nguyen ly bu tru

Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho.. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ t

Tên đề tài: NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Người thực hiện: Trần Thu Hà Người hướng dẫn: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến

Lý do chọn đề tài:

Tư duy tổ hợp ra đời rất sớm Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ 17

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Từ khi máy tính phát triển và thịnh hành, nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính và tổ hợp đã trở thành lĩnh vực toán ứng dụng với sự phát triển mạnh mẽ

Tư duy giải toán tổ hợp của học sinh còn yếu

Trong hơn chục năm trở lại đây, bài toán tổ hợp thường xuyên có mặt trong các đề thi vào các trường Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp Năm học 2005-2006, Vụ Trung học phổ thông đã thống nhất 11 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trong đó chuyên đề 11 là chuyên đề về tổ hợp

Trong lý thuyết tổ hợp, nguyên lý bù trừ là phương pháp đếm nâng cao giải các bài toán đếm,

nó có nhiều ứng dụng hay và từ các ứng dụng này ta có thể giải được lớp các bài toán tương tự mà việc giải chúng giúp củng cố và rèn luyện việc sử dụng linh hoạt các cấu hình tổ hợp cơ bản và mở rộng – là điểm yếu của rất nhiều học sinh

Chính vì các lý do trên, tôi chọn: Nguyên lý bù trừ và ứng dụng làm đề tài luận văn thạc sĩ

của mình

Mục đích nghiên cứu

• Từ các ứng dụng của nguyên lý bù trừ giải lớp các bài toán tương tự cụ thể

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu là nguyên lý bù trừ.

• Phạm vi nghiên cứu là nội dung của nguyên lý bù trừ và các ứng dụng của nguyên lý đó

Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

• Đề tài được xây dựng để giải các bài toán xuất hiện từ thực tiễn cuộc sống và các bài toán của các khoa học khác được giải quy về bài toán tổ hợp sử dụng nguyên lý bù trừ

Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày trong 3 chương

Mở đầu Chương 1 - Tổng quan về tổ hợp Chương 2 - Nguyên lý bù trừ Chương 3 - Ứng dụng của nguyên lý bù trừ Kết luận

Chương 1-TỔNG QUAN VỀ TỔ HỢP

1.1 Các bài toán tổ hợp nổi tiếng trong lịch sử

1.2 Bài toán tổ hợp

Cho các tập hợp , , , Giả sử là sơ đồ sắp xếp các phần tử của , , , được

mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và , , , là các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ

đồ Khi đó mỗi cách sắp xếp các phần tử của , , , thỏa mãn các điều kiện , , , gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập , , , .

Trong tổ hợp người ta thường gặp 4 dạng bài toán sau:

1.2.1 Bài toán tồn tại

1.2.2 Bài toán đếm

1.2.3 Bài toán liệt kê

1.2.4 Bài toán tối ưu tổ hợp

1

S

1

S

1

1

1

1.3 Bài toán đếm

1.3.1 Giai thừa:

Định nghĩa 1.1 Giai thừa của số tự nhiên khác 0, ký hiệu , là tích của số tự

nhiên liên tiếp từ 1 đến

Quy ước: 0! = 1.

Tính chất:

1.3.2 Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân

1.3.2.1 Nguyên lý nhân Nguyên lý nhân: Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua bước, bước 1 có

thể thực hiện theo cách, bước 2 có thể thực hiện theo cách,…, bước k có thể thực hiện theo cách Khi đó số cấu hình tổ hợp là

1.3.2.2 Nguyên lý cộng Nguyên lý cộng: Nếu có cách chọn đối tượng , cách chọn đối tượng ,…,

cách chọn đối tượng và nếu cách chọn đối tượng không trùng với bất kỳ cách chọn nào ( ) thì có cách chọn một trong các đối tượng

đã cho.

1

n

n

n

) ) (

1 (!

)!

( n + k = n n + n + k

k

k

1

j

1.3.3 Các cấu hình tổ hợp cơ bản

1.3.3.1 Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa 1.2 Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành

phần lấy từ n phần tử đã cho Các thành phần có thể được lặp lại.

