ĐỀ CƯƠNG BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ LỚP TẬP HUẤN NGUYÊNLÝ QUI NẠP TỐN HỌC Người báo cáo: Lê Chí Nguyễn (THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau) n 1) Dẫn dắt đến nguyênlý qui nạp: Ví dụ số Fermat Fn = 22 + ( n ∈ ) Với n = 0, 1, 2, 3, Fermat nhận thấy Fn số nguyên tố nên đưa dự đoán Fn số nguyên tố với n ∈ đến 1732 Euler F5 = 4294967297 = 641.6700417 không số nguyên tố 2) Nguyênlý qui nạp: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ ∗ với n mà thử trực tiếp được, ta dùng phương pháp quynạp toán học (hay gọi tắc phương pháp quy nạp) sau: - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = - Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ (gọi giả thiết quy nạp) - Bước 3: Chứng minh mệnh đề với n = k + 3) Bài tốn 1: tổng số nguyên dương lẻ liên tiếp Cho Sn = + + + …… + (2n – 1) Tính S1, S2, S3, S4, S5 Dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh qui nạp (ĐS: Sn = n2) 4) Bài toán 2: tổng n số nguyên dương liên tiếp Cho Sn = + + + …… + n Tính S1, S2, S3, S4, S5 Dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh qui nạp (ĐS: Sn = n ( n + 1) ) 5) Bài tốn 3: cơng thức tổng qt dãy số cho hệ thức truy hồi ⎧u1 = 11 Cho dãy số (un) xác định bởi: ⎨ ⎩un +1 = 10un + − 9n Tính u2, u3, u4, u5 Dự đốn cơng thức tính un chứng minh qui nạp (ĐS: un = 10n + n) 6) Bài toán 4: xác định hệ thức truy hồi dãy số từ toán diễn đạt lời tìm cơng thức tổng qt Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng d: y = 2x + d/: y = x Trên d lấy điểm A1 có hồnh độ Qua A1 kẻ đt song song với trục hoành cắt d/ điểm B1 ; gọi A2 giao điểm d với đt qua B1 song song với trục tung Với điểm A2, lại thực bước tương tự làm với điểm A1 ta điểm A3 Với điểm A3, lại làm ta điểm A4 Cứ tiếp tục trình ta dãy vô hạn điểm A1, A2, … nằm d Với n nguyên dương, gọi un hoành độ điểm An Xác định hệ thức truy hồi dãy số (đẳng thức ràng buột un+1 un) Từ tìm u2, u3, u4, u5 cơng thức tính un (HD: Với n, kí hiệu an bn tương ứng tung độ An Bn Khi đó: + An thuộc d nên an = 2un + + Bn thuộc đt qua An song song với trục hoành nên bn = an = 2un + + Bn thuộc đt qua An+1 song song với trục tung nên Bn có hồnh độ un+1 + Bn thuộc d/ nên un+1 = bn ⎧ ⎪u1 = Vậy un+1 = 2un + hay dãy (un) xác định ⎨ ⎪⎩un+1 = 2un + Công thức tổng quát dãy un = 7) Bài tốn 5: Qui nạp hình học 2n +1 −1) Cho n đường thẳng nằm mặt phẳng cho khơng có hai đt song song khơng có đt đồng qui Chứng minh n đt chia mặt phẳng thành n2 + n + miền (HD : Kí hiệu S(n) = n2 + n + 2 Dễ thấy với n = S(1) = 2, tốn Giả sử toán với n = k ( k ≥ ) Xét k + đt d1, d2, , dk+1 k đt d1, d2, , dk chia mặt phẳng thành S(k) miền Đt dk+1 cắt k đt k điểm phân biệt nên dk+1 qua k + miền miền có, miền bị chia làm hai nên dk+1 tạo thêm k + miền k2 + k + ( k + 1) + ( k + 1) + + ( k + 1) = Do : S(k + 1) = S(k) + (k + 1) = 2 Vậy toán ) 8) Bài toán 6: Qui nạp hình học Cho tam giác ABC Qua C kẻ n – ( n ∈ ∗ ) đường thẳng