nguyen ly bu tru

Tên đề tài: NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Khoá: 2005-2008 Người thực hiện: Trần Thu Hà Người hướng dẫn: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Lý do chọn đề tài: Tư duy tổ hợp ra đời rất sớm. Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ 17 Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Từ khi máy tính phát triển và thịnh hành, nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính và tổ hợp đã trở thành lĩnh vực toán ứng dụng với sự phát triển mạnh mẽ. Tư duy giải toán tổ hợp của học sinh còn yếu. Trong hơn chục năm trở lại đây, bài toán tổ hợp thường xuyên có mặt trong các đề thi vào các trường Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp. Năm học 2005-2006, Vụ Trung học phổ thông đã thống nhất 11 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi trong đó chuyên đề 11 là chuyên đề về tổ hợp. Trong lý thuyết tổ hợp, nguyên lý bù trừ là phương pháp đếm nâng cao giải các bài toán đếm, nó có nhiều ứng dụng hay và từ các ứng dụng này ta có thể giải được lớp các bài toán tương tự mà việc giải chúng giúp củng cố và rèn luyện việc sử dụng linh hoạt các cấu hình tổ hợp cơ bản và mở rộng – là điểm yếu của rất nhiều học sinh. Chính vì các lý do trên, tôi chọn: Nguyên lý bù trừ và ứng dụng làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình. Mục đích nghiên cứu • Từ các ứng dụng của nguyên lý bù trừ giải lớp các bài toán tương tự cụ thể. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu là nguyên lý bù trừ. • Phạm vi nghiên cứu là nội dung của nguyên lý bù trừ và các ứng dụng của nguyên lý đó. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài • Đề tài được xây dựng để giải các bài toán xuất hiện từ thực tiễn cuộc sống và các bài toán của các khoa học khác được giải quy về bài toán tổ hợp sử dụng nguyên lý bù trừ. Cấu trúc luận văn Luận văn được trình bày trong 3 chương Mở đầu Chương 1 - Tổng quan về tổ hợp Chương 2 - Nguyên lý bù trừ Chương 3 - Ứng dụng của nguyên lý bù trừ Kết luận Chương 1-TỔNG QUAN VỀ TỔ HỢP 1.1. Các bài toán tổ hợp nổi tiếng trong lịch sử 1.2. Bài toán tổ hợp Cho các tập hợp , , ., . Giả sử là sơ đồ sắp xếp các phần tử của , , ., được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và , , ., là các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ . Khi đó mỗi cách sắp xếp các phần tử của , , ., thỏa mãn các điều kiện , , ., gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập , , ., . Trong tổ hợp người ta thường gặp 4 dạng bài toán sau: 1.2.1. Bài toán tồn tại 1.2.2. Bài toán đếm 1.2.3. Bài toán liệt kê 1.2.4. Bài toán tối ưu tổ hợp 1 A 2 A n A S 1 A 2 A n A S 1 R 2 R m R 1 A 2 A n A 1 R 2 R m R 1 A 2 A n A 1.3. Bài toán đếm 1.3.1. Giai thừa: Định nghĩa 1.1. Giai thừa của số tự nhiên khác 0, ký hiệu , là tích của số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến . Quy ước: 0! = 1. Tính chất: 1.3.2. Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân 1.3.2.1. Nguyên lý nhân Nguyên lý nhân: Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua bước, bước 1 có thể thực hiện theo cách, bước 2 có thể thực hiện theo cách,…, bước k có thể thực hiện theo cách. Khi đó số cấu hình tổ hợp là . 