TH2 d1 TamNTT quy tac cong nhan nguyen ly bu tru

QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC NHÂN, NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Nguyễn Thị Thanh Tâm THPT chuyên Nguyễn Tất Thành Kon Tum Các toán tổ hợp đa dạng phong phú nội dung phương pháp giải Nhưng tất phải phép đếm Ta phải biết đếm để giải tốn đếm (Tìm số phần tử tập hợp) ta phải biết đếm để giải tốn tổ hợp khác Có ba quy tắc đếm ta cần biết: Quy tắc cộng, quy tắc nhân quy tắc bù trừ I Quy tắc cộng Nếu tập hợp chia thành số tập rời để đếm số phần tử tập hợp, ta đếm số phần tử tập cộng lại Nếu cơng việc có phương án thực hiện, phương án thứ có m cách thực hiện, phương án thứ hai có n cách thực cơng việc có m + n cách thực Nguyên lý cộng Giả sử có n1 cách thực việc E1, n2 cách thực việc E2 ,…, nk cách thực việc Ek Nếu k việc làm đồng thời có n1+n2   nk cách thực việc E1 , E2 , , Ek Theo ngôn ngữ lý thuyết tập hợp, nguyên lý phát biểu sau: Nếu A1 , A2 , , Ak tập hữu hạn đơi rời |A1  A2   Ak| = |A1| + |A2| + + |Ak| Ví dụ 1.1 Người ta từ T.p Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng ba phương tiện: tàu hoả, đường máy bay Nếu có hai cách tàu hoả, ba cách đường bộ, cách máy bay có 2+3+1 =6 cách từ T.p Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng Ví dụ 1.2 Tìm số cặp có thứ tự (x; y) số nguyên thoả mãn x2+ y2  Lời giải Mỗi i=0, 1, 2, 3, 4, ta đặt Si  ( x; y ) | x, y  , x  y  i , tập cần tính số phần tử hợp rời rạc Si Ta tính số phần tử Si phương pháp liệt kê cuối đáp số toán 21 Quy tắc cộng sử dụng tình ta phải phân trường hợp, phân phương án Quy tắc cộng khơng giúp tăng tốc độ tính mà chia việc để xử lý song song Quy tắc nhân giúp tăng đáng kể tốc độ đếm Ví dụ cần biết số lượng bàn phòng học, ta cần đếm số dãy bàn nhân với số bàn dãy II Quy tắc nhân Quy tắc nhân phát biểu: Nếu cơng việc phân thành cơng đoạn Cơng đoạn có m cách thực hiện, cơng đoạn 2, sau thực cơng đoạn 1, có n cách thực cơng việc có m.n cách thực Quy tắc nhân phù hợp với tốn mà cơng việc thực (thành lập tổ trực, rút quân bài, lập số có n chữ số), có cấu trúc (ví dụ học sinh tồn trường xếp hàng ngắn ta đếm nhanh, cách em chạy lung tung sân trường khó lòng đếm nhanh đếm đúng) Trong tình tập hợp có cấu trúc phức tạp ta phải xếp lại chia nhỏ (sử dụng quy tắc cộng) Nguyên lý nhân Giả sử việc làm cách thực liên tiếp việc E1 , E2 , , Ek ; có n1 cách thực việc E1 , n2 cách thực việc E2 ,…, nk cách thực việc Ek Khi số cách làm việc n1 n2 nk Theo ngôn ngữ lý thuyết tập hợp, nguyên lý phát biểu sau: Nếu A1 , A2 , , Ak tập hữu hạn k k A  A i i 1 i i 1 Ví dụ 2.1 Đề từ thành phố A đến thành phố D người ta phải qua hai thành phố B C Nếu có hai cách từ A đến B, ba cách từ B đến C cách từ C đến D có cách từ A đến B Ví dụ 2.2 Cho k n số nguyên dương Một dãy k  phân độ dài n dãy ( a1 , a2 , , an ) với a1 , a2 , , an  0,1, , k  1 Hỏi có dãy này? Lời giải Đặt A  0,1, , k  1 Để hình thành dãy k  phân, cần chọn a1 từ A , sau chọn a2 từ A , cuối cần chọn an từ A Bởi có k cách để làm bước nên theo nguyên lý nhân, số dãy k n Ví dụ 2.3 Tìm số ước dương 600 Lời giải Ta có 600  23.31.52 nên số nguyên dương m ước dương có dạng m  2a.3b.5c với a , b, c   thoả mãn  a  ,  b  ,  c  Như số ước dương số ba (a, b, c) thoả mãn a  0,1, 2, 3 , b  0,1 , c  0,1, 2 , theo nguyên lý nhân, số ước dương 600 x x 3=24 Tổng quát ta có: Nếu số ngun