhóm p người quen biết lẫn q người không quen biết lẫn Số nhỏ r có tính chất (p, q) - Ramsey gọi số Ramsey, kí hiệu R(p, q) Ví dụ 2.2 Chứng minh rằng: a) R(p, q) = R(q, p) b) R(p, 2) = p Giải: a) Tương tự tập ta cần thay đổi hai khái niệm "quen biết lẫn nhau" "khơng quen biết lẫn nhau" ta được: R(p, q) = R(q, p) b) Hiển nhiên cho nhóm p người p người quen biết lẫn có hai người không quen biết lẫn Chú ý 2.1: Định nghĩa số Ramsey có cách phát biểu khác sau: Một clique cấu hình bao gồm tập hợp hữu hạn đỉnh với “cạnh” nối cặp tất đỉnh Một k – clique clique k đỉnh Cho p, q hai số nguyên dương, R(p, q) số tự nhiên nhỏ “n” thỏa mãn với cách tô màu cạnh n – clique hai màu xanh đỏ ( cạnh tô màu), có p – clique xanh q – clique đỏ Ví dụ 2.3: Chỉ R(3, 3) = Giải: Theo ví dụ 2.1, ta có R(3, 3) ≤ Ta phải R(3, 3) > ta xếp chỗ ngồi cho nhóm người quanh bàn tròn cho người quen biết với hai người ngồi bên cạnh Trong tình khơng có tập hợp người thoả mãn quen biết lẫn đôi không quen biết lẫn đôi Vậy R(3, 3) = Chú ý 2.2: Tương tự ví dụ 2.1, ta chứng minh R(3, 3) > cách sử dụng phương pháp tơ màu Giả sử ta có đỉnh A, B, C, D, E tạo thành lục giác ABCDE Ta tô màu cạnh lục giác màu xanh đường chéo lục giác tơ màu đỏ Khi khơng tồn tam giác xanh hay tam giác đỏ Điều chứng tỏ R(3, 3) > Ví dụ 2.4: Chứng minh m, n hai số nguyên lớn thì: R(m, n) ≤ R(m − 1, n) + R(m, n − 1) (Biểu thức cho ta cận R(m, n)) Giải: Lấy p ≡ R(m−1, n), q ≡ R(m, n−1) r ≡ p+q Ta quan tâm đến nhóm r người {1, 2, , r} Gọi L tập hợp người biết người M tập hợp người người Cả hai tập hợp có r − người Do đó, L có p người M có q người a) N ếu L có p = R(m − 1, n) người định nghĩa, L chứa tập (m − 1) người quen biết lẫn chứa tập n người không quen biết lẫn Trong trường hợp (m−1) người người tạo thành nhóm m người quen biết lẫn Do đó, trường hợp nhóm R(m−1, n) + R(m, n−1) người ln có m người quen biết lẫn n người không quen biết lẫn Vậy: R(m, n) ≤ R(m − 1, n) + R(m, n − 1) b) Lý luận tương tự M có q người Từ a) b) suy điều phải chứng minh Ví dụ 2.5 Mười bảy người trao đổi với qua thư Mỗi người trao đổi với người lại Trong thư có ba chủ đề thảo luận Mỗi cặp trao đổi chủ đề Chứng minh có người viết cho chủ đề Giải: Ta coi 17 người 17 đỉnh A, B, C, , đỉnh nối với cạnh Một cạnh nối hai đỉnh X Y tô màu xanh ( đỏ hay vàng) người tương ứng X Y thảo luận chủ đề ( hay 3) Ta quan tâm tới đỉnh A Từ A có 16 cạnh tơ màu nên có cạnh màu Giả sử AB, AC, AD, AE, AF AG màu xanh Ta xét đỉnh B, C, D, E, F Có 15 cạnh nối đỉnh N ếu 15 cạnh có cạnh màu xanh, giả sử BC ta có tam giác ABC màu xanh N ếu khơng có cạnh số 15 cạnh nói màu xanh cạnh tô hai màu đỏ vàng Theo kết mục có tam giác đỏ tam giác vàng Ta có điều phải chứng minh Các số R (p, q) đặt tên số Ramsey