Cđ13 nguyên lý dirichlet

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ 13: NGUYEN LÝ DIRICHLET A KiÕn thøc cÇn nhí Giới thiệu ngun lý Dirichlet Dirichlet (Đi-rích-lê) (1805 – 1859) nhà tốn học người Đức, cho người đưa định nghĩa đại hàm số Trên sở quan sát thực tế, ơng phát biểu thành ngun lí mang tên ơng – ngun lí Dirichlet: Khơng thể nhốt thỏ vào lồng mà lồng có khơng q thỏ Nói cách khác, nhốt thỏ vào lồng tồn lồng có từ trở lên Một cách tổng quát hơn, có k lồng để nhốt m thỏ (với k kn  r (0  r k  1) ) tồn lồng có chứa từ n + thỏ trở lên Ta dễ dàng minh nguyên lí Dirichet phương pháp phản chứng sau: Giả sử khơng có lồng n + thỏ trở lên, tức lồng chứa nhiều n thỏ, số thỏ chứa k lồng nhiều kn Điều mâu thuẫn với giả thiết có m thỏ với m kn  r (0  r k  1) Nguyên lí Dirichlet thật đơn giản, dễ hiểu vận dụng vào giải nhiều toán số học, đại số, hình học việc tồn hay nhiều đối tượng thỏa mãn điều kiện đặt Khi sử dụng nguyên lí Dirichlet vào toán cụ thể, điều quan trọng phải nhận (hay tạo ra) Lồng Thỏ Lồng Thỏ Một số dạng áp dụng nguyên lý Dirichlet  Nguyên lý Dirichlet bản:Nếu nhốt n  thỏ vàoncái chuồng có chuồng chứa hai thỏ  Nguyên lý Dirichlet tổng quát:Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn  N    x hộp chứa  k  đồ vật.(Ở   số nguyên nhỏ có giá trị nhỏ x)  Nguyên lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m 2 chuồng tồn  n  m  1   m  thỏ chuồng có  File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN  Ngun lí Dirichlet dạng tập hợp: Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B, tồn hai phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B Phương pháp ứng dụng Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, cơng cụ có hiệu dùng để chứng nhiều kết sâu sắc tốn học Ngun lí Dirichlet áp dụng cho tốn hình học, điều thể qua hệ thống tập sau: Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt “thỏ” vào “chuồng” thoả mãn điều kiện: + Số ‘thỏ” phải nhiều số chuồng + “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng”, không bắt buộc chuồng phải có thỏ Thường phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngồi cịn áp dụng với nguyên lý khác Một số toán thường gặp sau: 1) Trong n + số tự nhiên ln tìm hai số chia cho n có số dư (hoặc hiệu chúng chia hết cho n ) 2) Nếu đoạn thẳng độ dài đặt số đoạn thẳng có tổng độ dài lớn có hai số đoạn thẳng có điểm chung 3) Nếu đường trịn có bán kính đặt số cung có tổng độ dài lớn 2 có hai số cung có điểm chung 4) Trong hình có diện tích S đặt số hình có tổng diện tích lớn S có hai số hình có điểm chung B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh tồn chia hết * Cơ sở phương pháp: Thông thường ta coi m số tự nhiên cho m “con thỏ”, số dư phép chia số tự nhiên cho n “lồng”; có n lồng: lồng i (0 i b) gồm số tự nhiên cho chia cho n dư i * Ví dụ minh họa: Bài tốn Chứng rằng: a) Trong 2012 số tự nhiên ln tìm hai số chia cho 2011 có số dư (hay hiệu chúng chia hết cho 2011) b) Trong 2012 sô tự nhiên ln tìm số chia hết cho 2012 ln tìm hai số chia cho 2012 có số dư File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Hướng dẫn giải a) Ta coi 2012 số tự nhiên cho 2012 “con thỏ”; “lồng i” gồm số chia cho 2011 dư i (0 i 2011) nên có 2011 lồng: lồng 0, lồng 1, …, lồng 2010 Như có 2011 lồng chứa 2012 thỏ nên theo nguyên lí Dirchlet tồn lồng chứa khơng hai thỏ, tức có hai số chia cho 2011 có số dư b) Nếu 2012 số cho có số chia hết cho 2012 ta chọn ln số Nếu khơng có số chia hết cho 2012 chia cho 2012 nhận nhiều 2012 số dư khác 1, 2, …, 2011 Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số chia cho 2012 có số dư Nhận xét Ta tổng qt tốn sau: 1) Trong n + số tự nhiên ln tìm hai số chia cho n có số dư (hay hiệu chúng chia hết cho n) 2) Trong n số tự nhiên ln tìm số chia hết cho n ln tìm hai số chia cho n có số dư Bài tốn 2.Chứng minh ln tìm số có dạng 20122012…2012 (gồm số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2013 Hướng dẫn giải Xét 2014 số sau: 2012, 20122012, , 2012 2012 (gồm 2014 số 2102) Đem 2014 số chia cho 2013, có 2014 số mà có 2013 số dư phép chia cho 2013 (là 0, 1, 2, , 2012) nên tồn hai số chia cho 2013 có số dư, chẳng hạn a = 2012 2012 (gồm i 2012) b = 2012 2012 (gồm j 2012) với i  j 2014 Khi b  a 2012 2012.104i (gồm j – i 2012) chia hết cho 2013 4i Lại có ƯCLN (10 , 2013) 1 nên số 2012 2012 (gồm j – i 2012 chia hết cho 2013 Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” số có dạng 2012 2012, “lồng” số dư phép chia cho 2013) Nhận xét Mấu chốt toán chọn 2014 (= 2013 + 1) số tự nhiên có dạng cho Từ ta phát biểu nhiều tốn tương tự, chẳng hạn như: Chứng minh ln tìm số có dạng 111 chia hết cho 29 Bài toán 3.Cho sáu số tự nhiên a, b, c, d , e, g Chứng minh sáu số ấy, tồn số chia hết cho tồn vài số có tổng chia hết cho Hướng dẫn giải Trường hợp có số ta chọn số thỏa mãn yêu cầu đề Trường hợp sáu số lớn Xét số sau File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN S1 a S a  b S3 a  b  c S a  b  c  d S5 a  b  c  d  e S6 a  b  c  d  e  g Đem số chia cho ta nhận số dư thuộc tập {0,1, 2,3, 4, 5} S (i 1, 2, ,6) chia hết cho tốn chứng minh Nếu tồn i Nếu khơng có Si chia hết cho ta có số chia hết cho nhận loại số dư khác (1, 2,3, 4,5) ; theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số chia cho có số dư, chẳng hạn S2 S5 hiệu hai số chia hết cho 6, tức c  d  e chia hết cho Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” số Si, “lồng” số dư phép chia cho 6) Nhận xét Ta phát biểu toán tổng quát sau: a , a , , an Chứng minh tồn số chia hết cho n tồn Cho n số tự nhiên vài số có tổng chia hết cho n Bài toán 4.Chứng minh rằng: a) Trong n số tự nhiên liên tiếp ln tìm số chia hết cho n b) Trong 39 số tự nhiên liên tiếp ln tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 11 Hướng dẫn giải a) Giả sử khơng tìm số n số tự nhiên liên tiếp cho mà chia hết cho n Khi n số chia cho n nhận nhiều n – số dư khác (1, 2,3, , n  1) , theo nguyên lí Dirichlet tồn hai số chia hết cho n có số dư, chẳng hạn a b với a  b , a – b chia hết cho n, điều mâu thuẫn với  a  b  n Từ suy điều phải chứng minh b) Lấy 20 số tự nhiên liên tiếp đầu dãy, ta tìm số có chữ số hàng đơn vị có chữ số hàng chục khác 9.Giả sử N tổng chữ số N s Khi 11 số N , N  1, N  2, N  3, N  9, N  19 nằm 39 số cho Vì N tận nên tổng chữ số N , N  1, N  2, , N  s, s  1, s  2, , s  Vì N tận có chữ số hàng chục khác nên tổng chữ số N + 10 s + 1, tổng chữ số N + 19 s + 10 Trong 11 số tự nhiên liên tiếp s, s  1, s  2, s  3, , s  9, s  10 ln tìm số chia hết cho 11 Chẳng hạn số s  i (0 i 10) : Nếu i 9 ta chọn số N  i thỏa mãn yêu cầu tốn; i = 10 ta chọn số N + 19 thỏa mãn yêu cầu toán Nhận xét Mấu chốt để giải toán câu b) phải tìm 11 số 39 số cho có tổng chữ số thứ tự 11 số tự nhiên liên tiếp, đồng thời sử dụng kết câu a) File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Bài tốn Cho số tự nhiên từ đến 2012 Hỏi chọn nhiều số cho tổng hai số chúng khơng chia hết cho hiệu nó? Hướng dẫn giải Nhận thấy, hai số chia cho dư hiệu chúng chia hết cho 3, tổng chúng chia cho dư 1; nên tổng chúng không chia hết cho hiệu chúng Trong số tự nhiên từ đến 2012, có 671 số chia cho dư số có dạng 3k  (k 0,1, 2, , 670) Khi hai số 671 số có tổng chia dư 1, hiệu chia hết cho 3, nên tổng không chia hết cho hiệu chúng Ta chứng minh chọn nhiều 672( 671  1) số số từ đến 2012, 672 số ln tìm a, b( a  b) cho a  b 2 (Thật