1.3.2.2. Nguyên lý cộng Nguyên lý cộng: Nếu có cách chọn đối tượng , cách chọn đối tượng ,…, cách chọn đối tượng và nếu cách chọn đối tượng không trùng với bất kỳ cách chọn nào ( ) thì có cách chọn một trong các đối tượng đã cho. 1 n 2 n n x i x n !n n n )) .(1(!)!( knnnkn ++=+ k k n k nnn 21 1 m 1 x 2 m 2 x n m j x njiji , .,2,1,; =≠ n mmm +++ . 21 1.3.3. Các cấu hình tổ hợp cơ bản 1.3.3.1. Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.2. Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần có thể được lặp lại. Định lí 1.1. Nếu ký hiệu số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là thì 1.3.3.2. Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa 1.3. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần không được lặp lại. Định lí 1.2. Nếu ký hiệu số tất cả các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là thì 1.3.3.3. Hoán vị Định nghĩa 1.4. Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó. Định lý 1.3. Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là thì . 1.3.3.4. Tổ hợp Định nghĩa 1.5. Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho (có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử từ n phần tử đã cho). Định lý 1.4. Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là thì . )(nP ),( knAR k nknAR =),( ( ) knA , ( ) ! ! ),( kn n knA − = !)( nnP = ( ) knC , ( ) )!!.( ! , knk n knC − = 1.3.4. Các cấu hình tổ hợp mở rộng 1.3.4.1. Hoán vị lặp Định nghĩa 1.6. Hoán vị lặp là hoán vị mà trong đó mỗi phần tử được ấn định một số lần lặp lại cho trước. Định lý 1.5. Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau, trong đó phần tử thứ nhất lặp lần, phần tử thứ 2 lặp lần, …, phần tử thứ k lặp lần là với . Định lý 1.6. Số cách phân phối n đồ vật khác nhau vào k hộp khác nhau sao cho có vật được đặt vào hộp thứ i với là . 1.3.4.2. Tổ hợp lặp Định nghĩa 1.7. Tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể được lặp lại. Định lý 1.7. Nếu ký hiệu số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử là thì 1.3.4.3. Phân hoạch thứ tự tổ hợp Định nghĩa 1.9. Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau, và có phần tử. Một phân hoạch có thứ tự của gọi là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X . Nếu thì gọi là phân hoạch thứ tự của X . Cho các số nguyên dương thoả . Số các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng có , được ký hiệu là . i 1 n 2 n k n ( ) !! .!. ! , .,,; 21 21 k k nnn n nnnnP = k nnnn +++= . 21 i n ki , .,2,1 = !! !. ! 21 k nnn n ),( knCR )1,1(),( −+−= nknCknCR nr ≤ XS ⊂ r { } k SSS , .,, 21 S nr = k nnn , .,, 21 rnnn k =+++ . 21 { } k SSS , .,, 21 11 nS = kk nSnS == , ., 22 ), .,,;( 21 k nnnnC Định lý 1.8. 1.3.4.4. Phân hoạch không thứ tự Định nghĩa 1.10. Cho X là tập gồm n phần tử khác nhau và là các số nguyên dương thoả . Một hệ thống các tập con của X gồm tập có phần tử, tập có phần tử, …, tập có phần tử gọi là phân hoạch không thứ tự của X. Định lý 1.9. Số phân hoạch không thứ tự của gồm tập có phần tử, tập có phần tử,…, tập có phần tử là (trong số lặp lại lần, số lặp lại lần, …, số lặp lại lần). ),, .,,;( )!(!! .! ! ), .,,;( 21 21 21 rnnnnnP rnnnn n nnnnC k k k −= − = kk pppnnn , .,,,, .,, 2121 npnpnpn kk =+++ . 