để tỏ lòng tơn kính tới nhà khoa học người Anh Frank P Ramsey (1903 – 1930) người chứng minh định lí đặc biệt vào năm 1928 Định lí Ramsey: “Với số nguyên p, q ≥ 2, số R(p, q) tồn tại” Ramsey biến chứng sau phẫu thuật ổ bụng trước sinh nhật lần thứ 27 ông Hệ thức truy hồi 5.6 xây dựng hai nhà toán học Hungary Erd o s Szekeres Lí thuyết số Ramsey phần nhỏ lí thuyết Ramsey Lí thuyết Ramsey phát triển mạnh mẽ nhiều nhà khoa học sau có nhiều ứng dụng khoa học sống BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 3.1: Trong tam giác có cạnh 4cm lấy 17 điểm phân biệt Chứng minh 17 điểm có điểm mà khoảng cách chúng nhỏ cm Bài 3.2: Trong hình tròn có diện tích ta lấy 17 điểm bất kỳ, khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh có điểm hợp thành tam giác có diện tích nhỏ 10 Bài 3.3: Mỗi đỉnh cửu giác tô màu xanh đỏ Tam giác đỏ tam giác có ba đỉnh tơ màu đỏ Tương tự ta có tam giác xanh Chứng minh tam giác tạo từ đỉnh cửu giác, có hai tam giác màu đồng dạng Bài 3.4: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đa giác lồi có số cạnh lớn tất đỉnh có tọa độ nguyên (ta gọi chúng điểm nguyên) Chứng minh bên cạnh đa giác có điểm ngun khác Bài 3.5: Chứng minh có số dạng 20152015…2015 00 chia hết cho 2013 Bài 3.6: Chứng minh từ 2015 số ngun dương ln chọn hai số mà tổng hiệu chúng chia hết cho 4026 Bài 3.7: Có n đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn tính điểm Biết đội có trận thắng (cả giải khơng có trận hòa nào) Chứng minh tồn đội có số trận thắng Bài 3.8: Một tủ chứa 20 áo có màu đỏ, màu trắng màu xanh Hỏi phải lấy áo (khi lấy khơng nhìn thấy màu sắc áo lấy ra) để có được: a, N ăm áo màu b, Chín áo màu Bài 3.9: Trong thi có 20 thí sinh Mỗi người phải thi vòng Điểm vòng thi cho số tự nhiên từ đến 10 N gười ta so sánh điểm vòng thi tương ứng (vòng 1, vòng 2) thí sinh N gười A gọi so sánh với người B điểm vòng thi A khơng nhỏ điểm vòng thi tương ứng B Biết khơng có hai thí sinh có cặp điểm số tương ứng Chứng minh chọn ba thí sinh A, B, C cho A so sánh với B B so sánh với C Bài 3.10: Trên sân trường có hình ngũ giác lồi ABCDE, độ dài cạnh độ dài đường chéo AC, AD không vượt mét Giả sử có 2013 kiến nằm ngũ giác Chứng minh có hình tròn bán kính mét, tâm nằm cạnh ngũ giác, chứa 504 kiến 11 Bài 3.11: Có 65 người đến từ hai tỉnh, người làm nghề Biết người nghề có hai người tuổi Chứng minh có người tuổi, làm nghề đến từ tỉnh Bài 3.12 Cho A tập hợp gồm 16 số nguyên dương Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ có tính chất: Trong tập có k phần tử tập hợp A tồn hai số phân biệt a b cho a + b số nguyên tố Bài 3.13: Trong vạt rừng hình vng cạnh dài 1000 m, người ta trồng 4500 thơng Biết đường kính gốc lớn 0,5 m Chứng minh rằng: Ở vạt rừng tồn 60 