Định lí 1.1 Nếu ký hiệu số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là thì

1.3.3.2 Chỉnh hợp không lặp

Định nghĩa 1.3 Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k

thành phần lấy từ n phần tử đã cho Các thành phần không được lặp lại.

Định lí 1.2 Nếu ký hiệu số tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là thì

1.3.3.3 Hoán vị

Định nghĩa 1.4 Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó.

Định lý 1.3 Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là thì

1.3.3.4 Tổ hợp

Định nghĩa 1.5 Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể thứ tự

gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho (có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử từ n phần tử đã cho).

Định lý 1.4 Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là thì

)

(n P

) ,

( k n

AR AR(n,k) = n k

( )n k

A ,

! )

,

(

k n

n k

n

A

−

=

! ) (n n

( )n k

)!

!.(

! ,

k n k

n k

n C

−

=

1.3.4 Các cấu hình tổ hợp mở rộng

1.3.4.1 Hoán vị lặp

Định nghĩa 1.6 Hoán vị lặp là hoán vị mà trong đó mỗi phần tử được ấn định một số lần lặp lại cho

trước

Định lý 1.5 Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau, trong đó phần tử thứ nhất lặp lần, phần tử thứ

2 lặp lần, …, phần tử thứ k lặp lần là

với

Định lý 1.6 Số cách phân phối n đồ vật khác nhau vào k hộp khác nhau sao cho có vật được đặt

vào hộp thứ i với là

1.3.4.2 Tổ hợp lặp

Định nghĩa 1.7 Tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần

tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể được lặp lại.

Định lý 1.7 Nếu ký hiệu số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử là thì

1.3.4.3 Phân hoạch thứ tự tổ hợp

Định nghĩa 1.9 Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau, và có phần tử Một phân

hoạch có thứ tự của gọi là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X Nếu thì gọi là phân hoạch thứ tự của X .

Cho các số nguyên dương thoả Số các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập

r của X dạng có , được ký hiệu là

i

1

n

2

!

!

!.

! , ,

,

;

2 1 2

1

k k

n n n

n n

n

n

n

i

n k

i =1,2, , !. ! ! !

2

1 n n k

n n

) ,

( k n

CR CR(n,k) =C(n− 1 +k,n− 1 )

n

k

n n

n1, 2, , n1 + n2 + + n k = r

{S1,S2, ,S k} S1 = n1 S2 = n2, , S k = n k C(n;n1,n2, ,n k)

Định lý 1.8

1.3.4.4 Phân hoạch không thứ tự

Định nghĩa 1.10 Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau và là các số nguyên

dương thoả Một hệ thống các tập con của X gồm tập có phần tử, tập

có phần tử, …, tập có phần tử gọi là phân hoạch không thứ tự của X.

Định lý 1.9 Số phân hoạch không thứ tự của gồm tập có phần tử, tập có phần tử,…,

tập có phần tử là

(trong số lặp lại lần, số lặp lại lần, …, số lặp lại lần)

) , , , ,

; ( )!

(

!

!

! )

, , ,

;

2 1 2

r n n n n

n n

n n n

k

−

=

k

n n

n1, 2, , , 1, 2, ,

n p n p

n p

2

k

( ) ( ) ( )p k

k k p p

k

k k

n p n

p n p

n p

p p

n n n n n n n C

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

) , , , , , , , , ,

; (

2 1

2 2 1 1 2

1

2 2 1

) , , , , , , , , ,

; (n n1 n1 n2 n2 n k n k

Chương 2 - NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

2.1 Nguyên lý bù trừ

Định lý 2.1 (Nguyên lý bù trừ) Cho là các tập hữu hạn Khi đó

trong đó

Trong tổng , bộ lấy tất cả các tổ hợp chập của và như vậy là tổng của

số hạng Hệ quả 2.1 (Công thức sàng) trong đó .