dương n có phân tích tiêu chuẩn n   piki số ước dương n  (k i  1) Ví dụ 2.4 Cho X  1, 2, ,100 S  ( a, b, c ) | a , b, c  X , a  b, a  c Tính | S | Lời giải Với k  1, 2, ,99 ta đặt Sk  ( k , b, c) | b, c  X , k  b, k  c Khi S hợp rời rạc Sk mà theo nguyên lý nhân ta có | Sk | (100  k ) nên suy | S |  Sk  328350 Để ý đến lời giải ví dụ 1.2 ví dụ 2.4, ta thấy chúng có điểm chung chia toán cho thành toán đơn giản giải chúng Đây cách để giải toán đếm, có cách khác ngắn gọn hơn, việc chia toán thành toán mà biết cách giải giúp ta gặp phải sai lầm Ví dụ 2.5 Có số tự nhiên có ba chữ số lấy từ tập 1, 2,3, 4,5,6 a) Các chữ số không cần phải khác nhau? b) Các chữ số phải khác nhau? c) Các chữ số phải khác chứa số 3? d) Các chữ số không cần phải khác chứa số 3? Lời giải a) Dễ thấy có 63 số b) Đáp số: Có 6x5x4=120 số c) Đầu tiên ta chọn vị trí cho số 3, sau chọn hai số lại Đáp số 3x5x 4=60 số d) Nếu tiếp tục làm ta kết 3x6x6, kết khơng xác! Vì làm số 323 đếm hai lần Vấn đề chỗ ta dùng sai nguyên lý nhân, hai tổ hợp khác cách thực công việc Ei phải cho hai kết khác ta áp dụng nguyên lý nhân Bài ta lại phải chia thành toán giải chúng Ta chia trường hợp theo vị trí số nằm bên trái Nếu số nằm vị trí hàng trăm số có ba chữ số phải có dạng 3ab , nàm vị trí hàng chục số có ba chữ số phải có dạng a 3b với a  , cuối cùng, số nằm vị trí hàng đơn vị số ba chữ số phải có dạng ab3 với a, b  Giải toán ta đáp số toán 6x6+5x6+5x5=91 số Như chia toán cần giải tốn đếm biết cách giải việc lại đơn giản Khơng may, đa số tốn đếm việc tìm cấu trúc để chia toán thành toán nhỏ việc làm khó khăn Hay nói khác đi, khó khăn nằm lúc bắt đầu Sau chọn cấu trúc rồi, bạn phải kiểm tra xem việc chia có đảm bảo đầu mơ hình khác hay khơng Hầu hết toán đếm yêu cầu bạn phải thực hiểu mơ hình mà cần đếm, hay mà bạn cần đếm Biết lời giải toán đếm giúp ích bạn chút giải toán đếm khác Một quy tắc dùng để giải tốn đếm, quy tắc phần bù Nếu ta biết số học sinh trường muốn biết có học sinh diện, ta cần biết số học sinh vắng Rõ ràng đếm số học sinh vắng nhanh (vì hơn) Ta xét tốn đơn giản sau: Bài toán Trong số tự nhiên viết hệ thập phân a) Có số có chữ số? b) Có số chẵn có chữ số? c) Có số có chữ số khác nhau? d) Có số chẵn có chữ số khác nhau? Phân tích lời giải a) b) giải cách lớp 5: tốn đếm cách Nhưng đến c) khó Ở số khơng liên tiếp hay cách Và ta đếm quy tắc nhân sau: Một số có ba chữ số có dạng abc a có cách chọn (a khác 0), b có cách chọn (khác a), c có cách chọn (khác a c) Vì có x x = 648 số có ba chữ số khác Sang toán d) tiếp tục làm hai cơng đoạn đầu (chọn a chọn b) khơng gặp khó khăn gì, đến cơng đoạn (chọn c) ta gặp khó Do c phải chẵn nên số cách chọn c phụ thuộc vào kiện số chữ số khác a, b số chẵn Trong tình thế, ta khơng áp dụng trực tiếp quy tắc nhân Phải làm nào? Có số cách tiếp cận 1) Để số cách chọn c hoàn toàn xác định, ta chia cách chọn ab thành loại: (chẵn,chẵn), (chẵn, lẻ), (lẻ, chẵn), (lẻ, lẻ) Số cách chọn a b c trường hợp tương ứng 4x4x3=48, 4x5x4=80, 5x5x4=100, 5x4x5=100 Cộng lại ta đáp số 328 2) Ta đổi thứ tự thực hiện: Chọn c trước chọn a, b Ở có đơi chút rắc rối khâu chọn a (do a phải khác khác c), ta phân làm hai trường hợp: + Chọn c = 0, sau chọn a, b a có cách chọn, b có cách chọn Trường hợp ta có 72 số + Chọn c chẵn khác 0, sau chọn a, b c có cách chọn, a có b có Trường hợp có 256 số Cộng lại ta 328 