mảnh đất, mảnh có diện tích 200 m2 khơng chứa thông Bài 3.14: Cho n k số nguyên dương, S tập n điểm mặt phẳng thoả mãn điều kiện: i) điểm S thẳng hàng; Với điểm P thuộc S, tồn k điểm S cách P ii) Chứng minh k < + 2n Bài 3.15: Cho nhóm gồm 10 người Chứng minh ln có a) b) biết: a) Một nhóm người khơng quen biết lẫn nhóm người quen biết lẫn b) Một nhóm người quen biết lẫn nhóm người không quen biết lẫn Bài 3.16: Cho nhóm 20 người Chứng minh ln có nhóm người quen biết lẫn không quen biết lẫn Bài 3.17: N ếu R(m − 1, n) R(m, n − 1) số chẵn lớn Chứng minh rằng: R(m, n) ≤ R(m − 1, n) + R(m, n − 1) − Bài 3.18: Chứng minh rằng: R(4, 3) = Bài 3.19: Chứng minh rằng: R(5, 3) = 14 12 Bài 3.20: Chứng minh dãy n + số thực phân biệt chứa dãy dài n +1 thực tăng thực giảm HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 3.1: Hướng dẫn: Chia nhỏ tam giác cho thành 16 tam giác đều, tam giác có độ dài cạnh 1cm Khi tập hợp “thỏ” “chuồng” tương ứng với tập hợp 17 điểm cho tập hợp 16 tam giác nêu Bài 3.2: Hướng dẫn: Chia hình tròn cho thành hình quạt để tạo thành chuồng 17 điểm vai trò 17 thỏ Bài 3.3: Giải: A3 A2 A4 A5 A1 A9 A6 A7 A8 Ký hiệu đỉnh cửu giác theo thứ tự là: A1, A2, A3,… A9 Chín đỉnh tơ màu nên có đỉnh màu Khơng tổng qt, giả sử đỉnh màu đỏ Do có C53 = 10 tam giác đỏ Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp cửu giác Các đỉnh cửu giác chia (C) thành cung có độ dài cung: A1A2, A2A3, A3A4,…, A9A1 Mỗi cung ta gọi mảnh Lấy tam giác AiAjAk tam giác thỏa mãn: Ai A j ≤ A jA k ≤ A k A j Ký hiệu aij số mảnh cung AiAj khơng chứa Ak Khi đó, tam giác AiAjAk tương ứng với số đặc trưng (aij, ajk, aki) Ví dụ, tam giác A9A2A5 tương ứng số (2, 3, 4) 13 Hai tam giác đồng dạng hai tam giác có số đặc trưng bao gồm số tự nhiên không giảm (a, b, c) thỏa mãn: a + b +c = Ta dễ dàng liệt kê có thỏa mãn điều kiện là: (1, 1, 7); (1, 2, 6); (1, 3, 5); (1, 4, 4); (2, 2, 5); (2, 3, 4) ; (3, 3, 3) Chúng ta có 10 tam giác đỏ số nên có tam giác có số đặc trưng => điều phải chứng minh Bài 3.4: Hướng dẫn: Sử dụng tính chẵn lẻ số nguyên N ếu số chẵn ta mã hóa chữ C, số lẻ chữ L Có chuồng ( C; C), (C; L), (L; C) (L; L) Với thỏ đỉnh có hai đỉnh tọa độ thuộc chuồng nên trung điểm đoạn thẳng nối đỉnh điểm nguyên Bài 3.5: Hướng dẫn: Xét 2014 thỏ số: 2015, 20152015,…, 20152015 2015  Khi 2014 sè 2015 chia 2014 số cho 2013 có hai số có số dư nên hiệu chúng số thỏa mãn yêu cầu toán Bài 3.6: Giải: Khi chia số nguyên dương cho 4026 số dư phải thuộc tập {0,…, 4027} Trong 2015 số ta chia vào nhóm sau: + N hóm thứ gồm số chia cho 4026 có số dư + N hóm thứ gồm số chia cho 4026 có số dư 4025 … + N hóm thứ 2013 gồm số chia cho 4026 có số dư 2012 2014 + N hóm thứ 2014 gồm số chia cho 4026 có số dư 2013 Vậy 2015 có số thuộc nhóm nên thỏa mãn yêu cầu toán Bài 3.7: Giải: Số trận thắng đội trận nhiều n -1 trận N hư ta coi số trận thắng 1, 2, 3,…, n - (n -1) chuồng chim bồ câu, n đội coi n chim bồ câu Do kết hiển nhiên Bài 3.8: 14 Hướng dẫn: a, Cần lấy 13 áo b, Cần phải lấy 20 áo Bài 3.9: Hướng dẫn: Xét hình vng 10 x 10 hình vẽ (gồm 10 hàng 10 cột) Giả sử người A có điểm vòng i, điểm vòng j biểu diễn ô vuông hàng i cột j với i, j nhận giá trị từ đến 10 Điểm 20 thí sinh biểu diễn 20 ô vuông khác 10 Ta chia hình vng thành 10 miền sau: 99 88 + Miền 1: ô cột hàng 10 77 + Miền 2: lại cột hàng 66 ……………………………………… 55 + Miền : lại cột hàng 44 + Miền 10: ô cột 10 hàng 33 Dễ thấy điểm thí sinh A, B biểu diễn 22 ô thuộc miền so sánh với Giả sử khơng có thí sinh A, B, C 32 33 44 55 56 77 88 99 10 có điểm biểu diễn thuộc miền, suy miền chứa ô biểu diễn điểm số 20 thí sinh nên miền 10 phải có phân biệt, trái với kết chia miền Từ có điều phải chứng minh Bài 3.10: Hướng dẫn: Xây dựng chuồng hình tròn có bán kính 1m: Hình tròn tâm A ba hình tròn tâm trung điểm cạnh BC, CD, DE Bài 3.11: Hướng dẫn: Sử dụng liên tiếp ngun lí Dirichlet ta có: Có 33 người tỉnh Trong 33 người lại có người làm nghề N hư toán trở thành toán đơn giản sau: Cho người thỏa mãn người có hai người tuổi Chứng minh có người tuổi 15 Bằng phương pháp phản chứng ta có điều vơ lí Bài 3.12 Giải: Giả sử k số nguyên dương cho tập có k phần tử tập A tồn hai số phân biệt a b mà a + b số nguyên tố * Xét tập T gồm tất số chẵn thuộc tập A Dễ thấy, T có phần tử với a, b tùy ý thuộc T ln có a + b hợp số Từ suy k > * Bằng cách tính kiểm tra trực tiếp tất tổng a + b 2, với a, b ∈ A, ta phân hoạch gồm tập tập A mà tập gồm hai phần tử hai số có tổng bình phương số nguyên tố: A= {l; 4}∪{2; 3}∪{5; 8}∪{6; 11}∪{7; 10}∪{9; 16}∪{12; 13}∪{14; 15} Theo nguyên lí Dirichlet, phần tử tùy ý tập A phải có hai phần tử thuộc tập phân hoạch nêu N ói cách khác, tập có phần tử tập A tồn hai số phân biệt a, b mà a 2+ b số nguyên tố * Từ kết ta kmin = * Ghi Phân hoạch gồm tập tập A nêu lời giải phân hoạch có tính chất: tập gồm phần tử hai số mà tổng bình phương chúng số nguyên tố Bài 3.13: Giải: 16 Giả sử vạt rừng hình vng ABCD Bằng cách kẻ đường thẳng qua E, F, K, I…và song song với AD, ta tạo 95 “luống” EF, KI, , “luống” có bề rộng 10 m cách 0,5 m “Luống” EF cách AD khoảng 1,5 m “Luống” cuối cách BC khoảng 1,5 m (Với AE = BR = 1,5 m; EF = KI = …= 10 m, FK = 0,5 m ) ( Hình vẽ có tính minh họa tương đối) Ta có: AB = 95 10 + 94 0,5 + 1,5 = 1000 m Tương tự, từ cạnh AD ta lại kẻ đường thẳng qua M, N , P, Q,…, S song song với AB để tạo 48 “luống” MN , PQ,…; “luống” có bề rộng 20 m hai “luống” liên tiếp cách 0,6 m “Luống” MN cách AB khoảng 5,9 m “Luống” cuối cách DC khoảng 5,9 m ( Với