2.2 Nguyên lý bù trừ tổng quát Cho tập X và tập gồm m tính chất đối với các phần tử của X Với tập

tính chất , ký hiệu là tập phần tử trong X thoả mãn các tính chất

và Tiếp theo, ký hiệu , , ;

là số phần tử thoả mãn đúng k tính chất và là số phần tử thoả mãn ít nhất tính chất

Định lý 2.2

Định lý 2.3 .

n X X X1, 2, ,

n n n j i j i n i i n X X X X X X X X X ∪ ∪ ∪ = − ∩ + + − − ∩ ∩ ∩ ≤ < ≤ ≤ ≤ ∑ ∑ ( 1 )

1 1 2 1 1 2 1 =∑n= ( ) − − ( ) k k k n X 1 1 , 1 ∑ ≤ < < ≤ ∩ ∩ ∩ = n i i i i i k k X X X k n X

1 1 1 2

) , ( ( )n k X , (i1,i2, ,i k) k n ( )n k X , ( )n k C , ( ) 1 ( , )

0 2 1 X X X n k X n k k n = − ∩ ∩ ∩ ∑ = ( )n X X , 0 = {α1, α2, , αm} = Π k ( k m) k 1 ≤ ≤ {αi , αi , , αi k}⊂ Π 2 1 X i1,i2, ,i k k i i i α α α , , ,

2 1 ( i i i k ) X i i i k n , , ,

2 1 2 1 ,α , ,α = α s0 = X ∑ ≤ < < < ≤ = m i i i i i i k k k n s

1 1 2 1 2 ) , ,

, ( α α α ∀k = 1 , 2 , ,m ek m k =0,1, , f k m k = 1 , ,

( ) ( ) ( ) m k m k k k k s C k s C k s C m m k s e = − + 1 , 1 1 + + 2 , 2 2 − + ( − 1 ) − , −

+ +

k m k

k k

f = − , 1 1 + ( + 1 , 2 ). 2 − + ( − 1 ) − − 1 , −

+ +

Chương 3 - ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

Dựa vào nguyên lý bù trừ ta có thể đếm được số phần tử trong một tập X không thoả mãn bất kỳ một tính chất nào trong n tính chất.

Thật vậy, với mọi kí hiệu thoả mãn tính chất Khi đó

không thoả mãn tính chất Như vậy, số phần tử trong X không thoả mãn

một tính chất nào trong n tính chất bằng số phần tử của tập hợp Ta có

nên

Theo ý tưởng của nguyên lý bù trừ, có một số bài toán, việc đếm trực tiếp các cấu hình thoả yêu cầu nhiều khi phức tạp, khi đó ta thường giải bài toán ngược (hay bài toán lấy phần bù) để từ đó suy ra kết quả yêu cầu Ta có một số ví dụ sau:

Ví dụ 3.4 Một nhóm học sinh gồm 10 nam và 6 nữ Chọn ra một tổ có 8 người Hỏi có

bao nhiêu cách chọn để tổ đó có nhiều nhất là 5 nữ?

Giải.

Chọn 8 học sinh bất kỳ trong 16 học sinh của nhóm, số cách chọn là

Chọn 8 học sinh trong đó có đúng 6 nữ và 2 nam, số cách chọn là

Vậy số cách chọn tổ 8 học sinh sao cho có nhiều nhất 5 nữ là

(Chú ý: Nếu giải một cách trực tiếp thì ta phải chia thành 6 trường hợp)

1, 2, ,

1

n i i

X

=

I

1 1

i i n n

j i

j i n

i

X X

1 1

1

1

=

≤

<

≤

=

− +

−

∩ +

−

( 16,8 ) 16! 12870

8!(16 8)!

− ( ) ( 6, 6 10, 2 ) 10! 45

2!(10 2)!

−

12870 45 12825 − =

}

k

}

k

3.1 Bài toán đếm số nghiệm nguyên không âm nhỏ hơn một số của một phương trình

Ví dụ 3.14 Phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thoả mãn ,

và ?

Giải Gọi , , và lần lượt là là tập tất cả các nghiệm nguyên không âm của phương trình, tập tất cả các nghiệm nguyên không âm của phương trình sao cho , và

Mỗi nghiệm nguyên không âm của phương trình đă cho ứng với một cách chọn 11 phần tử từ một tập có ba loại sao cho có phần tử loại với

Vì vậy, số nghiệm nguyên không âm của phương trình bằng số tổ hợp lặp chập 11 từ tập có ba phần tử nên

Mỗi nghiệm nguyên không âm của phương trình sao cho ứng với một cách chọn 11 phần tử từ một tập có ba loại thoả có phần tử loại với trong đó có ít nhất 4 phần tử loại một Vì thế, đầu tiên chọn 4 phần tử loại một rồi chọn thêm 7 phần tử nữa nên Tương tự, ta có , , , , ,và

Vậy, theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm nguyên không âm của phương trình trên sao cho ,

và là

x ≤ x3 ≤ 6

1 4

i

( )3 , 11 = 78

= CR A

1 4

i

1 =CR =

A

( )3 , 6 28

2 =CR =

A A3 =CR( )3 , 4 = 15 A1∩ A2 =CR( )3 , 2 = 6 A1∩ A2 =CR( ) 3 , 0 = 1 A2 ∩A3 = 0 A1∩A2∩A3 = 0

1 3

2 4

x ≤ x3 ≤ 6 A1∩A2∩A3 = A1∪A2∪A3 = A − A1∪ A2∪ A3

6

=

3.2 Bài toán tìm số các số nguyên tố nhỏ hơn một số nguyên dương nào đó

Ta cần nhớ rằng một hợp số chia hết cho một số nguyên tố không lớn hơn căn bậc hai của nó

Nên, để tìm số các số nguyên tố nhỏ hơn một số nguyên dương n ta cần tìm các số nguyên tố không lớn hơn Khi đó, các số nguyên tố nhỏ hơn n bao gồm các số nguyên tố không lớn hơn và tất cả các số nguyên dương lớn hơn 1 nhỏ hơn n không chia hết cho các số nguyên tố tìm được ở

trên Do vậy, dùng nguyên lý bù trừ ta sẽ tính được số các số nguyên tố nhỏ hơn số nguyên dương

Để tìm các số nguyên tố không vượt quá một số nguyên dương cụ thể nào đó ta dùng sàng Eratosthenes (theo tên nhà khoa học nổi tiếng cổ Hi Lạp)

n

n

n

3.3 Bài toán đếm số các số nguyên dương nhỏ hơn số nguyên dương n và nguyên tố cùng nhau với n

Cho n là một số nguyên dương Ta định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn n

và nguyên tố cùng nhau với n.

Bây giờ ta xét bài toán sau:

Bài toán: Cho n là một số nguyên dương và được phân tích dưới dạng với

là các số nguyên tố phân biệt và Hãy tính số các số nguyên dương

nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n.

Dùng nguyên lý bù trừ ta tìm được số các số nguyên dương nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n bằng

3.4 Bài toán xếp khách (Lucas)

Bài toán: Một bàn tròn có 2n ghế Cần sắp xếp n cặp vợ chồng vào bàn tròn sao cho đàn

ông ngồi xen kẽ với đàn bà và không có cặp vợ chồng nào ngồi cạnh nhau (có tính đến vị trí ghế

và thứ tự chỗ ngồi) Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Dùng nguyên lý bù trừ ta tìm được được số cách xếp là

( )n

φ

1 2

1e 2e e r

r

r

p p

( )n

φ

1

1 1

r

n

p

=

∏

0

2

2

n k n

k

n

n k

=

−

∑

3.5 Bài toán tìm số xáo trộn của một hoán vị có phần tử

Trước tiên ta lưu ý: Cho tập hợp có n phần tử Khi đó mỗi hoán vị của n phần tử trên sao cho không có phần tử nào ở nguyên vị trí ban đầu được gọi là một xáo trộn của tập n phần tử đã cho Số

tất cả các xáo trộn được gọi là số mất thứ tự

Ví dụ hoán vị 21453 là một xáo trộn của 12345 vì không có số nào ở nguyên vị trí ban đầu của nó Tuy nhiên, 21543 không phải là một xáo trộn của 12345 vì hoán vị này để số 4 ở nguyên vị trí ban đầu của nó