CM1, CM2,…, CMn-1 chia tam giác ABC thành n tam giác ACM1, M1CM2, …, Mn-1CB Gọi r1, r2, …, rn q1, q2,…, qn bán kính đường tròn nội tiếp bàng tiếp góc C tam giác Gọi r q bán kính đường tròn nội tiếp bàng tiếp góc C tam giác ABC Chứng minh rằng: r1 r2 rn r = q1 q2 qn q 9) Ngun lý qui nạp mạnh: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ với n ≥ n0 , ta dùng phương pháp quynạp theo kiểu sau (gọi dạng mạnh phép qui nạp): - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = n0 - Bước 2: Giả sử mệnh đề với k: n0 ≤ k ≤ n - Bước 3: Chứng minh mệnh đề với n + 10) Bài toán 7: (VD 2.5, Chương – A Walk through combinatorics) ⎧u1 = Cho dãy (un) xác định ⎨ ⎩un+1 = u1 + u2 + + un + n + Tính u2, u3, u4, u5 tìm cơng thức tính un (ĐS: un = 2n – 1) 11) Bài toán 8: (VD 2.6, Chương – A Walk through combinatorics) Cho hàm số f : ⎯⎯ → thỏa f(m + n) = f(m) + f(n) với m, n ∈ minh tồn số C cho f(n) = Cn, ∀n ∈ Chứng 12) Một số đề rèn luyện: Chứng minh rằng: Với n ∈ N*, b) 62n + 3n+2 + 3n M 11 a) n5 – n M 2n-1 n+1 e) 4.32n+2 + 32n – 36 M 64 d) + M Chứng minh rằng: Với n ∈ N*, n (n + 1) a) 13 + + 33 + L + n = 1 n b) + +L+ = 2 n(n + 1) n + c) f) 3n + 2n – M 4n + 15n – M + + + L + 2n = n(n + 1) e) 1 1 2n + + + +L + n = − 3 4.3n n(3n − 1) g) + + + L + (3n − 2) = n(n + 1)(2n + 1) h) 12 + 2 + + L + n = f) 1 1 2n −1 + + +L + n = n 2 n(3n + 1) d) + + + … + 3n– = Chứng minh rằng: Với n ∈ N*, b) 2n > n2 với n ≥ a) 2n ≥ 2n + với n ≥ c) c) nn ≥ (n + 1)n–1 n e) > n + 4n + với n ≥ 2n 2n g) sin α + cos α ≤ n–3 i) > 3n – với n ≥ d) n! > 2n – > 2n + n–1 > n(n + 2) với n ≥ f) h) với n ≥ n+2 n j) > 3n + với n ≥ n an + b n ⎛ a + b ⎞ ≥⎜ ⎟ , a, b > n ∈ N* ⎝ ⎠ Chứng minh ΔABC vuông A, có số đo cạnh a, b, c với số tự nhiên n ≥ 2, ta có bất đẳng thức : bn + cn ≤ an Chứng minh rằng: Với giá trò số nguyên dương n, ta coù: a) 2n + > n2 + 3n b) 2n > 2n + c) 2n > n2 + 4n + d) 3n > 2n + 7n ? Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh n(n − 3) 1 1 + + +K + , với n ∈ N* 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đoán công thức tính Sn chứng minh quynạp Cho tổng Sn = Cho n số thực a1 , a2 , a3 , … , an thỏa – < ≤ với i = 1, n Chứng minh rằng: ∀n ∈ N* ta coù: (1 + a1) (1 + a2) … (1 + an) ≥ + a1 + a2 + … + an 10 Chứng minh với số thực a1 , a2 , a3 , … , an (n ∈ N*), ta coù: ⎜a1 + a2 + … + an ⎜≤ ⎜a1⎜ + ⎜a2 ⎜ + ⎜an ⎜ ... Trên d lấy điểm A1 có hồnh độ Qua A1 kẻ đt song song với trục hoành cắt d/ điểm B1 ; gọi A2 giao điểm d với đt qua B1 song song với trục tung Với điểm A2, lại thực bước tương tự làm với điểm A1... nạp mạnh: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ với n ≥ n0 , ta dùng phương pháp quy nạp theo kiểu sau (gọi dạng mạnh phép qui nạp): - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = n0 - Bước... 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đoán công thức tính Sn chứng minh quy nạp Cho tổng Sn = Cho n số thực a1 , a2 , a3 , … , an thoûa – < ≤ với i = 1, n Chứng minh rằng: