Chương 2 - các phương pháp đếm và nguyên lý Dirichlet

1.Các nguyên lý đếm cơ bản 1.1 Nguyên lý cộng Cho A là một tập hữu hạn các phần tử, ta ký hiệu NA là số lượng các phần tử của A... K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2.1 Chỉnh hợp lặp C

CHƯƠNG 2

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM

VÀ NGUYÊN LÝ DIRICHLET

1.Các nguyên lý đếm cơ bản 1.1 Nguyên lý cộng

 Cho A là một tập hữu hạn các phần tử, ta

ký hiệu N(A) là số lượng các phần tử của A

 Nguyên lý cộng: Cho A1, A2, , An là các tập hữu hạn, không giao nhau từng đôi

A

1.Các nguyên lý đếm cơ bản 1.1 Nguyên lý cộng

máy tính trong ba danh sách tương ứng có 23, 15

và 19 bài Có bao nhiêu cách chọn bài thực hành?

 Giải:

 Có 23 cách chọn bài thực hành từ ds thứ nhất.

 Có 15 cách chọn bài thực hành từ ds thứ hai.

 Có 23 cách chọn bài thực hành từ ds thứ ba.

 Vậy có 23 + 15 + 19 cách chọn bài thực hành.

1.Các nguyên lý đếm cơ bản 1.2 Nguyên lý nhân

 Nguyên lý nhân: Cho A1, A2, , An

i

A A

A

N

1 2

1

1.Các nguyên lý đếm cơ bản 1.2 Nguyên lý nhân

 Ví dụ: Trong một trung tâm máy tính có

32 chiếc máy vi tính Mỗi máy có 24 cổng Hỏi có bao nhiêu cổng khác nhau trong trung tâm này?

 Giải:

 Thủ tục chọn cổng gồm 2 việc: chọn máy, và chọn cổng.

 Vì có 32 cách chọn máy tính và 24 cách chọn cổng bất kể máy nào đã được chọn Quy tắc nhân cho ta thấy có 3224 = 768 cổng.

2 K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2.1 Chỉnh hợp lặp

 Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử lấy

2 K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2.2 Chỉnh hợp không lặp

 Chỉnh hợp không lặp chập k từ n phần tử

là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử của n phần tử, mỗi phần tử không được lấy lặp lại

không lặp chập 3 của 5 phần tử

2 K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2.3 Hoán vị

 Hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó

 Công thức tính: Pn = n!

 Ví dụ: Một bàn có 4 học sinh, hỏi có bao

nhiêu cách sắp chỗ ngồi cho 4 hs đó

 Giải: Mỗi phương án lựa chọn để xếp chỗ

ngồi là một hoán vị từ 4 học sinh Vậy có 4! = 24 cách

2 K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2.4 Tổ hợp

 Tổ hợp chập k từ n phần tử là cách chọn không phân biệt thứ tự k phần tử lấy từ tập n phần tử đã cho, mỗi phần tử

không được lấy lặp lại

 Công thức tính:

! )!

(

!

k k

Ví dụ: Có bao nhiêu cách tuyển 5 trong số

10 cầu thủ cầu lông để đi thi đấu?

Giải: Đó chính là số tổ hợp chập 5 của 10

phần tử:

252

!5

!5

!10

5

10  

C

2 K/n về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2.5 Tổ hợp lặp

 Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ gồm k phần tử không phân biệt thứ tự, mỗi phần tử có thể được lấy lặp lại từ n phần tử đã cho

 Công thức tính:

!

!

)! 1

(

1

n k

k

n C

Rn k  n kk   

2 2 3

4 4

4

4 4

3

3 4

2 2

2 4

3

1 4

4

0 4 4

4 6

4 )

(

)

(

y xy

y x y

x x

y

x

y C xy

C y

x C y

x C x

C y

4 Nguyên lý Dirichlet 4.1 Mở đầu

 Giả sử có một đàn chim bồ câu có 5 con bay vào chuồng

 Nhưng chỉ có 4 chuồng

 Điều gì sẽ sảy ra?

4 Nguyên lý Dirichlet 4.1 Mở đầu

 Nguyên lý Dirichlet:

Nếu xếp nhiều hơn n đối tượng vào n cái hộp thì tồn tại ít nhất một họpp chứa không

ít hơn 2 đối tượng.

cũng có ít nhất hai người có ngày sinh nhật giống nhau bởi vì chỉ có tất cả 366 ngày sinh nhật khác nhau

4 Nguyên lý Dirichlet 4.2 Nguyên lý Dirichlet tổng quát

hộp thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất [N/k] đồ vật

 Định nghĩa 1: Hệ thức truy hồi (hay công

thức truy hồi) đối với dãy số {an} là công thức biểu diễn an qua một hay nhiều số hạng đi trước của dãy Dãy số được gọi là lời giải hay nghiệm của hệ thức truy hồi nếu các số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi này

5 Hệ thức truy hồi 5.1 Khái niệm và các ví dụ

5 Hệ thức truy hồi 5.1 Khái niệm và các ví dụ

 Ví dụ: Cho {an} là dãy thỏa mãn hệ thức truy hồi an = an-1 – an-2 với

5 Hệ thức truy hồi 5.1 Khái niệm và các ví dụ

 Ví dụ 2: Giả sử số vi trùng trong một quần thể sẽ tăng

gấp 3 sau mỗi giờ

 Hãy lập hệ thức truy hồi tính số vi trùng sau n giờ

 Nếu có 100 vi trùng ban đầu, chúng sẽ là bao nhiêu sau 10 giờ?

5 Hệ thức truy hồi 5.2 Giải các hệ thức truy hồi

Định nghĩa: hệ thức truy hồi có dạng: an =

5 Hệ thức truy hồi 5.2 Giải các hệ thức truy hồi

Định lý 1:

Cho c1, c2 là hai số thực Giả sử phương trình

r2 – c1r – c2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt r1 và

r2 Khi đó dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi

an=c1an-1+c2an-2 khi và chỉ khi an=1r1n+2r2n, n=1,2, trong đó 1 và 2 là các hằng số

5 Hệ thức truy hồi 5.2 Giải các hệ thức truy hồi

Ví dụ:Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi

5 Hệ thức truy hồi 5.2 Giải các hệ thức truy hồi

Định lý 2:

Cho c1 và c2 là các số thực và c2  0 Giải sử r2 – c1r – c2 = 0 chỉ có 1

nghiệm r0 Dãy {an} là nghiệm của

hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2khi và chỉ khi an= 1r0n+ 2nr0n với n

= 0,1,2, trong đó 1 và 2 là các hằng số.

5 Hệ thức truy hồi 5.2 Giải các hệ thức truy hồi

 Định lý 3:

Cho c1, c2, , ck là các số thực Giả sử phương trình đặc trưng

r k – c1r k-1 - – ck có k nghiệm phân biệt r1,

r2, , rk Khi đó dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi an=c1an-1+c2an-2+ +ckan-k khi và chỉ khi an=1r1n + 2r2n + + krkn, với n =

5 Hệ thức truy hồi 5.2 Giải các hệ thức truy hồi

Ví dụ: Hãy tìm nghiệm của hệ thức truy hồi an = 6a n-1 - 11a n-2 + 6a n-3 , với đkiện ban đầu a 0 =2, a 1 =5 và

a 1 = 5 =  1 +  2 2 +  3 3

a2 = 15 = 1 + 24 + 39

 Giải hệ được 1= 1, 2 = 1, 3 = 2 Vì thế, nghiệm duy nhất của hệ thức truy hồi này và các điều kiện ban đầu đã cho là dãy {an} với an = 1  2 n + 2.3 n

6 Quan hệ chia để trị

Hệ thức truy hồi chia để trị:

 Giả sử một thuật toán phân chia một bài

toán cỡ n thành a bài toán nhỏ, mỗi bài toán nhỏ cỡ [n/b].

 Giả sử tổng các phép toán thêm vào khi

thực hiện phân chia bài toán cỡ n thành các bài toán có cỡ nhỏ hơn là g(n).

 Khi đó, nếu f(n) là số các phép toán cần thiết để giải bài toán đã cho thì f thỏa mãn

6 Quan hệ chia để trị

Ví dụ: Thuật toán tìm kiếm nhị phân:

 Thuật toán đưa bài toán tìm kiếm cỡ n về bài toán tìm kiếm cỡ n/2, khi n chẵn

c b

n af

 0 nlogb a , a  1

d b

d

d a

b a

n O

b a

n n

O

b a

n

O n

f

b

,)(

,)log

(

,)

()

n n

7 Nguyên lý bù trừ

 Cho hai tập A và B N(AB) = ?

 Ta có: N(AB) = N(A) + N(B) – N(AB)

A B

7 Nguyên lý bù trừ

Ví dụ: lớp Toán-tin có 25 sinh viên giỏi tin, 13

sinh viên giỏi toán n và 8 sinh viên giỏi cả toán và tin Hỏi trong lớp có bao nhiêu sinh viên, nếu mỗi sinh viên hoặc giỏi toán hoặc giỏi tin hoặc giỏi cả hai môn

Giải: gọi A là tập sv giỏi tin, B là tập sv giỏi

toán Khi AB là tập sv giỏi cả hai Số sv trong lớp là N(AB) = 25+13-8 = 30

7 Nguyên lý bù trừ

 Cho 3 tập hợp A, B, C N(ABC)=?

 Ta có:

N(ABC)=N(A)+N(B)+N(C)-N(AB)-

N(AC)- N(BC)+N(ABC)

B

7 Nguyên lý bù trừ

Ví dụ: Có 1202 sv học t.Anh, 813sv học

t.Pháp, 114 sv học t.Nga, 103 sv học cả t.Anh và t.Pháp, 23 sv học cả t.Anh và t.Nga, 14 sv học cả t.Pháp và t.Nga Nếu tất cả 2092 sv đều theo học ít nhất 1 ngoại ngữ, thì có bao nhiêu sinh viên học cả 3 thứ tiếng?

Giải: N(ABC) = 3

7 Nguyên lý bù trừ

 Định lý: (nguyên lý bù trừ) Cho A1,

A2, , An là các tập hữu hạn Khi đó:

j i

n j i

j i

n i

i

n i

i

A N

A A

A N

A A

N A

N A

N

1

1 1

1

) 1 (

) (

) (

) (





BÀI TẬP

 Các bài tập cuối chương 2