AM = DS = 5,9 m, MN = PQ = 20m, N P = 0,6 m) Ta có: AD = 48 20 + 0,6 47 + 5,9 = 1000 m Với hai bước làm ta thu được: 48 95 = 4560 ô đất rời nhau, ô có diện tích 200 m2 Ta có 4500 thơng nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn 60 mảnh đất, mảnh có diện tích 200 m2 khơng chứa thông Bài 3.14: Giải: Ta giả sử ngược lại k ≥ + 2n 17 Lấy điểm P S, lúc đó, tồn K điểm S cách P N hư vậy, tồn ck2 cặp điểm A, B mà AP = BP Vì điều xảy với P thuộc S, nên có n ck2 cặp điểm (A, B) có thứ tự cho phát biểu sau đúng: đường trung trực AB có điểm S Ta có: nC k2 = n = k ( k − 1) n   1 ≥  2n +   2n −  2  2 n 1 1   n −  = n  n −  > n (n-1) = 2Cn 2 4 8  Vì Cn2 số tất cặp điểm S, 2Cn2 số tất cặp điểm có thứ tự tập hợp S nên từ bất đẳng thức trên, theo N guyên tắc Dirichlet, suy bắt buộc phải tồn cặp điểm A, B điểm P1, P2, P3 cho: APi = BPi, i = 1, 2, N hưng điểm P1, P2, P3 thẳng hàng, điều mâu thuẫn với giả thiết đề Bài 3.15: Giải: Giả sử A 10 người đó, người ngồi vào phòng, phòng Y gồm người quen A, phòng Z gồm người khơng quen A N gười A khơng vào hai phòng a) Ta có phòng Y có người phòng Z có người (i) Giả sử phòng Y có người theo tốn phòng Y ln tìm nhóm người quen biết lẫn người không quen biết lẫn A với nhóm người quen biết lẫn tạo thành nhóm người quen biết lẫn (ii) Giả sử phòng Z có người Khi người quen biết lẫn có người khơng quen biết lẫn Giả sử B, C Trong trường hợp đầu ta có nhóm quen biết lẫn Trong trường hợp sau A, B, C nhóm người khơng quen biết lẫn Yêu cầu toán thoả mãn 18 b) Tương tự ý a) phòng Z có người phòng Y có người Ta cần đổi hai khái niệm "quen biết lẫn nhau" với "khơng quen biết lẫn nhau" nhóm người thoả mãn yêu cầu toán Bài 3.16: Giải: Giả sử A 20 người đó, phòng Y gồm người quen A, phòng Z gồm người khơng quen A N gười A khơng ngồi hai phòng Vậy phòng Y có 10 người, phòng Z có 10 người i) Giả sử phòng Y có 10 người theo tốn phòng Y có người quen biết lẫn người không quen biết lẫn A với nhóm người quen biết lẫn tạo thành nhóm người quen biết lẫn Yêu cầu tốn thoả mãn ii) Giả sử phòng Z có 10 người Tương tự trường hợp i ta cần đổi hai khái niệm "quen biết lẫn nhau" với "khơng quen biết lẫn nhau" nhóm người thoả mãn yêu cầu toán Bài 3.17: Giải: Tương tự trên, lấy p ≡ R(m − 1, n), q ≡ R(m, n − 1) r ≡ p + q N hư đủ để nhóm (r − 1) người X = {1, 2, , r − 1} ln có nhóm m người quen biết lẫn nhóm n người không quen biết lẫn Goi di số người quen biết người i với i = 1, 2, , r − Ta có: d1 + d2 + + dr-1 số chẵn N hưng r − số lẻ, tồn số i để di chẵn, ta chọn i = Gọi L tập hợp người quen biết người M tập hợp người khơng quen biết người Từ đó, L, M phải có số chẵn người Bây giờ, L có p − người M có q người N hưng p−1 lẻ Do đó, L có p người M có q người a) Giả sử L có p người lý luận tương tự suy bất đẳng 19 thức cần chứng minh b) Giả sử M có q người lý luận tương tự suy điều phải chứng minh Bài 3.18: Giải: Theo ta có: R(4, 3) ≤ R(3, 3) + R(4, 2) − = + − = Để chứng minh R(4, 3) = R(3, 4) > đưa nhóm người nhóm khơng tìm nhóm gồm người quen biết lẫn khơng có nhóm gồm người khơng quen biết lẫn Ta xếp người quanh bàn tròn Mỗi người biết xác người khác: người ngồi bên cạnh người ngồi xa Vậy R(4, 3) = Bài 3.19: Giải: R(5, 3) ≤ R(4, 3) + R(5, 2) = + = 14 Để chứng minh R(5, 3) = R(3, 5) > 13 ta xếp 13 người ngồi quanh bàn tròn cho người quen biết với người thứ bên trái người thứ bên phải Trong tình khơng có nhóm gồm người quen biết lẫn khơng có nhóm gồm người khơng quen biết lẫn Vậy R(5, 3) = 14 Bài 3.20: Giải: Giả sử a1 , a2 , , an +1 dãy số thực cho Gọi bk độ dài dãy thực tăng có độ dài cực đại ak , ck độ dài dãy thực giảm có độ dài cực đại ak N hư vậy, số hạng ak dãy cho tương ứng với cặp số nguyên dương (bk , ck ) Kí hiệu S tập tất cặp (bk , ck ) với k Giả sử trái lại khơng có dãy đơn điệu có độ dài n +1 Khi số phần tử S khơng vượt q n2 Theo ngun lí Dirichlet, có hai cặp trùng Tức tồn j < k 20 để (bk , ck ) = (b j , c j ) Vì a j ak khác nên a j > ak a j < ak N ếu a j > ak ta xây dựng dãy giảm a j ghép với dãy giảm thực có độ dài ck tồn từ trước ta dãy giảm có độ dài ck + Đương nhiên ck + ≤ c j = ck Mâu thuẫn Lập luận tương tự với a j < ak ta gặp mâu thuẫn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Minh Phương (2010), Một số chuyên đề toán tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, N XB Giáo dục, Hà N ội [2] Đồn Quỳnh – Dỗn Minh Cường – Trần N am Dũng – Đặng Hùng Thắng (2009), Tài liệu giáo khoa chuyên Toán Đại số 10, N XB Giáo dục, Hà N ội.Hà N ội [3] Kenneth H.Rosen (2007), Toán học rời rạc ứng dụng tin học, N XB giáo dục, Hà N ội [4] Chuan-Chong Chen, Koh Khee-Meng, 1992 Principles and techniques in combinatorics World Scientific [5] Dmitri Fomin, Sergei Genkin, Ilia Itellberg, 2003 Mathematical Circles: Russian Experience Mathematical World, Vol [6] V.K Balakrishnan, ph D (1995), Theory and problems of combinatorics, McGraw – Hill, IN C, Singapore 21 ... tiếp dãy mà tích chúng số phương Giải: ki = Lấy b1 , b2 , , bm dãy bi ∈ {a1 , a2 , , an } ,1 ≤ i ≤ m Với j ≤ m ta xét dãy số hạng liên tiếp b1 , b2 , , b j Ứng với dãy ta có K j ∈ (k1 , k2 , , kn... “thỏ” n số hạng dãy (1) Các “chuồng” (n-1) số dư 1, 2, ,…, n-1 chia số nguyên cho n Theo nguyên lí Dirichlet có hai số Si , S j , ( i < j ) dãy (1) có số dư chia cho n Do đó, S j − Si = +1 + + +...  chuồng đoạn  ; ; , ,…,   n + n +   n + n +   n −1 n   n + ; n +  Theo ngun lí Dirichlet có {Si } , {S j } với i < j thuộc đoạn Khi tồn S = {ai +1 , + , , a j } số nguyên m thỏa