vậy, giả sử ngược lại hiệu số nhỏ số lớn số chọn không nhỏ 3.671 2013 Điều mâu thuẫn giả thiết với hiệu số lớn số nhỏ không vượt 2012  2011 ), nghĩa a – b - Nếu a – b = hiển nhiên a + b chia hết cho a – b (= 1) - Nếu a – b = a + b số chẵn nên a + b chia hết cho a – b (= 2) Như từ 2012 số cho chọn 671 số thỏa mãn điều kiện toán Suy số lượng lớn số phải tìm 671  Dạng 2: Bài tốn tính chất phần tử tập hợp * Cở sở phương pháp:Thông thường ta phải lập tập hợp có tính chất cần thiết sử dụng ngun lí Dirichlet để chứng tỏ có hai phần tử thuộc hai tập hợp * Ví dụ minh họa: Bài tốn 1.Cho sáu số ngun dương đơi khác nhỏ 10 Chứng minh ln tìm số có số tổng hai số lại Hướng dẫn giải a ,a ,a ,a ,a ,a  a1  a2   a6  10 Gọi sáu số nguyên dương cho với A {a2 , a3 , a4 , a5 , a6 } gồm phần tử có dạng a với m  {2,3, 4,5, 6} Đặt m B {a2  a1 , a3  a1 , a4  a1 , a5  a1 , a6  a1} gồm phần tử có dạng an  a1 Đặt n  {2,3, 4,5, 6} với Ta thấy phần tử hai tập hợp A B thuộc tập hợp gồm phần tử {1, 2,3, ,9} tổng số phần tử hai tập hợp A B  10 Theo nguyên lí Dirichlet tồn hai số mà chúng thuộc tập a an  a1 , hợp, nên có số thuộc tập hợp A số thuộc tập hợp B, tức m an am  a1 a ,a ,a a an am an a1 0 trái với giả Ba số m n đôi khác Thật vậy, m thiết toán File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN am , an , a1 số cho mà an am  a1 (đpcm) a ,a ,a ,a ,a ,a  a ,a  a ,a  a ,a  a ,a  a (Ở đây, có 10 “thỏ” 10 số 6 có “lồng” số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Nhận xét Để giải toán này, ta cần tạo hai tập hợp gồm phần tử nhỏ hợn 10 tổng số phần tử hai tập hợp phải khơng nhỏ 10 Từ suy tồn hai phần tử hai tập hợp Bài toán 2.Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương khác nhau, số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E {3;6;9} Vậy tồn ba số Hướng dẫn giải Giả sử 700 số nguyên dương cho A {a1 , a2 , a700 }; a1 , a2 , , a700 Ta xét tập hợp sau: B {a1  6, a2  6, a700  6}; C {a1  9, a2  9, a700  9}; Tổng số phần tử ba tập hợp A, B, C 700.3 = 2100, phần tử khơng vượt q 2006 + = 2015, mà 2100 > 2015 nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hai phần tử Vì tập hợp A, B, C có phần tử đôi khác nên hai phần tử phải thuộc hai tập hợp: A B, A C, B C a a j  a  a j 6 - Nếu hai phần tử thuộc A B, chẳng hạn i suy i a a j  a  a j 9 - Nếu hai phần tử thuộc A C, chẳng hạn i suy i a  a j  a  a j 3 - Nếu hai phần tử thuộc B C, chẳng hạn i suy i Như tồn lại hai số thuộc tập hợp A có hiệu 3, 6, Ta điều phải chứng minh (Ở 2100 “thỏ” 2010 phần tử ba tập hợp A, B, C; 2015 “lồng” số từ đến 2015) Nhận xét Ta có kết mạnh sau: Cho X tập hợp gồm 505 số nguyên dương khác nhau, số không lớn 2006 Trong tập hợp X tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E {3;6;9} Chứng minh Gọi A tập hợp số thuộc X mà chia hết cho 3, gọi B tập hợp số thuộc X mà chia cho dư 1, gọi C tập hợp số thuộc X mà chia cho3 dư Có 505 số xếp vào ba tập hợp, mà 505 = 3.168 + nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tập hợp có chứa từ 169 số trở lên Trong tập hợp này, hai số có hiệu bội Tồn hai số x, y có hiệu nhỏ 12 Thật vậy, số tập hợp có hiệu khơng nhỏ 12 số lớn tập hợp không nhỏ 12.168 = 2016 > 2006, trái với đề Vậy tập hợp X tồn hai phần tử x, y mà x  y  E File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Bài tốn 3.Cho hai tập hợp số nguyên dương phân biệt mà số nhỏ n Chứng minh tổng số phần tử hai tập hợp khơng nhỏ n chọn tập hợp phần tử cho tổng chúng n Hướng dẫn giải Giả sử hai tập hợp số nguyên dương cho A {a1 , a2 , , am } B {b1 , b2 , , bk } b  n ( j 1, 2, , k ) với a  n (i 1, 2, , m) , j m  l n C {n  b1 , n  b2 , , n  bk } Xét tập hợp Nhận thấy, có tất n – số nguyên dương phân biệt nhỏ n, phần tử A C nhỏ n tổng số phần tử A C không nhỏ n Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai phần tử nhau, chúng không thuộc A C, n  bq phần tử thuộc A phần tử thuộc C, tức tồn hai số a p mà a p n  bq  a p  bq n (điều phải chứng minh) (Ở coi m + k “thỏ” số nguyên dương thuộc tập hợp A C, n – “lồng” số nguyên dương từ đến n – 1)  Dạng 3: Bài tốn liên quan đến bảng vng * Cở sở phương pháp: Một bảng vng kích thước n x n gồm n dòng, n cột đường chéo Mỗi dịng, cột, đường chéo có n ô vuông Một bảng ô vuông kích thước m x n gồm m dịng n cột * Ví dụ minh họa: Bài tốn 1.Cho mảng vng kích thước x Người ta viết vào ô bảng số -1, 0, 1; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Hướng dẫn giải Bảng vng kích thước x có dịng, cột, đường chéo nên có 12 tổng số tính theo dịng, theo cột theo đường chéo Mỗi dòng, cột đường chéo có ghi số thuộc tập {–1; 0; 1} Vì giá trị tổng thuộc tập hợp {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} có 11 phần tử Có 12 tổng nhận tập 11 giá trị khác nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hai tổng nhận giá trị Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” tổng nên có 12 “thỏ”, “lồng” giá trị tổng nên có 11 “lồng”) Nhận xét Với cách giải tương tự, ta có tốn tổng qt sau: Cho bảng vng kích thước n x n Người ta viết vào ô bảng số –1, 0, 1; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Bài tốn 2.Trên bảng vng kích thước x 8, ta viết số tự nhiên từ đến 64, số File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN viết vào cách tùy ý Chứng minh tồn hai ô vuông chung cạnh mà hiệu số ghi chúng không nhỏ Hướng dẫn giải Ta xét hàng có ghi số cột có ghi số 64 Hiệu hai ô 63 Số cặp ô kề từ ô ghi số đến ô ghi số 64 nhiều 14 (gồm cặp chung cạnh tính theo hàng cặp chung cạnh tính theo cột) Ta có 64 = 14.4 + nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai ô kề mà hai số ghi có hiệu khơng nhỏ + = Bài toán chứng minh (Ở đây, “thỏ” hiệu hai số 64 số (từ đến 64) nên có 63 thỏ; “lồng” số cặp ô vuông kề từ ô ghi số đến ô ghi số 64 nên có nhiều 14 lồng) Nhận xét  Mấu chốt toán quan tâm đến hai ô vuông ghi số nhỏ (số 1) số lớn (số 64) có lớn 63; đồng thời xét từ ô ghi số đến ô ghi số 64 cần tối đa (8 – 1) + (8 – 1) = 14 ô Ở ta vận dụng nguyên lí Dirichlet tổng qt: Có m thỏ, nhốt vào k lồng mà m = kn + r (1 r k  1) tồn lồng chứa khơng n + thỏ  Nếu thay bảng chữ nhật gồm x 10 ô vng, ghi số từ đến 80 khơng lặp cách tùy ý kết cầu tốn cịn hay khơng? Hãy chứng minh  Dạng 4: Bài toán liên quan đến thực tế Cở sở phương pháp: Khi chứng minh tồn số đối tượng thỏa mãn điều kiện đó, ta thường sử dụng nguyên lí Dirichlet Điều quan trọng phải xác định “thỏ” “lồng” * Ví dụ minh họa: Bài tốn 1.Một tổ học tập có 10 học sinh Khi viết tả, tổ mắc lỗi, bạn Bình mắc nhiều lỗi (mắc lỗi) Chứng minh tổ có bạn mắc số lỗi Hướng dẫn giải Ta coi “thỏ” học sinh (trừ bạn Bình) nên có thỏ; “lồng” số lỗi tả học sinh mắc phải nên có lồng: lồng i gồm học sinh mắc i lỗi (i = 1, 2, 3, 4) Có thỏ nhốt vào lồng, mà = 4.2 + 1, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn lồng chứa khơng + = thỏ, tức có bạn mắc số lỗi Bài tốn 2.