2211 1 p 1 n 2 p 2 n k p k n X 1 p 1 n 2 p 2 n k p k n ( ) ( ) ( ) k p kk pp k kk npnpnp n ppp nnnnnnnC !! .!!!! ! !! .! ), .,, .,, .,,, .,;( 21 2211 21 2211 = ), .,, .,, .,,, .,;( 2211 kk nnnnnnnC 1 n 1 p 2 n 2 p k n k p Chương 2 - NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 2.1. Nguyên lý bù trừ Định lý 2.1. (Nguyên lý bù trừ) Cho là các tập hữu hạn. Khi đó trong đó . Trong tổng , bộ lấy tất cả các tổ hợp chập của và như vậy là tổng của số hạng. Hệ quả 2.1. (Công thức sàng) trong đó . 2.2. Nguyên lý bù trừ tổng quát Cho tập X và tập gồm m tính chất đối với các phần tử của X. Với tập tính chất , ký hiệu là tập phần tử trong X thoả mãn các tính chất và . Tiếp theo, ký hiệu , , ; là số phần tử thoả mãn đúng k tính chất và là số phần tử thoả mãn ít nhất tính chất . Định lý 2.2. . Định lý 2.3. . n XXX , .,, 21 n n nji ji ni in XXXXXXXXX ∩∩∩−++∩−=∪∪∪ − ≤<≤≤≤ ∑∑ .)1( 21 1 11 21 ( ) ( ) ∑ = − −= n k k knX 1 1 ,1 ∑ ≤<<≤ ∩∩∩= nii iii k k XXXknX .1 1 21 .),( ( ) knX , ( ) k iii , .,, 21 k n ( ) knX , ( ) knC , ( ) ),(1 . 0 21 knXXXX k n k n −=∩∩∩ ∑ = ( ) XnX = 0, { } m ααα , .,, 21 =Π k ( ) mkk ≤≤ 1 { } Π⊂ k iii ααα , .,, 21 k iii X , .,, 21 k iii ααα , .,, 21 ( ) kk iiiiii Xn , .,, 2121 , .,, = ααα Xs = 0 ∑ ≤<<<≤ = miii iiik k k ns .1 21 21 ), .,,( ααα mk , .,2,1 =∀ k e mk , .,1,0= k f mk , .,1 = ( ) ( ) ( ) m km kkkk skmmCskCskCse .,)1( 2,2.1,1 21 −−+−+++−= − ++ ( ) ( ) m km kkkk skmmCskCskCsf .,1)1( .).2,1(.1, 21 −−−+−++−= − ++ Chương 3 - ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Dựa vào nguyên lý bù trừ ta có thể đếm được số phần tử trong một tập X không thoả mãn bất kỳ một tính chất nào trong n tính chất. Thật vậy, với mọi kí hiệu thoả mãn tính chất . Khi đó không thoả mãn tính chất . Như vậy, số phần tử trong X không thoả mãn một tính chất nào trong n tính chất bằng số phần tử của tập hợp . Ta có nên Theo ý tưởng của nguyên lý bù trừ, có một số bài toán, việc đếm trực tiếp các cấu hình thoả yêu cầu nhiều khi phức tạp, khi đó ta thường giải bài toán ngược (hay bài toán lấy phần bù) để từ đó suy ra kết quả yêu cầu. Ta có một số ví dụ sau: Ví dụ 3.4. Một nhóm học sinh gồm 10 nam và 6 nữ. Chọn ra một tổ có 8 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để tổ đó có nhiều nhất là 5 nữ? Giải. Chọn 8 học sinh bất kỳ trong 16 học sinh của nhóm, số cách chọn là Chọn 8 học sinh trong đó có đúng 6 nữ và 2 nam, số cách chọn là Vậy số cách chọn tổ 8 học sinh sao cho có nhiều nhất 5 nữ là . (Chú ý: Nếu giải một cách trực tiếp thì ta phải chia thành 6 trường hợp) 1,2, .,k n = { / k X x X x = ∈ { / k X x X x = ∈ 1 n i i X = I 1 1 n n i i i i X X X = = = + U U 1 1 n n i i i i X X X = = ⇒ = − U U 1 1 1 n n n i i i i i i X X X X = = = = = − I UU ( ) I n i i n nji ji n i i XXXXX 1 11 1 . = ≤<≤= −+−∩+−= ∑∑ ( ) 16! 16,8 12870 8!(16 8)! C = = − ( ) ( ) 10! 6,6 . 10,2 45 2!(10 2)! C C = = − 12870 45 12825 − = } k } k . trong các đề thi vào các trường Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp. Năm học 2005-2006, Vụ Trung học phổ thông đã thống nhất 11 chuyên đề bồi dưỡng. , ., được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và , , ., là các điều kiện ràng bu c lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ . Khi đó mỗi cách sắp xếp các phần tử của ,