Giả sử kí hiệu là số mất thứ tự của một tập có n phần tử Ví dụ , vì các xáo trộn của 123

là 321 và 312 Bây giờ ta xét bài toán sau:

Bài toán: Hãy tìm số mất thứ tự của một tập có n phần tử

Dùng nguyên lý bù trừ ta tìm được

3.6 Bài toán đếm số toàn ánh

Bài toán: Cho hai tập hợp X và Y có , với Hãy đếm số hàm toàn ánh từ tập X vào tập Y.

Dùng nguyên lý bù trừ ta tìm được số hàm toàn ánh

n

n

n

n

n

D

0

( 1) ,

k

n r

r

=

3.7 Phân hoạch tập hợp, số Sterling loại 2 và số Bell

Cho tập X có n phần tử khác nhau, và là một phân hoạch k khối của X Số tất cả các phân hoạch k khối của tập có n phần tử được gọi là số Sterling loại 2 và ký hiệu là

Hiển nhiên ta có và

Số gọi là số Bell Như vậy, số Bell chính là số tất cả các phân

hoạch của tập có n phần tử.

Bây giờ ta giải bài toán sau:

Bài toán: Tính số Sterling loại 2

Giải.

Mỗi phân hoạch k khối của tập X có n phần tử có thể xem như một phân bố n phần tử của tập X vào k thùng (không kể thứ tự) sao cho thùng nào cũng có phần tử của X Hoán vị các thùng

ta thấy một phân bố như vậy sẽ sinh k! hàm toàn ánh từ tập X vào tập

Suy ra nên

k n≤ { X X1 , 2 , ,X k}

n

T =S n +S n + +S n n

X

1 , 2 , , k

1 , 2 , , k

∑

=

−

−

= k

r

n

r C k r k r k

n S

k

0

) ).(

, ( ) 1 ( )

, (

=

−

−

= k

r

n

r C k r k r k

k n S

0

) ).(

, ( ) 1 (

!

1 ) , (

{B1,B2, ,B k}

3.8 Tổ hợp lặp tổng quát

Định nghĩa 3.1 Tổ hợp lặp tổng quát chập k từ n phần tử khác nhau là nhóm không phân biệt

thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó phần tử thứ i lặp lại không quá lần

, với Ký hiệu

Định lý 3.1 Số tổ hợp lặp tổng quát chập k từ n phần tử khác nhau trong đó phần tử thứ i lặp lại

không quá lần với là

3.9 Bài toán tính số hoán vị không liên tục của tập có n phần tử.

Một hoán vị của được gọi là không liên tục nếu không chứa khối 12, 23, 34, 45, 56,

…, (n-1)n Ký hiệu số hoán vị không liên tục của là

Bài toán: Tính số hoán vị không liên tục của tập

Theo nguyên lý bù trừ, số hoán vị không liên tục của tập có n phần tử là

i

k

(i = 1, 2, ,n) k1+ + + ≥k2 k n k k( 1, , n)

C

i











− +

+ +

− +

−

− +

− +

i i

m n

k

n

m

k k

k n C k

n k C k

k

k

C

1 1

2

1

1

1 , 1 1

1 ,1

, ,

,

{1 , 2 , ,n} Q n

{1 , 2 , ,n}

=

−

= ≤ < < < ≤ −

−

=

−

−

−

=

∩

∩

∩

− +

=

0

1

1 1 1

1

1

)!

)(

,1 ( ) 1 (

1

2 1

2 1

n k

k n

i i

i k

n i i

Q

k

k

I

{1 , 2 , ,n}

(i= 1, 2, ,n)