số cần tìm 3) Ta biết có 648 số có chữ số khác Để đếm xem có số chẵn có ba chữ số khác nhau, ta đếm xem có số lẻ có chữ số khác Bài tốn hóa dễ Ta thiết lập số có chữ số theo thứ tự chọn c, chọn a chọn b c có cách chọn (c phải lẻ), a có cách chọn (a khác c khác 0, chắn c khác rồi!), b có cách chọn (b khác c khác a) Vì có x x = 320 số lẻ có chữ số khác Theo quy tắc phần bù, ta có 648  320 = 328 số chẵn có chữ số khác Qua ví dụ ta thấy để giải toán đếm, ta cần áp dụng cách hợp lý quy tắc nhân, quy tắc cộng quy tắc phần bù Tư tưởng chủ đạo quy tắc nhân dùng quy tắc cộng quy tắc phần bù để tháo gỡ khó khăn III Nguyên lý bù trừ - Đối với tập hợp A B  A  B  A B - Đối với tập hợp A B C  A  B  C  A B  AC  B C   A B C - Tổng quát, ta có kết sau Cho A1 , A2 , , An tập hợp hữu hạn Khi n n A   A i i i 1 i 1   1i  j  n Ai  Aj   Ai  Aj  Ak    1 1i  j  k  n n 1 n A i i 1 Công thức xác định số phần tử hợp số tập hợp hữu hạn thường dùng nhiều toán đếm Áp dụng nguyên lý bù trừ ( NLBT ) sử dụng số phương pháp khác tập hợp, ta giải số dạng toán, đặc biệt toán số học Dưới số ví dụ: Ví dụ 3.1 Cho tập hợp S  1, 2, , 280 Đặt: A1  k  S / k  2 , A2  k  S / k  3 , A3  k  S / k  5 , A4  k  S / k  7 , A  A1  A2  A3  A4 a) Chứng minh phần tử tùy ý khác đôi A có hai số khơng ngun tố b) Tính A Hướng dẫn giải a) Sử dụng Nguyên lý Dirichlet, với phần tử phân vào tập hợp b) Áp dụng NLBT, ta có: A  A1  A2  A3  A4   A1   A4    A1  A2   A3  A4    A1  A2  A3   A2  A3  A4   A1  A2  A3  A4  216 Ví dụ 3.2 (VMO-2005-Bảng B): Tìm kết học tập lớp học, người ta thấy: số số học sinh đạt điểm giỏi môn Vật lý đồng thời đạt điểm giỏi môn Ngữ văn; số học sinh đạt điểm giỏi môn Ngữ văn đồng thời đạt điểm giỏi môn Lịch sử; số học sinh đạt điểm giỏi môn Lịch sử đồng thời đạt điểm giỏi mơn Tốn Chứng minh tồn học sinh đạt điểm giỏi bốn môn nêu học sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn đồng thời đạt điểm giỏi môn Vật lý; Hướng dẫn giải Ký hiệu T, L, V, S tập hợp học sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn, Vật lý, Ngữ văn, 2 Lịch sử Đặt: Tl  T  L, Lv  L  V , Vs  V  S Từ giả thiết suy ra: Tl  T , Lv  L , 3 Vs  V Ta cần chứng minh: T  L  V  S  Ta cần chứng minh: Tl  Lv  Vs  Thật vậy, không tính tổng quát, giả sử: T  L  V  S Áp dụng NLBT, ta có: Tl  Lv  Vs  Tl  Lv  Vs  Tl  Lv   Vs  Tl  Lv  Vs  Tl  Lv  Tl  Lv   Vs  2 2 1 1 T  L  V  L  V  T  L  V  T  T  T  3 3 3 3 Ví dụ 3.3 Một hốn vị  x1 , x2 , , xn  tập hợp 1, 2, , 2n , n nguyên dương, gọi có tính chất P xi  xi 1  n , với giá trị i  1, 2, , 2n  1 Chứng minh với số n , số hoán vị có tính chất P lớn số hốn vị khơng có tính chất P Hướng dẫn giải Đặt M  1, 2, , n, n  1, n  2, , 2n Lưu ý rằng:   n  1  n   n    n Gọi Ak tập tất hoán vị M cho hốn vị đó, hai phần tử k k  n đứng kề Gọi A tập tất hốn vị có tính chất P Dễ thấy: A   Ak Khi đó: k A A  A  A k k k k k  Ah  k h  Ak  Ah  Am k  h m Sử dụng bất đẳng A   Ak   Ak  Ah (*) k k h Ngoài ra, dễ dàng chứng minh được: Ak   2n  1 ! Ak  Ah   2n   ! Do đó:  n  n  1   2n  ! A   2n   ! 2n  2n  1    2n  2n   !  2   Ghi chú: Bất đẳng thức (*) chứng minh sau: n Với x   Ak , tồn k để x  Ak Gọi k0 giá trị nhỏ k (  k  n )mà x  Ak0 k 1 n Trong A k x tính lần k 1 n Trong | A k | x tính lần đầu Ak0 tính lặp Aj với j>k mà x  Aj k 1 Số lần lặp bị khử Ak0  Aj với j>k0 mà x  Aj Ngoài ta trừ thêm giao Ak  Aj cặp số (k, j) mà k0