Ở vịng chung kết cờ vua có đấu thủ tham gia Mỗi đấu thủ phải gặp đủ đấu thủ lại, người trận Chứng minh rằng, thời điểm đấu, có hai đấu thủ đấu số trận Hướng dẫn giải File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Ta coi “thỏ” đấu thủ nên có thỏ; “lồng” số trận đấu đấu thủ nên có lồng: “lồng i” gồm đấu thủ thi đấu i trận (với i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Ta thấy lồng lồng khơng đồng thời tồn tại, có đấu thủ chưa đấu trận khơng có đấu thủ đấu đủ trận, có đấu thủ đấu đủ trận khơng có chưa đấu trận Như vậy, có lồng chứa thỏ nên theo nguyên lí Dirichlet tồn lồng chứa khơng thỏ, tức thời điểm cược đấu ln tìm đấu thủ đấu dùng số trận Bài tốn 3.Có nhà khoa học viết thư trao đổi với hai đề tài: bảo vệ môi trường chương trình dân số Chứng minh có ba nhà khoa học trao đổi đề tài Hướng dẫn giải Gọi nhà khoa học A, B, C, D, E, F Nhà khoa học A viết thư trao đổi với nhà khoa học lại đề tài, có 2.2  nên theo nguyên lí Dirichlet tồn nhà khoa học (chẳng hạn B, C, D) nhà khoa học A trao đổi đề tài (chẳng hạn đề tài môi trường) Trong ba nhà khoa học B, C, D có hai người trao đổi đề môi trường (chẳng hạn B, C) ta chọn A, B, C trao đổi đề tài Nếu ba nhà khoa học B, C, D khơng có hai người trao đổi đề tài mơi trường họ trao đổi với đề tài dân số, ta chọn B, C, D trao đổi đề tài (Ở coi nhà khoa học (trừ A) “thỏ” nên có thỏ, coi đề tài “lồng” nên có lồng vận dụng ngun lí Dirichlet tổng quát)  Dạng 5: Bài toán liên quan đến xếp * Cơ sở phương pháp: Các tốn xếp chỗ, phân cơng việc khơng địi hỏi nhiều kiến thức kĩ tính tốn, chúng chủ yếu kết hợp suy luận lôgic để xét khả xảy với ngun lí Dirichlet * Ví dụ minh họa: Bài tốn Có 20 người định bơi thuyền 10 thuyền đôi Biết hai người A B mà khơng quen tổng số người quen A người quen B không nhỏ 19 Chứng minh phân cơng vào thuyền đôi cho thuyền hai người quen Hướng dẫn giải Nếu 20 người khơng có hai người quen tổng số người quen hai người Điều mâu thuẫn với giả thiết tổng số người quen hai người không nhỏ 19 Vậy tồn số cặp quen File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Ta xếp cặp quen vào thuyền đơi Gọi k số lượng thuyền lớn mà ta xếp cặp quen vào thuyền kí hiệu thuyền thứ i xếp hai người A B quen (1 i k ) i i Giả sử k 9 , kí hiệu tập hợp M gồm người chưa xếp vào thuyền nào, tức gồm người đôi không quen Chọn hai người A B tập hợp M Theo tổng số người quen A số người quen B không nhỏ 19 người quen A quen B xếp vào thuyền Như có 19 người quen hệ quen A B xếp vào nhiều thuyền đơi (trừ thuyền A, B chưa xếp), mà 19 = 9.2 + nên theo nguyên lí Dirichlet tồn thuyền chở người quen A B Nhưng ta xếp lại sau: k – thuyền giữ nguyên, thuyền thứ k xếp A k B, thuyền thứ k + xếp A B k Điều mâu thuẫn với giả sử Theo cách xếp ta tiếp tục xếp đến hết 10 thuyền cho thuyền hai người quen Bài tốn Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác tham dự Giả sử điểm thi mơn Tốn học sinh số nguyên lớn bé 10 Chứng minh ln tìm học sinh có điểm mơn Tốn giống đến từ địa phương Hướng dẫn giải Ta có 529 học sinh có điểm thi từ điểm đến 10 điểm Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm thi (từ điểm đến 10 điểm) Ta có 89 học sinh có điểm thi đến từ 16 địa phương Theo nguyên lý Dirichlet tìm em có điểm thi mơn tốn đến từ địa phương  Dạng 6: Vận dụng ngun lí Dirichlet vào tốn hình học * Cơ sở phương pháp:Một số dạng tốn hình học thường gặp: 1) Nếu đoạn thẳng độ dài đặt số đoạn thẳng có tổng độ dài lớn có hai số đoạn thẳng có điểm chung 2) Nếu đường trịn có bán kính đặt số cung có tổng độ dài lớn 2 có hai số cung có điểm chung 3) Trong hình có diện tích S đặt số hình có tổng diện tích lớn S có hai số hình có điểm chung 4) * Ví dụ minh họa: Bài tốn Trong hình vng mà độ dài cạnh cho trước 33 điểm phân biệt, khơng có điểm thẳng hàng, Người ta vẽ đường trịn có bán kính File word: Zalo_0946 513 000 10 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ta có đa giác 1999 cạnh nên có 1999 đỉnh Do phải tồn đỉnh kề P Q sơn màu ( chẳng hạn màu đỏ) Vì đa giác cho đa giác có số lẻ đỉnh, phải tồn đỉnh nằm đường trung trực đoạn thẳng PQ Giả sử đỉnh A Nếu A tơ màu đỏ ta có APQ tam giác cân có đỉnh A, P, Q tô màu đỏ Nếu A tô màu xanh Lúc gọi B C đỉnh khác đa giác kề với P Q Nếu đỉnh B C tô màu xanh ABC cân có đỉnh tơ màu xanh Nếu ngược lại ttrong hai đỉnh B C mà tơ màu đỏ tam giác BPQ tam giác CPQ tam giác cân có đỉnh tô màu đỏ C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài1.Một đồi thơng có 800 000 thơng Trên thơng có khơng q 500 000 Chứng minh có thơng có số Bài2.Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống Bài3.Cho dãy số gồm số tự nhiên a1 , a2 , a3 , a4 , a5 Chứng minh tồn số chia hết cho tổng số số liên tiếp dãy cho chia hết cho Bài4.Cho p số nguyên tố lớn chứng minh tồn số có dạng 111 11 mà chia hết cho p Bài5 Với 39 số tự nhiên liên tiếp, hỏi ta tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 11 hay không? Bài6 Chứng minh 52 số tự nhiên tùy ý, chí có cặp gồm hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 100 Bài7.Chứng minh tồn lũy thừa 29 mà chữ số tận 00001 Bài8 (Bài tốn áp dụng lần nguyên tắc Dirichlet) File word: Zalo_0946 513 000 13 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Có 17 nhà tốn học viết thư cho trao đổi vấn đề khoa học, người viết thư cho người vấn đề Chứng minh có nhà tốn học trao đổi với vấn đề Bài9 Một lớp học có 30 học sinh Khi viết tả, em A phạm 14 lỗi, em khác phạm lỗi Chứng minh có học sinh không mắc lỗi mắc số lỗi Bài 10 Cho người tùy ý Chứng minh số có hai người có số người quen ( ý A quen B B quen A) Bài 11 Trong giải bóng đá có 10 đội tham gia, hai đội số phải đấu với trận Chứng minh thời điểm lịch thi đấu có hai đội đấu số trận Bài 12 Chứng minh số n nguyên dương ta tìm số tự nhiên mà chữ số bao gồm có chữ số chữ số chia hết cho n Bài 13 Chứng minh ln tồn số viết tồn chữ số chia hết cho 2011 Bài 14 Chứng minh ( n, 2010 ) = tồn số k nguyên dương cho nk – chia hết cho 2010 Bài 15 Chứng minh 1007 số tự nhiên tồn hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 2011 Bài 16 Cho n + số nguyên dương khác nhỏ 2n ( n > ) Chứng minh chọn số mà số tổng hai số Bài 17 Cho tam giác ABC có cạnh Đánh dấu điểm phân biệt ABC Chứng minh tồn điểm số mà khoảng cách chúng nhỏ 0,5 Bài 18 Bên hình vng có cạnh 1, lấy 51 điểm phân biệt Chứng minh phải tồn điểm số 51 điểm nằm hình trịn có bán kính Bài 19 Bên hình trịn  O, R  có diện tích 8, người ta lấy 17 điểm phân biệt Chứng minh tìm điểm tạo thành tam giác có diện tích bé Bài 20.Bên sân hình chữ nhật có chiều dài 4m chiều rộng 3m có chim ăn Chứng minh phải có hai chim mà khoảng cách đậu chúng nhỏ 5m File word: Zalo_0946 513 000 14 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Bài 21 Các điểm mặt phẳng tô ba màu: xanh, đỏ, vàng Chứng minh tồn điểm tô màu khoảng chúng Bài 22 Trên mặt phẳng cho 100 điểm Nối điểm với 66 điểm số 99 điểm lại đoạn thẳng Chứng minh xãy trường hợp có điểm số điểm 100 điểm cho không nối với Bài 23 Cho điểm phân biệt nằm bên hình vng ABCD có cạnh 35  Chứng minh tìm điểm hình vng cho cho, khoảng cách từ đến ểm cho lớn 10 Bài 24 Mỗi điểm cửa mặt phẳng tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tìm ba điểm tô màu tạo thành tam giác có cạnh Bài 25 Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu đen đỏ Chứng tỏ tồn tam giác mà đỉnh tô màu Bài 26 Trên mặt phẳng cho 2000 đường thẳng phân biệt, đôi cắt Chứng minh tồn đường thẳng mà góc tạo chúng khơng lớn 180 2000 Bài 27 Bên đường trịn có bán kính 2000 có 8000 đoạn thẳng có độ dài Chứng minh dựng đường thẳng d song song vuông góc với đường thẳng l cho trước, d cắt hai đoạn thẳng cho Bài 28.Cho bảng vng kích thước 10.10 gồm 100 vuông đơn vị Điền vào ô vuông bảng số nguyên dương không vượt 10 cho hai số hai ô vuông chung cạnh chung đỉnh nguyên tố Chứng minh bảng vng cho có số xuất 17 lần Bài 29.Trong hình chữ nhật kích thước 1.2 ta lấy 6n  điểm với n số nguyên dương Chứng minh tồn hình trịn có bán kính n chứa khơng số điểm cho Bài 30 Cho điểm mặt phẳng tô hai màu xanh, đỏ Chứng minh tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu File word: Zalo_0946 513 000 15 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Câu 31 Lớp 6A có 45 học sinh làm kiểm tra mơn Tốn khơng có bị điểm có bạn điểm 10 Chứng tỏ tìm học sinh có điểm kiểm tra Biết điểm kiểm tra số tự nhiên từ đến 10? Câu 32 Chứng minh từ 52 số nguyên tồn số mà tổng hiệu chúng chia hết cho 100 Câu 33 Trên mặt phẳng cho 2019 điểm phân biệt cho điểm 2019 điểm ta tìm điểm có khoảng cách nhỏ cm Chứng minh rằng: Sẽ tồn 1010 điểm nằm đường trịn có bán kính cm HƯỚNG DẪN GIẢI Bài1 Ta tưởng tượng thơng "thỏ", có 800.000 "thỏ" nhốt vào không 500.000 "chiếc lồng" Lồng ứng với thơng có cây, lồng ứng với thơng có v.v Số thỏ lớn số lồng, theo ngun tắc Đirichlet có lồng nhốt khơng thỏ nghĩa có thơng có số Bài2 Một năm có 12 tháng Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng Nếu tháng có khơng q học sinh sinh số học sinh không quá: 3.12 = 36 mà 36 < 40 (vô lý) Vậy tồn tháng có học sinh trùng tháng sinh ( 40 thỏ 40 học sinh, 12 lồng 12 tên tháng) Bài3 Ta thành lập dãy số gồm số sau đây: S1 a1 S a1  a2 S3 a1  a2  a3 S a1  a2  a3  a4 S5 a1  a2  a3  a4  a5 - Nếu cách Si  i 1, ,5  chia hết cho tốn chứng minh - Nếu khơng có số chia hết cho đem chia số Si cho số dư có giá trị từ đến Có số dư mà có giá trị (5 thỏ, lồng) Theo nguyên tắc Đirichlet phải có số dư có giá trị Hiệu chúng chia hết cho Hiệu tổng liên tiếp Bài4 111 11    Xét dãy số 1,11,111, , p chữ số Ta chứng minh dãy phải có số chia hết cho p Giả sử kết luận khơng đúng, tức khơng có số dãylại chia hết cho p File word: Zalo_0946 513 000 16 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Cho tương ứng số dư phép chia cho p Tập hợp số dư thuộc tập hợp {1, 2, 3, , p – 1} (Do thuộc tập hợp này) Ta lại có p số dãy số Vì theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho p Giả sử số 111 11 (m chữ số 1) số 111 11 (n chữ số 1) với  n  m  p  Từ ta có n (111 11     111 11)     p, hay 111    000     p Hay 111    10  p m chữ số n chữ số m  n chữ số1 n chữ so m  n chữ số (1) 111    p Do p sô nguyên tố lớn nên (p; 10) = 1, Vì từ (1) ta suy m  n chữ số1 (2) 111    m  n chữ số số thuộc dãy nên từ (2) suy mâu thuẫn với giả thiết Vậy giả sử phản chứng sai Ta suy điều phải chứng minh Bài5 Từ 20 số dãy ta tìm số mà chữ số hàng đơn vị 0, hai số phải có số có chữ số hàng chục khác Giả sử N số đó, ta gọi S tổng chữ số N Ta có dãy số N, N + 1, N + 2, N + 9, N + 19 11 số nằm 39 số cho trước mà tổng chữ số chúng S, S + 1, S + 2, S + 9, S + 10 Đó 11 số tự nhiên liên tiếp, phải có số chia hết cho 11 Bài6.Để làm xuất số "thỏ" số "lồng ta làm sau: Trong tập hợp số dư phép chia cho 100 ta lấy cặp số cho tổng cặp 100 thành lập thành nhóm sau: (0 ; 0), (1 ; 99), (2 ; 98), (3 ; 97), (4 ; 96), (5 ; 95), (6 ; 94) (49 ; 51), (50 ; 50) Chú ý có 50 cặp vậy, ta thêm vào cặp (0, 0) có 51 cặp (51 lồng) - Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 có 52 số dư (52 thỏ) - Có 52 số dư mà có 51 nhóm, theo ngun tắc Dirichlet phải có số dư rơi vào nhóm Rõ ràng cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư hai số tự nhiên có tổng hiệu chia hết cho 100 (đpcm) Bài7 Trước hết ta ý rằng: File word: Zalo_0946 513 000 17 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 29m có tận m số chẵn 29m có tận m số lẻ Ta xét 105 lũy thừa 29 với số mũ chẵn khác Có hai khả xảy ra: a Trong có số mũ 2k mà 29 2k có tận 00001 tốn chứng minh b Khơng có số mũ 2k để 292k có tận 00001 Từ b, ta thấy rằng: Số số có chữ số tận khác nhỏ 10 (kể từ chữ số tận 00002, 00003, 99 999, 105) số số khác mà ta xét 10 số Theo ngun tắc Dirichlet phải có hai lũy thừa có chữ số tận dùng 2k abcd1 A1 = 29 = M1 105 Giả sử 2k abcd1 A2 = 29 = M2 105 Có thể giả sử k1> k2 mà khơng làm tính chất tổng qt tốn Thế ta có: 2k 2k A1 - A2 = 29 - 29 = (M1 - M2) 105   2(k - k ) 2k 2k 2k 1 A1 - A2 = 29 - 29 = 29 29 2k Vì 29 có tận A1 - A2 = (M1 - M2)105 có tận khơng số nên   2(k - k )  phải có tận khơng chữ số 0, từ suy suy 29 292(k1 - k ) có tận 00001 (số chữ số 4) Ta tìm số k = 2(k1 - k) thỏa mãn đề (đpcm) Bài8.Gọi A nhà toán học số 17 nhà tốn học, nhà toán học A phải trao đổi với 16 nhà tốn học cịn lại vấn đề Như nhà tốn học A phải trao đổi với nhà tốn học vấn đề Vì trao đổi với số nhà File word: Zalo_0946 513 000 18 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN tốn học vấn đề số nhà tốn học trao đổi với A 16 (Các bạn diễn tả theo khái niệm "thỏ" "lồng" để thấy áp dụng nguyên tắcDirichlet lần thứ nhất.) - Gọi nhà toán học trao đổi với nhà toán học A vấn đề (giả sử vấn đề I) A1, A2, A3, A4, A5, A6 Như có nhà toán học trao đổi với vấn đề (khơng kể trao đổi với A) Như có nhà toán học A 1, A2, A3, A4, A5, A6 trao đổi với vấn đề, I, II, III Có hai khả xảy ra: a Nếu có nhà tốn học trao đổi với vấn đề I có nhà toán học (kể A) trao đổi với vấn đề I Bài toán chứng minh b Nếu khơng có nhà tốn học nhà tốn học A 1, A2 A6 trao đổi vấn đề I ta có nhà tốn học trao đổi với vấn đề II III Theo ngun tắcDirichlet có nhà tốn học trao đổi với vấn đề II III Bài toán chứng minh Bài9.Để tôn trọng ta cần thay đổi ngôn ngữ thỏ, chuồng học sinh , phòng Phòng 1: Chứa em mắc lỗi Phòng 2: Chứa em mắc lỗi …………………………………… Phòng 14: Chứa em mắc 14 lỗi Phịng 15: Chứa em khơng mắc lỗi Theo giả thiết phịng 14 có em A Cịn lại 14 phòng chứa 29 em Theo nguyên lý Dirichlet tồn phịng chứa em Từ có điều phải chứng minh Bài 10 Có người nên số người quen nhiều người Phịng 0: Chứa người khơng có người quen Phịng 1: Chứa người có người quen ……………………………………………………… Phịng 4: Chứa người có người quen Để ý phịng 0&phịng khơng thể có người File word: Zalo_0946 513 000 19 File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Thực chất người chứa phòng Theo nguyên lý Dirichlet tồn phịng chứa người Từ có điều phải chứng minh Bài 11 Xét thời điểm lịch thi đấu ( đội thi đấu tối đa trận) Phòng 0: Chứa đội chưa đấu trận Phòng 1: Chứa đội thi đấu trận ……………………………………………… Phòng 9: Chứa đội thi đấu trận Để ý phịng phịng khơng thể có đội thi đấu Thực chất 10 đội chứa phòng Theo nguyên lý Dirichlet ta suy điều phải chứng minh Bài 12 Xét n+ số sau: a1 =5 ;a2 =55 ; ;an+1 =55 .5 ( n+1 chữ số 5) Theo nguyên lý Dirichlet : với n+1 số tồn hai số có số dư chia cho n Hiệu hai số số có dạng: 55…50…0 gồm tồn chữ số chữ số chia hết cho n Đó điều phải chứng minh! Bài 13 Xét 2012 số a1 =8 ;a 2=88; ;a 2012=88 (2012 chữ số 8) Tương tự ví dụ tồn số có dạng 88…80…0 ( n chữ số k chữ số 0) chia hết cho 2011 Mà: 88…80…0 = 88…8.10k (10k,2011) = suy số: 88…8 chia hết cho 2011 Điều phải chứng minh! ( Lưu ý: 2011 số nguyên tố) Bài 14 Xét 2011 số sau: n; n2 ; n3;…; n2011 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho 2010.Giả sử hai số ni nj với ¿ i< j≤ 2011 Khi nj – ni = ni (n j – i – 1) = ni ( nk – 1) chia hết cho 2010 ( k = j - i số nguyên dương) Vậy nk – chia hết cho 2010 ( (ni, 2010) =1) Bài 15 Ta xét phép chia 1007 số cho 2011 xếp vào: Nhóm 0: Các số chia hết cho 2011 ( dư 0) Nhóm 1: Các số chia cho 2011 dư 2010 Nhóm 2: Các số chia cho 2011 dư 2009 ………………………………………………… Nhóm 1005: Các số chia cho 2011 dư 1005 1006 Theo nguyên lý Dirichlet tồn nhóm chứa hai số Theo cách xếp nhóm tổng hiệu hai số chia hết cho 2011 File word: Zalo_0946 513 000 20 File word: Zalo_0946 513 000